2019-2020学年甘肃省兰州市高三一诊数学(理)模拟试题有答案
2019-2020学年甘肃省兰州市高考实战数学模拟试卷(理科)(有答案)
甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.B）=（）1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁uA．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．3πD．38．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．，，则的值为（）A．B．C．D．10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③ B．①④ C．①③④D．①②③④11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f （x ）=x ﹣alnx 在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= ．14．已知变量x ，y ，满足：，则z=2x+y 的最大值为 ．15．若f （x ）+f （x ）dx=x ，则f （x ）dx= ．16．α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β=EF，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF ．其中能成为增加条件的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1+a 2+a 3=15，且a 1+2，a 2+5，a 3+13构成等比数列{b n }的前三项． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表． 分数（分数段） 频数（人数） 频率 [60，70） 9 x [70，80） y 0.38 [80，90） 16 0.32 [90，100） z s 合计p1（1）求出上表中的x ，y ，z ，s ，p 的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA=PB ，O 为AB 的中点，OD ⊥PC ．（1）求证：OC ⊥PD ；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为300，求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F 1，F 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 21．已知函数f （x ）=+ax ，x ＞1．（Ⅰ）若f （x ）在（1，+∞）上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=2，求函数f （x ）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x ﹣m ）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）若AD=3DC ，BC=，求⊙O 的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在以原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P 坐标为，圆C 与直线l 交于 A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市高考实战数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R ，集合A={x|x ＜2}，B={x|lg （x ﹣1）＞0}，则A∩（∁u B ）=（ ） A ．{x|1＜x ＜2} B ．{x|1≤x ＜2} C ．{x|x ＜2} D ．{x|x ≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg （x ﹣1）＞0，可得x ﹣1＞1，可得B ，∁R B ．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B ）． 【解答】解：∵lg （x ﹣1）＞0，∴x ﹣1＞1，解得x ＞2． ∴B={x|lg （x ﹣1）＞0}=（2，+∞）， ∴∁R B=（﹣∞，2]． 则A∩（∁u B ）=（﹣∞，2）． 故选：C ．2．在复平面内，复数z 满足z （1﹣i ）=（1+2i ）（i 是虚数单位），则z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【解答】解：由足z （1﹣i ）=（1+2i ），得，∴z 对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B ．3．已知，为两个非零向量，设命题p ：|•|=||||，命题q ：与共线，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论． 【解答】解：设与的夹角为θ． 若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得 m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③ B．①④ C．①③④D．①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x 0=1，（x ≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x 的图象都是一条直线；故③错误， ④作出函数f （x ）的图象如图，∴f （x ）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减， 又∵a ，b ，c 互不相等，∴a ，b ，c 在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个， 不妨设a ∈（0，1]，b ∈（1，2），c ∈（2，+∞）， 则log 2a+log 2b=0， 即ab=1，则abc 的取值范围是c 的取值范围， ∵由﹣x+2=0，得x=4， 则2＜c ＜4， 则2＜abc ＜4，即abc 的取值范围是（2，4）．故④正确， 故选：B ．11．已知O 为坐标原点，双曲线上有一点P ，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A ，B ，若平行四边形OAPB 的面积为1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，设过P 平行于x+ay=0的直线为l ，求得l 的方程，联立另一条渐近线可得交点A ，|OA|，求得P 到OA 的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c ，进而得到所求双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x ±ay=0，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，设过P 平行于x+ay=0的直线为l ， 则l 的方程为：x+ay ﹣m ﹣an=0，l 与渐近线x ﹣ay=0交点为A ，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15] D．（﹣∞，6]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=x﹣alnx的导数为f′（x）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0，解得a=1．故答案为：1．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx= ．【考点】定积分．【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．1f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，【解答】解：对f（x）+∫由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．16．α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β=EF，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF ．其中能成为增加条件的序号是 ①或③ ． 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论． 【解答】解：①因为AC ⊥α，且EF ⊂α，所以AC ⊥EF ． 又AB ⊥α且EF ⊂α，所以EF ⊥AB ．因为AC∩AB=A，AC ⊂平面ACBD ，AB ⊂平面ACBD ，所以EF ⊥平面ACBD ， 因为BD ⊂平面ACBD ，所以BD ⊥EF ． 所以①可以成为增加的条件．②AC 与α，β所成的角相等，AC 与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF 与平面ACDB 不垂直，所以就推不出EF 与BD 垂直． 所以②不可以成为增加的条件．③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上 因为CD ⊥α且EF ⊂α所以EF ⊥CD ． 所以EF 与CD 在β内的射影垂直， AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上 所以EF ⊥AC ，因为AC∩CD=C，AC ⊂平面ACBD ，CD ⊂平面ACBD ，所以EF ⊥平面ACBD ， 因为BD ⊂平面ACBD 所以BD ⊥EF ． 所以③可以成为增加的条件．④若AC ∥EF ，则AC ∥平面α，所以BD ∥AC ，所以BD ∥EF ． 所以④不可以成为增加的条件． 故答案为：①③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1+a 2+a 3=15，且a 1+2，a 2+5，a 3+13构成等比数列{b n }的前三项． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n ．再利用等比数列的通项公式即可得出b n ． （2）利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d ，则由已知得：a 1+a 2+a 3=3a 2=15，即a 2=5， 又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍）， a 1=a 2﹣d=3，∴an =a1+（n﹣1）×d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2∴．（2）∵，，两式相减得，则．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9 x[70，80）y 0.38[80，90）16 0.32[90，100）z s合计p 1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，∴x==0.18，y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．s=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…，，，…随机变量X的分布列为：X 0 1 2P因为，所以随机变量X的数学期望为l．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM ⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…解：（2）在矩形ABCD 中，由（1）得OD ⊥OC ，∴AB=2AD ，不妨设AD=1，则AB=2． ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形， ∴DA ⊥平面PAB ，CB ⊥平面PAB ，△DPA ≌△DPA ， ∴∠DPA 为直线PD 与平面PAB 所成的角 ∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，∴DP=CP=2，∴△PDC 为等边三角形，… 设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，则∠DMN 为二面角D ﹣PC ﹣B 的一个平面角． 