电磁场导论第4章恒定磁场
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第4章 (恒定磁场)(1)
R 2 Indl dB 2 ( R 2 l 2 )3 2
方向:
0
A2 dl A1 l 1 r R
2
P dB
2 0 R 2 Indl nI sin d B dB 2 2 3 2 1 L L 2 (R l ) 2 l Rctg dl R csc 2 d 统一变量: 2 2 2 2 R l R csc
H I 1 H I k k 2 tan (b) r 2 cos 2 r r 2 2
2 sin cos 2 2
22
理学院 邓胜华
§4-2. Biot-Savart定律
Idl Idl dH k 2 tan (1 cos ) k 2 sin r 2 r
研究课题 • • • • • • • • 毕奥－萨筏尔的研究课题 §4-2 毕奥－萨筏尔定律 安培的研究课题 §4-4 安培定律 电流产生磁的逆效应 将导致电磁感应现象的发现 (Chap.6) 电、磁相互作用的传递问题 将导致电磁场理论的建立 (Chap.8)
15
理学院 邓胜华
§4-2. Biot-Savart定律
0
B
0
2
nI (cos 2 cos 1 ) 方向:
29
理学院 邓胜华
§4-2. Biot-Savart定律
0 B nI (cos 2 cos 1 ) 方向: 2 A2 dl A1 l • 1 , 2 0
长载流螺线管: B 0 nI
31
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§4-2. Biot-Savart定律
例: 如图, 求o点B . 已知: I, a.
第四章 恒定磁场 陈俊PPT课件
实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动
速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向
运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为
零的方向为零线方向，如图所示。
v
B
零线方向
F
v
B
F
零线方向
设作用力为 f ，沿偏离零线方向 角度运 动时，受力 f qvsin。作用力 F 的大小与 电荷量 q 及速度大小 v 的乘积成正比。方向 上f垂直于速度方向 与零力线构成的平面。
定与变量 z 无关，所以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度 相等。因此，沿半径为r 的磁场线上磁感应强度的环量为
BdlB2πr
根据安培环路定律，求得磁感应强度的大小为
在导线上任取元电流段产生的磁场：
dBμ0 I 4π
dz eR R2
2
rρ
o
r
在真空中载流直导线产生的磁场
dBB
μ0I 4π
Ldzsθin 0 r2
Sin R r
tanR d zRcs2cd
z
代入上面的式子，整理得
d B 4 μ π 0I (R2 c θ R s 2 sθ ic s n2 iθn ) 4 μ π 0IR s θd in
的线积分，仅与回路所包围的面积中通 过的自由电流的总量相关，而与其他电
流无关。但是，B本身却与产生磁场的所
有电流都相关。
例 无限长直导线，利用安培环路定律求解
BdlB2πr
B 0I 2π r
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁
场分布以 z 轴对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一
电磁场4恒定磁场
S
L
S
磁化电流体密度：
Jm M
磁化电流面密度：
JS
M
en
结论：
➢有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场；
➢磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
产生的电场与磁场
电 偶
v p P
1 4π0
pv
1 R
pv evR 4π0R2
➢电流与电流之间 存在相互作用
➢磁场对运动电荷的作用 运动电荷既能产生磁效应也 受到磁力的作用
表明： ➢电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在力的作用 ➢磁铁和电流周围存在磁场 ➢磁力是通过磁场来传递的
运动电荷
磁场
运动电荷
存在于电流或永久磁铁周围空间且能 对运动电荷和电流施加作用力的物质
（1） 安培定律
dF
Idl
0
4
I
dl
eR
l R2
点电荷q1对点电荷q2 的作用力
F
1
4 0
q2q1 R2
eR
电荷之间相互作用 力通过电场传递
F q
1
4 0
V
dV
R2
eR
qE
