任意角的三角函数知识点(随堂教学)

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完整版)三角函数知识点归纳

完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。

2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。

3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。

弧度与角度可以互相转换。

2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。

注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。

和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。

二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。

2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。

高一数学任意角的三角函数知识精讲.doc

高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】【知识点精析】1. 任意角的三角函数的定义：设P （x ，y ）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r （r ＞0），则sin cos αα==y r xr， tan cot αα==y x x y ， sec csc αα==r x r y，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。

注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P 点的选取无关。

②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P 点的理想位置。

2. 三角函数的定义域、值域确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P 的坐标中必有一个为0。

3. 三角函数值符号记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。

（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。

） 4. 诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。

即：sin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()k k Z k k Z k k Z ²°²°²°诱导公式一360360360+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪ααααααsin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()()222k k Z k k Z k k Z πααπααπαα+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2k π＋α，()k Z ∈，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。

三角函数任意角和弧度制知识点

三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。

α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。

终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。

终边落在坐标轴角的集合为__________________。

象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。

第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。

例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。

（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。

任意角的三角函数基本知识点(要)

任意角的三角函数知识点一、终边角：与α终边相同的角表示为。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合：1.x轴上2.y轴上3.坐标轴上4.第一象限5.第二象限6.第三象限7.第四象限 8.直线y＝x上二、弧度制：1、定义：2、公式：|α|＝3、换算：①度换弧度：180°＝弧度； 1°＝弧度②弧度换度：1弧度＝度；扇形：弧长L＝＝，面积S＝＝三、任意角的三角函数：①定义：角α终边的终边与单位圆的交点P(x，y)，则sinα= cosα= tanα=角α终边上任意一点交点P(x，y)，则r= ，则sinα= cosα= tanα=②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为M，则正弦线是余弦线是即sinα= ,cosα= .过点A(1,0)作交于点T即tonα= .③同角三角函数关系式：④三角函数的符号：（1）商数关系：（2）平方关系：⑤诱导公式：2kπ+α与απ—α与απ＋α与α)(βα+C )(βα-C)(βα+S )(βα-S )(βα+T )(βα-T⑧二倍角公式： α2Sα2C α2T三角函数的图象与性质答案一、终边角：与α终边相同的角表为k ·360° + α 。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合： 1. x 轴上 {},k k Z ααπ=∈2. y 轴上 ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3. 坐标轴上,2k k Z ααπ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭4. 第一象限22,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭5. 第二象限22,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭6. 第三象限322,2k k k Z παππαπ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭7. 第四象限3222,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭8. 第一或第三象限,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭9. 第二或第四象限,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭10. 直线y ＝x 上,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭11. 直线y ＝-x 上3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭二、弧度制：1、定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫一弧度的角.2、公式：|α|＝lr3、换算：① 度换弧度：180°＝π弧度；1°＝180π弧度②弧度换度：1弧度＝180π度；扇形：弧长L ＝180n rπ＝ r α，面积S ＝2360n r π＝12lr三、任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝，六个三角函数的定义依次是sin y r α=、cos x r α=、tan y α=cot x α=sec r α=csc r α= ②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则正弦线是MP 余弦线是OM即sin α=MP,cos α= OM.过点A(1,0)作切线交角的终边或反向延长线于点T ，则正切线是AT 。

三角函数知识点总结

三角函数知识点总结一、任意角的三角函数及诱导公式1．任意角的概念角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个边线转动至另一个边线阿芒塔的图形。

一条射线由原来的边线oa，绕着它的端点o按逆时针方向转动至中止边线ob，就构成角α。

转动已经开始时的射线oa叫作角的始边，ob叫做终边，射线的端点o叫作叫做α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指是某个角α具备同终边的所有角，它们彼此差距2kπ(k∈z)，即为β∈{β|β=2kπ+α，k∈z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都成正比。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|π5ππ5π≤α≤}=[，]。

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角存有正负零角之分后，它的弧度数也必须存有正负零之分后，例如-π，-2π等等，通常地,正角的弧度数就是一个正数，负角的弧度数就是一个负数，零角的弧度数就是0,角的差值主要由角的转动方向去同意。

