5.5 控制系统的相对稳定性

3
2．幅值裕量（增益裕量） 幅值裕量（增益裕量）
当系统开环幅相曲线与负实轴相角时， )=当系统开环幅相曲线与负实轴相角时，即ϕ(ω)=-1800时对应 的频率，称为相角交界频率 相角交界频率ω 的频率，称为相角交界频率ωg。 在相角交界频率ω 开环幅频特性A( A(ω 的倒数为闭环系 在相角交界频率ωg处，开环幅频特性A(ωg)的倒数为闭环系 统的幅值裕量， 统的幅值裕量，即： 1 1 Kg = = A(ωg ) G ( jωg ) H ( jωg )
2
稳定裕度是衡量系统相稳定性的指标，有相 稳定裕度是衡量系统相对稳定性的指标， 角裕量和幅值裕量． 角裕量和幅值裕量．
1．相角裕量
当系统开环频率特性的幅值为1 当系统开环频率特性的幅值为1时，即A(ω)=︱G(jω)H(jω)︱=1 A(ω ︱ 时的频率，称为开环截止频率或增益交界频率ω 开环截止频率或增益交界频率 时的频率，称为开环截止频率或增益交界频率ωc。 在开环截止频率处的相角ϕ 之差为闭环系统的相 在开环截止频率处的相角ϕ (ωc)与-1800之差为闭环系统的相 角裕量， 角裕量，即：
ϕ (ω c ) = −90° − tan −1 0.2ω c − tan −1 0.05ω c = −104°
γ = 180° + ϕ (ω c ) = 180° − 104° = 76°
ωc ≈ 1
9
幅值裕度: 幅值裕度
ϕ (ω g ) = ∠G ( jω g ) H ( jω g ) = −180°
4
Im
[GH]
L(ω) dB
1/Κg -1 γ ωg ωc
0
ωc
Kg
ω
Re 0
ϕ(ωc)
ϕ (ω)
− 90 − 180 − 270
γ >0
ωg ω
5
Im
[] H G
ω L ()
dB 0 Kg < 0 负幅值裕量
负相角裕量 B
γ
ωc
ω
1 −1
ϕ
Re
ϕω ()
1 Kg
− 90
Gj ω ()
负幅值裕量
7
jω ω
[GH]
jω ω [GH]
-1 ω3 ω2 ω1 0
ω1
ω2
ω3
0
8
例 一单位反馈系统的开环传递函数为 K G(s) = s (1 + 0.2 s )(1 + 0.05s ) 试求K=1时系统的相角裕度和幅值裕度。 时系统的相角裕度和幅值裕度。 试求 时系统的相角裕度和幅值裕度 相角裕度: 根据K=1时的开环传递函数 G ( jωc ) H ( jωc ) = 1 解： 相角裕度 根据 时的开环传递函数 1 G ( jω c ) = jω c (1 + j 0.2ω c )(1 + j 0.05ω c ) 1 = =1 ω c (1 + 0.04ω c2 )(1 + 0.0025ω c2 )
− 180 − 270
ωg
γ <0
ω
负相角裕量
6
3. 关于相角裕度和幅值裕度的几点说明 对于最小相角系统， 对于最小相角系统，只有当相角裕度和幅值裕度都是正 最小相角系统 值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。 值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。 只用幅值裕度或相角裕度，都不足以说明系统的相对稳 只用幅值裕度或相角裕度， 定性。为了确定系统的相对稳定性， 定性。为了确定系统的相对稳定性，往往需要同时给出这两 个量。 个量。 控制系统的相角裕度和幅值裕度是系统靠近稳定边界 程度的度量。 程度的度量。这两个裕度指标以及开环截止频率可以作为 分析和设计的频域指标。 分析和设计的频域指标。 为了得到满意的性能，要求相角裕度 为了得到满意的性能，要求相角裕度γ=30°~ 60°， ° ° 应当大于6分贝 分贝。 幅值裕度Ｋｇ应当大于 分贝。
= 20 + 7 + 1 = 28dB
11
5.5 控制系统的相对稳定性
1
