(1)用古典概型的计算公式来计算随机事件发生的概率
古典概型在解题中的应用
结果：共有60种不同以一一列出
试验中所有可能的结果不互斥
古典概型在解题 中的应用
概率计算
定义：古典概型中每个基本事 件发生的概率是相等的，且为 常数。
应用：在概率论中，古典概型 是概率计算的基础，广泛应用 于各种概率问题的求解。
特点：所有基本事件是等可能 的，且互斥。
计算方法：通过列举法或组合 数计算概率。
可数
概率相等：每个 样本点的概率必 须相等，且所有 样本点的概率之
和必须为1
适用场景：适用 于随机试验中样 本空间数量较小 的情况，如摸球、
掷骰子等
局限性：对于样 本空间数量较大 的情况，古典概 型的计算变得复
杂且不实用
对随机事件的描述不够精确
古典概型假设试 验中所有可能结 果都是等可能的， 忽略了实际试验 中的随机性和偶
组合数计算
组合数的定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，表示为C(n,m) 组合数的性质：C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) 组合数的计算方法：通过二项式定理展开计算，或者使用递推关系式计算 组合数在解题中的应用：在概率论、统计学、组合数学等领域中都有广泛的应用
古典概型的应用 实例
概率计算实例
抛硬币实验 摸球实验 抽签实验 投掷骰子实验
组合数计算实例
单击此处添加标题
组合数的定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记作C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
古典概型概率公式
古典概型（二）教学设计姓名：***班级：1402学号：**********一、课题：人教A版必修3高中数学3.2.1古典概型二、课标要求：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数.三、教材分析：人教版：本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型，它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也是后面学习其它概率的基础．在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，能解释生活中的一些问题，也有利于计算一些事件的概率，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位．本节教材主要是学习古典概型的概率公式，教学中学生已经通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，现在需通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题．北师大版：本节只是初步认识古典概型并归纳出概率计算公式，本节课之前并没有给出互斥事件的概率加法公式，而古典概型的概率计算公式是通过实例直接总结的.建立概率模型是在第2节中才抽象出来的，而互斥事件的概率加法公式是在第3节给出的.四、学情分析：认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，初步理解了古典概型，这几者形成了学生思维的“最近发展区”.能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.五、教学目标：知识与技能：掌握古典概型的概率计算公式，体会化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.过程与方法：进一步发展类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养应用能力.情感态度与价值观：培养勇于探索，善于发现的创新思想.树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，领会理论与实践对立统一的辨证思想.增强数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.六、教学重难点：教学重点：利用古典概型求解随机事件的概率.突破方法：反复运用概率的加法公式加强理解.教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．突破方法：利用列表和画出树状图的方式解决.七、教学理念：建构主义理论的支架式教学.建构主义的基本观点是个体通过同化与顺应两种形式来达到与周围环境的平衡；个体能用现有的图式去同化新信息时，他处于一种平衡的认知状态；而当现有图式不能同化新信息时，平衡即被破坏，而修改或创造新图式（顺应）的过程就是寻找新平衡的过程。
古典概型的特征和概率计算公式
择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生 随机地选择一个答案即选择A，B，C，D的可能性是相等
的.从而由古典概型的概率计算公式得：
P（“答对”）＝“答对”所基包本含事的件基的本总事数件的个数
＝1 4
＝0.25
1．古典概型： 我们将具有： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限 性） （2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概 型.
〖解〗不是古典概型，因为试验的所 有可能结果只有11个，而命中10环、 命中9环……命中1环和不中环的出 现不是等可能的，即不满足古典概型 的第二个条件.
思考二：
掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为2的概 率是多少？点数为4的概率呢？点数为6的概率呢？骰子落 地时向上的点数为偶数的概率是多少？
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为： P（A）＝事试件验A的包所含有的可可能能结结果果数数 3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基 本事件的总数时常用的方法是列举法（画树状图和列 表），注意做到不重不漏.