点电荷 库仑定律 电场强度
电流元I′dl′对电流元
Idl的作用力
F
0 4
Idl
(
I
dl
eR
)
R2
电流之间相互作用 力通过磁场传递
F
Idl
0
l
4
l
I
dl
eR
R2
Idl B
l
电流元 安培定律 磁感应强度
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
电磁场理论课件 恒定磁场.ppt
18
4.磁场的有旋性
磁场的环路积分不恒为
零，说明磁场图形与静电场 不同。它的分布具有旋涡性， 是非位场
例如载流长直导线，其 图4-11 磁场的有旋性示意
周围的磁场，就是以电流为 轴心的旋涡线。
5.应用 利用真空中
B
的环路
定理，可以求解一些简单
磁场的计算问题。
图4-12 长直载流导线的磁场
19
例4-4 空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为
§4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程
§4-9 磁场的镜象法
§4-10 自感及其计算
§4-11 互感及其计算
§4-12 载电流回路系统的磁场能量及其分布
§4-13 磁场力的计算
2
§4-1 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律
磁感应强度 B
1.磁场——存在于载流回路或永久磁铁周围空间的
能对2.运磁动感电应荷强施度力B的—客—观运存动在的。单位正点电荷在场中
2 0.07
0.05
2
0.12106(Wb)
16
§4-3 真空中的安培环路定理
1.分析
设真空媒质中，有一无限长载电
流I的直导线，在与导线垂直的平面
上，作任意积分路径l，根据毕－萨
定律，l上任一点的磁感应强度
图4-10 安培环路定
B
0 I 2 R
e
.
B dl
0 2
I R
a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解
长直导线外任一点的磁感应强度
B
0I 2r
e
与其距离为r的各点上 B 的方
向相同。窄长条上穿进的磁通
电磁场与电磁波第4章恒定磁场
v r v µ 0 Id l × a R dB = 4π R2
v 对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 Jdτ 和面电流元 v 代替上式中 JS dS ，积分得
r r r' v r v µ0 J × aR ' µ0 J ×(r − r ) ' 体电流： 体电流： B = ∫ 2 dτ = ∫ r r' 3 dτ 4π τ R 4π τ | r − r |
对 式 2−31 和 （ 比 （ ） 式 2-23） ） µ0 Jx ' µ0 Jy ' Ax = ∫ dτ Ay = ∫ dτ 4π τ r 4π τ r
µ0 Jz ' Az = ∫ dτ 4π τ r
将其写成矢量形式为 v ' v µ 0 J (r ) A= dτ ' 4π ∫ r τ 若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为 v ' v µ 0 J S (r ) ' A= ∫ r dS 4π S 同理，线电流产生的磁矢位为
| r −r | | r −r | | r −r | r r' 1 因为 ∇ × ∇( r r ' ) = 0 ，而第二项中 J ( r ) 不是场点坐标的函 |r −r | 数，
则
r r' ∇ × J (r ) = 0
于是有
r r' r r' r r' 1 1 1 ∇⋅[∇( r r' )×J(r )]= J(r )⋅∇×∇( r r' ) −∇( r r' )⋅∇×J(r ) =0 | r −r | | r −r | | r −r |
v µ0 I r B= aϕ 2πr
v B 线在垂直于I的平面内，呈同心圆状。
电磁场导论恒定磁场
表明恒定磁场是无散场，磁力线是无头无尾的 表明恒定磁场是无散场，
例4-1 在园柱坐标系中下列矢量中常数K≠0，问哪个可能是
磁感应强度B？如果是，求相应的电流密度J 。 F1 = K（x ex +y ey）； F2 = K r eα
解： ∇⋅B = 0是磁场的特有性质，因此根据矢量的散度
是否总为0，来判断。
表明恒定磁场是有旋场，其场源是电流密度 表明恒定磁场是有旋场，其场源是电流密度J
2011-9-18 第四章恒定磁场 2
4.1.2磁通连续性原理的微分形式 磁通连续性原理的微分形式
当闭合面S缩小，体积∆V→0时，磁通连续性原理可 写为 B ⋅ dS
∆V →0
∫ lim
S
∆V
=0
则得
divB=0
或
∇⋅B = 0
等磁位面方程为ϕm=常数，即θ= K。 它是以AB为弦，以θ为圆周角的圆 弧。K值不同可得一系列以AB为弦 的园，其圆心y轴上。
α1
α2
H
⊙
