变量间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系
两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。
它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。
在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。
一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。
相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。
计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。
斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。
在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。
二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。
numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。
下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。
```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。
2.3.1变量间的相关关系
3、回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分 布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的 关系，这条直线叫做回归直线。 （2）最小二乘法
ˆ y bx a
n n (x i -x)(yi -y) x i yi -nxy b= i=1 = i=1 , n n 2 2 (x i -x) x i 2 -nx i=1 i=1 a=y-bx. 1 n 1 n 其中x= x i ,y= yi . n i=1 n i=1
（2）解：
X Y 66.5 X
i 1 i i
4
4
i 1
2 i
3 4 5 6 86
2 2 2 2
Y 3.5 ˆ 66.5 4 4.5 3.5 66.5 63 0.7 b 2 86 4 4.5 86 81
X 4.5
ˆ ˆ a Y bX 3.5 0.7 4.5 0.35
在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律， 对它们的关系作出判断。
2、两个变量的线性相关
（1）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫 回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确 定关系的某种确定性。 （2）散点图
A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程 注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.
思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
y 0.577 x 0.448
由此我们可以根据一个人的年龄预测其体 内脂肪含量的百分比的回归值.若某人65岁， 则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
第三节 变量间的相关关系-高考状元之路
第三节 变量间的相关关系预习设计 基础备考知识梳理1．两个变量的线性相关(1)正相关：在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关：在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线： 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法： 求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程：方程a x by ˆˆ+=是两个具有线性相关关系的变量的一组数据),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的回归方程，其中:ˆ,ˆb a是待定参数． ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅-====-∑∑-∑--∑==x b y a i y x n y x i n i i i n i b x n x x x y y x x n i i i n i n ˆˆ22211ˆ111)())((典题热身1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是 ( )A ．参加60年国庆阅兵的人数与观看第十一届全运会开幕布式的人数B ．正方体的体积与棱长C ．人体内的脂肪含量与年龄D ．汶川大地震的经济损失与全球性金融危机的经济损失答案：C2．（2011．陕西高考）设),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ⋅⋅⋅是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是 ( )A ．直线l 过点),(y xB ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C ．x 和y 的相关系数在O 到1之间D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同答案：A3．设有一个回归直线方程为,5.12ˆx y-=则变量x 增加一个单位 ( ) A ．y 平均增加1.5个单位B ．y 平均增加两个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少两个单位答案：C4．在一次实验中，测得(x ，y)的四组值为(1，2)，(2，3)，<蝴_(4，5)，则y 与x 之间的回归直线方程为 ( )1ˆ.+=x yA 2ˆ.+=x yB 12ˆ.+=x yC 1ˆ.-=x yD 答案：A5．(2011．辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x （单位；万元）和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：,321.0254.0ˆ+=x y 由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l 万元，年饮食支出平均增加 万元.答案：0,254课堂设计 方法备考题型一 利用散点图判断两个变量的相关关系画出散点图，判断它们是否有相关关系．题型二 求回归直线方程【例2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据；(1)请画出表中数据的散点图；(2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程.ˆˆˆa x b y+= 题型三 利用回归直线方程对总体进行估计【例3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：(1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？(3)假定产量为6000件时，单位成本为多少元？技法巧点(1)线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同，函数关系中的两个变量间是一种确定性关系，例如正方形面积S 与边长x 之间的关系2x s =就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，例如商品的销售额与广告费是相关关系，两个变量具有相关关系是回归分析的前提． (2)求回归方程，关键在于正确求出系数b a b aˆ,ˆ,ˆ,ˆ由于的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生错误．（注意回归直线方程中一次项系数为,ˆb 常数项为,ˆa 这与一次函数的习惯表示不同．）(3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法，主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；②根据一组观察值，预测变量的取值及削断变量取值的变化趋势；③求出回归直线方程．失误防范1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．随堂反馈 1．（20】】．江西高考）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 ( )1-=⋅x y A 1+=⋅x y B x y c 2188+=⋅ 176=⋅y D 答案：C2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元）与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x 具有真相关关系，回归方程为.562.166.0ˆ+=x y若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 （ ）%83.A 0072.B 0076. c %66.D 答案：A3．（2011．广东高考）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系；小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性 回归分析的方程，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为答案：53.0;5.0高效作业 技能备考一、选择题1．（201-1．福州模拟）已知变量x ，y 呈线性相关关系，回归方程为,25.0ˆx y+=则变量x ，y 是( ) A ．线性正相关关系B ．由回归方程无法判断其正负相关C ．线性负相关关系D ．不存在线性相关关系答案；A2．(2011．绍兴月考)对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程x b a yˆˆˆ+=中，回归系数b ˆ( ) A ．可以小于0 B ．大于O C ．能等于O D ．只能小于0答案：A3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=必过 ( ) A ．点(2，2) B ．点(1.5，O) C ．点(1，2) D ．点(1.5，4)答案：D4．（2011．泰安模拟）下表是某厂l ～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是,ˆ7.0ˆa x y+-=则 aˆ等于( ) 5.10.A 15.5.B 2.5.c 25.5.D答案：D5.对变量x ，y 有观测数据),10,,2,1)(,( =i y x i i 得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据),10,,2,1)(,( =i v u i i 得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量_x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关答案：C6．（2011．青岛模拟）为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为⋅21l l 、已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s 、t ，那么下列说法正确的是 ( )A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s ，t)B ．直线1l 和2l 相交，但交点不一定是(s ，t)C ．必有21//l l 21.l lD 与必定重合答案：A二、填空题7．(2011．舟山适应性考试)人的身高与手的扎长存在相关关系，且满足264.31303.0ˆ-=x y(x 为身高，y 为扎长，单位：cm)，则当扎长为24.8 cm 时，身高为 cm.答案：03.1858．(2011．芜湖模拟)已知三点(3，10)，(7，20)，(11，24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是 答案：42347+=x y9．（2011．丽水调研）某单位为了了解用电量y 度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程,2ˆˆˆˆ-=+=b a x b y中预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为 答案：68三、解答题10．(2011.台州模拟)在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：由资料看y 与x 呈线性相关，试求回归方程．11.（2011．枣 庄模拟）在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如下表：根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系．12.（2011．北京高考）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；(2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为19的概率． （注：方差],)()()[(1222212x x x x x x n s n -++-+-=其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）。
