运筹学基础—计算复杂性
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
运筹学中的计算复杂性分析
运筹学中的计算复杂性分析随着科技的发展，计算机越来越成为很多领域的必需品。
越来越多的问题和算法需要借助计算机进行分析和求解。
然而，计算机在解决某些问题时可能会遇到不同程度的计算困难。
为了确定计算机在解决问题方面的适用性，运筹学中的计算复杂性分析成为了必要的工具。
计算复杂性分析旨在确定计算机所需的时间和空间成本。
它基于计算机与算法之间的相互作用，尤其是带来算法正确性和计算时间限制的问题。
对于一个算法，需要评估其计算复杂性并判断其是否适用于我们需要解决的问题。
在运筹学中，最常见的计算复杂性是时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指计算机在执行某些操作时所需的时间，这将直接影响到算法的实际执行效率。
空间复杂度是指计算机在执行某些操作时所需的内存空间，这也是计算机在执行算法时必须考虑的重要因素。
时间复杂度通常使用大O表示法来描述。
大O表示法通过对算法运算随着问题规模n的增长而增长的速度进行描述来度量算法效率。
在大O表示法中，常数因素被忽略，只关注函数增长的另一个方面。
换句话说，如果算法的时间复杂度为O(n²)，那么随着问题规模n的增长，算法所需的时间将比原数组长度的平方倍。
这意味着算法的效率将迅速降低，并不适用于大规模问题的求解。
空间复杂度也和时间复杂度类似，通常采用大O表示法来描述。
空间复杂度可以粗略地理解为算法所需要的额外内存单元数量，例如算法运行期间需要的其他数据结构的大小。
在空间复杂度分析中需要考虑参数的总数以及所有变量所需的存储空间。
计算复杂度分析是一个广泛的领域，包含许多令人兴奋和复杂的话题。
例如，我们可以讨论算法如何影响发现最佳解决方案的速度和精度，或者我们可以探索如何利用分布式算法，从而轻松地处理大数据集。
通过探讨这些话题，我们可以更好地了解计算复杂度，以及如何应用相关研究来帮助解决实际问题。
总之，计算复杂度分析在运筹学中是不可缺少的工具。
在开发和维护算法时，该工具可确保时间和空间效率达到最佳，从而最大程度地提高了计算机的性能。
算法复杂性和常见问题
目录
• 算法复杂性概述 • 时间复杂度 • 空间复杂度 • 常见问题与解决方案 • 算法优化策略 • 实际应用案例分析
01
算法复杂性概述
算法复杂性的定义
算法复杂性是指算法在执行过程中所 消耗的资源，包括时间、空间、计算 等。它是衡量算法性能的重要指标， 用于评估算法的效率和可扩展性。
非递归算法
非递归算法的空间复杂度主要取 决于循环变量和临时变量等所需 存储空间的大小。
空间复杂度的分类
常数空间
算法所需存储空间与问题规模无关，即 O(1)。
平方空间
算法所需存储空间与问题规模的平方 成正比，即O(n^2)。
线性空间
算法所需存储空间与问题规模成线性 关系，即O(n)。
对数空间
算法所需存储空间与问题规模的对数 成正比，即O(logn)。
指数时间复杂度
算法运行时间与输入规模的指数成正 比，随着输入规模增加，运行时间以 指数速度增长。
时间复杂度分析的重要性
01
02
03
时间复杂度分析可以帮 助我们了解算法的效率 ，从而选择更高效的算
法。
通过比较不同算法的时 间复杂度，我们可以评 估它们的性能，以便在 实际应用中选择合适的
算法。
时间复杂度分析还可以 帮助我们优化算法，通 过改进算法中的某些部 分来降低时间复杂度， 从而提高算法的效率。
并行计算和分布式计算的应用
总结词
利用并行计算和分布式计算技术可以进一步 提高算法的性能，特别是在处理大规模数据 时。
详细描述
并行计算和分布式计算技术可以将一个大的 计算任务分解为多个小的子任务，并分配给 多个处理器或计算机同时处理，从而加快计 算速度。例如，在机器学习中，可以利用分 布式计算技术将训练任务分配给多个节点同
计算复杂性
计算复杂性
计算复杂性理论是理论计算机科学的分支学科，使用数学方法对计算中所需的各种资源的耗费作定量的分析，并研究各类问题之间在计算复杂程度上的相互关系和基本性质，是算法分析的理论基础。
和可计算性一样，复杂性总是对于一个特定的问题类来讨论的，它包括无穷多个个别问题，有大有小。
例如，对矩阵乘法这样一个问题类，相对地说，100阶矩阵相乘是个大问题，而二阶矩阵相乘就是个小问题。
可以把矩阵的阶n作为衡量问题大小的尺度。
