24.2 第4课时 直线和圆的位置关系(三)
直线和圆的位置关系
《24.2.2直线和圆的位置关系》说课稿尊敬的各位评委、各位老师，大家好！今天我说课的题目是《直线和圆的位置关系》，是人教版义务教育教科书九年级上册数学第二十四章圆第2节的内容，下面我将从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程、设计说明这五个方面对本节课进行说明。
一、教材分析1.教材的地位和作用圆的教学在平面几何乃至整个中学教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它既是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面学习圆的切线以及高中学习圆作铺垫，在今后的解题及几何证明中，将起到重要的作用。
2.教学目标根据学生已有的认知基础及教材的地位和作用，我将本节课的教学目标定为：（1）理解直线和圆的三种位置关系，会用两种方法判断直线和圆的位置关系。
（2）渗透类比、转化、数形结合的数学思想和方法，培养学生的逻辑思维能力和视图能力。
（3）让学生感受到实际生活与数学的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
3.教学重、难点重点：理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系；会判断直线和圆的三种位置关系。
难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线和圆的位置关系。
二、学情分析直线和圆的位置关系属于几何课程，在七、八年级的几何学习基础上，九年级学生有了一定的分析能力、归纳能力以及数学思想。
九年级学生对图形很敏感，学生观察、操作、猜想等能力较强，但是归纳运用数学的意识、思想还比较薄弱，思维的严密性、灵活性都有待于加强，自主探究与合作学习的能力也需进一步加强。
三、教学方法分析复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线和圆的位置关系，在直线和圆的位置关系的判定的过程中，将采取观察、类比、实验、探究为主的教学方法。
另外，在教学中,运用多媒体辅助教学，进行动态和直观的演示,激发学生的学习兴趣；通过圆心到直线的距离d 和半径r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系，体现数形结合的思想，较为复杂的问题能简单化。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(第3课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（第3课时）一、学习目标：1. 了解切线长的概念。
2. 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。
二、学习重点、难点：1. 重点：切线长定理及其运用。
2. 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。
三、学习过程：（一）温故知新1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？（口述）（二）自主学习自学教材P96---P98，思考下列问题：1.按探究要求，请同学们动手操作，你发现哪些等量关系？2.什么叫切线长？默写切线长定理，并加以证明。
3.依据“温故知新”第1题作的三角形的三条角平分线，思考一下交点到三边的距离相等吗？请以交点为圆心，以这一距离为半径作圆，你发现什么？4.什么叫三角形的内切圆、三角形的内心？（三）合作探究例1：如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．BA CE DOFE DOABCF 例2：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
（四）巩固练习3.如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．（五）达标训练1.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为（ ）．A ．93B ．9（3-1）C ．9（5-1）D ．92.如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB= 30°，则∠ACB=（ ）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°BAC POB AC DPOBACBA CE D OF(1) (2) (3)(4) BAP O3．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．4．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．5．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______．6、如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，求证∠ABO=12∠APB.（六）拓展创新1．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ）A ．180°-aB ．90°-aC ．90°+aD ．180°-2a2.如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．OPACBBA CED OF。
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)教学设计
在学生小组讨论环节，我会组织学生进行小组合作学习。我会提出一些问题，如“如何运用直线和圆的位置关系解决实际问题？”让学生在小组内进行讨论和实验。学生可以通过观察、实验、思考，得出结论，并分享自己的心得和体会。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计一些有关直线和圆位置关系的练习题，让学生独立完成。这些练习题包括判断直线和圆的位置关系、求解圆的弦长、圆心角等。在学生解答过程中，我会给予及时的指导和鼓励，帮助学生巩固所学知识。
人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课的主要目标是让学生掌握直线和圆的位置关系，包括相交、相切和相离三种情况。学生能够运用这些知识解决实际问题，如求解圆的弦长、圆心角等。通过对直线和圆的位置关系的探究，学生能够理解圆的性质，如圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等。此外，学生还能够掌握圆的标准方程和一般方程，并能够进行相应的转化。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
本节课的重难点是让学生理解和掌握直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。具体来说，重难点包括：
1.直线和圆的位置关系的定义和判定。学生需要理解相交、相切和相离三种情况的含义，并能准确判断直线和圆的位置关系。
2.圆的性质的推导和应用。学生需要理解和掌握圆的半径与弦的关系，圆心角与圆周角的关系等，并能运用这些性质解决实际问题。
在教学过程中，我发现学生对于直观和实际操作的学习方式较为感兴趣。他们喜欢通过观察、实验来发现问题和解决问题。因此，在教学设计中，我将充分利用多媒体教学资源，如动画和实物模型，以直观的方式展示直线和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
24.2 圆的基本性质 第4课时 课件 沪科版数学九年级下册
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
拓展
圆O是△ABC的外接圆
l1
A
△ABC是圆O的
△ABC的外心
O
内接三角形
B
C
l2