两个变量间的相关关系
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放 在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”
这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样 本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有 一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴， 脂肪含量为纵轴建立直 40 角坐标系，作出各个点，35 称该图为散点图。
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
我们还可以找到
更多的方法，但 40 这些方法都可行 35
吗?科学吗？
30
25
准确吗？怎样的 20
方法是最好的？ 15 10
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n (xi x)2
i1 n
xi2
n
2
x
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
求线性回归方程
例1：观察两相关变量得如下表：
x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
的距离，再移动直线，到达一个使距离的
和最小时，测出它的斜率和截距，得回归
方程。
脂肪含量
40
如图 ：
35
30
25
20
15
10
5
年龄
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
变量间的相关关系与统计案例
变量间的相关关系与统计案例一、基础知识1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．体现的不一定是因果关系.(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中(3)通过求Q ＝∑i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．3．独立性检验 (1)2×2列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：(2)独立性检验利用随机变量K 2(也可表示为χ2)的观测值k＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．二、常用结论(1)求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本中心点 (x ，y )．(2)根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大．(3)根据回归方程计算的y ^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．考点一 回归分析考法(一) 求线性回归方程[典例] (2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时y 的值．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .[解] (1)散点图如图所示：(2)依题意，x ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220，∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5 x y∑i ＝15x 2i －5 x2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1， ∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ＝23.考法(二) 相关系数及应用[典例] 如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明． 参考数据：∑i =17y i ＝9.32，∑i =17t i y i ＝40.17,∑i =17(y i －y )2＝0.55, 7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i =1n(t i －t )(y i －y )∑i =1n(t i －t )2∑i =1n (y i －y )2.[解] 由折线图中数据和参考数据及公式得t ＝4，∑i=17(t i －t )2＝28,∑i =17(y i －y )2＝0.55，∑i =17(t i －t )(y i －y )＝∑i =17t i y i －t ∑i =17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．[解题技法]1．线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程：①利用公式，求出回归系数b ^，a ^.②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． (2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b ^. 2．模型拟合效果的判断(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好． (2)相关指数R 2越大，模型的拟合效果越好．(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．[题组训练]1．(2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )A ．46件B ．40件C ．38件D ．58件解析：选A 由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x ，y )，且b ^＝－2，代入得a ^＝58，则回归方程y ^＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，y ＝46，故选A.2．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表：根据以上数据，绘制了散点图．参考数据：其中v i ＝lg y i ，v ＝17∑i =17v i .(1)根据散点图判断，在推广期内，y ＝a ＋bx 与y ＝c ·d x (c ，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．参考公式：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^μ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝∑i =1nu i v i －n u v ∑i =1nu 2i －n u2，α^＝v －β^U .解：(1)根据散点图可以判断，y ＝c ·d x 适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型．(2)y ＝c ·d x 两边同时取常用对数，得lg y ＝lg(c ·d x )＝lg c ＋x lg d ， 设lg y ＝v ，则v ＝lg c ＋x lg d . ∵x ＝4，v ＝2.54，∑i =17x 2i ＝140，∴lg d ＝∑i =17x i v i －7 x v ∑i =17x 2i －7 x2≈78.12－7×4×2.54140－7×42＝0.25，把(4,2.54)代入v ＝lg c ＋x lg d ，得lg c ＝1.54， ∴v ^＝1.54＋0.25x ，∴y ^＝101.54＋0.25x ＝101.54·(100.25)x .把x ＝8代入上式，得y ^＝101.54＋0.25×8＝103.54＝103×100.54＝3 470，∴y 关于x 的回归方程为y ^＝101.54·(100.25)x ，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.考点二 独立性检验[典例] (2018·全国卷Ⅲ节选)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，[解] (1)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(2)因为K 2＝40(15×15－5×5)220×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．[解题技法][题组训练]1．(2019·沧州模拟)某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025，P (K 2≥6.635)≈0.010.则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大 有关”．解析：因为K 2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059＞5.024，所以有97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”． 答案：有2．为考察某种疫苗预防疾病的效果，进行动物试验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值．(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？(3)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件M ， 由已知得P (M )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，则B ＝40，x ＝40，A ＝60. (2)未注射疫苗发病率为4060＝23≈0.67，注射疫苗发病率为1040＝14＝0.25.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．(3)因为K 2＝100×(20×10－40×30)260×40×50×50≈16.67＞10.828.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．[课时跟踪检测]A 级1．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．2．(2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.59，a ＝y －b x ，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为( )A ．1.795万元B ．2.555万元C ．1.915万元D ．1.945万元解析：选A x ＝15×(2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92)＝2.50(万元)，y ＝15×(1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.75)＝1.50(万元)，其中b ^＝0.59，则a ^＝y －b ^ x ＝0.025，y ^＝0.59x ＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为y ^＝0.59×3.00＋0.025＝1.795(万元)．3．下面四个命题中，错误的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样B ．