不等式2课时作业
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
高中数学2-3二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
第2课时 一元二次不等式的应用必备知识基础练1．不等式xx －2＜0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x ≤2}C ．{x |x <0或x ≥2}D ．{x |0<x <2}2．不等式2－xx≥0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0<x ≤2}C ．{x |x <0或x ≥2}D ．{x |x <0或x >2}3．[2022·河北廊坊高一期末]关于x 的一元二次不等式2x 2－kx ＋38>0对于一切实数x都成立，则实数k 满足( )A ．{k |k <3}B ．{k |k <－3}C ．{k |－3<k <3}D ．{k |k >3}4．若关于x 的不等式x 2－ax ＋4<0的解集为∅，则实数a 的取值集合为( ) A ．{a |－4≤a ≤4} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |－1≤a ≤2} D ．∅5．关于x 的不等式x 2－mx ＋1＞0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |0＜m ＜4} B ．{m |m ＜－2或m ＞2} C ．{m |－2≤m ≤2} D ．{m |－2＜m ＜2}6．[2022·湖南怀化高一期末](多选)集合A ＝{x |x －2x ＋1<0}也可以写成( ) A ．{x |(x －2)(x ＋1)<0} B ．{x |x ＋1x －2<0} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}7．不等式x －1x>0的解集为________． 8．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产x (千件)防护服的利润为y (千元)，且y ＝－x 2＋50x －600，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过________(千件).关键能力综合练1．不等式1x －1≥－1的解集为( ) A ．(－∞，0]B ．(－∞，0]∪(1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[0，＋∞)2．若不等式ax 2＋ax －4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．－16≤a <0 B ．a >－16 C ．－16<a ≤0 D ．a <03．对任意实数x ，不等式2kx 2＋kx －3<0恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．0<k <24 B ．－24<k ≤0 C ．0<k ≤24 D ．k ≥244．关于x 的不等式3x ＋a x －1≤1的解集为{x |－52≤x <1}，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－72C ．32D ．4 5．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．10<x <20B ．15≤x <20C ．18<x <20D ．15≤x <256．[2022·福建厦门高一期末](多选)已知a ∈R ，关于x 的不等式 a （x －1）x －a>0的解集可能是( )A ．{x |1<x <a }B ．{x |x <1或x >a }C ．{x |x <a 或x >1}D ．∅7．已知“∃x ∈R ，使得2x 2＋ax ＋12≤0”是假命题，则实数的a 取值范围为________．8．已知函数f (x )＝ax 2－x －1，若f (x )<0的解集是{x |－12<x <1}，则a ＝________；若f (x )≤0恒成立，则a 的取值范围是________．9．已知f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1，若f (x )>0的解集为{x |－1<x <－12}．(1)求实数a 的值； (2)求关于x 的不等式ax ＋3x －1≤0的解集．10．[2022·湖北襄阳高一期末]关于实数x 的不等式2kx 2＋kx －38<0.(1)若k ＝1，求该不等式解集；(2)若该不等式对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．核心素养升级练1．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <122．若关于x 的不等式x 2＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，则实数m 的取值范围是________． 3．某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元(x 为正整数)，则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12 600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？第2课时 一元二次不等式的应用必备知识基础练1．答案：D解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）<0x －2≠0，解得：0<x <2，所以不等式xx －2<0的解集为{x |0<x <2}．2．答案：B解析：由原式得x (x －2)≤0且x ≠0，解得0<x ≤2，即不等式的解集为{x |0<x ≤2}． 3．答案：C解析：由题意Δ＝(－k )2－4×2×38<0，解得－3<k < 3.4．答案：A解析：由题意，得x 2－ax ＋4≥0恒成立，则Δ≤0，a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4. 5．答案：D解析：不等式x 2－mx ＋1>0的解集为R ， 所以Δ<0，即m 2－4<0， 解得－2<m <2. 6．答案：ABD解析：对于集合A ，解不等式x －2x ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）<0x ＋1≠0，解得－1<x <2，所以A＝{x |－1<x <2}，故D 正确．对于A 选项，{x |(x －2)(x ＋1)<0}＝{x |－1<x <2}，故A 正确；对于B 选项，解不等式x ＋1x －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －2）<0x －2≠0，得－1<x <2，即{x |x ＋1x －2<0}＝{x |－1<x <2}，故B 正确；对于C 选项，与集合A ＝{x |－1<x <2}比较显然错误，故C 错误． 7．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：x －1x>0同解于x (x －1)>0，解得：x <0或x >1，即原不等式的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).8．答案：30解析：由题意，有y ＝－x 2＋50x －600≥0，即x 2－50x ＋600≤0， 解得20≤x ≤30，所以每天生产的防护服数量最多不能超过30千件．关键能力综合练1．