保险精算损失模型课件概要

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标准差是其方差的平方根，即 X Var( X ) 变异系数是标准差与数学期望的比率，即
Var ( X ) cv E( X ) n个独立同分布的随机变量之和的变异数是单个随机 变量的变异系数的1/n，即
Var x1 E x1 xn xn n X cv nE x n
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2、方差、标准差和变异系数
Var( X ) E[ X E( X )]2

两个随机变量X和Y的方差具有下述关系： （1） Var ( X ) k 2Var( X ) （2）若X与Y相互独立，则
Var ( X＋Y ) Var ( X )＋Var (Y )
2 2 （3） Var( X ) E( X ) [ E( X )]
四、条件期望和条件方差 对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期 望即得X的条件期望 E ( X | Y ) 。 当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为

Var( X | Y ) E( X 2 | Y ) [ E( X | Y )]2 如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和 Var（X|Y）都是随机变量。 （1）E (X ) = E[E (X |Y )] （2）Var(X) = E[Var(X|Y )]+Var[E(X|Y )]
PX1
Xn
( z) PX1 ( z)
PX n ( z)
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随机变量X的矩母函数MX(t)是关于实数t的函数，即
M X (t ) E(etX )

如果随机变量X的矩母函数在原点的某个邻域有定义，则 其矩母函数具有下述性质： （1）随机变量X的分布函数由其矩母函数惟一确定。 （2）如果X的k阶原点矩存在，则矩母函数M(t)可微分s（s k）次，且其k阶原点矩可以表示为 k E( X k ) M ( k ) (0)
（3）n个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它们各 自的矩母函数的乘积，即 M X1 X n (t ) M X1 (t ) M X n (t )
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概率母函数和矩母函数之间存在下述关系：
M X (t ) PX (et ) PX ( z ) M X (ln z )
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二、随机变量的数字特征 1、数学期望 数学期望描述了随机变量的平均取值，代表着其取值 的平均水平。 随机变量X的数学期望通常用E(X)表示。如果X为离散 型随机变量，其取值为xi的概率为pi（i =1, 2, … ）， 则其数学期望为
E ( X ) xi p i
i 1

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Байду номын сангаас
如果X为连续型随机变量，则其数学期望为
E ( X ) xf ( x)dx
－
＋

密度函数f (x)与分布函数F(x) 具有下述关系：
F ( x) f ( x)

x

两个随机变量X和Y的数学期望具有下述关系： （1）E (kX) = k E(X)，其中k为常数 （2） E( X＋Y ) E( X )＋E(Y ) （3）若X与Y相互独立，则 E ( XY ) E ( X ) E(Y )

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3、原点矩和中心矩 k E( X k )
k E[ X E( X )]k
4、偏度系数 随机变量X的偏度系数被定义为
3 3

n个独立同分布的随机变量之和的偏度系数为
n

n 3 Var[ X i ]

3

n 3
n n
3


n
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三、概率母函数和矩母函数
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二、负二项分布
(k r ) 1 pk , k 0,1, 2,... (r )(k 1) 1 1
r k
E( N ) r
Var ( N ) r (1 )
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负二项分布具有下述性质： 1. 方差大于均值。 2. 负二项分布是一种混合泊松分布。 3. 负二项分布 int r 1 的众数，int表示取整数
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第二节 损失模型的基本概念
一、随机变量 随机变量是指其取值依赖于随机现象的观察结果的变量。 在非寿险精算中，最常见的随机变量就是损失金额（用 X表示）和损失次数（用N表示）。 离散型随机变量：只能取有限个或可列个值的随机 变量，如保单的索赔次数N就是一个离散型随机变 量，因为它只能取有限个值。 连续型随机变量：其取值布满一个区间的随机变量， 如损失额X的取值范围是区间（0，＋）。
第十章
损失模型
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第一节 风险与保险

保险公司在其经营过程中，必须认识到风险与保险的下 述基本关系： （1）保险是将风险从被保险人向保险人的转移； （2）保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险 保障； （3）风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越 小； （4）不同的被保险人具有不同的风险水平； （5）在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将 占到总损失的很大比重。
随机变量X的概率母函数被定义为：PX (z) = E (zX) （1）随机变量X的分布函数由其概率母函数惟一确定。 （2）随机变量的概率可以通过概率母函数的各阶导数来 确定，即 (k )
pk P (0) , k! k 1, 2,
（3）n个相互独立的随机变量之和的概率母函数等于它们 各自的概率母函数的乘积，即
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第三节 损失次数模型
一、泊松分布
e k pk , k 0,1, 2,... k!
E( N ) Var ( N )
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泊松分布具有下述性质： 1. 可加性。 2. 可分解性。 3. 泊松分布的众数＝int（），int表示取整数。如果参数 为整数，则其众数也等于-1，此时泊松分布具有双众 数。 4. 当参数很小时，泊松分布可以近似二项分布。 5. 如果保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个 固定的时间区间内发生的保险事故次数服从泊松分布。 6. 当参数较大时，泊松分布可以用正态分布近似。