对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大C ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0D ．在回归直线方程y ^＝0.4x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位解析：选C 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C 错误．4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .A ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：选A 由列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，计算得K 2的观测值k ＝ n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(675－300)255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．5．为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：有________以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”． 解析：由2×2列联表可知，K 2＝100×(25×30－10×35)240×60×35×65≈2.93，因为2.93>2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”．答案：90%6．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：则y 关于t 的回归方程是________________．解析：由表中数据得n ＝5，t ＝1n ∑i =1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i =1n y i ＝365＝7.2.又∑i =1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10， ∑i =1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12.从而b ^＝∑i =1nt i y i －n t y ∑i =1nt 2i －n t2＝1210＝1.2， a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6， 故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6. 答案：y ^＝1.2t ＋3.67．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x (万元)和销售量y (万台)的数据如下：(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果，求当广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值．参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i =1nx i y i －n x y ∑i =1nx 2i －n x2＝∑i =1n(x i －x )(y i －y )∑i =1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .参考数据：5≈2.24.解：(1)∵x ＝8，y ＝4.2，∑i =17x i y i ＝279.4，∑i =17x 2i ＝708，∴b ^＝∑i =17x i y i －7x y∑i =17x 2i －7x2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17，a ^＝y －b ^x ＝4.2－0.17×8＝2.84， ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75＜0.88且R 2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好．(3)由(2)知，当x ＝20时，销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)，利润的预报值z ＝200×(1.63＋0.9920)－20≈1 193.04(万元)．B 级1．(2018·江门一模)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；(2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：解：(1)“理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多． 理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05. 理由3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋722＝70，乙班样本数学成绩的中位数为77＋782＝77.5. (2)2×2列联表如下：由上表数据可得K 2＝40×(10×4－10×16)20×20×26×14≈3.956＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．2.(2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X (单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y (千克)与使用某种液体肥料的质量x (千克)之间的对应数据为如图所示的折线图．(1)依据折线图计算相关系数r (精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．相关系数公式：r ＝∑i =1n(x i －x )(y i －y )∑i =1n(x i －x )2∑i =1n(y i －y )2，参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95.解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i =15(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i =15(x i －x )2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i =15(y i －y )2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r ＝∑i =15(x i －x )(y i －y )∑i =15(x i －x )2∑i =15(y i －y )2＝625×2＝0.9≈0.95. 因为|r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． (2)由条件可得在过去50周里，当X ＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)． 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)． 当30＜X ＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)． 所以过去50周的周总利润的平均值为 1 000×10＋5 000×35＋9 000×550＝4 600(元)，所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元．。
变量间的相关关系及独立性检验
判断两个变量之间是否存在非线性相关关系可以通过绘制散点图或计算非 线性相关系数等方法来进行。
相关系数及其计算
相关系数是衡量两个变量之间相关关系的统计量，其计算方法有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系 数和斯皮尔曼秩相关系数。
皮尔逊相关系数使用积差法计算，其值介于-1和1之间，用于衡量线性相关关系的强度和方向。斯皮尔 曼秩相关系数则用于衡量等级数据之间的相关性。
变量间的相关关系及独立性检验
目录
• 变量间的相关关系 • 变量间的独立性检验 • 变量间的因果关系推断 • 相关性与独立性的区别与联系
01
变量间的相关关系
线性相关关系
线性相关关系是指两个或多个变量之间存在一种可以用直 线表示的依赖关系。当一个变量发生变化时，另一个变量 也会随之发生相应的变化。
独立性检验
常用于验证两个变量之间是否存在直 接的因果关系，例如在经济学中检验 货币政策是否对经济增长有影响，或 者在心理学中检验某种疗法是否对心 理健康有影响。
THANKS。
因果关系推断的方法
基于理论的推断
01
根据相关学科的理论和知识，推断变量之间的因果关
系。
基于相关关系的推断
02 通过分析变量之间的相关系数、相关图等，推断变量之间的因果关系。基于实验的推断03
通过实验的方式，控制其他变量的影响，观察单一变
量的变化对结果变量的影响，从而推断因果关系。
因果关系推断的局限性
相关性与独立性的联系
相关性和独立性是描述变量间关系的 两种不同角度，有时一个变量可能既 与另一个变量相关，又与第三个变量 独立。
在某些情况下，相关性和独立性可能 相互转化，例如当引入第三个变量时 ，两个原本独立的变量可能变得相关 。
23变量间的相关关系
研究
利用统计
相关关系
二、两个变量的线性相关 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中， 研究人员获得了一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
3、求回归方程；
4、如果某天的气温是2摄氏度，预 测这天卖出的热饮杯数。
1.散点图
200
150
100
50
0
-20
0
图3-1
热饮杯数
20
40
2.从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区 域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关， 即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.
3.从散点图可以看出，这些点大致分布在一 条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程 的系数. Y= -2.352x+147.767
2、你能举出一些生活中的变量成正相关或者 负相关的例子吗？
3、若两个变量散点图呈下图，它们之间是否 具有相关关系？
120 100 80 60 40 20
0 0 20 40 60 80 100
人体脂肪含量百分比与年龄散点图
散
40
脂肪含量
点
20
图
0
0
20
40
60
80
年龄
回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 通过散点图中心的一条直线附近，我们就称这两个变 量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。
脂肪含量
40 30 20 10 0
0 10 20 30 40 50 60 70
两个变量之间的相关关系
i
12 3
4
5
xi
24 6
8
10
yi
64 134 205 285 360
xiyi
128 536 1 230 2 280 3 600
x ＝6， y ＝209.6，
5
5
x2i ＝220，xiyi＝7 774
i＝1
i＝1
∴b^ ＝7 7742－205－×56××62209.6＝1 44086＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. 于是所求的回归直线的方程为y^ ＝37.15x－13.3.
3．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万 元)有如下的统计资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y^ ＝bx＋a 的回归系数 a，b； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
≈1.27，
10
xi2－10 x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈－30.95， 即所求的回归直线方程为y^ ＝1.27x－30.95. (3)当 x＝160 时，y^ ＝1.27×160－30.95≈172，即大约冶炼
172 min.