总质量 第二个质量
2.5
5
10
20
第一个质量
2.5
5
7.5
12.5
22.5
5
7.5
10
15
25
10
12.5
15
20
30
20
22.5
25
30
40
（ⅰ）用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是
20 kg”，因为总质量为20 kg的所有可能结果只有1种， 因此，事件A的概率P(A)= 1 =0.062 5.
16 （ⅱ）用B表示事件“选出，总质量为30 kg的所有可
考纲解读1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算...
方法二：如果看作是依次不放回抽取两听，有顺序， 那么所有基本事件为：
(1,2) (1,3)
(2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (a,1) (a,2)
(1,4) (1，a) (1，b)
(2,4) (2，a) (2，b) (3,4) (3，a) (3，b) (4,3) (4，a) (4，b) (a,3) (a,4) (a，b)
1
2
3
4
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 6 一共有 (6,1) 6×6 (6,2) (6,4) ＝36(种)(6,3) 不同的结果．
[点评] 古典概型要求所有结果出现的可能性相等，
强调所有结果中每一结果出现的概率相同.
[ 例 2]
某种饮料每箱装 6 听，如果其中有 2 听不合格，
质检人员从中随机抽出2听，求下列事件的概率： (1)A：经检测两听都是合格品； (2)B：经检测两听中一听合格，一听不合格； (3)C：检测出不合格产品．
(
A．2 C．6 [答案] C [解析] B．4 D．8
)
设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任
抽取两个小组 ” 的基本事件有 AB、AC 、AD 、BC 、BD、
CD，共6个．
3．(文)在 40 根纤维中，有 12 根的长度超过 30mm， 从中任取一根，取到长度超过 30mm 的纤维的概率是 ( 3 A.4 2 C.5 3 B.10 D．以上都不对 )
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种非常基础且重要的概率模型。
它具有简单直观、易于理解和计算的特点。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义与特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，且出现正面和反面的可能性相等；掷一个均匀的骰子，结果有 1、2、3、4、5、6六种，每种结果出现的概率都是 1/6。
二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10 种。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个完全相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5，从中随机摸出一个球，求摸到奇数球的概率。
解：总共有 5 个球，摸到每个球的可能性相等。
奇数球有 1、3、5 三个。
所以摸到奇数球的概率为 3 ／ 5 。
例 3：同时掷两个均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两个骰子，总的结果数为 6 × 6 ＝ 36 种。
点数之和为7 的情况有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共 6 种。
所以点数之和为 7 的概率为 6 ／ 36 ＝ 1 ／ 6 。
四、古典概型概率计算的注意事项1、要确保试验结果的等可能性。
如果试验结果不是等可能的，就不能使用古典概型的概率计算公式。
2、计算基本事件总数和事件包含的基本事件数时，要注意不重不漏。
3、对于复杂的问题，可以通过分类讨论或分步计算来解决。
《随机事件与概率》概率(古典概型)
概率在金融中的应用
投资组合优化
根据不同资产的历史回报率和 风险，计算投资组合的预期收 益和风险，以选择最优的投资
组合。
保险产品设计
根据历史数据和风险概率，设计不 同费率和保障范围的保险产品。
信用评估
通过分析借款人的历史信用记录和 还款情况，评估借款人违约的概率 。
概率在医学中的应用
临床试验
通过随机对照试验，评估新药的 有效性和副作用发生的概率。
疾病诊断
根据患者的临床表现和医学检查 数据，医生可以初步判断患者患
某种疾病的概率。
遗传疾病风险评估
根据家族病史和基因检测结果， 评估个体患遗传疾病的风险概率
。
04
概率与统计
概率与统计的联系
概率是统计的基础
概率论是研究随机现象的数学理论，为统计推断提供了基础。统计是通过收集、整理和分析数据来推断未知的信 息，而概率提供了对数据进行推断的数学方法。
概率论的公理化
目前，概率论的公理化仍然是一个活跃的研究领域。未来，概率论的公 理化将进一步完善，以更好地描述和解释随机现象。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考题与练习题