A
B
例 4-4 题解
由H= −∇ϕm知，B线与等磁位面正交，也是一族偏心园， 圆心在x轴上。
2011-9-18 第四章恒定磁场 11
4.3 矢量磁位
4.3.1矢量磁位的定义 矢量磁位的定义
2011-9-18 第四章恒定磁场 18
导体内，泊松方程简化为
∂ Az 1 ∂ (r ) = −µ0J z r ∂r ∂r µ Jr C 1 ∂ A1 通过不定积分求解，得 = − 0 + ∂r 2 r
通解为
A1 = −
1 µ 0 Jr 2 + C 1 ln r + C 2 4
导体外，拉氏方程简化为
第四章 恒定磁场 ---陈俊老师的
df21
R
µ0 I 2d l 2 × ( I1d l1× e R ) f 21 = ∫ ∫ 4π l l R2
1 2
eR
r′
o
I2
式中， 为真空中的磁导率。 式中， µ0 为真空中的磁导率。 实际上不可能存在孤立的元电流段， 实际上不可能存在孤立的元电流段， 我们研究的只能是整个电流回路。
r
µ
0
两元电流段之间的安培力
∫ B⋅d l = µ ∑ I
l 0 k =1
n
k
这就是真空中的安培环路定律。 这就是真空中的安培环路定律。 的安培环路定律 此表达形式为定律的积分形式， 的正、 此表达形式为定律的积分形式， Ik 的正、负取决于 Ik 的流向与l 回路的循行方向是否符合右手螺旋关系，相符为正，否则为负。 回路的循行方向是否符合右手螺旋关系，相符为正，否则为负。
Φ = ∫ B ⋅dS
S
磁通的单位为Wb（韦伯 。 磁通的单位为 韦伯）。 韦伯
例
z
由图计算载流为I、长为L的直导线在真空中产生的磁感应强度。 的直导线在真空中产生的磁感应强度。 因结构上的对称性， 解： 因结构上的对称性，载流直导线产 生的磁场应是圆柱对称的。 生的磁场应是圆柱对称的。以导线轴线为z 一端为原点，建立圆柱坐标系。 轴，一端为原点，建立圆柱坐标系。
矢量拉普拉斯方程 对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程 矢量拉普拉斯方程，即 矢量拉普拉斯方程
∇2 A = 0 ∇ 2 A = ex ∇ 2 Ax + e y ∇ 2 Ay + ez ∇ 2 Az ∇ 2 Ax = − µ0 J x 2 ∇ Ay = − µ0 J y 2 ∇ Az = − µ0 J z J µ Ax = 0 ∫ x dV 4π V R µ0 J y dV Ay = 4π ∫V R µ J Az = 0 ∫ z dV 4π V R
电磁场与电磁波课件 第四章 恒定磁场
0 I L ˆ 2 dz dB L 4 2 [ 2 ( z z )2 ]3/ 2
陕西科技大学编写
0 I ˆ l i mB L 2
电磁场与电磁波
第4章 恒定磁场
10
例4.2：计算半径 a ，电流为I的电流圆环在轴线上的磁感应强度。
解：取柱坐标系如图，源点和场点坐标：
l k
安培环路定理
恒定磁场方程 积分表达式： 微分表达式：
S
B dS 0
B dl 0 I
l
B 0
B 0 J
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第4章 恒定磁场
E 0
19
3 矢量磁位 无旋场—标量位：
0
0 Idl R dB ( z ) 4 R3
第4章 恒定磁场
Z
11
ˆ ˆ ˆ 0 Iad ( zz a ) 4 R3 ˆ ˆ 0 Iad ( z az ) 4 R3
0 B( z) 4
R
a
X
ˆ z
A 0
B 0
E B A
• 无散场—矢量位：
0 J A V R dV 4 2 A 0 J
2
1 40
R
V
dV
A0
2
0
2 0
解：取柱坐标系。源点和场点分别为
(0,0, z) ( , , z )
电流元为
ˆ Id z z
Z L 2
ˆ ˆ 0 Idz z R dB ( , , z ) 4 R2
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0 I ˆ l i mB L 2
电磁场与电磁波
第4章 恒定磁场
10
例4.2：计算半径 a ，电流为I的电流圆环在轴线上的磁感应强度。
解：取柱坐标系如图，源点和场点坐标：
l k
安培环路定理
恒定磁场方程 积分表达式： 微分表达式：
S
B dS 0
B dl 0 I
l
B 0
B 0 J
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第4章 恒定磁场
E 0
19
3 矢量磁位 无旋场—标量位：
0
0 Idl R dB ( z ) 4 R3
第4章 恒定磁场
Z
11
ˆ ˆ ˆ 0 Iad ( zz a ) 4 R3 ˆ ˆ 0 Iad ( z az ) 4 R3
0 B( z) 4
R
a
X
ˆ z
A 0
B 0
E B A
• 无散场—矢量位：
0 J A V R dV 4 2 A 0 J