方法点评：回归直线可以模拟两个变量之间的相关关系．我 们可以利用回归直线方程进行运算，如求函数值、研究增减性 等，通过这些运算结果进行合理的预测．这也正是回归分析的 意义所在．
典例剖析 题型一 相关关系 【例 1】 下列关系中，带有随机性相关关系的是_②__④_____． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 思路点拨：根据线性相关的概念逐个判断．
11.3变量间的相关关系
4
题型三
利用回归直线方程对总体进行估计
【例3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： 月份 1 2 产量(千件) 2 3 单位成本（元） 73 72
3
4 5 6
4
3 4 5
71
73 69 68
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变 动多少？ （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？ 解
ˆ =1.23x+5 B. y
D. y ˆ =0.08x+1.23
当x=4时，y=1.23×4+0.08=5.
题型分类 深度剖析
题型一 利用散点图判断两个变量的相关性
【例 1】山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、 形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施 化肥量 x 对产量 y 影响的试验，得到如下表所示的 一组数据（单位：kg).
归分析的前提.
2.求回归方程，关键在于正确求出系数 a ˆ ，由于 ˆ, b ˆ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进 a ˆ ,b
行，避免因计算而产生错误.（注意回归直线方程 中一次项系数为 b ˆ ,常数项为 a ˆ ,这与一次函数的 习惯表示不同.）
3.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主
4
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同.
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.例如 正方形面积S与边长x之间的关系S=x2就是函数关系. 相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随 机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额
与广告费是相关关系.两个变量具有相关关系是回
i 1 i 1
3 变量间的相关关系
第二章 统 计
对预处理后的数据, 容易算得 x ＝0, y ＝3.2. ^b＝－4×－21＋42－＋242×＋4－2＋114＋ 2 2×19＋4×29 ＝24600＝6.5,
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第二章 统 计
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第二章 统 计
②函数关系与相关关系的区别与联系 确定性关系
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第二章 统 计
非确定性
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第二章 统 计
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第二章 统 计
(2)两个变量相关关系的判断 ①散点图的概念 将样本中n个数据点(xi, yi)(i＝1,2, …, n)描 在平直角坐标系中得到的图形. ②正相关与负相关 a. 正相关: 散点图中的点散布在从左下角 到右上角的区域. b. 负相关: 散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域.
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第二章 统 计
【名师点评】 求线性回归直线方程的步骤如下: (1)列表表示 xi, yi, xiyi;
, xiyi;
i＝1 i＝1
(3)代入公式计算 b, a 的值; (4)写出线性回归直线方程.
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第二章 统 计
互动探究 2. 如果把本题中的y的值: 2.5及4.5分别改 为2和5, 如何求回归直线方程.
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第二章 统 计
做一做 1.下列变量之间的关系不是相关关系的是 () A. 二次函数y＝ax2＋bx＋c中, a, c是已知 常数, 取b为自变量, 因变量是判别式 Δ＝b2－4ac B. 光照时间和果树亩产量 C. 降雪量和交通事故发生率
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第二章 统 计
D. 每亩田施肥量和粮食亩产量 解析: 选A.在A中, 若b确定, 则a, b, c都是常 数, Δ＝b2－4ac也就唯一确定了, 因此, 这两 者之间是确定性的函数关系; 一般来说, 光 照时间越长, 果树亩产量越高; 降雪量越大, 交通事故发生率越高; 施肥量越多, 粮食亩 产量越高. 所以B, C, D是相关关系. 故选A.
2.3 变量间的相关关系
配人教版 数学 必修3
【示例】PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否 相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5 的数据如表：
时间
周一 周二 周三 周四 周五
车流量x/万辆
50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y/ (微克·立方米－1) 69 70 74 78 79
配人教版 数学 必修3
2.3 变量间的相关关系
配人教版 数学 必修3
目标定位
重点难点
1.理解两个变量的相 重点：通过收集现实问题中两个有关联 关关系的概念． 变 量 的 数 据 直 观 认 识 变 量 间 的 相 关 关
2．会作散点图，并 系；利用散点图直观认识两个变量之间 利用散点图判断两 的线性关系；根据给出的线性回归方程
配人教版 数学 必修3
【分析】(1)利用描点法可得数据的散点图； (2)根据公式求出b^，a^，可写出线性回归方程； (3)根据(2)的线性回归方程，将 x＝25 代入，求出 PM2.5 的浓度．
配人教版 数学 必修3 【解析】(1)散点图如图所示．
配人教版 数学 必修3
(2) x ＝50＋51＋554＋57＋58＝54， －y ＝69＋70＋754＋78＋79＝74，
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
配人教版 数学 必修3
【答案】D 【解析】y^＝b^x＋a^表示y^与 x 之间的函数关系，而不是 y 与 x 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近 y 与 x 之间的真 实关系．故选 D．
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4．如果在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是 x 16 17 18 19 y 50 34 41 31
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
2．3 变量间的相关关系 2．3.1 变量之间的相关关系 2．3.2 两个变量的线性相关考点 学习目标核心素养 相关关系的概念理解两个变量的相关关系的概念 数学抽象 散点图 会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系逻辑推理、数学建模回归直线方程会求回归直线方程数学运算问题导学(1)相关关系分为哪两种？ (2)什么叫散点图？(3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域； ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．其中b ^是回归方程的斜率，a ^是回归方程在y 轴上的截距． ■名师点拨 (1)散点图的作用散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．(2)回归直线的性质由a ^＝y －－b ^x －可知回归直线一定经过点(x －，y －)，因此点(x －，y －)通常称为样本点的中心，其中，x －，y －分别是变量x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数．(3)线性相关关系强弱的定性分析线性相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)线性回归方程必经过点(x －，y －)．( )(2)对于方程y ^＝b ^x ＋a ^，x 增加一个单位时，y 平均增加b ^个单位．( ) (3)样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^.( ) (4)样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^.( )解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x ＝0时，y 的值可能为a ^，也可能不是a ^，故(3)正确．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×下列各图中所示的两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：选D.(1)为函数关系；(2)(3)为相关关系；(4)中，因为点分布得比较分散，两者之间无相关关系．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表： 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理7066686462A ．是函数关系B ．是相关关系，但相关性很弱C ．具有较好的相关关系，且是正相关D ．具有较好的相关关系，且是负相关解析：选C.数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如图所示．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关． 设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 每增加1个单位时，y 平均减少____________个单位．,解析：因为y ^＝2－1.5x ，所以变量x 每增加1个单位时，y 1－y 2＝[2－1.5(x ＋1)]－(2－1.5x )＝－1.5，所以y 平均减少1.5个单位．答案：1.5相关关系的判断以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x(m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.619.429.222(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【解】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．相关关系的判断方法(1)两个变量x和y具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断．(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．[易错警示]在解答本题过程中，易出现如下错误：虽然五点中有四点大致分布在一条直线附近，但第二个点离这条直线太远，所以两个变量不相关，导致错误的原因是没有看主流点，而过分关注了不影响大局的个别点．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图所示．由这个散点图可以判断()A．变量x与y正相关B．变量x与y不相关C．变量x与y负相关D．