答案：B 解析：1x －1≥－1，即1x －1＋1≥0，x x －1≥0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）≥0x －1≠0，解得x ≤0或x >1，故不等式1x －1≥－1的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞). 2．答案：C解析：当a ＝0时，ax 2＋ax －4<0，即－4<0，成立；当a ≠0时，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝a 2＋16a <0，解得－16<a <0. 综上所述：－16<a ≤0. 3．答案：B解析：当k ＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ＝k 2＋24k <0⇒－24<k <0，于是－24<k ≤0.4．答案：D解析：由3x ＋a x －1≤1⇔2x ＋a ＋1x －1≤0⇔(2x ＋a ＋1)(x －1)≤0且x 不等于1，由题意得，－a ＋12＝－52，解得a ＝4. 5．答案：B解析：由题意，得x [45－3(x －15)]>600，即x 2－30x ＋200<0，∴(x －10)(x －20)<0，解得10<x <20.又每盏的最低售价为15元，∴15≤x <20.6．答案：BCD解析：当a <0时，不等式等价于(x －1)(x －a )<0，解得a <x <1； 当a ＝0时，不等式的解集是∅；当0<a <1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >1或x <a ； 当a ＝1时，不等式等价于(x －1)2>0，解得x ≠1；当a >1时，不等式等价于(x －1)(x －a )>0，解得x >a 或x <1.7．答案：－2<a <2解析：∵“∃x ∈R ，使得2x 2＋ax ＋12≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使2x 2＋ax ＋12>0”是真命题，∴判别式Δ＝a 2－4×2×12<0，∴－2<a <2. 8．答案：2 a ≤－14解析：由题意，知－12，1是方程ax 2－x －1＝0的两个根，所以－12＋1＝1a，所以a ＝2，若f (x )≤0为ax 2－x －1≤0, 当a ＝0时不等式不成立；当a ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝b 2－4ac ＝1＋4a ≤0解得a ≤－14， 所以a 的取值范围是a ≤－14.9．解析：(1)依题意，－1，－12是方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两根，且a <0，于是得⎩⎪⎨⎪⎧－1－12＝－a －1a－1×（－12）＝－1a，解得a ＝－2， 所以实数a 的值为－2.(2)由(1)知，a ＝－2，则原不等式为：－2x ＋3x －1≤0，即2x －3x －1≥0，化为⎩⎪⎨⎪⎧（2x －3）（x －1）≥0x －1≠0，解得x <1或x ≥32，所以原不等式的解集为{x |x <1或x ≥32}．10．解析：(1)当k ＝1时，原不等式为：2x 2＋x －38<0，解得－34<x <14，所以不等式解集为{x |－34<x <14}．(2)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 恒成立，当k ＝0时，－38<0恒成立，故k ＝0满足题意；当k ≠0时，要使得不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0k 2－4×2k ×（－38）<0，解得－3<k <0； 综上：－3<k ≤0.核心素养升级练1．答案：C解析：∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32.2．答案：m ≤－2 解析：因为0<x ≤2，所以，由x 2＋mx ＋1≤0得m ≤－x 2＋1x，因为关于x 的不等式x 2＋mx ＋1≤0在0<x ≤2上有解，所以只需m 小于等于－x 2＋1x的最大值，又－x 2＋1x ≤－2x x＝－2，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以m ≤－2，即实数m 的取值范围是m ≤－2.3．解析：设该旅店某晚的收入为y 元，则y ＝(50＋10x )(200－10x )，x ∈N *，由题意y >12 600，则(50＋10x )(200－10x )>12 600， 即10 000＋1 500x －100x 2>12 600， 即x 2－15x ＋26<0， 解得：2<x <13，且x ∈N *， ∴70<50＋10x <180，x ∈N *，所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间(不包括70元，180元).。
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：§2.2 第2课时 基本不等式的应用练习题
第2课时 基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答 案』 A『解 析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答 案』 D『解 析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答 案』 A『解 析』 由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答 案』 AC『解 析』 当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答 案』 B『解 析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答 案』 4『解 析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答 案』 3＋2 2 『解 析』 ∵2m ＋n ＝1， 则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 『答 案』 160『解 析』 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32， 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？ 解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45， 即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答 案』 A『解 析』 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答 案』 AC『解 析』 设矩形的长和宽分别为x ，y ， 则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答 案』 16『解 析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 a ≤0『解 析』 因为x >－1，所以x ＋1>0， 则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答 案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解 析』 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
基本不等式习题课
练习1：已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值.