2
1 40
R
V
dV
A0
2
0
2 0
解：取柱坐标系。源点和场点分别为
(0,0, z) ( , , z )
电流元为
ˆ Id z z
Z L 2
ˆ ˆ 0 Idz z R dB ( , , z ) 4 R2
第四章恒定磁场
ˆ) 0 Idl ( I ' dl ' R F 4 l l R2 式中真空中的磁导率：
'
0 4 10
7
（H/m） 两载流回路间的相互作用力
§4.1恒定磁场的基本规律
电流之间相互作用力通过磁场传递。
0 F Idl l 4 Idl B
l
ˆ I ' dl ' R l' R2
Idl ' R l R3 J S dS ' R S R3 J R ' V R3 dV
其中R r r ,
'
B称为磁感应强度 单位为：T （特斯拉）
2 Wb / m（韦伯 / 平方米）
§4.1恒定磁场的基本规律
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布
在有限区域内。
磁力线的性质：
磁力线是闭合的曲线;
磁力线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 闭合的磁力线与交链的电流成右手螺 旋关系 磁感应强度越强处，磁力线越稠密， 反之，越稀疏。
§4.1恒定磁场的基本规律
一载流导线 I 位于无限
长直螺线管磁场的分布
大铁板上方的磁场分布
§4.1恒定磁场的基本规律
R ' V J (r ) R3 dV R r 1 3 O( 3 ) 3 R r r
'
R r r
'
§4.1恒定磁场的基本规律
证明： J 0，同时电流分布在有限空间，因此电流线在有限 空间是闭合的，可将体积分分解成无数个闭合的电流管分别进行 积分，电流管即数学中的矢量管，矢量管表面的切线方向即为矢 量线的方向。
两根异向长直流导线 的磁场分布
'
0 4 10
7
（H/m） 两载流回路间的相互作用力
§4.1恒定磁场的基本规律
电流之间相互作用力通过磁场传递。
0 F Idl l 4 Idl B
l
ˆ I ' dl ' R l' R2
Idl ' R l R3 J S dS ' R S R3 J R ' V R3 dV
其中R r r ,
'
B称为磁感应强度 单位为：T （特斯拉）
2 Wb / m（韦伯 / 平方米）
§4.1恒定磁场的基本规律
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布
在有限区域内。
磁力线的性质：
磁力线是闭合的曲线;
磁力线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 闭合的磁力线与交链的电流成右手螺 旋关系 磁感应强度越强处，磁力线越稠密， 反之，越稀疏。
§4.1恒定磁场的基本规律
一载流导线 I 位于无限
长直螺线管磁场的分布
大铁板上方的磁场分布
§4.1恒定磁场的基本规律
R ' V J (r ) R3 dV R r 1 3 O( 3 ) 3 R r r
'
R r r
'
§4.1恒定磁场的基本规律
证明： J 0，同时电流分布在有限空间，因此电流线在有限 空间是闭合的，可将体积分分解成无数个闭合的电流管分别进行 积分，电流管即数学中的矢量管，矢量管表面的切线方向即为矢 量线的方向。
两根异向长直流导线 的磁场分布
第四章恒定磁场
2. 安培定律
电流元与电流元之间的相互作用力其大小与两
电流元的乘积成正比，与距离的平方成反比; 方
向：根据右手螺旋定则来判断
dF12
I1dl1 I2dl2 r122
d
dF12大小还与电流元的相对取向有关
F 12 r12
I2d l2
1)
I1dl1与
r12
的夹角为 1
：
1 I1d l1
I1dl1 sin1
寻找“磁单极子”是当今科学界面临的重大 课题之一。
2. 一切磁性起源于电流
1820年奥斯特发现电流的磁效应后，人们才认识 到磁与电的密切联系；
同年，安培发现了磁铁对电流的作用；
1821年，安培发现了电流与电流之间也能发生 相互作用； 另外，运动的电荷也存在磁效应
物质磁性的起源——安培分子电流假说 （1822年）
1. 磁极及其相互作用 （1） 磁铁磁性最强区域称为磁极。磁铁指向北方的 磁极为磁北极或N极；指向南方的为磁南极或S极； （2）同号磁极互相排斥，异号磁极互相吸引；
（3）磁铁可以被分解的很小，并且每个小磁铁 都具有N和S极，即磁极不能单独存在。
磁现象与电现象有很多类似，在自然界有独 立存在的电荷，却至今没找到独立存在的磁荷， 即所谓“磁单极子”。
e21
)
例题1 求一对平行电流元之间的相互作用力
解：
求
dF 12
I1dl1
1
e12
π 2
I1dl1en1
I1dl1
2
π 2
I
2dl2
en1
I2dl2 sin2
I2dl2
en2
r21
r12
en1
I2dl2
电磁场与电磁波 ppt第四章：恒定磁场
∆I J = lim ∆s →0 ∆s