➢ 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. ➢ 这个三角形叫做圆的内接三角形. ➢ 外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，
叫做这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
思考 经过一点A可以作多少个圆？
·
··
A
· ·
可作无数个圆
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 经过两点A，B作圆，能作多少个圆？这些圆的圆心分布 有什么特点？
A
A
∵所作圆的圆心到A，B的距离相等
∴圆心在线段AB的垂直平分线上
BB
可作无数个圆
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
A 所作圆经过A，B，C三点
圆心O到A，B，C三点距离相等
B
C
圆心O在线段AB的垂直平分线上 圆心O也在线段BC的垂直平分线上
圆心O为两线段垂直平分线的交点
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如
果能，如何确定所作圆的圆心？
l1
24.2 圆的基本性质
第4课时
学习目标
1.理解并掌握确定圆的条件，以及过不在同一条直线的三个点作圆
圆
的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念；
的
2. 理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题；
确
3.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.1《直线与圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的一部分，这部分内容是整个初中数学的重要知识之一。
在此之前，学生已经学习了直线、圆的基本性质和图形的相互关系。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解直线与圆的位置关系，为后续解析几何的学习打下基础。
本节内容主要包括直线与圆相切、相交两种情况。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究直线与圆的位置关系，并通过数学推导证明相关结论。
学生需要理解并掌握直线与圆的位置关系，能够运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直线、圆的基本性质和图形相互关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对直线与圆的位置关系的理解存在一定的困难，特别是对相交和相切的判断。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，针对学生的实际情况进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆相交、相切的方法。
2.过程与方法目标：通过观察图形、实例分析、数学推导等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线与圆的位置关系的理解和判断方法。
2.教学难点：对相交和相切的判断，以及相关数学推导。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例分析、小组讨论、数学推导等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和掌握相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的直线与圆的例子，如自行车轮子、地球表面的经纬线等，引导学生关注直线与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍直线与圆的位置关系的概念，引导学生思考如何判断直线与圆的位置关系。
24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)
做例题变式75、76页 做自主学习78、79页 做配套100、101页
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2
整理，得x=3 所以，半径OA的长为3cm.
四、当堂检测 巩固新知
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形 结合的思想．
• 学习重点：掌握切线的性质定理和判定定 理及其应用
• 学习难点：切线的性质定理和判定定理， 切线长定理的应用
自学指导
A D
P
·O
E
C B
思考 一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
三角形的内切圆、三角形的内心的定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心简称三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 到三边距离相等，都等于内切圆的半径。
三角形的外心与内心的比较
A
O 130°
B
P
50°
切线长概念
在经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段 的长，叫做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
比一比： 切线与切线长
A
O
24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P.探索圆外切四 边形边的关系. （ 1 ）找出图中所有相等的线段 N
D P C O M
拓展二：四边形的外接圆与内切圆
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
A
= （2）填空：AB+CD _____AD+BC B L （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等.
切线长定理 拓展
回顾反思 1.切线长定理
· O ·
B
A
·
P
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
O B
E
F
C
例题解析
例2.已知如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线， 交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°, 求：△PEF的周长和∠EOF的大小.
§24.2.2 直线和圆的位置关系
切线长定理
画一画
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出 PA是⊙O的切线. 2、这样的切线能画出几条？
A
O
P
B
探究一
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的 长叫做切线长.
· O ·
B
A
·
P
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点,可以度量.
探究一
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线， 沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B. 问题： 1.OB是⊙O的一条半径吗？ 2.PB是⊙O的切线吗？ A
24.2与圆有关的位置关系(第3课时)课件
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r)
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；
A 、经过圆上的一点； B、 垂直于半径； 2、圆的切线有什么性质？ 圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的 什么方向飞出去的?
