经济数学课件 第八章 概率论初步第三节

例7 某书店开设新书征订业务，每位顾客在一周内收到书店回单 的概率是0.9，有四位顾客预订新书，求一周内有两位顾客 收到回单的概率。
解 将每位顾客一周内是否收到回单看作一次试验，四位预订者
是互不相干的，可认为这四次试验是独立的，因此这是一个
i 4重伯努利试验 . 用 Ai 表示第 位顾客收到回单，则 Ai i 表示第 位顾客没收到回单，则 P( Ai ) 0.9 ，P(Ai ) 0.1 ，
现任取2件，用 X 表示“这2件产品中的次品数”，
X 的可能取值有哪些？
解 X 有三种可能取值，分别为0、1、2．在每次
抽取之前，我们知道 X 应取0、1、2这三个数中的一
个，但不能确定它究竟取哪一个，而只有依据抽取结果，
得到 X 的唯一取值， X 取每一个值的概率分别为
P( X
0)
C30C72 C120
C
3 4
0.93
0.11
P( X
4)
C
4 4
0.9 4
0.10
一般地，“四位顾客中有 k 位顾客收到回单”事件的概率为
P
(X
k)
=
C
k 4
0.9k
0.14k
( k 0,1, 2 ,3, 4 )
二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
C C k pk (1 p)nk 记 q 1 p n
k pkqnk
n
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk qn Cn1 pqn1 Cnk pk qnk pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
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例8 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射 击时击中目标的概率为 0.7 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0.7) 的二项分布.
7 15
，P( X
1)
C31C71 C120
7 15
，
P(X 2) C32C70 1 ．X 的可能取值及其概率如表 C120 15
X0
1
2
pk
7 15
7 15
1 15
定义8.3.3
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,n), X 取各个可能值的概率 , 即事件 {X xk }的概率, 为
察摸出球的颜色.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
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1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
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例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
第三节 随机变量及常见的概率分布
一、 随机变量 二、离散型随机变量 三、 连续型随机变量
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一、 随机变量 随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
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有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从郑州下火车的人数； 昆虫的产卵数；
变量 X 概率分布的规律．
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定义8.3.6 设X为随机变量，若 存在非负函数f x,
使得对任意实数a,ba b ,有
P
(a
X
b)
b
a
f
( x) d
x,x ,
则称 X 为连续型随机变量, f (x) 为 X 的概率密
度函数, 简称密度函数 或概率密度.
性质 (1) f ( x) 0;
离为随机变量X ．该型号导弹性能表明，弹着点落在以目标
为圆心，r 为半径的范围内的概率与该范围的面积成正比，
且偏差一定在 10m 以内，随机变量X 可取(0,10) 内任意值． 由于X 的取值连续充满区间(0,10)，因此对于连续型随机
变量 X 讨论其取某一个值的概率就没有什么意义．我们只 有确切知道了 X 在某一范围取值的概率，才能把握随机
(2) f ( x)d x 1;
例11 已知连续型随机变量 X 具有密度函数
k
f
(
x)
1 x2
0
x 1Leabharlann Baidu其它
k 求：（1）系数 ；
（2） X
落在区间 ( 1 , 2
1) 、( 3 , 2) 内的概率．
2
2
解 （1）由 f (x)dx 1 ，可得
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1 1
k 1
和废品率分别为60%、10%、20%、10%，从中任取一个
X 产品检验其质量，用随机变量 X 描述检验结果并写出随机 变量 X 的分布列．
解 设 X k 与产品为 k 等品( k 1,2,3 )相对应，X 0
产品为废品相对应. X 是一个随机变量，它可以取 0、1 、
2 、 3这4个可能值.依题意得
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定义8.3.2
若随机变量 X 可取有限个或无限可列个数值，
则称变量 X 为离散型随机变量，如例1.若随机变量
X 的所有取值不能一一列出，而充满某一实数区间，
可以在某个区间内连续取任何实数值的随机变量，
则称变量 X 为连续型随机变量，如例2.