其方向定为正电荷运动的方向.
o体电流分布产生的磁感应强度
对于体电流分布，毕—沙定 律表示为： 所以
µ 0 Jdsdl × a R dB = 4π R2
µ0 B= 4π
J × aR ∫τ R 2 dτ
µ0 J × aR dB = dτ 2 4π R
面电流密度与面电流分布产生的磁场
dF = Idl × B
对于体电流，有： 对于面电流，有：
dF = Jdτ × B
dF = J s dS × B
又考虑到电流与电荷的关系，有：
Jdτ = ρv ⋅ dτ = qv
从而得到运动电荷在磁场中受的力为：
F = Jdτ × B = qv × B
运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力 洛仑兹力 如果空间同时存在电场和磁场，则运动电荷所受的力表示为：
注意：表示磁场方向的技巧 利用图中列出的关系,有
对
x′
从-a~a积分,有
§4.4
矢量磁位(见新版 矢量磁位 见新版P111) 见新版
一、矢量磁位的引入
在某些情况下，直接求解磁感应强度比较麻烦，因此有必要引入 辅助场量，然后利 一些场量，在求解磁场的解之前，先求出这些辅助场量 辅助场量 用这些辅助的场量与磁感应强度之间的关系，再求出磁感应强度 的解。矢量磁位就是这种辅助场量之一。 利用磁感应强度的散度为零 散度为零的特性，即： ∇ ⋅ B 散度为零 因为有矢量恒等式 因此，可以定义
因为如不加这种规范,矢量磁位就不是唯一的. 设A1是磁场的矢量磁位, 取 A2 = A1 + ∇ φ 则
∇ × A2 = ∇ × A1 + ∇φ = ∇ × A1 + ∇ × (∇φ ) = ∇ × A1 = B
电磁场导论 第4章 恒定磁场
磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。
' 定义： B 0 I dl e R 4 l R 2 ' 式中 R r r
写成一般表达式，即
0 B 4
Idl ( r r ) l r r 3
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law )
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布在有限区域内。 2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度 与旋度）。 3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成 0 K ( r ) ( r r ) J ( r ) ( r r ) B 0 d V B dS 3 3 V s 4 4 r r r r
K sin 0 0 B Bx e x dx e x 1 2 2 2 2 ( x y ) (sin y (x2 y2 )
1
2
x 0 K0 y dx 0 K0 arctg e e x 2 2 x 2 y 2 (x y )
4.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度
电流之间相互作用力通过磁场传递。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电荷之间相互作用力通过电场传递。
0 I ' dl e R F Idl l 4 l R 2 Idl B
'
F q
1 4 0
dV
R
2
V
eR
l
qE
例4.1.1 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K K0ez , 求其所产生的磁感应强度。 解：在电流片上取宽度为 dx 的一条无限长线电流，
' 定义： B 0 I dl e R 4 l R 2 ' 式中 R r r
写成一般表达式，即
0 B 4
Idl ( r r ) l r r 3
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law )
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布在有限区域内。 2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度 与旋度）。 3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成 0 K ( r ) ( r r ) J ( r ) ( r r ) B 0 d V B dS 3 3 V s 4 4 r r r r
K sin 0 0 B Bx e x dx e x 1 2 2 2 2 ( x y ) (sin y (x2 y2 )
1
2
x 0 K0 y dx 0 K0 arctg e e x 2 2 x 2 y 2 (x y )