又如在图论问题中，可以把图的顶点数n作为衡量问题大小的尺度。
一个问题在计算之前，总要用某种方式加以编码，这个编码的长度n就是衡量问题大小的尺度。
当给定一个算法以后，计算大小为n的问题所需要的时间、空间等就可以表示为n的函数。
这个函数就可作为该算法的时间或空间复杂性的度量。
严格地讲，是这个特定的问题类在某一特定计算模型中某一特定算法的复杂性之度量。
当要解决的问题越来越大时，时间、空间等资源耗费将以什么样的速率增长，即当n趋向于无穷大时，这个函数的性状如何，增长的阶是什么，这就是计算复杂性理论所要研究的主要问题。
计算复杂性的概念
Network Optimization
第 1 章
概 论
1.4 计算复杂性的概念
1
1.4.1 组合优化问题 1、定义
定义1.3 所谓组合(最)优化(Combinatorial Optimization)又称离散优 化（Discrete Optimization），它是通过数学方法去寻找离散事件的 最优编排、分组、次序或筛选等. 这类问题可用数学模型描述为：
15
1.4.3 多项式问题
定义1.5 对于给定的一个优化问题，若存在一个求解该问题
最优解的多项式时间算法，则称给定的优化问题是多项式可 解问题，或简称多项式问题，所有多项式问题集记为 P(Polynomial).
同样道理, 可以定义强多项式问题,伪多项式问题等.
16
布置作 业
目的 掌握图与网络的基本概念
2 | S | n 2 , S {1, 2 , , n }
x ij { 0 , 1}, i , j 1, 2 , , n , i j .
D= {0,1}n×(n-1)
4
例1.9 整数线性规划(Integer Linear Programming)
m in c x
(ILP)
a s 0 , a i {0 , 1} 。
正整数 x 输入长度的估计：
由不等式 2 s
2
lo g 2 x
x 2
s1
2
lo g 2 x 1
，可得：
log 2 x s 1 log 2 x 1
.
故，数 x 的二进制输入的位数为 s 1 lo g 2 x 或 lo g 2 x 1 。
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算理论复杂性理论基础知识
计算理论复杂性理论基础知识计算理论复杂性是计算机科学中一项重要的研究领域，旨在研究计算问题的解决难度和算法的效率。
本文将介绍计算理论复杂性的基础知识，包括问题的分类、计算模型和基本概念。
一、问题的分类在计算理论复杂性中，问题可以分为两类：P类问题和NP类问题。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
P类问题是计算理论中研究的主要对象，它代表了计算机科学界能够有效解决的问题。
例如，求两个数的和、排序问题等都属于P类问题。
NP类问题则代表了计算机科学界尚未找到高效解决方法的问题，它所包含的解的搜索空间非常大。
例如，旅行推销员问题、图着色问题等都属于NP类问题。
虽然目前还没有找到多项式时间内解决NP类问题的方法，但可以通过验证一个解是否正确来验证解的正确性。
二、计算模型计算理论复杂性研究中使用的计算模型主要有图灵机、非确定有限自动机和布尔电路模型。
图灵机是计算理论中最经典的计算模型之一，它由带有读写头的无限长纸带和一系列状态转移规则构成，可以模拟所有现代计算机的功能。
非确定有限自动机是另一种计算模型，它是图灵机的一种简化形式，特点是能够在某个状态下拥有多个可能的转移选项。
布尔电路模型是计算理论复杂性研究中较为特殊的一种计算模型，它通过使用与门、或门和非门等基本逻辑门来构建复杂的逻辑电路，从而解决特定的计算问题。
三、基本概念在计算理论复杂性研究中，有一些基本概念是必须了解的，包括计算问题的规模、算法的时间复杂度和空间复杂度等。
计算问题的规模指的是问题输入的大小。
例如，排序问题的规模可以是待排序数组的长度。
算法的时间复杂度是衡量算法执行所需时间的度量，通常用大O符号表示。
时间复杂度越低，表示算法的效率越高。
算法的空间复杂度是衡量算法所需内存空间的度量，也用大O符号表示。
空间复杂度越低，表示算法的内存利用率越高。
此外，还有一些复杂性理论中的重要问题，如P=NP问题、NP完全问题等，这些问题都是该领域中的研究热点。
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
运筹学基础―计算复杂性.