由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt △PMN 中，，，∵，∴，∴ND 2=3+1=4，∴，即二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值﹣．…20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F 1，F 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为，求以F 2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的极小值；（Ⅲ）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．（Ⅱ）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．（Ⅲ）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（Ⅱ）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，x＞1．，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅱ）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点 P 坐标为，圆C 与直线l 交于 A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得（3﹣t ）2+（t ）2=5，即t 2﹣3t+4=0设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3又直线l 过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|（a ∈R ）（1）当a=4时，求不等式f （x ）≥5的解集；（2）若f （x ）≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|≥|a ﹣1|，由题意可得|a ﹣1|≥4，与偶此解得 a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f （x ）≥5，即|x ﹣1|+|x ﹣4|≥5，等价于，，或，或． 解得：x ≤0或 x ≥5．故不等式f （x ）≥5的解集为{x|x ≤0，或 x ≥5}． …（Ⅱ）因为f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f （x ）min =|a ﹣1|．…由题意得：|a ﹣1|≥4，解得 a ≤﹣3，或a ≥5． …。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，{|21}(,0)x B x =<=-∞， 则(,1)A B =-∞U ． 故选：D ．2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )A ．5BC ．13D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，得22||13z z z ===g ． 故选：C ．3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )A ．3B C ．D ．5【解答】解：Q 平面向量,a b rr 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=rr r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r故选：B ．4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．BCD ．-【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =， 所以抛物线的方程为：24y x =， 所以焦点(1,0)F ， 所以2222MF k ==， 故选：A ．5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x =+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22cos(2)cos2()||||()()x xf x ln x ln x f x x x--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； 又cos2(1)1cos201f ln =+=<，可排除D ． 故选：A ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．2【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by xx a=±，圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有2ba=，即2b a =， 则22225c a b a =+=，即5c a =， 则双曲线的离心率5ce a==． 故选：B ．7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得1234535x ++++==，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =++++=，0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，所以线性回归方程为0.0420.026y x =-， 由0.0420.0260.5x ->，得13x …，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确； 在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确． 故选：C ．9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减； 因为12ln π<<，1201e -<<，所以12()()a f ln b f e π-=<=，2221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211(log )(log )(266c f f ==-∈，3)，所以c a <， 故选：A ．10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 【解答】解：将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数11()sin()26f x x π=+．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象，令123x k ππ+=，k Z ∈，则223x k ππ=-，k Z ∈， 当1k =时，43x π=， 则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3π，0) 故选：D ．11．（5分）若1)n x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．56【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，则展开式的通项公式为8848331888811()()k kk k n kk k k k k k k T C C C x C x x x-----+=====， 当2k =时，对应的有理项为，2828C =， 当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=， 当8k =时，对应的有理项为，8x -，则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=， 故选：A ．12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，令2()x e h x x =，则3(2)()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）24e =；又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，24e m ∴>．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出可行域，如图：由2z x y =-可得1122y x z =-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点A 时z 最大由20220y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法， 若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯， 若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，则共有44444444444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：134415．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．【解答】解：因为cos 20B B -=， 所以2sin()26B π+=即sin()16B π+=， 所以13B π=，因为1b =，由余弦定理可得，222221()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…， 解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号， 所以13abc a c ++=++„， 又1a c b +>=， 所以2a b c ++>， 故23a b c <++„， 故答案为：(2，3]．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图： 取34O O 的中点E ，△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633O E ， 263322133O F == 22161(213)216O F =-=所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+， 可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-； （2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，则2(12)1(2482)(13521)(121)122n nn S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--1222n n +=+-．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)． 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u uu r u u u r r r g g ，0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13123n >==⨯r ．1BD ∴与该平面所成角的正弦值为13．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624P P ξξ==⨯===⨯+⨯=，111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111(80)4624P ξ==⨯=， 故ξ的分布列为ξ 0 20 40 60 80 P1241451214124ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为14030060002⨯⨯=（元)． 20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，c a b =，所以椭圆的方程为22186x y +=，（2）设直线MN 的方程为2x my =+， 联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=， 所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+， 所以12121122OAM OANOMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．令t =，则t所以OMAN S t t==+四边形因t2t t +…所以OMAN S 四边形„，当且仅当t =0m =时取等号． 即四边形OMAN面积的最大值 21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． 