练习2、已知a, b R ，且a 2b 1， 1 1 求 的最小值. a b
(3)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值
b >0，若 3是 1.设 a >0，
得最小值为（
3a 与 3b
1 1 的等比中项，则 a b
( 2)设0 x 1,则函数y x(1 x )的最大值是____;
2.凑系数 ：使和成为定值
1 变式( 2).设0 x , y x(1 2 x )最大值是 ____ . 2
练习2：已知
1 0 x ，求 y x(1 3x) 的最大值。 3
2 5 练习： 已知 x 0, y 0 ， 1 , x y 求x+y的最小值。
B）
B. 4
（2009年天津理6）
A. 8
C. 1
D.
1 4
变式1： x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。 解：由题意得2x+8y=xy
2 8 x 0, y 0 1 y x 2 8 则x y ( x y )( ) y x
2x 8 y 10 y x 10 2 16 18
2 2 2
(a，b∈R)；
(a，b∈R).
以上各式当且仅当 a ＝ b 时取等号，并注意各式 中字母的取值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则
ab a b 2ab ab 2 2 ab
2
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
不等式的基本性质(2)
课题：不等式的基天性质(2 课时 )教课目的：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3.提升逻辑推理和分类议论的能力；培育条理思想的习惯和仔细谨慎的学习态度。
教课要点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教课难点：不等式的性质的运用教课过程：第1课时：问题情境：现有 A、B、 C、 D 四个长方体容器， A、 B 容器的底面积为 a2，高分别为 a、 b，C、D 容器的底面积为 b2，高分别为 a、b，此中 a≠ b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问假如你是甲，能否必定能保证两个容器所盛水比乙的多剖析：依题意可知：A、B、C、 D 四个容器的容积分别为a3、 a2b、ab2、b3，甲有 6 种取法。
问题能够转变为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依照：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不一样的两点中，右侧的点表示的实数比左侧的点表示的实数大。
在右图中，点 A 表示实数 a，点 B 表示实数 b，点B A x A 在点 B 右侧，那么 a＞ b。
而 a－b 表示 a 减去 b 所得的差，因为 a＞ b，则差是一个正数，即a－ b＞ 0。
命题：“若 a＞ b，则 a－ b＞ 0”建立；抗命题“若a－ b＞ 0，则 a＞ b”也正确。
近似地：若 a＜b，则 a－ b＜ 0；若 a＝ b，则 a－ b＝0。
抗命题也都正确。
结论： (1) “ a＞ b”?“ a－ b＞ 0”(2)“a＝ b”?“ a－ b＝ 0”(3)“a＜ b”?“ a－ b＜ 0” ——以上三条即为比较大小的依照：“作差比较法” 。
正负数运算性质： (1) 正数加正数是正数； (2) 正数乘正数是正数； (3) 正数乘负数是负数； (4)负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质 1：若 a＞ b， b＞ c，则 a＞c (不等式的传达性)证明：∵ a＞ b∴ a－b＞0∵b＞ c ∴ b－ c＞ 0∴(a －b) ＋ (b －c) ＝ a－ c＞ 0 ( 正负数运算性质 )则 a＞c反省：证明要求步步有据。
不等式的性质(第二课时
(二)
学习要求： 1.能够推导出不等式的性质. 2.初步掌握不等式性质的应用.