运筹学基础胡晓东应用数学研究所 中国科学院数学与系统科学研究院 http://www amt ac cn/member/huxiaodong/index html /member/huxiaodong/index.htmlInstitute of Applied Mathematics提纲20世纪数学的五大指导理论 Five Golden Rules 叶其孝、刘宝光 Great Theories of 20th Century Math 上海教育出版社，2000 -and Why They Matter 1. 线性规划 对偶定理 2. 博弈论 极大极小定理 3. 非线性规划 K-K-T 定理 4. 计算/算法理论 停机定理,库克定理 拓扑学 不动点定理 奇点理论 莫尔斯定理 5. 组合最优化 算法设计技巧运筹学 • 模型 • 理论 • 算法4. 算法理论-参考文献计算复杂性导论 堵丁柱、葛可一、王洁 ，高等教育出版社，2002 基础内容 [1] The Th D Design i and dA Analysis l i of fC Computer t Al Algorithms ith A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Addison-Wesley Pub., 1974. [2] Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity C H. C. H P Papadimitriou di it i and d K. K Steiglitz, St i lit Prentice-Hall, P ti H ll 1982. 1982 [3] Introduction to Algorithms T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, MIT, 1990. 较深内容 [1] Complexity and Approximation G. Ausiello, et al, Springer, 1999. [2] Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms B Korte and J. B. J Vygen, Vygen Springer Springer, 2000 2000. [3] Approximation Algorithms xdhu V. V. Vzairani, Springer, 2001.34. 计算/算法理论-历史计算机的理论始于1935年的英国。
《计算的复杂性》课件
时间复杂性分析
1
概念与定义
时间复杂性是衡量算法执行所需时间的度量。它通常用大O表示法表示执行时间 与问题规模的关系。
2
时间复杂性的计算方法
可以通过估算算法中每一步操作的时间复杂度，并结合问题规模确定整体的时间 复杂度。
3
时间复杂度的分类
时间复杂度可分为常量时间、对数时间、线性时间、指数时间等不同的复杂度级 别。
《计算的复杂性》PPT课 件
欢迎来到《计算的复杂性》课程的PPT课件！在本次课程中，我们将深入探 讨计算的复杂性以及相关的时间和空间复杂度分析方法，还将研究NP问题及 其应用。让我们开始吧！
什么是计算的复杂性
计算的复杂性是指在计算机科学中研究问题求解过程中的计算资源需求。它涉及到时间复杂性和空间复 杂性的分析，有助于评估和设计高效的算法。
空间复杂性分析
1
概念与定义
空间复杂性是衡量算法执行所需内存空间的度量。它通常用大O表示法表示算法 占用的最大内存空间与问题规模的关系。
2
空间复杂性的计算方法
可以通过估算算法中所使用的数据结构和变量的空间占用，结合问题规模确定整 体的空间复杂度。
3空间复杂度的分类源自空间复杂度可分为常量空间、线性空间、二维空间等不同的复杂度级别。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论
计算复杂性理论是计算机科学中一个重要的领域，它有助于我们理解
计算机如何工作，帮助我们知晓如何使用计算机以有效的方式来解决各种
问题。
而在过去的几十年里，人们研究了计算机的性能，从而开发出有用
的表示，以及有效地分类计算机上的问题，这就是计算复杂性理论。
计算复杂性理论被用来表示计算机程序的复杂性以及它们的处理效率。
它不仅可以度量一个问题的复杂度，还可以度量一系列问题的复杂度，以
及不同的处理器在处理不同问题时所花费的时间。
它还可以用来分析算法
的有效性，以及在最佳的情况下使用不同算法的优劣。
计算复杂性理论目前分为不同的分支，如理论计算机科学、算法分析、最优性和可实现性。
理论计算机科学主要研究计算机能够处理任何问题的