【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上单调递减，1(a ，)+∞上单调递增，③当1a =时，2(1)()0x f x x-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，④当1a >时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，（2）证明：当2a =-时，要证：1()2x f x e x x<--，只要证2x lnx e +<， 令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1()x g x e x'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<故存在0(0,1)x ∈使得001x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减， 故000000011()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+， 因为0(0,1)x ∈，0012x x +>， 所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…． 【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<， 等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩…，解得11x -<„或12x <<或24x <„， 所以原不等式的解集为{|14}x x -<<， 由题意可得1m =-，4n =； （2）证明：由（1）可得41x y +=，由0x >，0y >，可得11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…， 当且仅当123y x ==时等号成立，故119x y+…，即9x y xy +…．。
甘肃省兰州市2019届高三一诊数学(理)试题
甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）2．A. B. C. D.2．设为虚数单位，，若是纯虚数，则A. 2B.C. 1D.3．已知条件：，条件：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知是锐角，若，则A. B. C. D.5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）A. B. C. 或 D. 或6．设向量满足，则 ( )A. 6B.C. 10D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 32C. 96D. 488．已知随机变量服从正态分布，且，（）A. B. C. D.9．《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚尺，现用程序框图描述该问题，则输出（）A. B. C. D.10．函数的图象大致为（）A. B.C. D.11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b=c，=，若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为（）A. B. C. D.1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=x﹣alnx在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a=．14．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；①AC与α，β所成的角相等；①AC与CD在β内的射影在同一条直线上；①AC ∥EF．其中能成为增加条件的序号是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9x[70，80）y0.38[80，90）160.32[90，100）z s合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD 为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（①）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（①）若a=2，求函数f（x）的极小值；（①）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（①）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（①）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．甘肃省兰州市2019届高三一诊数学（理）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．C2．C3．A4．D5．C6．D7．A8．C9．D10．C11．B12．C【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率k 用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f （x ）=x ﹣alnx 在点（1，1）处的切线方程为y=1，则实数a= 1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a 的方程，即可得到所求值．【解答】解：函数f （x ）=x ﹣alnx 的导数为f′（x ）=1﹣，由在点（1，1）处的切线方程为y=1，可得在点（1，1）处的切线斜率为1﹣a=0， 解得a=1．故答案为：1．14．已知变量x ，y ，满足：，则z=2x +y 的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15．若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）dx=．【考点】定积分．【分析】对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．【解答】解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f （x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．16．α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；①AC与α，β所成的角相等；①AC与CD在β内的射影在同一条直线上；①AC∥EF．其中能成为增加条件的序号是①或①．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】将每一个条件作为已知条件进行分析证明，得出结论．【解答】解：①因为AC⊥α，且EF⊂α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．①AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以①不可以成为增加的条件．①AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．①若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以①不可以成为增加的条件．故答案为：①①．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{a n}中，已知a n＞0，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n．再利用等比数列的通项公式即可得出b n．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设设等差数列的公差为d，则由已知得：a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5﹣d+2）（5+d+13）=100，解得d=2或d=﹣13（舍），a1=a2﹣d=3，∴a n=a1+（n﹣1）×d=2n+1，又b1=a1+2=5，b2=a2+5=10，∴q=2∴．（2）∵，，两式相减得，则．18．为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60，70）9x[70，80）y0.38[80，90）160.32[90，100）z s合计p1（1）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的x，y，x，s，p的值．（①）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（1）由题意知，参赛选手共有p==50人，∴x==0.18，y=50×0.38=19，z=50﹣9﹣19﹣16=6．s=．（①）由（①）知，参加决赛的选手共6人，随机变量X的可能取值为0，1，2…，，，…随机变量X的分布列为：X012P因为，所以随机变量X的数学期望为l．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD 为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．（1）求证：OC⊥PD；（2）若PD与平面PAB所成的角为300，求二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥OD，OP⊥OC，∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，∴OD⊥OC，…又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，∴OC⊥PD．…解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D ﹣PC﹣B的一个平面角．由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，，，∵，∴，∴ND2=3+1=4，∴，即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…20．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（①）由椭圆的离心率为，且经过点，求出a，b，c，由此能求出椭圆方程．（①）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式、直线与圆相切，结合已知条件能求出圆的方程．【解答】解：（①）∵椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为F1，F2．∴，a=2c，∴a2=4c2，b2=3c2，将点的坐标代入椭圆方程得c2=1，故所求椭圆方程为．…（①）设直线l的方程为x=ty﹣1，代入椭圆方程得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，判别式大于0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），△AF2B的内切圆半径为r0，则有，，∴=，而==，∴，解得t2=1，∵所求圆与直线l相切，∴半径=，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=2．…21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（①）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（①）若a=2，求函数f（x）的极小值；（①）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（①）求出函数的导数，通过f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的不等式，利用二次函数的求出最小值，得到a的范围．（①）利用a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，然后求解函数的极值．（①）化简方程（2x﹣m）lnx+x=0，得，利用函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，结合由（①）可知，f（x）的单调性，推出实数m的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（①）函数f（x）=+ax，x＞1．