一. 复习
1.不等式的定义： 用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2.初中所学不等式的性质： ①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数， 不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变。
推论2.(加法法则)若a>b,c>d,则a+c>b+d
证明: a b a c b c cd bcbd
ac bd
结论：同向不等式对相加，不等号不变
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
(a c) (b c) a b 0
a c b c
Байду номын сангаас
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b，则b<a;若b<a，则a>b．(对称性) 即：a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c．(传递性)
即：a>b,b>c a>c.
定理3:若a>b,则a+c>b+c．(可加性)
推论1.(移项法则)若a+b>c,则a>c-b
3.实数的性质(不等式的基本原理)
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
人教版高中数学必修五课时作业16：第2课时 基本不等式的应用
第2课时 基本不等式的应用一、选择题1.已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A.4B.2C.1D.14考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2.已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为() A.2 2 B.4 2C.16D.不存在考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立. 3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4 D.－4考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋1x －1＋5＝x －1＋1x －1＋6≥2 (x －1)·1x －1＋6＝8， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3. 4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.5 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 5.若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( )A.3B.72C.4D.92考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号. 6.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b >0，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A.9B.8C.4D.2考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 A解析 将圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b >0，c >0，所以4c b ＋b c≥2 4c b ·b c＝4， 当且仅当4c b ＝b c时等号成立. 由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题7.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号， 所以直角三角形的面积S ＝12ab ≤14， 即S 的最大值为14. 8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用答案 20解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160， 当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号. 9.设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为____________________.考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6,8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号. ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.10.设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________. 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 三、解答题11.已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}.(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1，f (x )＝a x ＋b 1－x，求函数f (x )的最小值. 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)依题意可得方程x 2－5ax ＋b ＝0的根为4和1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋1＝5a ，4×1＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4. (2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x ，∵0<x <1，∴0<1－x <1，1x >0，41－x >0，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝1－x x ＋4x 1－x＋5≥21－x x ·4x 1－x ＋5＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x，即x ＝13时，等号成立， ∴f (x )的最小值为9.12.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元). 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000 元.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示.(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值.考点 基本不等式的实际应用题点 基本不等式的实际应用解 (1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N *)，所以y ＝25n －n [6＋(2n ＋4)]2－36＝－n 2＋20n －36 ＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元.(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n ＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2×n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n，即n ＝6时取“＝”). 故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元.四、探究与拓展14.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.5考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立.15.若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A.2∈M ,0∈MB.2∉M ,0∉MC.2∈M ,0∉MD.2∉M ,0∈M 考点 基本不等式中的参数问题题点 基本不等式中的参数问题答案 A 解析 M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. 当k ∈R 时，k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)2－2k 2＋3k 2＋1＝(k 2＋1)2－2(k 2＋1)＋5k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2 ≥2(k 2＋1)·5k 2＋1－2＝25－2>2(当且仅当k 2＝5－1时，取等号).∴2∈M ,0∈M .。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 分层作业 第3章 不等式 第2课时 一元二次不等式的应用
16.已知函数() = ( + 1) 2 − 2 + − 4( ∈ ).
（1）若不等式() < 0的解集为，求的取值范围；
解由已知得() = ( + 1) 2 − 2 + − 4 < 0在
1
−
5.若1 ≤ ≤ 2,不等式 2 + + ≥ 0恒成立,则实数的最小值为____.
2
[解析]若 ≤ ≤ ,不等式 + + ≥ 恒成立,则有 = − ≤ 或
−
൝ − ≥ ,≤ ,或൝
解得 ≥ − ,即实数的最小值为− .
A.11元
B.11元到15元之间
C.15元
)
D.10元到14元之间
[解析]设售价为元，利润为元，则 = ( − )[ − ( − )].由题意得
= ( − )[ − ( − )] > ，即 − + < ，解得 < < ，
= − ≤ ,
7.已知命题: ∈ = {|
−2
−3
< 0},命题: ∈ = {| 2 − ( + 2 ) + 3 ≤ 0, > 1}.
（1）若命题为真命题,求集合;
−2
解若命题为真命题,则
−3
< 0,
即( − 2)( − 3) < 0,解得2 < < 3,
[−8, +∞)
若对于 ∈ [1,2],不等式2 2 + + ≤ 2 + 有解,则实数的取值范围为__________.