理论基础，包括计算机中可用的空间和时间复杂度等。
算法分析是指利用
不同的技术指标，比如时间和空间复杂度，来评估算法性能的过程。
最优
性跟理论计算机科学相关，它研究给定问题的最优解，并将其复杂度限制
在最低要求。
而可实现性则专注于研究计算机中实现这些最佳解的方法和
算法。
计算复杂性理论的研究是一个新兴的研究领域。
计算复杂性-资料搜集
计算复杂性一、引言计算问题，应该是一种从人类有文明起便一直纠缠着人类的问题；为了解决这些问题，人类需要进行计算，需要设计算法。
显然，如果时间是无限的，计算机器性能也是无比的，那么选择什么算法并不是问题；但这不可能。
人类计算的时间是有限的，人类的计算设备也不是万能的。
因此，我们需要评判一种算法的复杂性。
那么，计算复杂性到底是什么，它的意义是什么，它的进展如何，应用如何，本文试图进行一部分回答。
二、相关概念1.计算复杂性、时间复杂性、空间复杂性：计算复杂性包括两个方面：时间复杂性，空间复杂性。
时间复杂性反映了问题计算所需的时间耗费, 一般是用计算的运算次数来衡量。
空间复杂性则代表进行计算需要耗费的存储空间。
例如，我们C语言作业的在线测评系统之中，会有内存和用时的要求；这两个方面分别体现了空间复杂性和时间复杂性。
2.多项式时间、指数时间：多项式时间指的是一种算法的时间复杂度可以用含有n的一个多项式表示。
这种情况下一般把操作数作为时间复杂度的衡量标准。
而指数时间指的是一种算法的时间复杂性不能够用多项式进行表示。
指数时间的算法效率较低，而且随着n的增大用时显著增加，被认为是相当于不存在的算法。
3.确定性图灵机、非确定性图灵机：两者都为图灵机模型；但是确定性图灵机在一定的条件下，只会选择一种操作；而非确定性图灵机则会根据生成的（伪）随机数在多种方法中选择一种进行。
4.P问题、NP问题、NPC问题：NP是指“在非确定性图灵机上有多项式时间算法的问题”的集合，而P是指“在确定性图灵机上有多项式时间算法的问题”的集合。
另外一种表述是，P问题在多项式时间内可以解决，而NP问题在多项式时间内可以得到检验。
P问题是NP问题的特例，而往往NP问题都被视作【但未被证明为】“不可”解决的问题。
经过多项式变换能够变成所有NP问题的问题称为NPC问题。
三、特色思想进行问题求解时，人们往往会关心：1.这个问题能否被算法求解；2.求解问题的过程需要消耗什么？而这正是计算复杂性研究的内容。
第3章 问题复杂性
第2节 问题的难度下界
例5：求中位数问题。
..
..
..
mid
..
..
..
(n-1)/2个，记”<“
(n-1)/2个，记”>”
把能够确定状态信息的比较称为决定性比较。 把不能够确定状态信息的比较称为非决定性比较。 决定性比较有n-1次，算法的总工作量为决定性比 较次数+非决定性比较的次数。
第2节 问题的难度下界
41 10 15 40
30
第2节 问题的难度下界
例4：求次大值问题。
为确定直接被最大值淘汰的元素个数的下界，按如下规则来构造最坏输入： 为输入元素定义权值ω(x)，ω(x)=1表示x还未参加比较，ω(x)=0 表示x在某次比较中已经被淘汰，ω(x)>1表示以x为根的比较子树上 的结点个数。 初始ω(x)=1，当x与y做必要比较时，有ω(x)>0, ω(y)>0。 若ω(x)≥ω(y)，则构造输入令x>y；若ω(x)<ω(y)，则构造输入令x<y。 即令比较胜出者继续胜出，以使被最大值直接淘汰的元素个数达到最多。
例5：求中位数问题。
对任意求中位数算法，可用如下规则构造最坏输入：
(1) 任意确定一个中位数mid； (2) 若算法比较x和y，且x和y都没有确定值，则置x<mid，y>mid； (3) 若算法比较x和y，且x<mid，y没有确定值，则置y>mid； (4) 若算法比较x和y，且x>mid，y没有确定值，则置y<mid； (5) 若已有(n-1)/2个元素被置小于mid，则剩余未确定元素均置为大于mid；
x2:x5
x1:x6
W:W
L:L
保持不变
数学的计算复杂性
数学的计算复杂性数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的科学，它作为一门基础学科，在现代社会发挥着重要的作用。
数学中的计算复杂性是指在特定的算法下解决数学问题所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
计算复杂性理论是近代计算机科学的重要分支，它关注的是如何评估和分析算法的效率和可行性。
一、计算复杂性的概念和意义计算复杂性的研究始于20世纪上半叶，它的基本思想是通过对计算问题进行形式化建模和分析，以便对问题的解决方案的效率进行评估。
计算复杂性理论的发展具有深远的理论和实践意义。