随机变量的分类
随机变量 离散型 非离散型
3)
C
3 5
0.73 0.32
0.3087
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例9 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗
是否遇到红灯相互独立，并且每次遇到红灯的概率都是 1 ． 3
（1）设 X 为汽车在途中遇到的红灯数,求 X 的分布律；
（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率．
解（1）由题意, X ~ B(6, 1) ，于是 X 的分布律为：
i 1,2,3,4 ．在4次试验中，有两位顾客收到回单的情况有
C
2 4
6
种：
A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A! A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ．
由于事件之间相互独立，则
P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 0.9 0.9 0.1 0.1 0.92 0.12
X 01
2
3
4
5
pk
(0.3)5
C510.7 0.34
C52 0.72 0.33 C530.73 0.32 C54 0.74 0.3
0.75
（1）命中靶心的概率 P ( X 0) 1 P( X 0)
1 C50 0.70 0.35 0.99757
（2）“命中三次靶心”的概率P ( X
由于乘客到车站的时间是不确定的，用 X
表示其等车时间，则 X 可以取[0,8]上的任何一个值，
究竟取哪一个值，取决于试验结果，这也是一个 随机变量.
一、随机变量
定义8.3.1 一个变量若满足:
（1）取值的随机性，即它所取的不同数值由随 机试验的结果而定； （2）概率的确定性，即它取某一个值或在某一 区间内取值的概率是确定的． 则称这样的变量为随机变量.随机变量可用英文 大写字母 X , Y , Z 等表示.
3
P
(X
k)
=
C6k
1 3
k
(1
1)6k 3
(k 0,1, 2,
, 6) ；
（2）P ( X 5) P(X 5) P(X 6)
C65
1 3
5
2 3
1
C66
1 3
6
2 3
0
13 729
三、 连续型随机变量 1. 连续型随机变量的概率密度函数
例10 （导弹实验）设某型号导弹的弹着点到目标中心的距
P{X xk } pk , k 1, 2,n. 称此为离散型随机变量 X 的分布律.
说明 (1) pk 0, k 1,2,n;
n
(2) pk 1. k 1
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离散型随机变量的分布律也可表示为
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
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例4 产品有一、二、三等品及废品，其一、二、三等品率
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
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例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
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例6 100件产品中,有95件合格品,5件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
U={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X (e) e 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
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例2 （乘客候车）开往市区118路公共汽车每隔8分钟 发一辆车，一位不知情的乘客乘该路车，那么他候车 时间是多少？
七月份郑州的最高温度；
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在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们 可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说， 把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
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随机变量概念的产生
例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观
件可用｛ X
2
｝表示，且有
P( X
2)
C
2 4
0.92
0.12
同样地，“四位顾客都没有收到回单”，“四位顾客中有一位顾客
收到回单”，“四位顾客中有三位顾客收到回单”，“四位顾客都
收到回单”的概率分别为
P( X
0)
C
0 4
0.90
0.14
P( X
1)
C
1 4
0.91
0.13
P( X
3)
x2
dx
k arcsin
x
1 1
k
=1. 所以 k 1
；
（2）
P( X 0) 0.1 ， P( X 1) 0.6 ，
P( X 2) 0.1 ， P( X 3) 0.2 .
所以，得出 X 的分布律如表
X0 1
2
3
pk 0.1 0.6
0.1
0.2
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例5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
同理有 P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 A2 A3 A4 ) 0.92 0.12
所以“四位顾客中有两位顾客收到回单”的概率为
C
2 4
0.92
0.12
6
0.92
0.12
0.0486
若设 X为“四位顾客中收到回单的顾客数”，则X 的所有可能取
值为 0,1,2,3,4. 因此，“四位顾客中有两位顾客收到回单的”事
0, 1, 2, , n. 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k 1 次
nk 1 次
得 A 在 n 次试验中发生 k 次的方式共有 Cnk种,
且两两互不相容.
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因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
⑵ 二项分布
定义8.3.5 (n 重伯努利试验) 设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p. 将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
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X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
pk 95
100
1
5 100
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
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说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有
两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
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解 设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
2.常见离散型随机变量的概率分布
⑴ 两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
连续型 其它
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二、离散型随机变量
设X是一个离散型随机变量，它可能取 的值是 x1, x2 , … .
为了描述随机变量 X ，我们不仅需 要知道随机变量X的取值，而且还应知道 X取每个值的概率.
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1.离散型随机变量的分布律
例3 （次品数量）在10件同类产品中，有3件次品，