思考题
请举例说明古典概型在实际生活中的应用。
练习题
请计算以下事件的概率：在一个包含 5 个 白球和 3 个黑球的盒子里，随机抽取一个
白球的概率是多少？
THANKS
设定参数
为模拟程序设定所需的参数，如模拟次数、事件 发生条件等。
模拟结果的统计分析
数据收集
运行模拟程序，收集模拟产生的数据。
统计分析
对收集到的数据进行统计分析，如计算平均值、中位数、标准差等 。
结果展示
以图表或报告的形式展示分析结果，如频率分布图、直方图、饼图 等。
随机事件的概率及计算
随机事件的概率及计算随机事件的概率及计算随机事件的概率、古典概型、⼏何概型及随机模拟⼆. 课标要求：1、在具体情境中，了解随机事件发⽣的不确定性和频率的稳定性，进⼀步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会⽤列举法计算⼀些随机事件所含的基本事件数及事件发⽣的概率。
4、了解随机数的意义，能运⽤模拟⽅法（包括计算器产⽣随机数来进⾏模拟）估计概率，初步体会⼏何概型的意义；5、通过阅读材料，了解⼈类认识随机现象的过程。
三、命题⾛向本讲内容在⾼考中所占⽐重不⼤，纵观近⼏年的⾼考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有⼀定的灵活性、机动性。
纵观近⼏年的⾼考对概率要求降低，⼏何概型是新加内容，考试涉及的可能性较⼤。
预测⾼考：对概率考查的重点以互斥事件、古典概型、⼏何概型的概率事件的计算为主，⽽以实际应⽤题出现的形式多以选择题、填空题为主。
四、教学过程（⼀）基本知识要点回顾1、随机事件的概念在⼀定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在⼀定条件下可能发⽣也可能不发⽣的事件；（2）必然事件：在⼀定条件下必然要发⽣的事件；（3）不可能事件：在⼀定条件下不可能发⽣的事件。
2、随机事件的概率事件A的概率：在⼤量重复进⾏同⼀试验时，事件A发⽣的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3、事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发⽣的两个事件叫做互斥事件；（2）对⽴事件：不能同时发⽣，但必有⼀个发⽣的两个事件叫做互斥事件；4、事件间的运算+）（）=；个，即此试验由所有结果出现的可能性都相等，那么每⼀基本事件的概率都是。
如果某个事件=。
=。
（1）“抛⼀⽯块，下落”.（2）“在标准⼤⽓压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某⼈射击⼀次，中靶”；（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”;（5）“掷⼀枚硬币，出现正⾯”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取⼀张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有⽔分，种⼦能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版
古典概型的特征和概率计算公式完美正规版古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，试验的结果可以通过一个有限的样本空间来描述，样本空间中的每个样本点都是一个可能的结果。
下面将介绍古典概型的特征以及概率计算公式的完美正规版。
一、古典概型的特征1.试验结果相互独立：古典概型中的试验结果之间是相互独立的，即一个结果的发生不会影响其他结果的发生。
2.每个结果发生的概率相等：古典概型中每个结果发生的概率是相等的，即每个结果发生的可能性相同。
在古典概型中，我们通常希望计算一些事件的概率，即该事件发生的可能性。
为了计算概率，我们需要以下两个关键步骤：确定样本空间和确定事件。
1.确定样本空间：样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
对于古典概型来说，样本空间可以通过列举出所有可能结果来确定。
样本空间的个数通常表示为n。
2.确定事件：事件是样本空间中的一个子集，表示我们感兴趣的试验结果。
可以通过列举出所有可能的事件来确定。
根据古典概型的特征，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数这个计算公式适用于古典概型中任何一个事件的概率计算。
下面通过一个例子来解释该公式的使用。
例子：假设有一个卡片盒，里面有5张红色卡片和3张蓝色卡片。
现在从卡片盒中随机抽取一张卡片，求该卡片是红色的概率。
解答：样本空间为{红，红，红，红，红，蓝，蓝，蓝}，样本空间的样本点数为8事件A表示抽取一张红色卡片，包含的样本点数为5根据概率计算公式，可得：P(A)=5/8因此，该卡片是红色的概率为5/8总结：古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果相互独立且每个结果发生的概率相等的情况。
古典概型的特征是试验结果相互独立，并且每个结果发生的概率相等。