动手做一做
• 画一个圆O及直径OA，画一条直线l经过⊙O的半 径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直 线与圆有几个交点？
O
●
┐
A
l
思考： 直线l一定是圆O的切线吗？
由此，你知道如何画圆的切线吗？
知识归纳
一、圆的切线：
1、定义：经过半径的外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。 条件： (1)经过圆上的一点； (2)垂直于该点半径； ∵l⊥OA，且l 经过⊙O上的A点
切线
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ . l
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1
d=r 切点 切线
相交
2
d<r 交点Байду номын сангаас割线
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
观察与思考
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
O D
C
B
例1、如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝ OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？ 解：直线AB是⊙O的切线 。理由如下： 在圆O 中， ∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°(已知) ∴∠AOB＝∠OBA＝45°(等边对等角) 又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB ＝ 180° A B
24.2.2直线和圆的位置关系(共29张PPT)
典型例题
如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆 心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系？为什么？ A （1）r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm .
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C， 在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30° O 1 1 MC= 2 OM= 2 x5=2.5 即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
3 已知⊙O的直径是6cm，O到直a 的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置 相离 关系是_____.
练习（二）：
1、设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ C ） A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
2、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系 是……………………………………………（ D） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 析:直线与⊙O相切 解:由题意可得 b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 d=r 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) b2－4ac=0 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 1 x1=x2= 3 [-(m+6)]2－4(m+9)=0 ∴ m=0
B
5
4
D
C
24.2.2 直线和圆的位置关系(第3课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
24.2点和圆、直线和圆的位置关系(第4课时)一、内容及其解析1．内容圆的切线长定理和三角形的内切圆．2．内容解析圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．在切线长定理的探究过程中，学生经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程，体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：切线长定理及应用．二、目标及其解析1．目标(1)了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形内切圆；掌握切线长定理．(2)经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想和方程思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：知道三角形的内切圆、内心的概念，理解切线长定理，并会用其解决有关问题．达成目标(2)的标志是：在经历“实验几何——论证几何”的探究方法后，初步建立由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识，思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，体验数学发展的过程．三、教学问题诊断分析学习本节课时，学生已经具备了切线、三角形全等、等腰三角形等知识，并会利用它们证明线段等和角等．但对于切线长的概念，学生往往容易和切线混淆．另外，学生已经习惯于利用全等三角形和等腰三角形证明线段相等，还不习惯于应用切线长定理证明线段等角等．本课的教学难点是：切线长定理的应用．四、教学过程设计1．创设情境提出问题问题1已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？追问1：猜想，图中的P A与PB有什么关系？师生活动：学生利用所学知识猜想P A与PB的关系．追问2：观察图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？师生活动：学生自己动手画出图后，利用所学知识猜想图中量与量之间的关系．设计意图：通过情景设置引发学生探索切线长定理的求知欲．2．探索新知挖掘内涵问题2如何验证我们猜想是否正确呢？师生活动：学生动手操作：沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B．设计意图：给不理解题意和没有解决问题方法的学生以引导，明确结论得出的合理性．问题3只用猜想或测量的方法不能说明结论是否正确，同学们能不能运用逻辑推理的方法证明结论？追问1：切线与切线长有什么区别？表示切线长的线段的两个端点分别是谁？师生活动：学生利用所学知识观察并思考回答．追问2：过圆外一点能做几条圆的切线？两条切线长怎样？相邻两个角相等可以视为∠APB被平分，怎样叙述？定理几个条件？分别是什么？定理几个结论？分别是什么？切线长定理的直接作用是什么？师生活动：学生利用所学知识观察并思考回答．追问3：刚才同学们应用全等三角形、等腰三角形、中垂线和轴对称等多种方法证明了定理，提醒同学们既然能够直接得到“PA＝PB，∠APO＝∠BPO”，那么我们在应用“PA ＝PB，∠APO＝∠BPO”时就不要再用上面的方法证明了．同时，我们共同思考为什么能用这么多方法证明呢？大家发现几个图形的共同点了么？(都关于OP对称．) 