，由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（①）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时，f'（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x）的极小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（①）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（①）可知，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当x→1时，，∴，实数m的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（①）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（①）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（①）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（①）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（①）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（①）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式．【分析】（①）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（①）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】解：（①）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5}．…（①）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…。
2019年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)-含详细解析
2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. ，或3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C.D.4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A.B.C.D.6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D.9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B.C. 40D.10.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cosx，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=asinx+cosx在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=asinx+cosxf′（x）=acosx-sinx，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则acosx-sinx≥0在[-，]上恒成立，故a≥tanx在[-，]上恒成立，而y=tanx在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cosA，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6，或-16（舍去），∴S △ABC=AB•AC•sinA==15．故选：B．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选：D．由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，列联表如下表所示：∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，∵M 是棱PC 的中点，∴EM ∥CD ，且EM =CD ，∵AB ∥CD ，AB =2，CD =4， ∴EM ∥AB ，EM =AB ，∴四边形ABME 是平行四边形，∴BM ∥AE ， ∵BM ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ．解：（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），P （0，0，2），A （ ，-1，0），B （ ，1，0），C （0，4，0），M （0，2，1）， =（0，2，0）， =（- ，1，1）， =（- ，3，0）， 设=（x ，y ，z ）是平面ABM 的一个法向量， 由，即 ，令x = ，得 =（ ， ， ）， 设=（x ，y ，z ）是平面CBM 的法向量， 由，即 ，令y =1，得 =（ ，1，2）， cos ＜ ， ＞===， ∵二面角A -BM -C 的平面角为钝角，∴二面角A -BM -C 的余弦值为-． 【解析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，推导出四边形ABME 是平行四边形，从而BM ∥AE ，由此能证明BM ∥平面PAD ．（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx + ，代入椭圆方程+y 2=1整理可得得（1+4k 2）x2+8 kx +4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-xlnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），＜，，＞，（2分）当＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。
2020届甘肃省兰州市高三一诊数学(理)模拟试题有答案
兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。
甘肃省兰州市2019届高三第一次诊断考试理数试题 含答案
函数 y f ( x) 在其定义域内为增函数，单调递增区间为 (0, ) .
（2）①当 a 0 时， f ( x )
1 2 1 x 2 x ( x 2)2 2 ( x 0) 2 2
由于 f (4) 0 ，故函数有且只有一个零点； ②当 a 1 时，由(1)知函数 y f ( x ) 在其定义域内为增函数， 由于 f (e)
则 f ( x ) 所以，当 a 1, b 1 时， a b 0 ，满足条件， a b 的最小值是 0.
三、解答题 （一）必考题 17. 解：（1）由已知得 5b sin A cos C 5c sin A cos B 3a 由正弦定理可得： 5 sin B sin A cos C 5 sin C sin A cos B 3 sin A sin A 0 5 sin B cos C 5 sin C cos B 3
……7 分
则点 M 到直线 l 的距离 d
2 cos φ 2 sin φ 3 2 5
y1 2 y1 y 2y ，k 2 2 2 2 2 , 2 y2 y1 2 y2 2 1 2
设 A(
……8 分
k1
y 1 2
2 1
2 4 2 2 2 2 2 2 y14 y2 y2 y1 8 y12 y2 4 ( y12 y2 ) 2)2 ( y12 2)2 y2 ( y2 2)2 y12 1 1 ( y12 2)2 ( y2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1 k2 4 y1 4 y2 4 y1 y2 4 y1 y2
解得 a 由 h( 1) 2a 2a 4 0 得， 2 a 1 ，此时 1 a 2 不满足②恒成立；
2019年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)-含详细解析
2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. B.C. D. ，或3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C.D.4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A.B.C.D.6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D.9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B.C. 40D.10.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）已知这120件产品来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cosx，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=asinx+cosx在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=asinx+cosxf′（x）=acosx-sinx，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则acosx-sinx≥0在[-，]上恒成立，故a≥tanx在[-，]上恒成立，而y=tanx在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cosA，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6，或-16（舍去），∴S △ABC=AB•AC•sinA==15．故选：B．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选：D．由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，列联表如下表所示：∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，∵M 是棱PC 的中点，∴EM ∥CD ，且EM =CD ，∵AB ∥CD ，AB =2，CD =4， ∴EM ∥AB ，EM =AB ，∴四边形ABME 是平行四边形，∴BM ∥AE ， ∵BM ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ．解：（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），P （0，0，2），A （ ，-1，0），B （ ，1，0），C （0，4，0），M （0，2，1）， =（0，2，0）， =（- ，1，1）， =（- ，3，0）， 设=（x ，y ，z ）是平面ABM 的一个法向量， 由，即 ，令x = ，得 =（ ， ， ）， 设=（x ，y ，z ）是平面CBM 的法向量， 由，即 ，令y =1，得 =（ ，1，2）， cos ＜ ， ＞===， ∵二面角A -BM -C 的平面角为钝角，∴二面角A -BM -C 的余弦值为-． 【解析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，推导出四边形ABME 是平行四边形，从而BM ∥AE ，由此能证明BM ∥平面PAD ．（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx + ，代入椭圆方程+y 2=1整理可得得（1+4k 2）x2+8 kx +4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-xlnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），＜，，＞，（2分）当＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
【附加15套高考模拟试卷】甘肃省兰州市2020年高三第一次诊断考试数学(理)含答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是___．
14．正项等比数列{an}中，存在两项 am ， an ，使得
7．设 a R ，函数 f x 在区间 0, + 上是增函数，则（ ）
A． f
a2 a 2
f
7 4
f
C．
a2 a 2
f
7 4
B． f
a2 a 2
f
7 4
f
D．
a2 a 2
f
7 4
8．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
.当
时，求不等式
的解集；当不等式
的解集为 时，求
实数 的取值范围.