变量x与y是函数关系解析：选C.由这个散点图可以判断，变量x与y负相关，故选C.线性回归方程的求法下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 345 6y 2.534 4.5 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^. 【解】(1)散点图如图．(2)x－＝3＋4＋5＋64＝4.5，y－＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i＝14x i y i＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i＝14x2i＝32＋42＋52＋62＝86，所以b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y－∑4i ＝1x 2i －4x－2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.如果把例题中的y 的值2.5及4.5分别改为2和5，如何求回归直线方程？ 解：散点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)． 可验证这四点共线， 斜率k ＝3－24－3＝1，所以直线方程为y －2＝x －3， 即回归直线方程为y ^＝x －1.求线性回归方程的步骤(1)计算平均数x －，y －.（5）用a ^＝y －－b ^x －，求a ^. （6）写出回归方程.某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：则y 关于x 的回归直线方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x解析：选A.利用题目中的已知条件可以求出x －＝6.5，y －＝28.5，然后利用回归直线方程的计算公式得b ^＝∑8i ＝1x i y i －8x －y－∑8i ＝1x 2i －8x－2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62， a ^＝y －－b ^x －＝11.47，因此回归直线方程为y ^＝11.47＋2.62x .线性回归方程的应用(2020·黑龙江省大庆铁人中学期末考试)某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，从全班40名同学中随机抽取一个容量为6的样本进行分析．随机抽取6位同学的数学、物理分数对应如表：学生编号 1 2 3 4 5 6 数学分数x 60 70 80 85 90 95 物理分数y728088908595(1) (2)如果具有线性相关性，求出线性回归方程(系数精确到0.1)；如果不具有线性相关性，请说明理由；(3)如果班里的某位同学数学成绩为50，请预测这位同学的物理成绩．【解】 (1)画出散点图：通过图象可以看出物理成绩y 与数学成绩x 之间具有线性相关性． (2)x －＝16×(60＋70＋80＋85＋90＋95)＝80，y －＝16×(72＋80＋88＋90＋85＋95)＝85，故b ^＝0.6，a ^＝37.故回归方程是y ＝0.6x ＋37. (3)当x ＝50时，解得y ＝67.故数学成绩为50，预测这位同学的物理成绩是67.利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据．(2)利用回归方程中系数b ^的意义，分析实际问题．(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点：①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x 与y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的．(2020·江西省临川第一中学期末考试)我国西部某贫困地区2011年至2017年农村居民家庭人均年收入y (千元)的数据如下表：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 人均年收入y2.93.33.64.44.85.25.9(2)利用(1)中的回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均年收入将达到多少千元．解：(1)依题意x －＝4，y －＝4.3，从而b ^＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝4.3－0.5×4＝2.3， 故所求线性回归方程为y ^＝0.5x ＋2.3. (2)令x ＝9，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8.预测该地区在2019年农村居民家庭人均年收入为6.8千元．1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是( ) A ．正相关 B ．负相关 C ．无相关D ．不确定解析：选B.烟吸得越多，则健康程度越差．2．关于回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的叙述正确的是( ) ①反映y ^与x 之间的函数关系； ②反映y 与x 之间的函数关系； ③表示y ^与x 之间的不确定关系；④表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：选D.y ^＝a ^＋b ^x 表示y ^与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系，它反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系．故①④正确．3．在最小二乘法中，用来刻画各个样本点到直线y ＝a ^＋b ^x 的“距离”的量是( ) A ．|y i －y －| B ．(y i －y －)2 C ．|y i －(a ^＋b ^x i )|D ．[y i －(a ^＋b ^x i )]2解析：选D.最小二乘法的定义明确给出，用[y i －(a ^＋b ^x i )]2来刻画各个样本点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度)，用它们的和表示所有样本点与这条直线的接近程度．4．已知工厂加工零件的个数x 与花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时．解析：将200代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5， 得y ^＝2.5. 答案：2.5[A 基础达标]1．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后，两个变量的相关关系更明显( )A ．DB ．EC ．FD ．A解析：选C.A 、B 、C 、D 、E 五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F 点离得远，故去掉点F .2．(2020·江西省上饶市期末统考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝7.8x ＋40.2.零件数x (个) 1 23 4 5 加工时间y (min)50677179A ．55B ．55.8C ．59D ．51解析：选 D.设表中模糊的数据为m .由表中的数据可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝50＋m ＋67＋71＋795＝267＋m5，又由回归直线的方程为y ^＝7.8x ＋40.2，所以267＋m 5＝7.8×3＋40.2，解得m ＝51.即表中模糊的数据为51.故选D.3．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：选C.因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′D.b ^＜b ′，a ^＜a ′解析：选C.由两组数据(1，0)和(2，2)可求得直线方程为y ＝2x －2，从而b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x －·y－∑6i ＝1x 2i －6x－2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^＜b ′，a ^＞a ′. 5．(2020·广西钦州市期末考试)若回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，样本中心点为(4，5)，当x ＝2时，估计y 的值为____________．解析：因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，所以b ^＝1.23，y ^＝1.23x ＋a ^. 因为样本中心点为(4，5)，所以5＝1.23×4＋a ^，a ^＝0.08，y ^＝1.23x ＋0.08， 代入x ＝2，y ＝1.23×2＋0.08＝2.54. 答案：2.546．(2020·湖北省宜昌市葛洲坝中学期末考试)某公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与利润额y (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：x 2 4 5 6 8 y304060p70经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程y ^＝6.5x ＋17.5，则p 的值为____________．解析：由题中数据可得x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋p ＋705＝200＋p5.由线性回归方程y ^＝6.5x ＋17.5经过样本中心(x －，y －)， 有200＋p 5＝6.5×5＋17.5，解得p ＝50.答案：507．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1，2，3，…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ^≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：88．(2020·湖南省张家界市期末联考)为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y86542(1)求x －，y －；(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．解：(1)计算可得x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝8＋6＋5＋4＋25＝5.(2)b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5x－2＝61－5×3×555－5×32＝－1.4， 因为线性回归直线过(x －，y －)，则a ^＝y －－b ^x －＝5－(－1.4×3)＝9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是y ^＝－1.4x ＋9.2. (3)当x ＝4.5时，y ^＝－1.4×4.5＋9.2＝2.9(千元/吨)．9．(2020·河北省石家庄市期末考试)在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为(1)根据上表数据，求出回归直线方程y ＝b x ＋a ；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？(参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n (x )－2，a ^＝y －－b ^x －)解：(1)因为x －＝15×9＝1.8，y －＝15×37＝7.4，∑i ＝15 x i y i ＝62，∑i ＝15x 2i ＝16.6，所以 b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y－∑5i ＝1x 2i －5(x )－2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－11.5， a ^＝y －－b ^x －＝7.4＋11.5×1.8＝28.1， 故y 对x 的线性回归方程为y ^＝28.1－11.5x . (2)y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(吨)．