角α的弧度数的绝对值是：=，其中，l就是圆心角面元的弧长，r就是半径。

r角度制与弧度制的换算主要抓住180=πrad。

弧度与角度交换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝π≈0.01745（rad）。

弧长公式：l=|α|r（α是圆心角的弧度数），扇形面积公式：s=4．三角函数定义在α的终边上余因子一点p(a,b),它与原点的距离r过p作x轴的垂线,垂足为m,则线段om的长度为a,线段mp的长度为b.11lr=|α|r2。

1.2.1 任意角的三角函数(2)

课件演示
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x

1.2.1 任意角的三角函数重难点题型(举一反三)(解析版)

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果．【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误，若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误，若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误，若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键．【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案．【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角；由②知，θ为第二或第四象限角．则角θ在第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查．【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③．故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负．【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题．【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得：（k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题．【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值．【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈，故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值：（1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ；【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．（2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可．（2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线．（1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }．（4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }．【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。

高中任意角的三角函数知识点+例题全面

辅导讲义――任意角的三角函数教学内容任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. [试一试]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第______象限角．2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．[练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．考点一角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．4.设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么集合M ，N 的关系是______．[类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______． (2)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．考点三扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．[针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 6．已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝______.第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9，其中符号为负的是________(填写序号)．6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.8．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；第Ⅱ组：重点选做题巩固基础和能力提升训练1．满足cos α≤－12的角α的集合为________． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．。

任意角的三角函数及基本公式

任意角的三角函数及基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第 18 讲任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。

难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。

1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。

任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。

⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。

射线顺时针旋转而成的角叫负角。

射线没有任何旋转所成的角叫零角。

2．弧度制⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。

注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。

⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

⑶ 设一个角的弧度数为α，则 rl=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。

⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。

⑸ 1π=︒弧度，1弧度︒=)180(。

必修四任意角的三角函数(附规范标准答案)

任意角的三角函数(一)[学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等．知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cosα＝x r ，tan α＝yx.思考角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？答案角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.题型一三角函数定义的应用例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ.解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx2＋9.又∵cos θ＝1010x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； (2)已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 (1)r ＝－4a2＋3a2＝5|a |.若a >0，则r ＝5a ，α是第二象限角，则 sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a－4a ＝－34，若a <0，则r ＝－5a ，α是第四象限角，则 sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.(2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点．则r ＝a 2＋3a2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a2a ＝12，tan α＝3a a＝3.若a <0，则α为第三象限，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝3.题型二三角函数值符号的判断例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.跟踪训练2 若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．答案四解析 ∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．题型三诱导公式一的应用例3 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.跟踪训练3 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.利用任意角的三角函数的定义求值，忽略对参数的讨论而致错例4 已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．错解令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k 2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.错因分析点P (24k,7k )中参数k 只告诉了k ≠0，而没有告诉k 的符号，需分k >0与k <0讨论，而上述解法错在默认为k >0. 正解当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝24k2＋7k 2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724. 当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝xr ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2 3．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.324．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝ .5．已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的三个函数值．一、选择题1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.323．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．与a 有关 4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π6 6．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5 二、填空题7．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为． 9．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .10．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x 的值域是．三、解答题11．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．12．求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.当堂检测答案1．答案 C解析 cos(－116π)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.2．答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．答案 A解析 ∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.4．答案－43解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43. 5．解因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－32＝13.于是sin α＝y r＝－313＝－31313，cos α＝x r＝213＝21313，tan α＝y x ＝－32.课时精练答案一、选择题 1．答案 B 2．答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝32.3．答案 C 解析 ∵a <0，∴r ＝－4a2＋3a 2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝yr ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.4．答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D. 5．答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos 2π3sin 2π3＝－33， ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π6. 6．答案 A解析 ∵r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35. ∴b ＝3.二、填空题7．答案一或二解析要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．8．答案－2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.9．答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10.∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.10．答案 {－4,0,2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0， sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2，故函数y ＝|sin x |cos x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}．三、解答题11．解当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255， cos α＝－15＝－55， tan α＝2.12．解 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32.。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