18．（12 分）已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1 x) k(x3 3x) （ k R ）当 k 3 时，求曲线 y f (x)
4．设函数 f (x) ex x 2 ， g(x) ln x x2 3 若实数 a, b 满足 f (a) 0 ， g(b) 0 则（ ）
A． g(a) 0 f (b)
B． f (b) 0 g(a)
C． 0 g(a) f (b) D． f (b) g(a) 0
5．已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 的图象经过点 (1, 2) ，且满足 f (x) f (x) ，当 0 a b时不 等式 f (b) f (a) 0 恒成立，则不等式 f (x 1) 2 0的解集为（ ）
2019届甘肃省兰州市高考实战模拟考试数学理科试卷【含答案及解析】
2019届甘肃省兰州市高考实战模拟考试数学理科试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足，则的实部为（）A. B. C. 1 D.3. 设向量，，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件________B. 必要不充分条件C. 充要条件________D. 既不充分也不必要条件4. 若等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.5. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（________ ）A．2014____________________ B．2015______________ C．2016____________________ D．20176. 已知，，的坐标满足，则面积的取值范围是（）A. B. C. D.7. 某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A. 种________B. 种________C. 种________D. 种8. 某几何体的三视图如图所示，则下列说法正确的是（）①该几何体的体积为；②该几何体为正三棱锥；③该几何体的表面积为；④该几何体外接球的表面积为 .A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9. 若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（）A. 4B.C. 2D.10. 已知长方体中，，与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11. 已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，与双曲线相交于点，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.12. 已知，定义运算“ ”：，函数，，若方程只有两个不同实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 若，，则 __________ ．14. 观察下列式子：1，，，，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于，则__________ ．15. 已知函数：① ；② ；③；④ .其中，最小正周期为且图象关于直线对称的函数序号是 __________ ．16. 已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 __________ ．三、解答题17. 在中，的对边分别为，若.（1）求角；（2）如果，求面积的最大值.18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量，求的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.19. 如图所示的空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点 .（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.21. 已知函数在处的切线方程为 . （1）求实数的值；（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点；过点与直线平行的直线为，与曲线相交于两点 .（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；（2）求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当时，解关于的不等式；（2）若函数存在零点，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2019年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)与解析
2019年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，B⊆A，则集合B中的元素个数至多是（）A．3B．4C．5D．62．（5分）若复数z＝（﹣1+i）（2i+1），则复数z对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A．8B．4C．2D．4．（5分）已知向量，，∥，＝﹣3，||＝2，则||＝（）A．B．﹣3C．3D．5．（5分）某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A．50B．55C．100D．1107．（5分）已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（﹣），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A．168B．169C．337D．3389．（5分）若点P是函数y＝图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的范围是（）A．[0，]B．[，]C．[，）D．（，] 10．（5分）在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q满足＝||||且||＝||，其中≠0，≠0，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．+y2＝112．（5分）已知函数f（x）＝x2+ln（|x|+1），若对于x∈[﹣1，2]，f（x2+2ax﹣2a2）＜9+ln4恒成立，则实数a的范围是（）A．﹣1＜a ＜B．﹣1＜a＜1C．a ＞或a ＜D ．＜a ＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理科数学试卷附答案解析
2019年甘肃省高考一诊试卷数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A,—— H—i B.———i C.—— H i 252525252525【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为a+bi的形式，由此得出正确选项.71 D,—2525【详解】依题意,(l+i)(3+4i)_—l+7i八乱一(3—42)(3+4，)25~17—方+云'，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集U=R,集合A={x\-3<x<l},B={x\x<—2或x>2},那么集合A n(C…B)=()A.{x|—3<x<—2}B.{x|—3<x<2}C.(x|—2<x<1}D.(x|x<lgfcx>2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合B的补集，然后求其与集合A的交集.【详解】依题意C u B={x\-2<x<2},故/10(^6)={%|-2<%<1},故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.2,713.己知平面向量片的夹角为与■,淑=(0,—1),|日|=2,贝!]|2a+B|=()A.4B.2C.2^/2D.2龙【答案】B【解析】【分析】将\2a+t\两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意 |2』+ = J(2& + 酣=^4a 2 + 4a-b + b 2 = f4 + 4xlx2x (-：) + 2?=皿=2.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线v v 22 = 8x 的焦点到双曲线二-/ = 1的渐近线的距离是()4R 2扼5C 四!. 5【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为(2,0),双曲线的渐近线为y= ±2x,其中一条为2x-y = 0,由点到直线的距4 4a /5离公式得d = — = —^~.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础 题.5.已知函数的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A. f(x) = e 闵.cosxC. /(x) =+ cosx 【答案】D【解析】【分析】 B. f(x) = ln\x\ • cosx D. f(x) = ln\x\ + cosx根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B 两个选项，4；) = 0,不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f(l) = e + cosl>L 不符合 图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.71 716.若函数/(x) = asiwc + cosx 在［-弓引为增函数，则实数。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学(理)试题
甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．38．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．，，则的值为（）A．B．C．D．10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．12．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p ，q ，若不等式＞1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15，+∞） B ．[6，+∞） C ．（﹣∞，15] D ．（﹣∞，6]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若sin sin 1αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-= ． 14.观察下列式子：1，121++，12321++++，1234321++++++，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于*n N ∈，则1221n ++++++= ．15.已知函数：①()2sin(2)3f x x π=+；②()2sin(2)6f x x π=-；③1()2sin()23f x x π=+；④1()2sin()23f x x π=-.其中，最小正周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数序号是 ． 16.已知定义域为[0,)+∞的函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，2()24f x x x =-+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan tan 1)A C A C +-.（1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求X 的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.19. 如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//EG AD ，1EF EG ==，3AE =.（1）求证：平面CFG ⊥平面ACE ；（2）求平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1(2,0)F -，点B 在椭圆C 上，直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 分别与y 轴交于点,M N .（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.21. 已知函数2()ln f x ax bx x x =++在(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）设2()g x x x =-，若k Z ∈，且(2)()()k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点(1,1)B ，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且l 过点A ；过点B 与直线l 平行的直线为1l ，1l 与曲线C 相交于两点,M N .（1）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）求||MN 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-++.（1）当3a =时，解关于x 的不等式|1|||6x x a -++>；（2）若函数()()|3|g x f x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围.甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题试卷答案一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，∁R B．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴∁R B=（﹣∞，2]．则A∩（∁u B）=（﹣∞，2）．故选：C．2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得，∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x0=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，④作出函数f（x）的图象如图，∴f（x）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减，又∵a，b，c互不相等，∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，不妨设a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），则log2a+log2b=0，即ab=1，则abc的取值范围是c的取值范围，∵由﹣x+2=0，得x=4，则2＜c＜4，则2＜abc＜4，即abc的取值范围是（2，4）．故④正确，故选：B．11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A ．[15，+∞）B ．[6，+∞）C ．（﹣∞，15]D ．（﹣∞，6] 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可．【解答】解：因为p ≠q ，不妨设p ＞q ，由于，所以f （p +1）﹣f （q +1）＞p ﹣q ，得[f （p +1）﹣（p +1）]﹣[f （q +1）﹣（q +1）]＞0，因为p ＞q ，所以p +1＞q +1，所以g （x ）=f （x +1）﹣（x +1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x ）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a ＞（2x +3）（x +2）的最大值， 因为x ∈（0，1）时（2x +3）（x +2）＜15， 所以实数a 的取值范围为[15，+∞）． 故选：A ． 二、填空题2n 15. ② 16. 2142n --三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵tan tan tan 1)A C A C +=-，即tan tan 1tan tan A CA C+=-∴tan()A C += 又∵A B C π++= ∴tan B =由于B 为三角形内角，故3B π=（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+∵222a c ac +≥ ∴4ac ≤，当且仅当2a c ==时等号成立∴ABC ∆的面积11sin 422S ac B =≤⨯=∴ABC ∆面积的最大值为18. 解：（Ⅰ） 根据题中条件可得关于商品和服务的22⨯列联表：22200(80104070)100=11.11110.82815050120809K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关. （Ⅱ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为8022005= X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5，则X ～2(5,)5B ，所以53(0)()5P X ==，114523(1)()()55P X C ==，223523(2)()()55P X C ==，332523(3)()()55P X C ==，44523(4)()()55P X C ==，52(5)()5P X ==分布列为：由于X ～2(5,)5B ，所以2()525E x =⨯=，226()5(1)555D X =⨯⨯-= 19. 解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC 设AB ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，则MN ∥BD ，连接FM ，GN ，则FM ∥GN 且FM GN =，所以MN ∥FG ，所以BD ∥FG由于AE ⊥平面ABCD ，所以 AE ⊥BD 所以FG AC ⊥，FG AE ⊥，所以FG ⊥平面ACE所以平面CFG ⊥平面ACE （Ⅱ）解法一：∵EG ∥AD ，∴EG ∥BC∴平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角即为平面EBCG 与平面ABCD 所成的锐二面角连接BE ，∵AE ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥ ∴BE BC ⊥ ∴EBA ∠为平面EBCG 与平面ABCD 所成二面角的一个平面角 ∵3AE =，2AB =∴BE =∴cos AB EBA EB ∠==即平面CEG 与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为13解法二：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)(0,0,3)A B C E ，，(0,1,3)G 依题意(0,0,3)AE =为平面ABCD 的一个法向量， 设(,,)n x y z =为平面CEG 的一个法向量，则00n CE n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2302230x y z x y z --+=⎧⎨--+=⎩令3x =， 则0,2y z ==，所以(3,0,2)n =设平面C E G 与平面A B C D 所成的锐二面角为α，则3c o s ||||||313AE n AE n α⋅===⋅ 即平面CEG 与平面ABCD 20. 解：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a ba b+=>>∵椭圆的左焦点为1(20)F -，， ∴224a b -=． ∵点(B 在椭圆C 上， ∴22421a b +=． 解得，28a =，24b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）依题意点A 的坐标为(-，设00(,)P x y （不妨设00x >），则00(,)Q x y --由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得00x y ==所以直线AP的方程为y x =+直线AQ的方程为y x =+所以M，N所以，|||MN =-=设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为(0,，则以MN 为直径的圆的方程为22222(12)(k x y k k +++=，即224x y y k++=令0y =得2x =或2x =-，即以MN 为直径的圆经过两定点1(2,0)P -，2(2,0)P 21. 解：（Ⅰ）()21ln f x ax b x '=+++， 所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ，0b = （Ⅱ）由（Ⅰ）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2>x 恒成立， 设ln ()(2)2x x xh x x x +=>-，则242ln ()(2)x x h x x --'=-， 令()42ln (2)m x x x x =-->，则22()10x m x x x-'=-=>， 所以函数()m x 为(2,)+∞上的增函数.