首先，计算复杂性理论可以帮助我们理解问题的可解性。
在数学中并不是所有的问题都能找到有效的解决方案，有些问题可能是不可解的，也就是说不存在一种算法可以得出问题的解。
计算复杂性的研究可以帮助我们判断一个问题是否可解，从而提醒我们在解决问题时的合理性和可行性。
其次，计算复杂性理论可以指导我们设计高效的算法。
现实生活中，我们经常遇到需要解决大规模计算问题的情况，如图像处理、数据分析和网络优化等。
通过研究计算复杂性，我们可以找到更好的方法来设计算法，降低问题求解的计算复杂性，提高计算效率。
最后，计算复杂性理论对计算机科学的发展具有重要意义。
20世纪中叶，计算机科学经历了飞速发展，计算机的各个方面不断取得突破性的进展。
计算复杂性理论为计算机科学提供了坚实的理论基础，推动了计算机科学的研究和应用。
二、计算复杂性的分类和评估标准计算复杂性可以分为时间复杂性和空间复杂性两个方面。
1. 时间复杂性：时间复杂性是指算法所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
它可以通过计算算法的最坏情况时间复杂性来评估。
常用的时间复杂性评估标准有“大O记法”，即用一个函数来描述算法运行时间与输入规模的关系，通常情况下我们希望算法的时间复杂度尽可能低。
2. 空间复杂性：空间复杂性是指算法所需的存储空间的数量和增长率。
它可以通过计算算法所需的最大存储空间来评估。
与时间复杂性类似，我们通常希望算法的空间复杂度尽可能低。
运筹学中计算复杂性
（1）n=2时，严格不等式组为
ai1x1+ai2x2〈 bi i=1，…，m 其解集合为若干个半平面的公共部分。
用 X表示原点（0，0）与点X=（x1，x2）之
间的距离，即 X=
x2 ， x而2
1
2
≤R代X 表以原点
为圆心，R为半径的圆。
可以证明，如果①有解，则在圆 ≤X2L内一定有 ①的解，且①的解集合在圆≤2L内的部分P的面 积至少是 2-（n+1）L。
与l1 相切于C点； 包含Ei被直线l 割出的介于l 与l1 的半个椭圆。
•运筹学中计算复杂性
ar1x1+ar2x2=br A
C p
X(i+1) Xi
l1
l B
图3 从{X（i），E•运i}筹得学中到计算{复X杂（性i+1），Ei+1}的过程
（3）用上述办法做出来的一系列椭圆有下面的关系： Ei+1的面积=CEi的面积，其中0〈 C〈1，且
•运筹学中计算复杂性
L im 1jn 1 l
m
2 o (a ijg 1 )l
i 1
2 o ( b i g 1 ) l 2 o n g m 1 （4）
L大致等于把不等式组（2）的所有系数都化 为二进制数时的位数，称L为问题（2）的输入 长度，可大体上说明问题（2）的规模大小。
综上，求解LP（L）可以转化成求解不等式组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a x 22 2
ax 2n n
b 2
am1
x 1
a m2
x 2
ax mn n
b m
•运筹学中计算复杂性
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运筹学基础胡晓东应用数学研究所 中国科学院数学与系统科学研究院 http://www amt ac cn/member/huxiaodong/index html /member/huxiaodong/index.htmlInstitute of Applied Mathematics提纲20世纪数学的五大指导理论 Five Golden Rules 叶其孝、刘宝光 Great Theories of 20th Century Math 上海教育出版社，2000 -and Why They Matter 1. 线性规划 对偶定理 2. 博弈论 极大极小定理 3. 非线性规划 K-K-T 定理 4. 计算/算法理论 停机定理,库克定理 拓扑学 不动点定理 奇点理论 莫尔斯定理 5. 组合最优化 算法设计技巧运筹学 • 模型 • 理论 • 算法4. 算法理论-参考文献计算复杂性导论 堵丁柱、葛可一、王洁 ，高等教育出版社，2002 基础内容 [1] The Th D Design i and dA Analysis l i of fC Computer t Al Algorithms ith A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman, Addison-Wesley Pub., 1974. [2] Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity C H. C. H P Papadimitriou di it i and d K. K Steiglitz, St i lit Prentice-Hall, P ti H ll 1982. 