4.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度
电流之间相互作用力通过磁场传递。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电荷之间相互作用力通过电场传递。
0 I ' dl e R F Idl l 4 l R 2 Idl B
'
F q
1 4 0
dV
R
2
V
eR
l
qE
例4.1.1 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K K0ez , 求其所产生的磁感应强度。 解：在电流片上取宽度为 dx 的一条无限长线电流，
工程电磁场--第4章--恒定磁场的基本原理
由一个电流元产生的磁感应强度为
dB
0 Iade 4a 2
er
0 Idez 4a
27
当整段圆弧电流产生的磁感应强度
B 0 Idez 0 Iez
0 4a
4a
2 时，
整个圆形线电流在圆心产生的磁感应强度
B 2 0 Iez 0 Iez
dB
0Idzez eR 4R 2
0 Idze 4R 2
sin
21
计算 P 点磁感应强度时，
场点坐标 r,, z 是不变量，
源点坐标 0,, z 中 z 是变量。
将变量转换为
R r , z z rctg , sin
dz
r sin 2
1 R
J dV
32
B
0 4
V
J R
1 R
J
d V
因 J 是电流密度，是 x, y, z 坐标的函数，
取旋度是对 x, y, z 坐标运算，
所以 J 0 。 因取旋度是对 x, y, z 坐标运算，
体积分是对 x, y, z 坐标运算，
4R2
4R2
24
计算 P 点磁感应强度时，场点坐标 0,, z 不变，
源点坐标 a,,0 中只有 是变量。
整个圆形线电流产生的磁感应强度 er 方向的分量 相互抵消，只有 ez 方向的分量。
B
2 0Iadsin ez
0
4R2
0Ia sin ez
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B4 0 VJ(rr) (rr3r)dV
B0 4
s
K(rr) (rr3r)dS
例4.1.1 的磁感应强度。
解：在电流片上取宽度为dx 的一条无限长线电流，
它在空间引起的磁感应强度为
dB12 0Id le 2 0K 0dx sin
由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。 根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为
lBdl02Bd0IR (3 2 R 3 2 R2 2 2)
4.2.1 磁通连续性原理 1. 恒定磁场的散度
可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。
B (x,y,z)4 0 V J(x,y r ,2z)erd V
两边取散度 B (x ,y ,z ) 4 0V J (x ,y r ,2 z ) e rd V 图3.2.1 计算体电流的磁场
（3）安培环路不交链电流
L B dlLBC d o l0 0s2 0I d0
（4）安培环路与若干根电流交链
LBdl0 Ik
该结论适用于其它任何带电体情况。
图4.2.11 证明安培环路定律用图
强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。
例4.2.1 试求无限大截流导板产生的磁感应强度B 解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）
4.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电荷之间相互作用力通过电场传递。
F
Idl 0 l 4
I'dl eR
R l'
2
l Idl B
F q 1
4 0
dV
V R2 eR
qE
定义： B0
4
I'dleR l R2
式中 R r r'
所以
B0
表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）
B0 可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。
2. 磁通连续性原理
B0
B dV 散度定理 B d S 0
V
s
这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，
称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律
(Gauss’s Law for the Magnetic field )。
I I 2 I 2
R12
R12
应用安培环路定律,得