因为2(8)42ln842ln 440m e =-<-=-=，3(10)62ln1062ln 660m e =->-=-=所以函数()m x 在(8,10)上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当0x x <时，()0m x >，即()0h x '> 所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增 所以000000min 0004(1)ln 2()()212x x x x x x h x h x x x -++====-- 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈，又因Z k ∈ 所以k 最大值为422. 解：（Ⅰ）因为)4A π，且A l ∈，所以)44a ππ-=，即a =所以直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=所以cos cossin sin44ππρθρθ+=即直线l 的直角坐标方程为8x y += 设曲线C上的点到直线l 距离为d ，则||7s i n ()8|d ==所以曲线C 上的点到直线l 距离的最小值为==（Ⅱ）设1l 的方程为0x y m ++=，由于1l 过点B ，所以2m =-，所以1l 的方程为20x y +-=故1l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），曲线C 的普通方程为22143x y +=所以223(1)4(1)1222-++=，即有27100t +-=所以121210+77t t t t =-⋅=-所以12||||MN t t =-=7== 23.解：（Ⅰ）当3a =时，不等式为|1||3|6x x -++>即3136x x x ≤-⎧⎨--->⎩或31136x x x -<≤⎧⎨-++>⎩或1136x x x >⎧⎨-++>⎩解得：4x <-或2x >所以所求不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞ ……………5分 （Ⅱ）函数()()|3g x f x a =-+存在零点等价为关于x 的方程|1|||=|3x x a a -+++ 有解因为|1||||1()||1|x x a x x a a -++≥-++=+所以|3||1|a a +≥+，即22|3||1|a a +≥+ 解得2a ≥-所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科) 含解析
2020年高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③二、填空题13．已知函数，则＝．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数＝+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|＝＝；故选：A．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin＝＝﹣，∴＝﹣，故tanα＝﹣4，故选：C．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y＝﹣x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y＝﹣x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e＝＝＝，故选：A．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个，由此能求出其正弦值相等的概率．解：集合，从A中任选两个角，基本事件总数n＝＝10，sin＝sin，sin，sin，sin，∴其正弦值相等包含的基本事件有4个，∴其正弦值相等的概率为p＝．故选：B．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴＝（0，﹣1，﹣1），＝（﹣1，1，0），∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）＝有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin （2）+（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）+＝1有3个根；∴sin（2）＝有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（﹣，2ωπ﹣）；∵2π＜2ωπ﹣≤2π+⇒＜ω≤．故选：C．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k＝，Q（m，﹣1），k PQ＝，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|＝＝5，故选：D．12．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③【分析】①根据函数单调性的定义以及“保值函数“的定义判断即可．②由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“，进而可得结论．③有题意可得x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，进而可得结论．解：由“保值函数”定义可知f（x）为区间[a，b]上的“保值函数“，则f（x）在[a，b]上是单调函数且在区间[a，b]时其值于也为[a，b]，那么当函数f（x）为增函数时满足条件x＝f（x）在[a，b]上有两个不同的实数解a，b 的函数f（x）就是“保值函数“，命题①中f（x）＝x2﹣2x，虽满足在[0，1]上单调但值域为[﹣1，0]，不是[0，1]，故①为假命题．②中由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“故②为真命题，③中h（x）＝x2e x则由h′（x）＝e x（x2+2x）≥0在[0，m]成立，所以h（x）为[0，m]上的增函数，再由x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，故③为真命题，综上所有真命题的序号为②③，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则＝4．【分析】先求出f（log2）＝＝，从而＝f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log2）＝＝，∴＝f（）＝2×．故答案为：4．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos＜，＞＝﹣2，及||的值，而|+|＝展开可求出其值．解：因为（+）⊥，所以（+）•＝0，即+2＝0，因为||＝，向量，夹角为120°，整理可得﹣2＝||•||cos＜，＞＝﹣2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以|+|＝＝＝＝故答案为：．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•＝6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''＝，∴OC′＝2•＝2×＝6，B′C′＝3，∴CC′＝BB′﹣＝4，∴S梯形BB′CC′＝＝27，∴S表面积＝6×+3×＝216．故答案为：216．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．【分析】先利用正弦定理求得A以及cos C，进而得到sin，再在△BIC中，结合正弦定理即可求解结论．解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，∴cos A＝＝﹣⇒A＝120°；同理可得：cos C＝＝1﹣2sin2⇒sin＝；（负值舍）；∵+＝＝30°；∴∠BIC＝150°；在△BIC中，＝⇒IB＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得＝＝＝﹣，由数列的裂项相消求和，可得T n，解方程可得所求值．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝﹣8，a2＝3a4．，可得﹣8+d＝3（﹣8+3d），解得d＝2，则a n＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10；（Ⅱ）＝＝＝﹣，T n＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1+﹣﹣＝，化为11n2﹣27n﹣68＝0，解得n＝4（﹣舍去）．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时，连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，从而OE∥PB，由此能证明PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，从而AC⊥PA，进而AC⊥平面PAB，由V P﹣ACB＝V A﹣PBC，解得AC＝1，由OE∥PB，AC⊥PB，得OE⊥AC，从而AB⊥AC，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的大小．解：（Ⅰ）点E为PD中点时，直线PB与平面ACE平行．证明：连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，∵点E为PD中点，∴OE是△PDB的中位线，则OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB＝P，∴AC⊥平面PAB，设AC＝x，V P﹣ACB＝V A﹣PBC＝＝，解得AC＝1，由（Ⅰ）知OE∥PB，AC⊥PB，∴OE⊥AC，AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AC，如图，二面角为钝角，则OE，AB所成角为二面角B﹣AC﹣E的补角，∠PBA＝，OE∥PB，∴OE，AB所成角为，∴二面角B﹣AC﹣E的大小为．