1982 [3] Introduction to Algorithms T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, MIT, 1990. 较深内容 [1] Complexity and Approximation G. Ausiello, et al, Springer, 1999. [2] Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms B Korte and J. B. J Vygen, Vygen Springer Springer, 2000 2000. [3] Approximation Algorithms xdhu V. V. Vzairani, Springer, 2001.34. 计算/算法理论-历史计算机的理论始于1935年的英国。
图灵，Alan Turing (1912－1954)，剑桥 皇家学院的一个大学生，想制造一种(自 动)推理机，用它来解决由希尔伯特 David Hilbert (1862－1943)提出的判定 问题(Entscheidungs E h id problem bl )：是否存在一种有效的程序，以预 先确定某个结论能不能从一组给 定的假设用逻辑推演出来。
4. 计算/算法理论-历史（续一）图灵在试图用数学术语表述这些问题时，所遇到的中心 困难是：对于可视作“有效的程序”的东西，这是一个直观上 令人满意，但是它是非形式的，没有一个清晰的概念。
虽说人 类作计算已有数千年的历史，但在1935年前对于什么是计算， 仍然没有一个好的回答。
图灵面临的主要任务是弄清楚如何用一种形式的数学对 象去代替有效过程的概念。
他所建议的是某种我们现在称作算 法的东西，是他仿效人类在进行一项计算时实际经历的步骤而 提出的一个概念。
本质上讲，图灵将算法看作一个机械的过程 （或者是一组规则），它规定在任何一组特定情况下如何一步 步进行操作/运算。
xdhu 54. 计算/算法理论-历史（续二）图灵参加了二次世界大战的密 码破译工作。
研究的对象就是 1926年登场的德国ENIGMA。
xdhu64. 计算/算法理论-历史（续三）图灵1939年在国家编码和翻译 学校设计了一个电子－机械解 密器，称为Bombe（布丁：鸡 蛋加糖等做成的冷冻点心 ）。
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4. 计算/算法理论-历史（续四）British Bombe rebuilt (2008)US Navy Bombe (1943)xdhu84. 计算/算法理论-历史（续五）1940年纳粹德国又启用了更先进的洛伦兹编码机，用以传递 重要情报。
为此，电子工程师T. Flowers、数学家M. Newman 和一个密码专家小组经过11个月努力，于1943年研制出每秒读 取能力达到5000个字符的“巨人”计算机The Colossus，使盟 军最终在与纳粹德国的情报战中取胜。
Lorenz SZ42 machine (1942)Colossus Mark 2 (1944)4. 计算/算法理论-历史（续六）1944年，冯•诺伊曼参加原子弹的研制工作，该工作涉 及到极为困难的计算。
在对原子核反应过程的研究中，要对一 个反应的传播做出“是”或“否”的回答。
解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和逻辑指 令，尽管最终的数据并不要求十分精确，但所有的中间运算过 程均不可缺少，且要尽可能保持准确。
他所在的洛斯阿拉莫斯 实验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到 晚计算，还是远远不能满足需要。
无穷无尽的数字和逻辑指令 如同沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。
被计算机所困扰的冯•诺伊曼在一次极为偶然的机会中知 道了ENIAC计算机(ElectroNic Integrator And Computer)的研制 计划，从此他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，建立了一 生中最大的丰功伟绩。
xdhu 104. 计算/算法理论-历史（续七）1944年夏的一天，正在火车站候车的冯•诺伊曼巧遇 戈尔斯坦，并同他进行了短暂的交谈。