第2课时一元二次不等式课后作业
第2课时一元二次不等式课后作业1．若不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >2．已知一元二次不等式()0f x <的解集为1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100xf >的解集为( )A ．{}|12x x x lg <->-或 B ．{}|12x x lg -<<- C ．{}|2x x lg >- D ．{}|2x x lg <- 3．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}4．对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5．已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则+a b 的值为（ ）． A ．1B ．1-C ．0D ．2-6．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A ．3122a -<< B ．1322a -<< C ．11a -<< D ．02a <<7．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a > D ．1122a -<< 8．不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-9．（多选）设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( ) A ．1 B ．2- C ．0.5 D ．1.510．（多选）设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（ ）A B ．3C ．-4.5D ．-511．当x∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______．12．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 13．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.14．已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠． （1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．15．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，由不等式组解集非空得2124a a +<+，可得答案.【详解】原不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+⇒--<13a ⇒-<<，故选：A ． 【点睛】本题考查不等式解集非空问题，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】由已知条件代入解不等式组 【详解】依题意知()0f x <的解集为1|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或， ()100x f >， 则11102x<<－， 解得122x lg lg <=- 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的定义域以及复合函数，将复合部分代入求出解集，较为基础． 3．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C.4．A 【解析】 【分析】2a =时不等式恒成立，2a ≠时只能有20a -<且∆<0，由此可得．【详解】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<⎧⎨∆=---⨯-<⎩即2,22,a a <⎧⎨-<<⎩解得22a -<<． 又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立． 故a 的取值范围是22a -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意讨论二次项系数为0的情形，二次项系数为0时，它已经不是二次不等式了，要注意． 5．C 【解析】 【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求,a b 后可得． 【详解】 由已知得212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，故0a b +=， 故选：C ． 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数，掌握三个“二次”之间的关系是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题. 7．C 【解析】 【分析】 根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立， 则00a >⎧⎨∆<⎩， 即20140a a >⎧⎨-<⎩， 解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题. 8．B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解，即记2()1=++f x xax ，由1(0)0,02f f ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭求出不等式恒成立的必要条件，再在必要条件中验证其中的最小值也是充分的即得． 【详解】记2()1=++f x x ax ，不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则必须有(0)1011110242f f a =≥⎧⎪⎨⎛⎫=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52a ≥-， 52a =-时，22559()1()2416f x x x x =-+=--，在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min 1()()02f x f ==，满足题意，∴a 的最小值是52-．故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可结合二次函数的性质求解． 9．AC 【解析】 【分析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得； 【详解】解：因为{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =< 所以{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<< 所以{}|01MN x x =<≤所以()1M N ∈，()0.5MN ∈故选：AC 【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到[]43x -≤≤，再根据[]x 表示不小于实数x 的最小整数求解. 【详解】 因为不等式[][]2120x x +-≤，所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数， 所以不等式[][]2120x x +-≤的解可以为3，-4.5.故选：BC 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及实数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．(],5-∞- 【解析】令()24f x x mx =++，则()f x 的图像是开口向上的抛物线，要当(1,2)x ∈时，()0f x <恒成立，只需(1)140(2)4240f m f m =++≤⎧⎨=++≤⎩，解得5m ≤-.点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.12．121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >．故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了． 13．122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由已知可得0a <，利用方程20ax bx c ++=的两根为12,2--，结合韦达定理，得到,,a b c 的关系，代入所求的不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}， 10,2,2a ∴<--为方程20ax bx c ++=的两根，5,12b c a a ∴-=-=，即5,12b ca a==所以所求解的不等式20ax bx c -+>可等价为22510,25202x x x x ，解得122x <<. 所以20ax bx c -+>的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于中档题.14．（1）25k =-；（2）k =（3）k <；（4）k ≥．【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的根与系数的关系得到答案.（2）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得答案. （3）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-<⎩，解得答案. （4）根据题意得到24240k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得答案. 【详解】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<， 且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1x x k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得k <．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．(],9-∞． 【解析】 【分析】先解一元二次不等式组得{}23M x x =<<，再根据题意转化为2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立求解即可.【详解】解：{}22(1)(3)01343023(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩．所以{}23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立． 令229y x x a =-+，只需该函数在{}23x x <<上的最大值不超过0即可． 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤． 故实数a 的取值范围是(],9-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.。
