任意角的三角函数知识点(随堂教学)

2.1任意角的三角函数

课前复习：

1. 特殊角的三角函数值记忆

新课讲解：

任意点到原点的距离公式：

1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=

+>，那么 （1）比值y r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r

叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等

于0，所以tan y x α=

无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值

y r 、x r 、y x 、x y

分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角

α的终边或其反向延长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA

α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 o x y M T P A o x y M T

P A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅰ） （Ⅲ）

说明：

（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线 在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

题型一：求解三角函数值

一般角：利用三角函数的定义

特殊角：先化为0至360度之间的角

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()

Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ

例1．求下列各角的四个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）

32

π．

例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。