在古典概型中，可以使用概率计算公式P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间的样本点数来计算事件发生的概率。
简述概率的四种确定方法
234科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N学 术 论 坛事件的概率是描述事件在试验中出现的可能性大小的一种度量。
在概率论发展的历史上,基于对概率的不同解释,概率的定义有所不同。
主要有概率的古典定义,概率的频率定义,概率的几何定义和概率的主观定义四种。
1933年苏联数学家柯尔摸哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这个定义概括了上面几种概率定义中的共同特性,又避免了各自的局限性,不管什么随机现象,只要满足该定义中的三条公理,才能说它是概率。
这一公理化体系迅速得到举世公认,是概率论发展史上的一个重要里程碑。
1 概率的公理化定义定义:如果对事件A 赋予一个数值)(A P ,)(A P 满足:(1)非负性公理:0)( A P 。
(2)规范性公理:1)( P 。
(3)可列可加性公理:若1A ,,2A ,…,,n A ,…互不相容,则:11)()(i i i i A P A P ,则称)(A P 为事件A 的概率。
概率的公理化定义刻画了概率的本质,概率是随机事件(集合)的函数,当这个函数能满足上述三条公理,就被称为概率;当这个函数不能满足三条公理中任一条,就被认为不是概率。
概率的公理化定义虽然刻画了概率的本质,但公理化定义并没有告诉人们如何去确定这个数值)(A P 。
历史上在公理化定义出现之前概率的古典定义,频率定义,几何定义和主观定义都在一定场合下,有着各自确定概率的方法,所以在有了概率的公理化定义之后,把它们看作确定概率的方法是恰当的。
下面就简单介绍确定概率的古典方法,频率方法,几何方法和主观方法。
2 概率的四种确定方法2.1古典方法确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始使用的方法,起源于赌博。
如掷硬币,掷骰子等。
这些问题都比较简单,它们有两个重要的共同点。
(1)结果有限。
即样本空间只包含有限个元素。
(2)各个结果的出现是等可能的。
古典概型的概率计算公式古典概型
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，
分别为： （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
（布，剪） （布，石）（ 布，布）
（1）在“剪刀、石头、布”游戏中，甲 赢的概率有多大？
（2）在“剪刀、石头、布”游戏中，分 不出胜负的概率多大？
问题2：抛一个质地均匀的骰子，可能出现几 个结果？
问题3; 以上问题中，每个结果出现的概率为多少？
试验结果的对称性，每个结果的可能性相同
知识点二：古典概型
古典概型的特征：
（1） 有限性 ：
试验的所有可能结果只有有限个
（2）等可能性 ：
每一个试验结果出现的可能性相 同
典型例题
例2：下列试验是否为古典概型
A、在适宜的条件下，种一粒种子，有2 个结果：发芽 与不发芽 否
B、口袋里有2个白球和2个黑球，这4个 球除颜色外完全相同，从中任取一球 是
C、向一个圆面内随机的投一个点，该点 落在圆内的任意一点 否
D、射击运动员向一靶心进行射击，命中 10环，命中9环，.....命中0环 否
思考交流3
D {b,c} E {b, d} F {c, d} 说一说
(3)设3个黑球编号分别为黑1，黑2，黑3，则从 中任意取两个球，可能的结果为：
白球与黑1，白与黑2，白与黑3， 黑1与黑2，黑1与黑3，黑2与黑3
共6种结果，即6个基本事件
思考交流2
问题1：抛一枚质地均匀的硬币，可能出现几个 结果？
古典概型计算问题
古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式：P （A ）＝mn ；2.互斥事件至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；6.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （AB ）＝1－P(A)P(B)；7.如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ∙B ）＝1－P(A )P(B )； 二、典型例题例1.为做好食品安全工作，上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业4家，现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率；②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解：①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ，11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==， 22343225718210C C P C C == ，1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。