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：2.2.2基本不等式限时作业(第二课时)
§2．2．2 基本不等式限时作业（第二课时）一．选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a b +≥B ．2a b b a +≥C ．||2a b b a +≥D ．a 2＋b 2>2ab2．已知正数x ，y 满足2x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4C ．2D ．03．若x ，y 是正实数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ． 6B ． 9C ． 12D ． 154．已知a ，b ，c ，是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为( )二．填空题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．三．解答题11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9．12．桑基鱼塘是一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如a b ．图所示，池塘所占面积为S平方米，其中:1:2(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？参考答案一．选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a b +≥B ．2a bb a +≥C ．||2a bb a +≥ D ．a 2＋b 2>2ab解析：C2．已知正数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析：A3．若x ，y 是正实数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ． 6B ． 9C ． 12D ． 15二．填空题9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．解析：设仓库与车站距离为x 公里，由已知y 1＝20x；y 2＝0．8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0．8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．所以提价多的方案是乙．答案：乙三．解答题11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．12．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中:1:2a b =．(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解析：(1)由题可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝(x －4)a ＋(x －6)b ＝(3x －16)a ＝(3x －16)y －63＝1 832－6x －163y (x >6，y >6，xy ＝1 800)． (2)方法一 S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－26x ×163y ＝1 832－480＝1 352， 当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1 800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1 352． 方法二 S ＝1 832－6x －163×1 800x＝1 832－⎝⎛⎭⎫6x ＋9 600x ≤1 832－26x ×9 600x＝1 832－480＝1 352，当且仅当6x ＝9 600x ，即x ＝40时取等号，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45．。
2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6 (2)1214．解析：方法一 作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二 作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三 平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4第2课时均值不等式的应用课时作业含解析人教B版必修一
第二章 2.2 2.2.4 第2课时请同学们认真完成 [练案16]A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( C )A ．1B ．12 C ．14D ．18解析：因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x 1－4x 2＝12×2x ×1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2即x ＝24时等号成立，故选C ． 2．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：由于x >1，所以x －1>0，1x －1>0， 于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ． 3．(2019·江苏南京师大附中高二期中)函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图像的最低点的坐标是( D )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)解析：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，即当x ＝0时，该函数取得最小值 2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2)．4．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ． 2B ．2C ．2 2D ．8解析：因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy ≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2， 当且仅当x ＝y 时等号成立，所以使得x ＋y ≤a x 2＋y 2对所有正数x ，y 恒成立的a 的最小值是 2.故选A ．5．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__.解析：f (x )＝x －22＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1. 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．7．(2019·辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(4，＋∞)__.解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴(x ＋y 4)min <m 2－3m .∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝4x y ＋y4x＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴(x ＋y4)min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．8．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__[9，＋∞)__；a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__.解析：①∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab ∈[9，＋∞)．②∵正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b2)2，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号， ∴a ＋b ∈[6，＋∞)． 三、解答题(共20分)9．(6分)(2019·湖北华中师大一附中高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.