师生活动：学生感受到翻折的过程中的误差，利用严格的推理来证明得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．设计意图：让学生在“实践——验证——归纳”的过程中发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法．通过教师引导学生了解基本图形为后面应用切线长定理和分析定理的其他作用作铺垫．3．应用新知迁移拓展问题3下面是一块三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并使截下来的圆与三角形的三边都相切？追问1：与三条边相切的圆的圆心必须满足什么条件？师生活动：学生小组合作探究得到，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离都相等．追问2：满足这样条件的点怎样作？要不要三条角平分线都做出来？师生活动：学生小组合作探究得到，做两个角的角平分线，交于一点，这个点到三边的距离都相等．师生活动：学生在问题的引导下思考并回答出问题，学习三角形内切圆和三角形内心的概念．设计意图：学生解决问题的过程中应用定理加深对定理作用的体会，学习三角形内切圆和三角形内心的概念．4．解决问题加深理解例如图，△ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC ＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长．师生活动：学生在教师的引导下利用所学的知识完成例题．设计意图：体会应用内切圆相关知识体会把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．5．归纳小结巩固提高教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)通过本节课的学习你学会了哪些知识？(2)圆的切线和切线长相同吗？(3)什么是三角形的内切圆和内心？设计意图：进一步明确本节课所涉及的数学知识、数学思想、解决问题方法．6．布置作业教科书习题24.2第5，12题．五、目标检测设计1．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于E，PO＝13，AO＝5，则△PCD 周长为．设计意图：考查学生利用所学定理解决问题的能力．2．如图，过⊙O直径AB端点分别作AE，BF切⊙O于A，B，EF切⊙O于C．求证：OE⊥OF．设计意图：考查学生利用所学定理解决问题的能力．3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝1，CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．设计意图：考查学生利用所学定理解决问题的能力．。
24.2.2直线和圆的位置关系(第3课时)
由BD+CD=BC可得
（9－x） +（13－x）=14.
解得 x=4. 因此 AF=4cm，
BD=5 cm， CE=9 cm. B F
A E O
·
D C
练习 ``
1.如图， △ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=75°，点O是内心， 求∠BOC的度数.
1 解 ：∠BOC=180°－ （∠ABC + ∠ACB） 2
24.2.2 直线和圆的位置关系 （第3课时）
湖城学校 杨贤
活动一 创设情境，导入新知
切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间的线段长，叫做这点到圆的切线长.
A P
O·
活动2 探究新知，挖掘内涵
如图纸上有一⊙O，PA为⊙O的切线，沿着直线PO将纸对折 ，设圆 上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？ 利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO的关系？
1 =180°－ （50°+75°） 2
=117.5°
B
A
O
·
C
2.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
解：
设AB = c，BC = a，AC = b.
则
1 S AOB cr S 2
ABC
1 BOC ar S 2
BOC
下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的 用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
A A
l
B C B
·
C
假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相 切，这个圆的圆心到三角形各边的距离都等于半径，如何找到圆心？
24.2 与圆有关的位置关系(第4课时)
24.2 与圆有关的位置关系(第4课时)教学内容1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），•两个圆相交等概念．2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．外离⇔d>r1+r2外切⇔d=r1+r2相交⇔│r1-r2│<d<r1+r2内切⇔d=│r1-r2│内含⇔0≤d<│r1-r2│（其中d=0，两圆同心）教学目标了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．1．知识与技能2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重难点、关键1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．教学过程一、复习引入请同学们独立完成下题．在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．老师点评：直线L和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图（a）～（c）所示．（其中d表示圆心到直线L的距离，r是⊙O的半径）ll(a) 相交⇔ d<r (b) 相切⇔ d=r (3) 相离⇔ d>r二、探索新知请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，•你又能得到什么结论？老师用两圆在黑板上运动并点评：可以发现，可以会出现以下五种情况：(a)(b)(d)(f)（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，•那么就说这两个圆相切．•为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切．（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，•为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含．图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（•两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，•填完下列空格：两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系外离外切相交内切内含老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，•因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．