已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。
现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。
2.1古典概型的特征和概率计算公式
基本事件： 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件。
基本事件有什么特点：
1点
2点
3点
4点 5点
6点
问题（：1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 吗？
不会
任何两个基本事件是不可能同时发生的
（2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？
这下可把他们难住了。问这时应如何分这100个金币才能使 两赌徒都心服口服？
创设情境：
因为没有赌完，所以各自拿回自己的50金币，但梅累 不同意，他认为自己已经多赢一局，应多拿。
因为梅累多赢一局，所以全归梅累，但对方肯定不服，对方说 再赌下去也许他会连扳两局呢！
按赢的比例分配，按比例最合乎人们的心理习惯，所以 梅累拿三分之二，对方拿三分之一。
2
（2，1） （2，2）（2，3） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4）（4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
判断下列试验是不是古典概型
探究4： 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内
任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为 什么？
有限性
等可能性
探究5： 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果有：
“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“命中
7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。
专升本概率论复习知识点
第五章概率论初步第五章概率论初步本章重难点分析一、事件及其概率1、写出一个试验的所有基本事件及其样本空间2、利用事件的运算符号表示事件二、古典概型及概率的定义和性质1、利用古典概型的概率计算公式计算随机事件的概率2、利用概率的性质计算随机事件的概率三、条件概率与事件的独立性1、条件概率的计算2、利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求事件的概率3、利用事件的独立性求概率（接下页）第五章概率论初步本章重难点分析（续上页）四、随机变量及其概率分布1、古典概型随机变量的概率分布2、离散型随机变量的概率分布3、离散型随机变量的分布函数五、离散型随机变量的数字特征1、用定义求随机变量X的期望和方差2、求离散型随机变量的期望和方差第一节事件及其概率第一节事件及其概率知识点1一个试验的所有基本事件及其样本空间【解题技巧】这种题型求解的难度不大，关键是认真分析随机试验，弄明白试验的目的；然后引入表示事件的字母，恰当地表示事件，但要注意列举基本事件时，不要遗漏和重复；样本空间则是所有事件组成的集合。
第一节事件及其概率知识点2利用事件的运算符号表示事件【解题技巧】对这类题型的求解，首先弄明白事件的各种运算含义及其相应的运算符号，理解“至少有一个发生”，“恰有一个发生”“同时发生”等事件的表示方法。
第一节事件及其概率例题例1：【问答题】一次抛三枚同样的硬币，观察正面和反面出现的情况，用“正”表示{正面向上}，用“反”表示{反面向上}，写出这个试验的基本事件及样本空间；并写出{至少有一个正面向上}和{恰有两个正面向上}的事件所包含的基本事件。
【解析过程】根据试验内容，这个试验的所有基本事件如下：A={正，正，正}，B={正，正，反}，C={正，反，正}，D={反，正，正}，E={正，反，反}，F={反，正，反}，G={反，反，正}，H={反，反，反}。
（接下页）第一节事件及其概率例题（续上页）试验的样本空间为：。
不妨把{至少有一个正面向上}、{恰有两个正面向上}的事件分别用表示，则：第一节事件及其概率例题例2【问答题】从编号为1，2，3，4，5的五个球中，任取一个球观察其编号数，试写出该试验的样本空间和下列事件所包含的基本事件：，【解析过程】设第一节事件及其概率例题例3【问答题】设为某一随机试验中的三个事件，试用事件的运算符号表示下列事件：（1）发生而与都不发生（2）都发生（3）至少有一个发生（4）恰有一个发生（5）至少有两个发生（6）都不发生（接下页）第一节事件及其概率例题（接上页）【解析过程】：根据各种运算的意义，各事件表示为：(1)(2)(3)(4)(5)(6)ABCABCA B CABC ABC ABCABC ABC ABC ABCABC+++++++第二节古典概型及概率的定义和性质第二节古典概型及概率的定义和性质知识点1利用古典概型的概率公式计算随机事件的概率【解题技巧】一、此类型题的求解，一方面需牢记概率计算公式，另一方面需借助于排列或组合的知识计算随机事件包含的基本事件数和样本空间的基本事件总数。
古典概型的概率计算公式
602 302
P( A)
2 602
87.5%.