解析：因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a 2＋1b 2≥2ab＝2c ，1b 2＋1c 2≥2bc ＝2a ，1a2＋1c2≥2ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2(1a 2＋1b 2＋1c2)≥2(a ＋b ＋c )，即1a 2＋1b 2＋1c2≥a ＋b ＋c .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立． 所以a ＋b ＋c <1a 2＋1b 2＋1c2.10．(7分)a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解析：∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －cb －c. ∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )， ∴n ≤a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c，∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c ≥2b －c a －b ·a －bb －c＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4.11．(7分)已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc . 解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.∴a ＋b b ＋ca ＋c8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2 B ．x ≤a ＋b2 C ．x >a ＋b2D ．x ≥a ＋b2解析：由条件知A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 所以(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤[1＋a ＋1＋b 2]2，所以1＋x ≤1＋a ＋b2，故x ≤a ＋b2.2．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值．若y ＝5m ，x ＝4n是方程y ＝xα的解，则α＝( C )A ．－1B ．12C ．2D ．3解析：1m ＋16n ＝(1m ＋16n )(m ＋n )＝1＋16m n ＋n m ＋16＝17＋16m n ＋nm≥17＋216m n ·nm＝25.当且仅当16m n ＝nm，又m ＋n ＝1，即m ＝15，n ＝45时，上式取等号，即1m ＋16n 取得最小值时，m ＝15，n ＝45，所以y ＝25，x ＝5,25＝5α. 得α＝2.二、多选题(每小题5分，共10分)3．设a >0，b >0，下列不等式恒成立的是( ABC ) A ．a 2＋1>aB ．(a ＋1a )(b ＋1b)≥4C ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4D ．a 2＋9>6a解析：由于a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，故A 恒成立； 由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴(a ＋1a )(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立，故B 恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故C 恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故D 不恒成立；故选ABC ． 4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( BD ) A ．ab >1 B ．ab <1 C ．a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22>1解析：因为ab ≤(a ＋b2)2，a ≠b ，所以ab <1，又1＝a ＋b24＝a 2＋b 2＋2ab 4<a 2＋b 22，所以a 2＋b 22>1，所以ab <1<a 2＋b 22.三、填空题(每小题5分，共10分)5．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是__56__dm 2.解析：设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x)≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2)．当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立．6．设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b取最小值时a 的值为__－2__. 解析：因为a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1， 当且仅当b 4|a |＝|a |b时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0，所以当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值． 四、解答题(共10分)7．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数． (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解析：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2019年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21.故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
高中数学第二章等式与不等式2-2不等式2-2-4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用课时作业新
第2课时 均值不等式的应用必备知识基础练1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (年数，x ∈N *)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．2．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．03．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于( )A ．254B ．252C ．25D ．54．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为______元．5．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．146.围建一个面积为40 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．关键能力综合练7．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．88．(多选)设a ＋b ＝2(a >0，b >0)，则12a ＋ab 取最小值时下列结论正确的是( )A ．a ＝23B ．ab ＝1C ．12a ＋a b ＝54D ．12a ＋a b ＝149．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为( )A ．10 mB ．20 mC ．30 mD ．40 m10．已知一次函数y ＝－12x ＋1的图象分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值是________，取得最值时a 的值为________．11．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 12．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋5v ＋1 000(v >0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？核心素养升级练13．已知a ，b 都是正数，求证：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22.14. “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本2(Q ＋1Q)万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为(2＋20Q)元/件.那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)第2课时 均值不等式的应用必备知识基础练1．解析：年平均利润y x＝－x ＋18－25x＝－(x ＋25x)＋18 ≤8.当且仅当x ＝5时，等号成立，(y x)max ＝8，即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．答案：5 82．解析：由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.所以x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋xy＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立．答案：A3．