任意角的三角函数的定义-高中数学知识点讲解

任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α=푦푥．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则 cosα＝（）
43
A．5C．―5B．3
5D．―
4
5
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r =푥2+푦2= 5．
∴cosα=푥
푟=
―4
5=―
4
5
，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
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任意角的三角函数知识点及练习

任意角的三角函数知识点及练习一、任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

按旋转方向，角可分为正角、负角和零角。

正角：按逆时针方向旋转形成的角。

负角：按顺时针方向旋转形成的角。

零角：射线没有作任何旋转时形成的角。

为了研究方便，我们常在直角坐标系内讨论角。

角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

二、弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

弧度与角度的换算：因为周角的弧度数为2π，角度数为 360°，所以 180°＝π rad，1°＝π/180 rad，1 rad ＝（180/π）°扇形的弧长公式：l ＝｜α|r （α 是圆心角弧度数，r 为半径）扇形的面积公式：S ＝ 1/2 lr ＝ 1/2 ｜α|r²三、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝｜OP| ＝√（x²＋ y²) ，那么：正弦函数：sinα ＝ y/r余弦函数：cosα ＝ x/r正切函数：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）余切函数：cotα ＝ x/y （y ≠ 0）正割函数：secα ＝ r/x （x ≠ 0）余割函数：cscα ＝ r/y （y ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：sinα、cosα、tanα 均为正第二象限：sinα 为正，cosα、tanα 为负第三象限：tanα 为正，sinα、cosα 为负第四象限：cosα 为正，sinα、tanα 为负同角三角函数的基本关系：平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα诱导公式：诱导公式可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

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任意角的三角函数知识讲解一、角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点，始边，终边称为角的三要素．掌握角的概念应注意角的三要素：顶点，始边，终边．角可以是任意大小的．2.范围：R3.正角、负角、零角①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．4.终边相同的角:设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈．集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α．5.象限角:能用集合的形式表示终边落在四个象限以及坐标轴上的角，如：终边落在第一象限的角：或终边落在轴上的角：或．6.角的运算:掌握基本的角的运算如“”等．二、弧度制1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭{|36090360,}k k k Z αα︒<<︒+︒∈y |,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭{|90180,}k k Z αα=︒+︒∈,2,,2,22παπαπααα±±±2.弧度与角度的换算:，10.01745180radπ︒=≈︒，． 3.弧长与扇形面积公式:①弧长公式：②扇形面积公式：三、三角函数的概念1.定义:在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r >，那1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； 3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=； 4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.符号:1）正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； 2）余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； 3）正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．可以用右图表示：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．3.特殊角的三角函数：对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如180radπ︒=18015730=5718'rad π︒⎛⎫=≈︒︒ ⎪⎝⎭．l r α=21122S lr r α==4.三角函数线1）单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为(1,0)A，(1,0)A'-，而与y轴的交点分别为(0,1)B，(0,1)B'-．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos,sin)αα，即(c o s,s i n)Pαα．其中cos OMα=，sin ONα=．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T（或T'），则tan ATα=（或AT'）．2）有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．3）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(,)x y，α)过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T ．我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线．5.同角三角函数基本关系式平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x===典型例题一．选择题（共2小题）1．（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A． B． C．D．2．（2017春•莲湖区校级期中）若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系（）A．2x＞3sin x B．2x＜3sin xC．2x=3sin x D．与x的取值有关二．填空题（共3小题）3．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=．4．（2017春•林芝地区期末）已知，则=．5．（2017春•长安区校级期中）已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．三．解答题（共8小题）6．（2016春•台中市校级期中）已知角θ的终边经过点P（，m）（m≠0）且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．7．（2012秋•延川县校级月考）角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合．（1）若角α终边经过点（3，﹣4）．求角α的正弦函数值、余弦函数值．（2）若角α的终边经过点（4，y），且，求y的值．8．（2017秋•黄陵县校级期末）已知tanα=﹣，求的值．9．（2017春•长安区校级月考）已知，求y=sinβ﹣cos2α的最值．10．（2016春•咸阳校级期中）f（x）=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a的最小值为g（a），a∈R（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．。