例3 在直角三角形ABC,其中∠CAB=60°.
在斜边AB上任取一点M,那么AM小于AC的概
率有多大？ 解：记“在斜边AB上任取一点，
AM<AC”为事件A,
C
由于点M随机地落在线段AB上，
故可以认为点M落在线段AB上任一
A M C’
Байду номын сангаас
B 点是等可能的，可将线段AB 看做区 域D.
后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不 小于1m的概率有多大？
1m
1m
C
D 3m E
F
解:设“剪得的两段均不小于1米”为事件A,如图所示 基本事件可视为线段CF上任意一点,构成事件A的基本
事件可视为线段DE上任意一点,所以 P(A)= 1
3
答：剪得的两段均不小于1米的概率为 1
3
探索归纳
问题3：设立了一个可以自由 转动的转盘（如图）,转盘被 等分成12个扇形区域.如果转 盘停止转动时，指针正好指 向阴影区域，则可获得月饼 一盒.
典型例题
例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离 开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
典型例题
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以
顾客能拿到月饼的概率是多少？
圆的面积为S
古典概型、概率的基本性质
2.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其
k 中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝_n_＝
nA nΩ
.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅) ＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_P__(A_)_＋__P_(_B_)_； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ _1_－__P_(_B_)_； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A， 因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P_(_A_)＋__P__(B__) －__P__(A__∩__B_)_.
思维升华
利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同
学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随
机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，
则他们在同一天去的概率为
√ A.16
B.13
C.12
D.6
2.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，
则该射手在一次射击中不够8环的概率为
A.0.9 C.0.6
B.0.3
√D.0.4
设“该射手在一次射击中不够 8 环”为事件 A，则 P(A)＝1－P( A )＝1 －0.6＝0.4.
古典概型及计算公式
对照表格回答(2),(3)
阅读教材P137
2.5 2.5 5 10 20 5 7.5 12.5 22.5
5 7.5 10 15 25
10 12.5 15 20 30
20 22.5 25 30 40
小结
1.古典概型的概念 (1)试验的所有可能结果(每一个可能结果 现其中的一个结果; 称为基本事件)只有有限个,每次试验只出
古典概型 的概率公 式
A包含的基本事件的个数 m P ( A) 基本事件的总数 n
注意：计算事件A概率的关键
（1）计算试验的所有可能结果数n；
（2）计算事件A包含的可能结果数m.
问题 掷一粒均匀的骰子落地时向上的点数为偶数或奇 数的概率是多少呢？ 设用A表示事件“向上的点数为偶数 1 “；用B表示事件“向上的点数是奇 3 数” 5 结果共n=6个，出现奇、偶数的都有 m=3个，并且每个结果的出现机会是 2 相等的，
(2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式
m( A包 含 的 基 本 事 件 数 ) P( A) n( 基 本 事 件 总 数 )
3.列表法和树状图
作业：
P138 练
5
10
20
2.5 5 10 20
(2.5,2.5) (2.5,5) (5,2.5) (10,2.5) (20,2.5) (5,5) (10,5) (20,5)
(2.5,10) (2.5,20) (5,10) (5,20)
(10,10) (10,20) (20,10) (20,20)
6 7 8 9 10 11 12
列表法
A表示事件“点数之和为7”, m 6 1 P( A ) 则由表得n=36,m=6. n 36 6
古典概型的概率计算公式 高一数学(北师大版2019必修第一册)
b
c
a
cb
c
d
d
d
树状图
解：所求的基本事件共有6个：
A {a,b} B {a,c} C {a, d} D {b,c} E {b, d} F {c, d}
我们一般用列举法列出所有 基本事件的结果，画树状图是 列举法的基本方法。
分布完成的结果(两步以上) 可以用树状图进行列举。
例：
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验中，
有哪些基本事件？
A=｛正，正 ｝, B=｛正，反｝ 正 C=｛反，正｝ , D=｛反，反｝
正
正
反
反
反
同时抛掷三枚质地均匀的硬币呢？
解：所有的基本事件共有８个：
A=｛正，正，正｝, B=｛正，正，反｝,
C=｛正，反，正｝, D=｛正，反，反｝,
成的结
5 6 7 8 9 10 11 果的列
6 7 8 9 10 11 12 举。
A表示事件“点数之和为7”, 则由表得n=36,m=6.