当时，戈尔斯坦是美 国弹道实验室的军方负责人，他正参与ENIAC计算机的研制 工作。
在交谈时，戈尔斯坦告诉了冯•诺伊曼有关ENIAC的 研制情况。
具有远见卓识的冯•诺伊曼为这一研制计划所吸引， 他意识到了这项工作的深远意义。
几天之后，冯•诺伊曼专 程来到莫尔学院，参观了尚 未竣工的这台庞大的机器， 并以其敏锐的眼光，一下子 抓住了计算机的灵魂－逻辑 结构问题，令年轻的ENIAC 的研制们敬佩不已。
114. 计算/算法理论-历史（续八）因实际工作中对计算的需 要以及把数学应用到其他科学 问题的强烈愿望，使冯•诺伊曼 迅速决定投身到计算机研制者 的行列。
对业已功成名就的冯• 诺伊曼来说，这样做需要极大 的勇气，因为这是一个成败未 卜的新征途，一旦失败，会影 响他已取得的名誉和地位。
冯•诺伊曼却以对新事物前途的洞察力，毅然决然地向此 征途迈出了第一步，于1944年8月加入莫尔计算机研制小组， 为计算机研制翻开了辉煌的一页。
xdhu 124. 计算/算法理论-历史（续九）冯•诺伊曼以其非凡的分析、综合能力及雄厚的数理基础， 集众人之长，提出了一系列优秀的设计思想，在他和莫尔小组 其他成员的共同努力下，只经历了短短的十个月，人类在数千 年中积累起来的科学技术文明，终于结出了最激动人心的智慧 之花－一个全新的存储程序通用电子计算机方案（EDVAC： Electronic Discrete variable Automatic Computer；离散变量 自动电子计算机 ）诞生了。
冯•诺伊曼以“关于EDVAC的报告草案”为题，起草了长达 101页的总结报告。
报告广泛而具体地介绍了制造电子计算机 和程序设计的新思想。
它明确规定，EDVAC计算机由计算器、 逻辑控制装置、存储器、输入和输出五大部分组成，并阐述了 这五大部分的职能和相互关系。
这份报告是计算机发展史上一 个划时代的文献，它向世界宣告：电子计算机的时代开始了。
134. 计算/算法理论-历史（续十）1954年6月，冯•诺伊曼到美国普林斯顿高级研究所工 作，出任ISA计算机研制小组的主任职位。
在那时，他提出了 更加完善的设计报告“电子计算装置逻辑结构初探”。
报告中， 冯•诺伊曼对EDVAC中的两大设计思想作了进一步的论证，为 计算机的设计树立了一座里程碑。
设计思想之一是二进制，他根据电子元件双稳工作的特点， 建议在电子计算机中采用二进制。
报告提到了二进制的优点， 并预言，二进制的采用将大简化机器的逻辑线路。
实践证明了冯•诺伊曼预言的正确性。
如今，逻辑代数的 应用已成为设计电子计算机的重要手段，在EDVAC中采用的 主要逻辑线路也一直沿用着，只是对实现逻辑线路的工程方法 和逻辑电路的分析方法作了改进。
xdhu 144. 计算/算法理论-历史（续十一）程序内存是冯•诺伊曼的另一杰作。
通过对ENIAC的考 察，冯•诺伊曼敏锐地抓住了它的最大弱点－没有真正的存储 器。
ENIAC只有20个暂存器，它的程序是外插型的，指令存 储在计算机的其他电路中。
这样，解题之前，必需先相好所需 的全部指令，通过手工把相应的电路联通。
这种准备工作要花 几小时甚至几天时间，而计算本身只需几分钟。
计算的高速与 程序的手工存在着很大的矛盾。
针对这个问题，冯•诺伊曼提出了程序内存的思想：把运 算程序存在机器的存储器中，程序设计员只需要在存储器中寻 找运算指令，机器就会自行计算，这样，就不必每个问题都重 新编程，从而大大加快了运算进程。
这一思想标志着自动运算 的实现，标志着电子计算机的成熟，已成为电子计算机设计的 基本原则。
xdhu 154. 计算/算法理论-历史（续十二）冯•诺伊曼为计算机的 发展道路打通了一道道关 卡。
尽管长期以来，关于 二进制的引入和程序内存 的发明权一直有争议，但 是，冯•诺伊曼在计算机总 体配置和逻辑设计上所做 的卓越贡献掀起了一次计 算机热潮。
推动了电子计 算机的发展。
因而，冯•诺伊曼被后人 称为“计算机之父” 。
John Mauchly J Presper Eckert4. 计算/算法理论-历史 （续十三）然而，究竟谁才是第一台电子计算机的真正发明者？围绕着 这个问题，计算机界纷争了许多年。
一般人们都认定ENIAC是 世界上第一台电子数字计算机。
但一美国地方法庭认定J. V. Atanasoff 和他的研究生C. Berry于1937年发明的ABC计算机， 才是真正的“鼻祖”。
J.V. Atanasoff (1903-95）174. 计算/算法理论-历史 （续十四）4. 计算/算法理论-历史 （续十五）1973年10月19日，明尼苏达州一家地方法院经过135次开庭 审理，当众宣判：“Mauchly 和 Eckert 没有发明第一台计算 机，只是利用了Atanasoff 发明中的构思。