知识讲解_任意角的三角函数_基础

要点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点 (或 )，则有向线段0M、0N、AT(或 )分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
举一反三：
【变式1】求证：当时，sin ＜＜tan 。
【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin =MP；
在Rt△AOT中，tan =AT。
又根据弧度制的定义，有。
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+ ，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1）（2）3
【解析】如图所示：在直角坐标系中，作出单位圆，把角的顶放到原点，角的始边放到x轴的正半轴上．
设的终边与单位圆的交点为B，单位圆和x轴的正半轴的交点为A，再作BM⊥x轴，M为垂足，则有BM=sin ，OM=cos ，OA=1．
（1）在单位圆中时，在[0，2π]的角度是，或，
所以取值范围为：，或，k∈Z．
∴ 为第一、三象限角，
∴ 为第三象限角，即角的集合为：．

(完整版)三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表： (2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。

(完整版)任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型

任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型知识梳理：1．任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0．定义：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r；y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x．另外，角α的正割：sec α＝1cos α＝rx ；角α的余割：csc α＝1sin α＝ry ；角α的余切：cot α＝1tan α＝xy．2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域三角函数定义域 sin α，cos α tan α，sec αcot α，csc α题型一：三角函数定义的应用例1. 已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．思维启迪：对m 的讨论必须全面，不能遗漏m=0例2. 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5跟踪练习：已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求sin cos αα+感悟：1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．题型二符号规律的应用例3.判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)．例4.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________跟踪练习：1. 若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2. 已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3} 3.．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________ 4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ能力提升：1若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．2. 若角α的终边过点0(2sin 30,2cos30)-，则sin α=______3. 角α的终边过点P 43(,)55m m --，且cos 0tan αα<，求sin tan αα+的值题型三：单位圆与三角函数线的应用1．单位圆与三角函数的定义一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．2．三角函数线三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．图示正弦线有向线段MP 即为正弦线余弦线有向线段OM 即为余弦线正切线有向线段A T 即为正切线例5在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12．能力提升: 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22 例6.已知点P (sin cos ,tan )ααα-在第一象限，在[]0,2π内，求α的取值范围例7.若如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：（1）sin α<α<tan α．（2）1sin cos 2παα<+<跟踪练习：1.已知5,44x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin x 与cos x 的大小关系是（）（A ）sin cos x x ≥（B ）sin cos x x ≤ （C ）sin cos x x >（D ）sin cos x x <2.下列四个命题中：（1）α一定时，单位圆中的正弦线一定；（2）单位圆中，有相同正弦的角相等；（3）α与απ+有相同的正弦线（4）具有相同正切线的两个角终边在同一直线上。

微专题25 任意角与三角函数的定义(解析版)