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出|﹣|，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K2＝＝4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算＝0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），＝0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且|﹣|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2＝﹣，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，﹣），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴＝，＝，∴k1k2＝•＝﹣，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a＝时，f′（x）＝2﹣﹣x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2﹣﹣x＝（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a＝时，，所以f′（x）＝2﹣﹣x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y ﹣2﹣1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2﹣﹣x＝，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a ＞0，即a＜3时，有x1＝+，x2＝﹣，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+），f（x）为增函数；在（3+，+∞），f （x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3﹣）和（3+，+∞）上为减函数，在（3﹣，3+），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx﹣﹣1＝lnx﹣，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2﹣＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0＝，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），又因为x0∈（1，2），则x0+∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y ＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以＝2，故：，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈一、选择题，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．。
甘肃省 兰州市 2019届 高三第一次诊断考试( 数学理)
e3[
e3 2
(a2 a 2)] 3a2 (a 2)
e3
(
e3 2
4)
3a2 (a
2)
0
故函数有且只有一个零点；
④ 当 1 a 0 或 0 a 1时， a 2 a2 0
……9 分
可得当 x (0, a2) 时， f (x) 0 ，函数为增函数；当 x (a2, a 2) 时， f (x) 0 ，函数
1 a
1 b
1 4
1 ( a
1 )(a
b
b)
1 4
(2
b a
a) b
1 （当且仅当
a
b
2
时“=”成立）
（2）若
x
m
x2
1 a
1 b
对任意的实数
x 恒成立
则
xmBiblioteka x2(1 a
1 b )min
对任意的实数
x 恒成立
即 x m x 2 1 对任意的实数 x 恒成立
……5 分 ……7 分
x m x 2 (x m) (x 2) m 2
设平面 PAB 的法向量为 n (x0, y0, z0 )
……12 分
由 nnPPAB22xx003
3y0 3z0 0 3y0 3z0 0
取 n (3,0,2)
设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 θ ，
cosθ mn mn
3 3 13
13
13
.
即平面
PAB
与平面
0
，故函数有且只有一个零点；
……6 分
③当 2 a 1时， 4 a2 1 a 2 0
由于 f (x) x (a2 a 2) a2 (a 2) (x a2 )[x (a 2)]
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兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12i C ．复数z 的共轭复数为512i + D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ） A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i ib a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20171009B ．20172018C ．20182019 D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ） A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．3π B ．3π C ．3π D ．4π 9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．1008B ．2017C ．2018D ．302510.设p ：实数x ，y 满足22(1)[(22)]x y -+-322≤-；q ：实数x ，y 满足111x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p 是q的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件11.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=和点(5,)M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[2,6]-B ．[3,5]-C ．[2,6]D ．[3,5] 12.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知'()f x 是它的导函数，且恒有cos '()sin ()0x f x x f x ⋅+⋅<成立，则有（ ） A ．()2()64f ππ>B 3()()63f ππ>C ．()3()63f ππ>D ．()3()64f ππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=． 14.已知样本数据1a ，2a ，……2018a 的方差是4，如果有2i i b a =-(1,2,,2018)i =⋅⋅⋅，那么数据1b ，2b ，……2018b 的均方差为．15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r.（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o）的相关数据，如下表：x119 8 52y7 8 8 1012（1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()nni i iii i nni ii i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）.①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值. 21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->；（2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25-14. 2 15. 3π16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++，所以()f x 的最小正周期为T π=. （2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++，当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+. 18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥， 又//BC AD ，所以BC AE ⊥. 因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥， 又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u ru r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值. 19.（1）由题意，7x =，9y =，1ni ii x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-，221nii x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=， 由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2. 若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ， 则1l 的方程为1(1)y k x =+，解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT =∴12QSRTS QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln 1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln 1)0m x =<，1<成立；令1()x n x ex -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x e x -=->，1x e x ->成立.（2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+，由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x ex ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-，上式已知成立，故原式成立，得证. 22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=，∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤， 解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立，又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。