所以如果价格为1.9万元，则需求量大约是6.25吨．[B 能力提升]10．对两个变量的四组数据进行统计，获得以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解析：选A.由相关系数的定义以及散点图的含义，可知r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.11．期中考试后，某校高三(9)班班主任对全班65名学生的成绩(单位：分)进行分析，得到数学成绩y 关于总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若2名同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．解析：设两名同学的总成绩分别为x 1，x 2，则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.答案：2012．(2020·湖北省宜昌县域高中协同发展共同体期末考试)为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了5组昼夜温差与100颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5 温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽数y (颗)2325302616组数据中选取3组数据求出线性回归方程，再用没选取的2组数据进行检验．(1)若选取的是第2，3，4组的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －)解：(1)由题意：x －＝11＋13＋123＝12，y －＝25＋30＋263＝27，b ^＝∑3i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑3i ＝1 （x i －x －）2＝（x 1－x －）（y 1－y －）＋（x 2－x －）（y 2－y －）＋（x 3－x －）（y 3－y －）（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋（x 3－x －）2＝（11－12）×（25－27）＋（13－12）×（30－27）＋（12－12）×（26－27）（11－12）2＋（13－12）2＋（12－12）2＝52， a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3，故回归直线方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＝1<2，当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＝1<2，所以(1)中所得的回归直线方程是可靠的．13．(选做题)(2019·黑龙江省牡丹江市第一高级中学期末考试)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i＝xi，w－＝18i＝18w i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d＝108.81.6＝68，c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)(ⅰ)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.(ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
两个变量的相关关系
两个变量间的相关关系变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势.对相关关系的理解可以从下面三个角度把握：相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.相关关系与函数关系的异同点为：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子：【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”.【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.。
变量间的相关关系
1221ni iiniix y nxybx nxa y bx==⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎩∑∑其中1111,n ni ii ix x y yn n====∑∑以上方法称为最小二乘法。
典例精讲题型1相关关系的判断例1.(★)观察两相关变量得如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 7 9画出散点图，判断它们是否有线性相关关系．【思路点拨】建系→描点→观察→结论．【解】由数据可得相应的散点图(如图所示)：由散点图可知，两者之间不具有线性相关关系．点评：以x为自变量，考查因变量y的变化趋势，从而作出判断变式训练：(★★)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方y Λ＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【思路点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画出散点图； (2)应用计算公式求得线性相关系数b 、a 的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的yΛ的值． 【解】(1)散点图如图所示：(2)由题意，得41i ii x y=∑i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3+4+5+6=4.54 y ＝2.5+3+4+4.5=3.54421ii x=∑＝32＋42＋52＋62＝86.266.5-4 4.5 3.566.5-63===0.786-4 4.586-81b ⨯⨯⨯=- =3.5-0.7 4.5=0.35a y b x ⨯故线性回归方程为yΛ＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)， 故生产能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)． 点评： 求线性回归直线方程的步骤如下：课堂检测(★★) 10min1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均（）A．增加1.5单位B．增加2单位C．减少1.5单位D．减少2单位4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。
变量间的相关关系
变量间的相关关系1、相关关系的理解我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。
生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。
这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。
例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。
在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。
下面我们就用这些方法来研究相关关系。
看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。
用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。
一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。
3、判断正、负相关、线性相关：请观察这4幅图，看有什么特点？图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。
这就像函数中的增函数和减函数。
即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。
对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。
图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。
后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。
从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。
我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。
这条直线叫做回归直线。
图3、4中的两个变量是非线性相关关系1、找回归直线下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，图12图图3图4从整体上看，它们是线性相关的。
如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。
这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。
能否画出这条直线？多种方法展示总结：所有的点离这条直线最近的方案最好。
从整体上看，各点与此直线的距离和最小。
变量之间的相互关系
变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。
这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。
本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。
二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。
这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。
2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。
相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。
3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。
这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。
三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。
接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。
2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。
它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。
3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。
四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。
例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。
在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。
五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。
通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。
随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。
高考数学——变量间的相关关系-考点复习
10
(wi − w)( yi − y)
i =1
i =1
i =1
1.47 20.6 0.78
2.35
0.81
−19.3
16.2
∑ 表中= wi
x1= i2 , w
1 10
10
wi
i =1
.