微专题25 任意角与三角函数的定义【方法技巧与总结】知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么：（1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=；（2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=；（3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=．（2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12223213222120 1-cos α132 22 12 012- 22-32-1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】题型一：任意角弧度与角度题型二：扇形弧长与面积题型三：三角函数定义【典型例题】题型一：任意角弧度与角度例1．给出下列四个命题：①34π-是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【解析】解：①35244πππ-=-+是第三象限角，①不正确， ②43π是第三象限角，②正确， ③400720320-︒=-︒+︒是第四象限角，③正确， ④31536045-︒=-︒+︒是第一象限角．正确，故选：C ．例2．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-【解析】解：钟表的时针按顺时针旋转，转过的弧度数为22123ππ-⨯=-，故选：B ．例3．如果角α与45x +︒具有相同的终边，角β与45x -︒具有相同的终边，那么α与β之间的关系是()A ．90αβ-=︒B ．0αβ+=︒C ．90360k αβ-=︒+⋅︒，k Z ∈D ．360k αβ-=⋅︒，k Z ∈【解析】解：45360x m α=+︒+︒45360x n β=-︒+︒m ，n ∈整数90360k k Z αβ-=︒+︒∈故选：C ．变式1．已知α为第二象限的角，则2απ-所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【解析】解：因为α为第二象限的角，所以2α为第一或第三象限的角，所以2α-为第二或第四象限的角，所以2απ-为第二或第四象限的角．故选：D ．变式2．已知a 是第二象限角，则2a 与2πα-都不是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】解：a 是第二象限角，∴222k k ππαππ+<<+，k Z ∈， ∴422k k παπππ+<<+，k Z ∈，∴2a是第一象限或第三象限角， 2222k k πππαπ--<-<-，∴2πα-是第一象限或第四象限角，∴2a 与2πα-都不是第二象限角．故选：B ．变式3．下列终边相同的角是( ) A ．2k ππ+与2k π，k Z ∈ B ．3k ππ+与3k π，k Z ∈C ．6k ππ+与26k ππ±，k Z ∈ D ．(21)k π+与(41)k π±，k Z ∈【解析】解：21k +与41()k k Z ±∈都表示奇数， (21)k π∴+与(41)k π±，()k Z ∈表示终边相同的角．故选：D ．变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并在0~360︒︒范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角．（1）230︒；（2）60-︒；（3）390︒；（4）140-︒；（5）470︒．【解析】解：在平面直角坐标系中：由图形可知：（4）2300360230︒=⨯︒+︒是第三象限角，在0~360︒︒范围内，230︒是与其终边相同的角；（2）601360300-︒=-⨯︒+︒是第四象限角，在0~360︒︒范围内，300︒是与其终边相同的角；（3）390136030︒=⨯︒+︒是第一象限角，在0~360︒︒范围内，30︒是与其终边相同的角；（4）1401360220-︒=-⨯︒+︒是第三象限角，在0~360︒︒范围内，220︒是与其终边相同的角；（5）4701360110︒=⨯︒+︒是第二象限角，在0~360︒︒范围内，110︒是与其终边相同的角．变式5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在0360α︒<︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）750︒；（2）795-︒；（3）95020︒'．【解析】解：（1）因为750236030︒=⨯︒+︒，所以在0360α︒<︒范围内，终边与750︒相同的角是30︒，它是第一象限角；（2）因为7953360285-︒=-⨯︒+︒，所以在0360α︒<︒范围内，终边与795-︒相同的角是285︒，它是第四象限角；（3）因为95020236023020'︒'=⨯︒+︒，所以在0360α︒<︒范围内，终边与95020︒'相同的角是23020'︒，它是第三象限角．变式6．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？【解析】解：时针每小时转过了360()12︒-，即(30)-︒，则每分钟转过了(0.5)-︒，而分针每分钟转过了360()60︒-，即(6)-︒，故2小时15分钟后，时针转过了(26015)(0.5)67.5⨯+⨯-︒=-︒；分针转过了(26015)(6)810⨯+⨯-︒=-︒， 2小时15分钟后为10点20分．此时如右图所示，分针指向4，时针则由10转过了20(0.5)10⨯-︒=-︒．变式7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．【解析】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为5{|22612a k a k ππππ-+，}k Z ∈ （2）图（2）阴影部分内的角的集合为{|62a k a k ππππ++，}k Z ∈变式8．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．【解析】解：图1所表示的角的集合：2{|2236k k ππαπαπ-<<+，}k Z ∈．图2终边落在阴影部分的角的集合．{|223k k παπαπ<<+，或22(21)}3k k k Z ππαπ+<<+∈．题型二：扇形弧长与面积例4．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π)Day ．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，2π的近似值的表达式是( ) A ．30306(sin tan )n n n ︒︒+ B ．303012(sin tan )n n n ︒︒+ C ．