P( A)
m n
6 36
1 6
例2 . 同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有 多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？
数的都有m=3个，并且每个结果的
2 出现机会是相等的，故
4 P(A) m 3 1 ; p(B) m 3 1
6
n 62
n 62
同时掷两粒均匀的骰子,落地时向上的点数 之和有几种可能？点数之和为7的概率是多少？
123456
1234567
2 3 4 5 6 7 8 列表法
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如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例， 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 几何概型
在几何概型中，事件 的概率的计算公式如下 的概率的计算公式如下： 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成 事件A的区 域长度 （面积 或体积） P(A)= . 试验的全部 结果所 构成的区 域长度 （面积 或体积 ）
3.几何概型问题的概率的求解. 3.几何概型问题的概率的求解. 几何概型问题的概率的求解
练习：在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现， 练习：在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现， x∈[ 中按均匀分布出现 记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（ ） C a∈(-1,2]为事件A 为事件 B、 C、 D、 A、1 B、0 C、1/2 D、1/3 -3 -1 0 2 3
解:
以横坐标X表示报纸送到时间 以纵 以横坐标 表示报纸送到时间,以纵 表示报纸送到时间 坐标Y表示父亲离家时间建立平面 坐标 表示父亲离家时间建立平面 直角坐标系,由于随机试验落在方 直角坐标系 由于随机试验落在方 形区域内任何一点是等可能的,所 形区域内任何一点是等可能的 所 以符合几何概型的条件.根据题意 根据题意, 以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分,就表示父亲 只要点落到阴影部分 就表示父亲 在离开家前能得到报纸,即时间 即时间A 在离开家前能得到报纸 即时间 发生,所以 发生 所以 302 2 60 2 = 87.5%. P( A) = 602
复习
计算随机事件发生概率的两种方法： 计算随机事件发生概率的两种方法： （1）用古典概型的计算公式来计算随机事件发 生的概率。 生的概率。 （2）通过做试验或用计算机模拟试验等方法 得到事件发生的频率，以此来估计概率； 得到事件发生的频率，以此来估计概率；
那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率如何求呢? 的概率如何求呢?
练.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向 取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 2a的正方形及其内切圆 正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. 正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解:
豆子落在圆内” 事件A 记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa π = = P(A) = 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4
绿
黄
黄
绿 绿 绿 红
甲顾客购物120元 他获得购物券的概率是多少？ 甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 120 他得到100元 50元 20元的购物券的概率分别是多少？ 他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？ 100 元的购物券的概率分别是多少Fra bibliotek课堂小结
1.古典概型与几何概型的区别. 1.古典概型与几何概型的区别. 古典概型与几何概型的区别 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个. 几何概型要求基本事件有无限多个. 2.几何概型的概率公式. 2.几何概型的概率公式. 几何概型的概率公式
0 ≤ X ≤ 5, 0 ≤ Y ≤ 5.
y
5 4 3 2 1
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 方形，即有无穷多个结果. 无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的， 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的 等可能的. 方形内各点是等可能的.
练习:某公共汽车站每隔5 练习:某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽 车通过， 车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等 可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率. 可能的,求乘客等车不超过3分钟的概率.