（1） (2) 分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？(1) (2)（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．分析：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO +rA；（•2）•作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA -rO．解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A•的半径为8cm（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm三、巩固练习教材P109 练习． 四、应用拓展例3．如图1所示，半径不等的⊙O 1、⊙O 2外离，线段O 1O 2分别交⊙O 1、⊙O 2于点A 、B ，MN 为两圆的内公切线，分别切⊙O 1、⊙O 2于点M 、N ，连结MA 、NB ． （1）试判断∠AMN 与∠BNM 的数量关系？并证明你的结论．（2）若将“MN ”为两圆的内公切线改为“MN 为两圆的外公切线”，•其余条件不变，∠AMN 与∠BNM 是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论．(1) (2)分析：（1）要说明∠AMN 与∠BNM 的数量关系，只要说明∠MAB 和∠NBA 的数量关系，只要说明∠O 2BN 和∠O 1AM 的数量关系，又因为∠O 2BN=∠O 1NB ，∠O 1MA=∠O 1AM ，因此，只要连结O 1M ，O 2N ，再说明∠MO 1A=∠NO 2B ，这两个角相等是显然的．（2）画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路，连结O 1M 、O 2N ，•则∠O 1MN+ ∠O 2NM=180°，∴∠MO 1A+∠NO 2B=180°，∴∠O 2NB+∠O 1MA=90°，∴∠AMN+∠BNM=90°． 解：（1）∠AMN=∠BNM证明：连结O 1M 、O 2N ，如图2所示 ∵MN 为两圆的内公切线， ∴O 1M⊥MN，O 2N⊥MN ∴O 1M∥O 2N ∴∠MO 1A=∠NO 2B ∵O 1M=O 1A ，O 2N=O 2B ∴∠O 1MA=∠O 2NB ∴∠AMN=∠BNM（2）∵∠AMN+∠BNM=90° 证明：连结O 1M 、O 2N ∵MN 为两圆的外公切线． ∴O 1M⊥MN，O 2N⊥MN ∴O 1M∥O 2N∴∠MO 1A+∠NO 2B =180° ∵O 1M=O 1A ，O 2N=O 2B ∴∠O 1MA+∠O 2NB=12×180°=90°∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90° 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离（外离、内含），相切（外切、•内切），相交． 2．设两圆的半径为r 1，r 2，圆心距为d （r 1<r 2） 则有：外离⇔d>r 1+r 2 外切⇔d=r 1+r 2 相交⇔r 2-r 1<d<r 1+r 2 内切⇔d=r 2-r 1内含⇔0≤d<r 2-r 1（当d=0时，两圆同心） 六、布置作业1．教材P110 复习巩固6、7 P111 综合运用11、13．2．选用课时作业设计．第四课时作业设计一、 选择题．1．已知两圆的半径分别为5cm 和7cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离2．半径为2cm 和1cm 的⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1A⊥O 2A ，则公共弦AB 的长为（• ）．A．5cm B．5．5cm3．如图所示，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，•设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）．A ．y=14x 2+x B ．y=-14x 2+x C ．y=-14x 2-x D ．y=14x 2-x二、填空题．1．如图1所示，两圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B两点，则O 1O2所在的直线是公共弦AB 的________．(1) (2) (3) 2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足______•时，•两圆相交；•当d•满足_______时，两圆不外离．3．•如图2•所示，•⊙O1•和⊙O2•内切于T，•则T•在直线________•上，•理由是_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．三、综合提高题．1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．2．如图所示，是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初六到十五的月全食过程．用数学眼光看图（a），可以认为是地球、•月球投影（两个圆）的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化；2时48•分月球投影开始进入进球投影的黑影（图（b）），接着月球投影沿直线OP匀速的平行移动进入地球投影的黑影（图24-87（c），3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的（图（d）），•设照片中地球投影如图（2）中半径为R的⊙O，月球投影如图24-87（b）中半径为r的小圆⊙P，这段时间的圆心距为OP=y，求y与时间t（分）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．垂直平分线2．2<d<8，0≤d≤8 3．O1O2，过直线上一点T•有且只有一条直线与已知直线垂直，1：3三、1．连结AB、CD，由AC为⊙O1直径，得∠ABC=90°，则AD为⊙O2直径，即O2为AD•中点，则CD=2O1O2=4．2．这段时间从2时48分到3时52分共64分钟，∴点P的速度为264r=32r，∴P 点t 分钟运动的路程为32r t ，∴OP=R+r-32r t （0≤t ≤64）．3．（1）AB=5>1+3，外离．（2）设B （x ，0）x ≠-2，则B 半径为│x+2│，①设⊙B 与⊙A │x+2│+1，当x>-2，平方化简得：x=0符题意，∴B （0，0），当x<-2，化简得x=4>-2（舍），②设⊙B 与⊙A │x+2│-1，当x>-2，得x=4>-2，∴B （4，0），当x<-2，得x=0， ∵0>-2，∴应舍去．综上所述：B （0，0）或B （4，0）．。
人教版数学九年级上册第二十四章《24.直线和圆的位置关系》课件
B
D
C
A
归纳新知
直线与圆的 位置关系
定义 性质
相离 相切 相交 公共点的个数
d与r的数量关系
相离：0个 相切：1个 相交：2个
相离：d>r 相切：d=r 相相切；2个：相交
d>r：相离 d=r：相切 d<r：相交
中考实题
1.如果直线上一点与一个圆的圆心的距离等于这个圆的半径，那么这条直 线与这个圆的位置关系是( C )
典型例题
已知圆的直径为13 cm，设直线和圆心的距离为d. (1) 若d =4.5 cm，则直线与圆 相交 ，直线与圆有 2 个公共点； (2) 若d =6.5 cm，则直线与圆 相切 ，直线与圆有 1 个公共点； (3) 若d = 8 cm，则直线与圆 相离 ，直线与圆有 0 个公共点.