60606(sintan )n n n︒︒+ D ．606012(sintan )n n n︒︒+ 【解析】解：内接正6n 边形的边长为302sin n ︒，故其周长为3012sin n n︒，外切正6n 边形的边长为302tann ︒，故其周长为3012tan n n︒，两个周长的算术平均数为30306sin 6tann n n n︒︒+，故303026(sin tan )n n nπ︒︒≈+．故选：A ．例5．弧长为4π的扇形的圆心角为3π，则此扇形所在圆的半径为 12 ，此扇形的面积为．【解析】解：设圆的半径为r ，扇形面积为S ，由弧长4l π=，扇形的圆心角为3π，得43r ππ=，则12r =； 22111224223S r παπ==⨯⨯=．故答案为：12；24π．例6．已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为 1cm 和圆心角为弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是．【解析】解：扇形的周长为4cm ， 24r l ∴+=，即42l r =-，(02)r << 11(42)22S lr r r ∴==-222(1)1r r r =-+=--+∴当半径1r cm =时，扇形的面积最大为21cm ，此时，422()1l rad r α-===，故答案为：1cm ，2，21cm变式9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 21π-．【解析】解：如图所示：，设OA 的中点为D ，两半圆交于点C ，连接CD ，则CD OA ⊥，设扇形OAB 的半径为r ， 214OAB S r π∴=扇形，218OAC S r π=半圆，211112228COD S r r r ∆=⨯⨯=，221112168COD OC OAC S S S r r π∆∴=-=-弧半圆，∴两个圆的弧OC 围成的阴影部分的面积为221184r r π-， ∴图中阴影部分的面积为22222211111122()488442r r r r r r ππππ-⨯+-=-，∴此点取自阴影部分的概率是22211242114r r r πππ-=-．故答案为：21π-．变式10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是 63，弧田的面积是．【解析】解：如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6， 4263AOB ππα∴=∠==，可得3AOD π∠=，6OA =， 322sin26633AB AD OA π∴===⨯= ∴弧田的面积1146633129322OAB OAB S S S ππ∆=-=⨯⨯-⨯=-扇形故答案为：631293π-变式11．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该扇形面积为 9 该弧所对弦长为．【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，∴扇形所对的圆心角623α==， ∴扇形面积221132922S r α==⨯⨯=． ∴由余弦定理可得该弧所对弦长为：222233233cos21818cos21818(211)363616sin1cos cos +-⨯⨯⨯-=--=-．故答案为：9，6sin1．变式12．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为 6sin1 ，扇形面积为．【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，∴扇形所对的圆心角623α==， ∴由余弦定理可得该弧所对弦长为：222233233cos21818cos21818(211)3636cos 16sin1cos +-⨯⨯⨯-=--=-．∴扇形面积221132922S r α==⨯⨯=．故答案为：6sin1，9．变式13．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2时，求弧田（如图阴影部分所示）的面积；（2）已知该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，扇形周长是一定值(0)c c >，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？【解析】解：（1）由题意，如下图所示，2CD =，令圆弧的半径为R ，AOB ∠为23π，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，解得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOB S S S R OD AB π∆∆=-=-⋅⋅，3AB R =，∴16433S π=- （2）由题意知弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，扇形面积22S r α=，∴2222242(2)1642()848c c c c S αααααα===+++⋅+，当且仅当4αα=，即2α=时，等号成立，故α为2弧度时，该扇形面积最大．变式14．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R ．（1）若60α=︒，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值(0)C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，603πα=︒=，10R =，10()3l R cm πα∴==． 1101102101023266S S S sin cos πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯弓扇2350()()3cm π=．（2）扇形周长22C R l R R α=+=+， 2C RRα-∴=， 222221121()222164C R C C S R R R CR R R α-∴==⋅⋅=--=--扇．当且仅当4CR =，即2α=时，扇形面积最大．题型三：三角函数定义例7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．13(2-B ．31()2-C ．13(,)2-D ．31()2【解析】解：点P 从(0,1)出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，所以23QOx π∠=，所以2(cos3Q π，2sin )3π，所以13()2Q -．故选：A ．例8．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动43π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．