（1）根据散点图判断， y=
a + bx 与 y=
c + d 哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x2
3．已知线性回归方程
，当变量 每增加一个单位时，则 的变化情况正确的是
A． 平均增加约 1.2 个单位
B． 平均增加约 3 个单位
C． 平均减少约 1.2 个单位
D． 平均减少约 3 个单位
4．炼钢是一个氧化降碳的过程，由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳
量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量 与冶炼时间 （从炉料熔化完毕到出钢的时
=i 1=i 1 =i 1
∑ ∑
10
xi2
−10x
= i 1= i 1
考向三 非线性回归方程及应用
求非线性回归方程的步骤： 1．确定变量，作出散点图． 2．根据散点图，选择恰当的拟合函数． 3．变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． 4．分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． 5．根据相应的变换，写出非线性回归方程． 学@#
（2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数 aˆ、bˆ ，写出回归直线方程．
（3）根据方程进行估计.
典例 2 某车间加工的零件数 x 与加工时间 y 的统计数据如下表：
变量之间的相关关系
变量之间的相间确实存在关系，但又不 具备函数关系所要求的确定性，若它们的关系是 带有随机性的，就说两个变量具有相关关系. 注：相关关系是一种非确定性关系. 2、散点图：从一个统计数表中，为了更清楚地 看出x与y是否有相关关系，常将x的取值作为横 坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标 系中描点 i i ，这样的图形叫做散 点图.
温热度饮/℃杯数-5 与当0 天4气温7的对12比表15：19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的 一般规律;
变量之间的相关关系
【典型例题】 解：（1）散点图如图所示
变量之间的相关关系
【分类】
线性相关关系：
正相关：指的是两个变量有相同的变化趋势，即从 整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大. 这在散点图上的反映就是散点的分布在斜率大于0的 直线附近;
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
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40
50
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70
变量之间的相关关系
【分类】
负相关：指的是两个变量有相反的变化趋势，即 从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而 变小，这在散点图上的反映就是散点的分布在斜 率小于0的直线附近.
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
变量之间的相关关系
【典型例题】
1、某机构曾研究温度对翻车鱼的影响，在一定温 度下，经过x单位时间，翻车鱼的存活比例为y，数 据如下： （0.10，1.00），（0.15，0.95），（0.20，0.95）， （0.25，0.90），（0.30，0.85），（0.35，0.70）， （0.40，0.65），（0.45，0.60），（0.50，0.55）， （0.55，0.40） (1)请作出这些数据的散点图； (2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
高中数学必修三-变量间的相关关系
变量间的相关关系知识集结知识元变量之间的相关关系知识讲解1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例题精讲变量之间的相关关系例1.用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，-0.98，0.63，其中___（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．例2.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）例3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．例4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．两个变量的线性相关知识讲解1．散点图【知识点的知识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．2．线性回归方程【概念】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【实例解析】例：对于线性回归方程，则＝解：，因为回归直线必过样本中心（），所以．故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．【考点点评】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．3．最小二乘法【概念】最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．最小二乘法还可用于曲线拟合．其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达．【例题解析】例：关于x与y有如表数据：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x+0.35．解：∵由题意知，，∴＝0.7∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．集体步骤就是先做出x，y的平均数，代入的公式，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【考点解析】最小二乘法一般在线性拟合中应用的比较多，主要是一种方法，能够熟记如何操作就可以了，剩下的就是计算要认真．例题精讲两个变量的线性相关例1.'2018年9月17日，世界公众科学素质促进大会在北京召开，国家主席习近平向大会致贺信中指出，科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据{x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），如表（1）求出p的值；（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价：x（百元）的线性国归方程y=bx+a（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与x对应的产品销的估计值当销售数据（x i，y i）的残差的绝对值|y i-y|<1时，则将销售数据称为一个“有效数据”现从这6组销售数中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率．参考公式及数据=y i=80，=1606，=91，，'例2.'某地种植常规稻α和杂交稻β，常规稻α的亩产稳定为485公斤，今年单价为3.70元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.90元/公斤的可能性为70%，变为4.00的可能性为20%．统计杂交稻β的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①．统计近10年杂交稻β的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i=1，2，..10），并得到散点图如图②．（1）根据以上数据估计明年常规稻α的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻β的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻β的亩产超过795公斤的概率；（3）①判断杂交稻β的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y关于x的线性回归方程；②调查得知明年此地杂交稻β的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻α和杂交稻β中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：=1.60，=2.82，（x i）（y i）=-0.52，（x i）2=0.65，附：线性回归方程=bx+a，b=．'当堂练习单选题练习1.用模型y=ce kx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+2，则c=（）A．e2B．e4C．2D．4练习2.根据最小二乘法由一组样本点（x i，y i）（其中i=1，2，…，300），求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（）A．至少有一个样本点落在回归直线=x+上B．若所有样本点都在回归直线=x+上，则变量间的相关系数为1C．对所有的解释变量x i（i=1，2….300）．bx i+的值一定与y i有误差D．若回归直线=x+的斜率b>0，则变量x与y正相关练习3.已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则=（）A．2B．11C．12D．14练习4.根据如下样本数据得到的回归直线方程为=bx+a，则（）A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b<0D．a<0，b>0练习5.下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为，则表格中m的值应为（）A．8.3B．8.2C．8.1D．8练习6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.5练习1.如图所示，有A，B，C，D，E，5组数据，去掉___组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．（请用A、B、C、D、E作答）练习2.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中是相关关系的为_____．练习3.对两个变量的相关系数r，有下列说法：（1）|r|越大，相关程度越大；（2）|r|越小，相关程度越大；（3）|r|趋近于0时，没有非线性相关系数；（4）|r|越接近于1时，线性相关程度越强，其中正确的是_________．练习4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是___．①正方体的棱长和体积；②单位圆中圆心角的度数和所对弧长；③单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产量．练习1.'2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹．“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中心任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码x=t-2015，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y与年份代码x的相关情况，并预测2019年贫困发生率．'练习2.'某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c∙x d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（2）对数据作出如下处理，令u i=lnx i，v i=lny i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18y-x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=．'基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据（x i）2=17.5，（y i）2=76，（x i）（y i）=35，≈36.5参考公式：相关系数r=回归方程=x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x天使用云闪付支付的人次为y，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y=a∙b x拟合y与x的关系（1）求y关于x的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．附：①参考数据表中v i=lgy i，=lgy i②参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2）…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=-β．'习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y=ax+b与y=c+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：=，参考数据：'某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，=，=-。
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0.577×65-0.448=345037.1
30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
小结
1.求样本数据的线性回归方程，可按 下列步骤进行：
第一步，计算平均数 x y,
第二步，求和 第三步，计算
n
n
， xi yi
xi 2
①正请方同形学边们长试与举面几积个之现间实的生关活系中相 关关②系圆的例半子径。与圆的周长之间的关系
③年龄与人体的脂肪含量之间的关系 ④数学成绩与物理成绩之间的关系.