设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作 设计控制系统，要求它必须稳定， 的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。 的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。 相对稳定性的概念：基于Nyquist判剧 判剧， 相对稳定性的概念：基于Nyquist判剧，当控制系统的开环传 递函数在s平面右半部无极点时，其开环频率响应G(jω (jω 递函数在s平面右半部无极点时，其开环频率响应G(jω)H (jω)若通 过点（ ），则控制系统处于临界稳定边缘 则控制系统处于临界稳定边缘。 过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若 控制系统的参数发生漂移， 控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包 围点（ ），从而造成控制系统不稳定 因此， 从而造成控制系统不稳定。 围点（-1，j0），从而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist 图 开环频率响应与点（ 上，开环频率响应与点（ -1，j0 ）的接近程度可直接表征控制系 统的稳定程度。 统的稳定程度。 其定性关系是： Nyquist图上 G(jω (jω)不包围点( 图上, ω)不包围点 其定性关系是：在Nyquist图上, G(jω)H (jω)不包围点(-1，j0) 的情况下， G(jω (jω)离点（ ω)离点 j0）越远，说明具有P=0的控 的情况下，若 G(jω)H (jω)离点（-1，j0）越远，说明具有P=0的控 制系统的稳定性程度越高；反之,G(jω (jω)越靠近点( ω)越靠近点 制系统的稳定性程度越高；反之,G(jω)H (jω)越靠近点(-1，j0) ，则 上述系统的稳定程度越低。在控制系统稳定的基础上， 上述系统的稳定程度越低。在控制系统稳定的基础上，进一步用以 表征其稳定程度高、低的概念， 表征其稳定程度高、低的概念，便是通常所谓的控制系统的相对稳 定性。 定性。
ϕ (ω g ) = −90° − tan −1 0.2ω g − tan −1 0.05ω g = −180°
−1 −1 即 tan 0.2ω g + tan 0.05ω g = 90° tan θ1 ± tan θ 2 由于 tan(θ1 ± θ 2 ) = 1 ∓ tan θ1 tan θ 2 0.2ω g + 0.05ω g 所以 =∞ 1 − 0.2ω g × 0.05ω g
20 lg G ( jω c ) H ( jω c ) = 0(dB)
γ = 180° + ϕ(ωc )
物理意义：对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度 物理意义：对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ度， 则系统将变为临界稳定。 则系统将变为临界稳定。 判定稳定性：为了使最小相位系统稳定，相位裕度 必须为正 必须为正； 判定稳定性：为了使最小相位系统稳定，相位裕度γ必须为正； 若γ<0，闭环系统不稳定；若γ=0 ，闭环系统处 ，闭环系统不稳定； 于临界稳定状态。 于临界稳定状态。
K g (分贝) = −20 lg A(ωg ) = −20lg G( jωg ) H ( jωg )(dB)
物理意义：对于闭环稳定系统，如果开环幅频特性再增大 倍 物理意义：对于闭环稳定系统，如果开环幅频特性再增大h倍， 则系统将变为临界稳定。 则系统将变为临界稳定。 判定稳定性：为了使最小相位系统稳定，必须 判定稳定性：为了使最小相位系统稳定，必须Kg>1；若Kg<1， ； ， 闭环系统不稳定； 闭环系统不稳定；若Kg=1 ，闭环系统处于临界稳 定状态。 定状态。
1 − 0.2ω g × 0.05ω g = 0
ω g = 10
10
在ωg处的开环对数幅值为
K g = −20 lg G ( jωg ) H ( jωg )
= −20 lg 1 jω g (1 + j 0.2ω g )(1 + j 0.05ω g )
= 20 lg 10 + 20 lg 1 + (0.2 × 10) 2 + 20 lg 1 + (0.05 × 10) 2