13(2-B ．31()2-C ．13(,)2-D ．31()2【解析】解：点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动43π弧长到达Q 点，所以43QOx π∠=，所以4(cos3Q π，4sin )3π，所以13(,2Q -．故选：C ．例9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，且25sin θ=，则(y = )A ．8B ．8-C ．8±D ．4±【解析】解：角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,)P y 是角θ终边上一点，4x ∴=，216r y +，225sin 16y r yθ===+，8y ∴=-，故选：B ．变式15．已知点(cos ,tan )P θθ在第二象限，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：已知点(cos ,tan )P θθ在第二象限，cos 0θ∴<，tan 0θ>，则角θ的终边在第三象限，故选：C ．变式16．若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E ，F ，则( ) A ．E F B ．E F C ．E F = D ．E F =∅【解析】解：由题意{|E x x k π==，}k Z ∈，由2x k π=，得出2k x π=，k Z ∈．故{|2k F x x π==，}k Z ∈，x E ∀∈，可以得出x F ∈，反之不成立，故E 是F 的真子集，A 符合．故选：A ．变式17．已知角α的终边经过点(1,)P m ，且310sin α=，则cos (α= ) A ．10B ．10C 10 D ．13 【解析】解：因为角a 的终边经过点(1,)P m ，所以21OP m =+因为310sin α=23101m=+ 所以3m =-．（正值舍）故210cos 1m α=+ 故选：C ．变式18．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin120,cos120)P ︒︒，则α可以是( )A ．60︒B ．330︒C ．150︒D ．120︒【解析】解：(sin120,cos120)P ︒︒即31()2P -，所以P 在第四象限，如图：∴角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin120,cos120)P ︒︒，则α可以是：330︒．故选：B ．变式19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在射线340(0)x y x +=<上，则2sin cos αα+的值为 25．【解析】解：根据角α的终边落在射线340(0)x y x +=<上，在角α的终边上任意取一点(4,3)P a a -，0a >，则22||1695r OP a a a ==+=，33sin 55y a r a α∴===，44cos 55x a r a α-===-，故6422sin cos 555αα+=-=，故答案为：25．变式20．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第二象限．【解析】解：因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以，tan 0α<，cos 0α<，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．变式21．若角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线4y x =-上，且0x ，求sin α，cos α，tan α的值．【解析】解：在直线4y x =-上除了原点外任意取一点(,4)a a -，则17|r a =，0a 417sin 17||a α∴== 17cos 17||a α== 4tan 4a aα-==-．变式22．对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>与⑥tan 0θ<，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第一象限角的充要条件是 ①③⑤ ；（2）角θ为第二象限角的充要条件是；（3）角θ为第三象限角的充要条件是；（4）角θ为第四象限角的充要条件是．【解析】解：①sin 0θ>；②sin 0θ<；③cos 0θ>；④cos 0θ<；⑤tan 0θ>；⑥tan 0θ<．（1）当角θ为第一象限角时，反之也对的是①③⑤；（2）当角θ为第二象限角时，反之也对的是①④⑥；（3）当角θ为第三象限角时，反之也对的是②④⑤；（4）当角θ为第四象限角时，反之也对的是②③⑥．故答案为：（1）①③⑤；（2）①④⑥；（3）②④⑤；（4）②③⑥．。

高中数学第24讲(必修4)任意角的三角函数、同角公式与诱导公式

由同角公式得
sin x cos x 2sin x cos x
=
tan x 1 2 tan x 1
=
1 3
.
4.tan300°+
cos(450 ) sin 750
的值为 2 3
.
cos(45 ) =-tan60°+ sin(30 )
cos(360 45 ) 原式=tan(360°-60°)+ sin(720 30 )
4 C.-8π+3 4
B.-6πD.-9π+
5 4 7 4
分析 (1)先变形，再对整数k的奇、偶展
开讨论，找到角终边的具体位置，用数形结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写成2kπ+α的形式，满足α、k的限制条件.
(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°，k∈Z} 表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合.同理N={x|x=(k+1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，所以M N. (2)因为1305°=1305×
1)(k′∈Z)完全讨论，角度与弧度的互化，
除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁
性：角度、弧度要“分家”.
题型二三角函数的化简、求值例2
求
8 已知cosα=- 17 ，且 <α<π， 2 3
2 a)
sin(2 ) cos(
tan( ) cos( )sin(
3.运用诱导公式的关键在于函数名称
与符号的正确判断和使用.
课后再做好复习巩固.
谢谢！
再见！
王新敞特级教师源头学子小屋
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