课堂练习
如图(2)，直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条 直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
可以发现，直线和圆有三种位置关系，如图： 如图(3)，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
直线与圆的 位置关系
相离
图形
公共点个数
0
公共点名称
直线名称
位置关系
相切
相交
C
1 切点 切线
人教版数学九年级上册
第二十四章 圆的有关性质
24.2.2 直线和圆的位置关系
学习目标
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置 关系．
2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径 之间的关系．
3．能判定一条直线是否为圆的切线.
导入新知
视察太阳从海平面升 起的情景，把海平面看 作一条直线，太阳看作 一个圆，由此你能得出 直线与圆的位置关系吗？
人教版数学九年级上册：24.2.2 直线和圆的位置关系 教案(附答案)
24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系． 预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交． 【跟踪训练2】 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】 相交或相切．【跟踪训练2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】 分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】 如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图 第2题图 第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。
《直线和圆的位置关系(3)》教案
24.2.2 直线和圆的位置关系（第三课时）切线长定理和三角形内切圆一、教学目标（一）学习目标1.了解切线长定义，切线长定理，并进行有关计算。
2.会作三角形内切圆并理解作图原理。
3.掌握三角形内切圆、内心的概念及性质，利用性质进行推理论证、计算。
（二）学习重点1.切线长定理及其应用。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.三角形内心性质。
（三）学习难点1.运用切线长定理进行有关计算。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.运用三角形内心性质进行有关计算、证明。
二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点间的线段叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：过圆外一点有两条圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
（3）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
2.预习自测（1）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）A.4B.8C.【知识点】圆的切线长定理；等边三角形判定与性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA，PB是圆O的两条切线∴PA=PB∵∠APB=60°∴△PAB是等边三角形∵PA=8∴AB=PA=8故选B【思路点拨】由圆的切线长定理得PA=PB，又∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形。
【答案】B2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP= 度．【知识点】切线长定理、直角三角形两锐角互余【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°∴∠APO=12∠APB=25°，∠OAP=90°∴∠AOP=90°﹣25°=65°【思路点拨】根据切线长定理、切线的性质定理得到∠OAP=900，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解。
24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
3
知识点
三角形的内心的性质
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解决问题：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆.已知△ABC，请按步骤作出它的内切圆. （1）分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，BM与CN交 于I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以点I为圆心，ID为半径作圆.⊙I就是所要 求作的图.
【针对训练】
【答案】
探究点三 切线长定理的应用
例2△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求AF，BD，CE的长．
【针对训练】
【答案】
●总结梳理 整合提高
●当堂检测 反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第101页习题24.2第 11，12题 ． • 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
第4课时 直线和圆的位置关 系（三）
●激情导入
这节课我们就来学习切线长定理.
ห้องสมุดไป่ตู้ ●理清学习目标
• 1．了解切线长的概念． • 2．熟练掌握切线长定理，理解三角形 的内切圆和三角形的内心的概念．
●聚焦主题 合作探究
探究点一 切线长定理的推导
1.经过圆外一点作圆的切线，这点和切 点之间的线段长叫做切线长.如图，线段PA 的长就是切线长.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两 条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的 连线平分两条切线的夹角.如图，P为⊙O外一点 ，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定 理可得两个结论：PA =PB，∠APO=∠BPO.
【针对训练】
【答案】
探究点二 三角形的内切圆
例1如图是一张三角形的铁皮，如何在它 上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽 可能大呢？