解析：设直角三角形的斜边为c ，直角边分别为a ，b ，由题意知c ＝5，则a 2＋b 2＝25，则三角形的面积S ＝12ab ，因为25＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤252，则三角形的面积S ＝12ab ≤12×252＝254，当且仅当a ＝b ＝522时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于254.答案：A4．解析：设水池池底的一边长为x m ，则其邻边长为4xm ，则总造价为：y ＝120×4＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2x ×4x＝1 760. 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1 760.所以水池的最低总造价为1 760元． 答案：1 7605．解析：因为a >0，b >0，所以2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，又2a ＋b ＝4，所以22a ·b ≤4即0<ab ≤2，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，所以1ab ≥12，所以1ab 的最小值为12.答案：B6．解析：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝5x ＋20(x －2)＋20·2a ＝25x ＋40a －40， 由已知ax ＝40，得a ＝40x ，所以y ＝25x ＋1 600x－40 (x >2).(2)因为x >2， 所以25x ＋1 600x≥225x ·1 600x＝400，所以y ＝25x ＋1 600x－40≥360，当且仅当25x ＝1 600x，即x ＝8时，等号成立．即当x ＝8 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是360元．关键能力综合练7．解析：因为a >0，b ＞0，a ＋b ＝ab ≤（a ＋b ）24，所以a ＋b ≥4，当a ＝b ＝2时取等号，则a ＋b 的最小值为4.答案：B8．解析：因为a ＋b ＝2，所以12a ＋a b ＝24a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝a 4a ＋b 4a ＋a b ≥a 4a ＋2b 4a ×a b ＝a 4a ＋1＝54. 当且仅当b 4a ＝ab，即b 2＝4a 2时等号成立．又因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以解得a ＝23，b ＝43，所以12a ＋a b 的最小值为54.答案：AC9．解析：设矩形的另一边长为y .由三角形相似得x 40＝40－y40，其中0<x <40，0<y <40，∴40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积取得最大值．故选B.答案：B10．解析：因为A (2，0)，B (0，1)，所以0≤b ≤1，由题意得a ＝2－2b ，ab ＝(2－2b )b ＝2(1－b )·b ≤2·(1－b ＋b 2)2＝12.当且仅当1－b ＝b ，即b ＝12时等号成立，此时a ＝1，因此当b ＝12，a ＝1时，ab 的最大值为12.答案：12 111．解析：∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2(x ＋4x －1) ＝－2(x －1＋4x －1＋1)， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2 （x －1）·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2(x －1＋4x －1＋1)≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为(－10，＋∞). 答案：(－10，＋∞) 12．解析：(1)y ＝900vv 2＋5v ＋1 000＝900v ＋1 000v＋5，因为v ＋1 000v≥2v ·1 000v＝2010，所以y ＝900v ＋1 000v＋5≤9002010＋5＝180410＋1.当且仅当v ＝1 000v，即v ＝1010时等号成立．所以当汽车的平均速度v ＝1010千米/小时时车流量y 最大． (2)令900v v 2＋5v ＋1 000≥12，则可化为v 2－70v ＋1 000≤0，即(v －20)(v －50)≤0，解得20≤v ≤50.所以汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．核心素养升级练13．证明：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab，∴11a ＋1b ≤12 1ab，即21a ＋1b≤ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”). 又∵(a ＋b2)2＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取“＝”)，又a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”).故21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取“＝”).14．解析：设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝(2＋20Q )·Q －2(Q ＋1Q)－x＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－[4x ＋1＋(x ＋1)]，0≤x ≤3. ∵21－[4x ＋1＋(x ＋1)]≤21－24＝17， 当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.即当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．。
苏教版高二数学选修4-5 排序不等式 (2) 课时作业
排序不等式一、单选题1．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是[答]（ ）A 、0a b c ++=．B 、a b c 、、两两平行．C 、a b //．D 、a b c 、、方向都相同． 2．已知方程组7{13x y ax y a+=---=+的解x 为非正数，y 为非负数，则a 的取值范围是（ ） A. 23a -<≤ B. 23a -≤< C. 23a -<< D. 2a ≤- 3．定义行列式运算32414321a a a a a a a a -=，将()xxx f cos 1sin 3----=向左平移()0>m m 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为（ ）A 、8π B 、3πC 、32π D 、65π 4．展开式为ad bc -的行列式是（ ）A. | a b d cB. | a c b dC. | a d b cD. | b ad c5． 已知bcad dc ba -=,则=+++20102008200620041816141210864 ( ) A －2008 B 2008C 2010D -2010二、填空题6．若矩阵14A ⎡=⎢⎣ 11,12B -⎤⎡⎤=⎥⎢⎥⎦⎣⎦，则AB = ．7．行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .()111113-{111a x b y c a x b y c +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 可用矩阵表示为 ▲ ．9．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是 ．10．已知函数()1x f x x=+,在9行9列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛999392912923222119131211a a a a a a a a a a a a中，第i 行第j 列的元素()ij i a f j=,则这个矩阵中所有数之和为_______________.三、解答题11．已知矩阵A ＝213b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为α＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． （1）求实数b ，λ的值；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线为C ' x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．12．已知线性变换τ ⎩⎨⎧+='+='y x y y x x 22,3对应的矩阵为T ，向量β⎪⎪⎭⎫⎝⎛=65． （Ⅰ）求矩阵T 的逆矩阵1-T；（Ⅱ）若向量α在τ作用下变为向量β，求向量α．13．（本题满分10分，选修4-2 矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变成点(9,15)，求出矩阵M.14．已知矩阵M ＝2311-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 15．在平面直角坐标系中，已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点.()求证()在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.参考答案1．B 【解析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，因为121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以,,a b c 两两平行，故选B 2．D【解析】由方程组7{13x y a x y a +=---=+可解得3{ 28x a y a =-=--，由题设可得30{2280a a a -≤⇒≤---≥，应选答案D 。