导数和微分的应用举例5.4ppt

第四节 相关变化率、曲率
一. 相关变化率 二.曲率
一. 相关变化率
在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某 一个变量的函数(例如,都是时间 t 的函数.)从
它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，
由已知的一个或几个变量的变化率求出另一个 未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.
( x R ) .
解
y k 0 3 (1 y2 ) 2
直线上任意一点处的曲率均为零 .
例4
求抛物线 y 2 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率 .
解
如果用 y 2 x , 会出现导数的分母
y2 的图形 为零的情形 , 但 y 2 4 x 与 x 4
y2 x2 相同 , 而 x 与 y 的图形关于 y x 4 4 x2 对称 , 故原问题可以转为求曲线 y 在 4
曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
单位弧长上的转角
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
M2

例2
向一个上顶的直径为8米, 深为8米的圆锥形容器内匀速
注水.若注水的速度为 4m3/分,求当水深5米时水表面 上
升的速度? 水深为h米. 此时,水面的直径也是h米, 解 设注水t分钟后, 2 1 h 3 容器内水的体积为 V h h .
3 对此式两边关于t求导, 得 2 12
2
现在问你一下 : (假设单位是统一的)
1 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 , 5 你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？ 由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？
1 k , R 5. 5
O

M
O

M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 1 曲率半径 曲率
( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) , (0, f (0)) .
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
f (x)
x1 o x2 x

O
y d dx 2 1 y
y d 1 d y 2 2 d x 1 y d x 1 y
x
又 从而
ds
1 y 2 d x
d y k 2 3 ds (1 y ) 2
例2
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
点 (0, 0) 处的曲率 .
y x 0
1 2 ( x ) 0, 4 x 0
y x 0
1 1 ( x ) , 2 2 x 0
x2 y 在 点 (0, 0) 处的曲率为 4 y 1 k1 3 2 (1 y2 ) 2
1 故 y 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k . 2
曲率的计算公式
设曲线方程为 y f (x) , f ( x) 二阶可导 ,
则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为
k y (1 y )
3 2 2
证
y
y f (x)
如图所示 , 线在
点 M 处切线的斜率为
M

M

y tan
故
arctan y
M1


M2
M2 M1



M2


M1

M1

例1
求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 . 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R
解
M

O R
M

1 故 lim lim s 0 R s 0 s R 即圆上点的曲率处处相同： 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
M0
M
x
O
x0
x+x
)
则
s MM x x
2

2
|| || MM || 2 || MM 2 || MM || (x) x0时有M' M, 可得
2
|| MM || lim 1 M M || MM ||
而
2 || 2 (x) 2 (y ) 2 || MM y 1 2 2 (x) (x) x
)
)
故 或
由单调性,
ds dy dx 1 dx
ds 0, dx
2
2
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2
曲率圆的性质 曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处
两者曲率相同 . 曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二 阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶 导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 .
例5
求抛物线 y x 2 在点 (1, 1) 处的
曲率半径.
问何时梯子上下两端滑动的
y
dy dt
5m
y
dx dt
x
速度大小相同？
O
x
解
引入坐标系如图所示 .
设在时刻 t 时,梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) .
显然, x, y 均为 t 的函数, 且有 dx 3 (m/ 秒) , x 2 y 2 52 . (1) dt
在点 M 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率圆、曲率中心
过光滑曲线 y f ( x) 上一点 M ( x, y) 作其
法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q , 使 2 3 1 (1 y ) 2 | MQ | R k y
M ( x, y )
以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为 曲率半径 . ( k 为曲线在点 M 处的曲率 )
由此可知, s为x的单调增加函数.
)
)
)
)
我们要求s(x)的微分 ,设
有连续导数.
如图,设M, M'的坐标为 M(x, y) , M'(x +x, y +y ) 则 s = ||M M' ||, s 的符号与x的符号相同.
记MM 的弦长为|| MM || .
C
)
y
s
M' y P dy x
注意到速度的方向性, 我们的问题是 求 x, y 的值, 使
y
dy dt
5m
对 x2 y 2 52 两边关于 t 求导,得
dy 3 (m/ 秒) . (2) dt
y
dx dt
x
O
x
dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/ 秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y 5 2 2 2 而 x y 5 , 故 x y . 2 5 即当 x y 时,梯子上下端滑动速度大小相同. 2
例1 解
加热一金属圆板, 其半径以 0.01 cm/ 秒的速度均匀增加.
问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
y x2.
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt dy dx 2 x , 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
y
f (x)
x1 o x2 x
x1 , x2
; .
x0
f (x)
的连续性及导函数
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o x2
x
(2) 设函数
的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图
y
f (x)
x1 o x2 x
形在区间 ( x1 , 0), ( x2 , ) 上是下凸弧;
在区间 (, x1 ), (0 , x2 ) 上是上凸弧 ; 拐点为
二、曲率
弧微分
设 f (x)C[a, b], C为y = f (x)所表示的曲线. 规定x增大时,点(x, f (x))沿曲线方向为C的正方 向.
在C上取点M0, 弧 M0M 的长度为||M0M ||,
规定弧长s的值为
)
||M0M ||, M0M 的方向与C正向相同.
s=
)
– ||M0M ||, M0M 的方向与C正向相反.
从而
d s 1 y 2 d x,
或
d s (d x) 2 (d y ) 2
这就是弧微分计算公式.
x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
则弧长微分公式为
几何意义:
ds x 2 y 2 d t
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
M
T dy
我们已经讨论过曲线的凸性 , 知道如
何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和
判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中