lBdl02Bd0IR 122
B2 0R I1 2e
(1)
2) R1R2
B20Ie
2
lB d l 0B d0 I
(2)
3) R2 R3,这时穿过半 的 径圆 为面积的电流为
III 2R22 I R322
R32 R22
R32 R22
应用安培环路定律，得
图4.2.1 无限大截流导板
L B dlB 1 LB 2 LK0 M L
根据对称性 B1B2B
B
0K 2
ey
x 0
0K 2
ey
x0
例 4.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
图4.2.12 同轴电缆截面
解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，BB()e
1) 0R1 取安培环路(R1) 交链的部分电流为
4 0 V J(x,y,z) (1 r)dV
矢量恒等式
(A C ) C A A C
0
0
则 J ( x ,y ,z ) ( 1 r ) ( 1 r ) J ( x ,y ,z ) J ( x ,y ,z ) ( 1 r ) 0
4.1 磁感应强度
4.1.1 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用
力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。
电流 I ' 的回路对电流I回路的作用力 F
F0 Idl(I'dl'eR)
4 l l'
R2
式中真空中的磁导率04107 H/m
若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则
sBdS (韦)伯
3. 磁力线 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，
B 线的微分方程
Bdl0
图4.2.2 磁通连续性原理
在直角坐标系中
Bx By Bz dx dy dz
图4.2.3 B 的通量
B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；
磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。
写成一般表达式，即
B4 0
Idl(rr) l rr3
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law )
1）适用条件：无限大均匀媒质 ( )，且电流分布在有限区域内。
2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度 与旋度）。
3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成
图4.2.9 两对上下放置传输线的磁场分布
图4.2.10 两对平行放置传输线的磁场分布
4.2.2 磁通连续性原理
1. 安培环路定律（真空）
以长直导线的磁场为例B
0 I 2
e
（1）安培环路与磁力线重合
LBdl022I0d0I
（2）安培环路与磁力线不重合
L B d lLBC d o l0 2 s2 0I d 0I
• B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。
图4.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线）
图4.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线）
图4.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）
图4.2.7 两根异向长直流导线的磁场分布
图4.2.8 布
两根相同方向长直流导线的磁场分
第四章 恒定磁场
• 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导 体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时 还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。
• 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注 意类比法的应用。
B B xex
0 K 0 sin 2 (x 2 y 2 )12
dx
ex
(sin
y (x 2 y 2)12
无限大电流片及 B 的分布
02K 0y (x2dyx2)ex20K0 arctxyg ex
02K0ex
0K 2
0
e
x
y0 y0
4.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律