例2.(会面问题)甲、乙二人约定在12点到5点之间在某 .(会面问题) 会面问题 乙二人约定在12点到5 12点到 地会面，先到者等一个小时后即离去, 地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间 内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。 内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能 会面的概率。 会面的概率。 分别表示甲、乙二人到达的时刻， 解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是
5 x
练习： 某商场为了吸引顾客， 练习 ： 某商场为了吸引顾客 ， 设立了一个可以自由转动的转 并规定: 顾客每购买100 100元 盘 ， 并规定 : 顾客每购买 100 元 的商品， 的商品 ， 就能获得一次转动转 盘的机会。 如果转盘停止时， 盘的机会 。 如果转盘停止时 ， 指针正好对准红、 指针正好对准红 、 黄或绿的区 100元 域 ， 顾客就可以获得 100 元 、 50元 20元的购物券 元的购物券（ 50 元 、 20 元的购物券 （ 转盘等 分成20 20份 分成20份）
构成 事件A的区 域长度 （面积 或体积） P(A)= . 试验的全部 结果所 构成的区 域长度 （面积 或体积 ）
如果黄心变成点,那么射中黄心的概率为多少? 如果黄心变成点,那么射中黄心的概率为多少? 那么射中除黄心外区域的概率为多少? 那么射中除黄心外区域的概率为多少? 概率为0的事件不一定为不可能事件，概率为1 概率为0的事件不一定为不可能事件，概率为1的事 件也不一定是必然事件。 件也不一定是必然事件。 而不可能事件的概率一定为0 而不可能事件的概率一定为0，必然事件的概率一定 为 1。
.M(X,Y)
0
1
2 3 4
5 x
二人会面的条件是： 二人会面的条件是： | X Y |≤1 , 记“两人会面”为事件A. 两人会面”为事件 y
5 4 3 2 1
y=x+1 y=x -1
阴影部分的面积 P(A)= 正方形的面积 1 2 25 2× ×4 9 2 = = 25 25.
0
1
2 3 4
3.3 几何概型
问题1 有两个转盘，甲乙两人玩游戏。 问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？ 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关. 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
A={等待的时间不多于10分钟 等待的时间不多于10分钟} 解： 设A={等待的时间不多于10分钟}， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 [50 则事件A发生. 则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 60-50） P（A）=（60-50）/60=1/6 等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6. 10分钟 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6. 打开收音机的时刻X是随机的，可以是0～60之间的任何一刻 打开收音机的时刻X是随机的，可以是0 60之间的任何一刻 并且是等可能的。 并且是等可能的。 称X服从[0，60]上的均匀分布， X为[0，60]上的随机数。 服从[0，60]上的均匀分布， [0，60]上的随机数。 [0 上的均匀分布 上的随机数
问题2取一根长度为30cm的绳子， 问题2取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪 30cm的绳子 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？ 10cm的概率有多大 断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？ 基本事件: 基本事件: 30cm的绳子上的任意一点剪断 的绳子上的任意一点剪断. 从30cm的绳子上的任意一点剪断. 记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 10cm 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3. 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P 事件A发生的概率P( A) = 3
问题3 问题3.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分 从外向内为白色、黑色、蓝色、红色， 环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色， 靶心是金色,金色靶心叫“黄心” 靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的 比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm. 122cm,靶心直径为 比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm. 运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 70m外射箭 运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且 射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中 射中靶面内任一点都是等可能的, 黄心的概率是多少? 黄心的概率是多少? 基本事件: 射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点. 122cm的大圆内的任意一点 基本事件: 射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生 每个基本事件的 发生的概率 概率的计算 有限个 等可能
几何概型 无限个 等可能 0
1/n
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 某人午觉醒来，发现表停了， 音机，想听电台报时， 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于 10分钟的概率 分钟的概率。 10分钟的概率。
对于问题2. 黄心”为事件B 对于问题23记“射中 黄心”为事件B, 由于中靶点随机地落在 面积 1 1 2 2 的大圆内, × π × 12.2 2 cm 2 为 × π × 122 cm 的大圆内, 而当中靶点落在面积为 4 4 的黄心内时, 事件B发生. 的黄心内时, 事件B发生.
1 ×π× 12.2 2 事件B发生的概率为P (B) = 4 事件B发生的概率为P = 0.01 1 ×π× 122 2 4
2
练习: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30 7:30之 6:30— 练习: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之 间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00 7:00— 间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00— 8:00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 之间, A)的概率 8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率 是多少? 是多少?