相关关系
初步探索，直观感知 如何进行数据分析？ 探究二：散点图
问题2、在一次对人体脂肪含量和年龄的关 系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：
xi yi nx y
b i1 n
i 1 n
(xi x)2
xi2 nx 2
i1
i1
a y bx
利用公式可求得年龄和人体脂肪含量
的样本数据的回归方程为
yÙ = 0.577x - 0.448
由此我们可以根据一个人的年龄预测
其体内脂肪含量的百分比的估计值.若某人
65岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多
20
0
0
0
20
问题4 40
60
80
-10
10
20
30
40
(1)两个散点图的有什么共同之处？
(2)两个散点图的点的分布有什么不同?
初步探索，直观感知 探究三：线性相关、正相关、负相关
40 35 30 25 20 15 10
5 0
0
20
40
60
180
160
140
120
100 系列1
80
60
40
20
0
年龄
23
27
39
41
45
49
50
脂肪
9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 脂肪
53
54
56
57
58
60
61
29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据上述数据，人体的脂肪含 量与年龄之间有怎样的关系？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0
x
3
4
y
2.5
3
5
6
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图. （2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程. （3）由（2）预测技改后生产100吨甲产品的 生产能耗是多少吨标准煤？
（参考数值：3 2.5+4 3+5 4+6 4.5=66.5）
解：（1）根据题意，作图可得， （2）由系数公式可知，
i 1
i1
n
xi yi nx y
b
i1 n
,a y bx
xi2 nx 2
i1
第四步，写出回归方程
2.回归直线经过样本点中心（x, y)
高斯的假定：（平均数天然合理）
例.（广东高考）下表提供了某厂节能降耗技术 改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应 的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据.
变量之间的相关关系
两个变量间存在着某种关系, 带有不确定性(随机性），不能用函
数变关系量精确间地的表达相出来关，我关们说系这两
个变量具有相关关系.
初步探索，直观感知
探究一: 两个变量间的相关关系
问题1、对于两个变量之间的关 系，我们之前学过，函数关系是一种确 定性关系。那么下列变量与变量之间哪 些是函数关系，哪些是相关关系？
80
-10
0
散落在直线的附近
有相同的变化趋势 有相反的变化趋势
系列1
10
20
30
40
线性相关 正相关
负相关
初步探索，直观感知
左面的散点图中，点散布在从左 下角到右上角的区域，对于两个变量的这 种相关关系，我们将它称为正相关。
右面的散点图中，点散布在从左 上角到右下角的区域，对于两个变量的这 种相关关系，我们将它称为负相关。
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
初步探索，直观感知
问题3 下面两个散点图中点
的分布有什么不同？
种植西红柿，施肥量与产量
年龄与脂肪含量之间的散点图
之间的散点图
40
1200
35
1000
30
25
800
20
系列6010
系列1
15
400
10
200
5
0
0
0
20
40
60
80
0
5
10
实际上,求回归直线的关键是如何用数学 的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距 离最小”.
Q = (y1-bx1-a)2 + (y2-bx2-a)2 +…+ (yn-bxn问a)题2 归结为:a,b取什么值时Q最小,即总体和最小.
这一方法叫最小二乘法
计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
n
n
(xi x)( yi y)
3).如果所有的样本点都落在某一直线附近， 变量之间就有线性相关关系 .
散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系.
判断下列图形中具有线性相关关系的两个
变量是 C
初步探索，直观感知 探究三：线性相关、正相关、负相关
40
180
35
160
30
140
25
120
100
20
系列1
系列1
80
15
60
10
40
5
b
66.5 4 4.5 3.5 86 4 4.52
0.7
a 3.5 0.74.5 0.35
yˆ 所以线性回归方程为
=0.7x+0.35；
（3）x=100时， yˆ =0.7x+0.35=70.35，
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨标准煤．
回归直线
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如何具体的求出这个回归直线方程呢？
整体上最接近
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
回归直线
15
观察左面散点图，发现这些点大 致分布在一条直线附 近。
像这样，如果散点图中点的分布 从整体上看大致在一条直__线____附近，我 们就称这两个变量之间具有线性相 关关 系, 这条直线回叫归做直__线_______。
散点图 说明
1).如果所有的样本点都落在某一函数曲线上, 就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之 间具有函数关系． 2).如果所有的样本点落在某一函数曲线附近, 变量之间就有相关关系。