经济数学课件 第八章 概率论初步第三节

X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
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例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X (e)
0,
1,
当e 当e
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X0 1
1
1
pk
2
2
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例6 100件产品中,有95件合格品,5件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
解 设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
2.常见离散型随机变量的概率分布
⑴ 两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
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定义8.3.2
若随机变量 X 可取有限个或无限可列个数值，
则称变量 X 为离散型随机变量，如例1.若随机变量
X 的所有取值不能一一列出，而充满某一实数区间，
可以在某个区间内连续取任何实数值的随机变量，
则称变量 X 为连续型随机变量，如例2.
随机变量的分类
随机变量 离散型 非离散型
P( X 0) 0.1 ， P( X 1) 0.6 ，
P( X 2) 0.1 ， P( X 3) 0.2 .
所以，得出 X 的分布律如表
X0 1
2
3
pk 0.1 0.6
0.1
0.2
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例5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯以1 2的概率允许或禁止汽 车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信 号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的), 求 X 的分布律.
第三节 随机变量及常见的概率分布
一、 随机变量 二、离散型随机变量 三、 连续型随机变量
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一、 随机变量 随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
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有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从郑州下火车的人数； 昆虫的产卵数；
C
3 4
0.93
0.11
P( X
4)
C
4 4
0.9 4
0.10
一般地，“四位顾客中有 k 位顾客收到回单”事件的概率为
P
(X
k)
=
C
k 4
0.9k
0.14k
( k 0,1, 2 ,3, 4 )
二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n. 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
k次
nk 次
AAA A A AAA
k 1 次
nk 1 次
得 A 在 n 次试验中发生 k 次的方式共有 Cnk种,
且两两互不相容.
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因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
件可用｛ X
2
｝表示，且有
P( X
2)
C
2 4
0.92
0.12
同样地，“四位顾客都没有收到回单”，“四位顾客中有一位顾客
收到回单”，“四位顾客中有三位顾客收到回单”，“四位顾客都
收到回单”的概率分别为
P( X
0)
C
0 4
0.90
0.14
P( X
1)
C
1 4
0.91
0.13
P( X
3)
七月份郑州的最高温度；
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在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们 可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说， 把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
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随机变量概念的产生
例 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观
同理有 P(A1 A2 A3 A4 ) P(A1 A2 A3 A4 ) 0.92 0.12
所以“四位顾客中有两位顾客收到回单”的概率为
C
2 4
0.92
0.12
6
0.92
0.12
0.0486
若设 X为“四位顾客中收到回单的顾客数”，则X 的所有可能取
值为 0,1,2,3,4. 因此，“四位顾客中有两位顾客收到回单的”事
例7 某书店开设新书征订业务，每位顾客在一周内收到书店回单 的概率是0.9，有四位顾客预订新书，求一周内有两位顾客 收到回单的概率。
解 将每位顾客一周内是否收到回单看作一次试验，四位预订者
是互不相干的，可认为这四次试验是独立的，因此这是一个
i 4重伯努利试验 . 用 Ai 表示第 位顾客收到回单，则 Ai i 表示第 位顾客没收到回单，则 P( Ai ) 0.9 ，P(Ai ) 0.1 ，
3)
C
3 5
0.73 0.32
0.3087
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例9 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗
是否遇到红灯相互独立，并且每次遇到红灯的概率都是 1 ． 3
（1）设 X 为汽车在途中遇到的红灯数,求 X 的分布律；
（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率．
解（1）由题意, X ~ B(6, 1) ，于是 X 的分布律为：
离为随机变量X ．该型号导弹性能表明，弹着点落在以目标
为圆心，r 为半径的范围内的概率与该范围的面积成正比，
且偏差一定在 10m 以内，随机变量X 可取(0,10) 内任意值． 由于X 的取值连续充满区间(0,10)，因此对于连续型随机
变量 X 讨论其取某一个值的概率就没有什么意义．我们只 有确切知道了 X 在某一范围取值的概率，才能把握随机
X 01
2
3
4
5
pk
(0.3)5
C510.7 0.34
C52 0.72 0.33 C530.73 0.32 C54 0.74 0.3
0.75
（1）命中靶心的概率 P ( X 0) 1 P( X 0)
1 C50 0.70 0.35 0.99757
（2）“命中三次靶心”的概率P ( X
察摸出球的颜色.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量
可采用下列方法
红色 白色
S
X (e)
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1 0R
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
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例1 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
i 1,2,3,4 ．在4次试验中，有两位顾客收到回单的情况有
C
2 4
6
种：
A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A! A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ， A1 A2 A3 A4 ．
由于事件之间相互独立，则
P(A1A2 A3 A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3 )P(A4 ) 0.9 0.9 0.1 0.1 0.92 0.12
(2) f ( x)d x 1;
例11 已知连续型随机变量 X 具有密度函数
k
f
(
x)
1 x2
0
x 1 其它
k 求：（1）系数 ；
Hale Waihona Puke （2） X落在区间 ( 1 , 2
1) 、( 3 , 2) 内的概率．
2
2
解 （1）由 f (x)dx 1 ，可得
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1 1
k 1
C C k pk (1 p)nk 记 q 1 p n
k pkqnk
n
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk qn Cn1 pqn1 Cnk pk qnk pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
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例8 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射 击时击中目标的概率为 0.7 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0.7) 的二项分布.
和废品率分别为60%、10%、20%、10%，从中任取一个
X 产品检验其质量，用随机变量 X 描述检验结果并写出随机 变量 X 的分布列．
解 设 X k 与产品为 k 等品( k 1,2,3 )相对应，X 0
产品为废品相对应. X 是一个随机变量，它可以取 0、1 、
2 、 3这4个可能值.依题意得
P{X xk } pk , k 1, 2,n. 称此为离散型随机变量 X 的分布律.
说明 (1) pk 0, k 1,2,n;
n
(2) pk 1. k 1
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离散型随机变量的分布律也可表示为
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
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例4 产品有一、二、三等品及废品，其一、二、三等品率