第十一章 量纲分析法(续)(2011-9-11)

f (π 1 , π 2 , ⋅⋅⋅, π n − m ) = 0
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问题7
在用布金汉π定理时，要选取 个相互基本物理 在用布金汉 定理时，要选取3个相互基本物理 定理时 如何合理的选择这3个基本物理量呢 个基本物理量呢？ 量，如何合理的选择这 个基本物理量呢？
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 ：（ ）基本物理量与基本量纲相对应。 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 ， ， ）为三个，那么基本物理量也选择三个； 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， ）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 ）为保证三个基本物理量相互独立， 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。 动力学量中各选一个，即可满足要求。
a2 = 1 b2 = 0 c2 = 0
D2 π2 = D1
a3 = −4 b3 = 2 c3 = 1
∆p π 3 = −4 2 D1 Q ρ
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5. 写出无量纲量方程
∆p D2 , , 4 2 )=0 f (π 1 , π 2 , π 3 ) = f ( −1 D1 Qρ D1 D1 Q ρ
η
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变 上式中的数可根据需要取其倒数， 它的无量纲性质。 它的无量纲性质。即：
D14Q 2 ρ D1−1Qρ D2 = f( , ) ∆p η D1
Q= D
2 1
∆p
D2 f1(Re, ) ρ D 1
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问题9
流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿 流体在水平圆管中作恒定流动， 程不变，管径为D，由于阻力的作用， 程不变，管径为 ，由于阻力的作用，压强将沿 流程下降，通过观察， 流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面 间的压强差∆p与断面平均流速 与断面平均流速V，流体密度ρ， 间的压强差 与断面平均流速 ，流体密度 ，动 力粘性系数µ以及管壁表面的平均粗糙度 以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素 力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 试用布金汉π定理求 的一般表达式。 试用布金汉 定理求∆p 的一般表达式。 定理求
dim ρ = L−3T 0 M 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。 故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
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3. 列出无量纲 值 列出无量纲π值 个无量纲的π值 列出 n − 3 = 6 − 3 = 3 个无量纲的 值。
π1 = η
D1a1 Q b1 ρ c1
D2 π 2 = a2 b2 c2 D1 Q ρ
a1 = −1 b1 = 1 c1 = 1
所以： 所以
π1 =
η
D Qρ
−1 1
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其量纲式为： 对于π2，其量纲式为：
L = La2 ( L3T −1 )b2 ( L−3 M )c2
其量纲式为： 对于π3 ，其量纲式为：
L−1T −2 M = La3 ( L3T −1 )b3 ( L−3M )c3
3
问题2
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？ 量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据 1.提出根据 （1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理 ）自然界一切物理现象的内在规律， 方法来表示。 方法来表示。 （2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 ）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性， 验过程、整理实验成果提供理论指导。 验过程、整理实验成果提供理论指导。
q = kH ρ g
a b
c
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3. 写出量纲表达式
dim q = dim( H ρ g )
a b c
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 、 、 作为基本量纲， 作为基本量纲 纲为
[ L T ] = [ L] [ ML ] [ LT ]
2 a
−1
−3 b
−2 c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
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问题5
求水泵输出功率的表达式。 求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
γ 功率N 功率N 与单位体积水的重量 = ρ g
有关。 程H有关。 有关
流量Q、 、流量Q、扬
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解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素， 根据题意可知，水泵的输出功率 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水 流量Q、扬程H 有关, 的重量 γ = ρ g 、流量 、扬程 有关,用函数关系 式表示为
b c π i = x1a x2 x3 xi
i i i
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅n − m)
4. 满足 为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各 满足π为无量纲相 由量纲和谐性原理定出各π 为无量纲相， 项基本物理量的指数a、 、 。 项基本物理量的指数 、b、c。 5. 写出描述现象的关系式。 写出描述现象的关系式。
f ( N , γ , Q, H ) = 0
2. 将N写成 ，Q，H的指数乘积形式，即 写成γ 的指数乘积形式， 写成 ， 的指数乘积形式
N = kγ Q H
a b
c
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3. 写出量纲表达式
dim N = dim(γ a Qb H c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 、 、 作为基本量纲， 作为基本量纲 纲为
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问题8
1 Q 1 2 D2 2
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量， 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和 断面和2-2 图所示，已知 断面和 断面之间的压强差△ 随流 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度 ，液体粘 ，流体密度ρ， 以及大小直径D 度η 以及大小直径 1，D2变 试用π定律求出的压强 化。试用 定律求出的压强 降落△ 表示的流量公式 表示的流量公式。 降落△p表示的流量公式。
6
瑞利法
7
问题4
试用瑞利法分析溢
H
流堰过流时单宽流量q 流堰过流时单宽流量 的表达式。已知q 的表达式。已知 与堰 顶水头H、水的密度ρ和 顶水头 、水的密度 和 重力加速度g 有关。 重力加速度 有关。
q
8
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素， 根据题意可知， 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关 有关， 系式表示为 q = f (H , ρ , g ) 2. 将q写成 ，ρ，g的指数乘积形式，即 写成H， 的指数乘积形式， 写成 的指数乘积形式
4
问题3
凡是正确反映客观规律的物理方程， 凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。
1 1/ 6 谢齐系数C的量纲 但是在曼宁公式 C = R 中，谢齐系数 的量纲 n
的量纲为L， 为无量纲量 为无量纲量， 为 L1/ 2T −1 ，R的量纲为 ，n为无量纲量，很明显量纲 的量纲为 是不和谐的， 是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。
可以看出函数中的变量个数 n＝6 ＝
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2. 选取基本物理量 选取三个基本物理量， 选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q 以及动力学量ρ 。 由量纲公式： 由量纲公式：
dim D1 = L1T 0 M 0 dim Q = L T M
3 −1 0
量纲指数行列式
1 0 3 0 = − 1 ≠ 0 − 1 − 3 1 0
D1
p h= g ρ
文丘里流量计
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解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 分析影响因素，
根据题意可知，压强差△ 与通过的流量Q， 根据题意可知，压强差△p与通过的流量 ，流体的 有关， 密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函数 关系式表示为： 关系式表示为：
f ( D1 , Q, ρ ,η , D2 , ∆p) = 0
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解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为 量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。 只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。 只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下， 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验 资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。 资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分， 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们 对流体本质的深刻认识， 对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式 所替代。 所替代。
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π定理
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问题6
简述布金汉π定理的运用步骤？ 简述布金汉 定理的运用步骤？ 定理的运用步骤 1.确定关系式 根据对所研究现象的认识， 确定关系式。 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量其关系式。 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。