练9_弧长及扇形面积(苏科版)(解析版)
弧长及扇形面积同步能力提高训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册(含答案)
2.7弧长及扇形面积同步能力提高训练一、选择题（共9小题）.1．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣244．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O 的半径为5，AB＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π5．如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（）A．﹣B．﹣﹣C．﹣D．﹣8．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（）A．8πB．9πC．10πD．11π9．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．9π﹣4D．9π﹣2二、填空题10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是．11．如图，在△OAC中，OA＝4，AC＝2，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O'AC'，已知点O'的坐标是（2，2），则在旋转过程中线段OC扫过的阴影部分面积为．12．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C 为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为.（结果保留根号或π）．13．扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．三、解答题14．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB 的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；（3）若AC＝，求AD•AB的值．17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．（1）求证：∠ACO＝∠CDB；（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长；18．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．19．已知在⊙O中，点C为上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，连接AB，求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，若AC＝4，DE＝10，求阴影部分的面积之和．20．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）参考答案1．解：扇形面积＝，故选：D．2．解：连接AD，如图所示：∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∴AD＝，∴阴影部分的面积＝＝．故选：C．3．解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝2，AH＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．4．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．5．解：∵∠A＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠ODB+∠OEC＝100°，∴∠DOB+∠EOC＝160°，∴图中灰色区域的面积＝＝4π，故选：C．6．解：连接BC，OC，OC交BD于W，∵点C，O关于直线BD对称，∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝OB，即△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵的长为π，∴＝π，解得：OB＝3，即OC＝OB＝3，∴OW ＝CW ＝1.5，∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝30°，∴OD ＝2DW ，由勾股定理得：OD 2＝DW 2+OW 2，即（2DW ）2＝DW 2+1.52，解得：DW ＝（负数舍去），∴阴影部分的面积S ＝S 扇形AOC ﹣S △DOC ＝﹣＝， 故选：A ．7．解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C ′时，△ABC 的面积最大，连接OC '，则OC '⊥AB 于D ，∴OD ＝AB ＝＝， ∴DC '＝OC '﹣OD ＝1﹣，∴S 四边形AOBC ′＝S △AOB +S △ABC ′＝×1×1+××（1﹣）＝， ∵扇形AOB 的面积＝＝， ∴阴影部分面积的最小值＝﹣，故选：C ．8．解：设所在圆的圆心为O ，连接OP 、OA 、AP 、AP ′、AB ′， ∵点P 是的中点，∴OP ⊥AB ，AM ＝BM ＝AB ＝4，∴OM ＝＝3， ∴PM ＝5﹣3＝2，∴PA ＝＝＝2，∴线段PB 扫过的面积＝S 扇形ABB ′﹣S 扇形APP ′＝﹣＝16π﹣5π＝11π，故选：D ．9．解：延长CD ，DA 交⊙O 于E ，F ，由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S 圆O ﹣S 正方形ABCD ）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，故选：B ．10．解，连接OD ，过D 作DE ⊥BC 于E ，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，∴∠C ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∵OD ＝BC ＝，∴DE ＝， ∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．11．解：过O ′作O ′M ⊥OA 于M ，则∠O ′MA ＝90°， ∵点O ′的坐标是（2，2）， ∴O ′M ＝2，OM ＝2， ∵AO ＝4，∴AM ＝4﹣2＝2，∴∠O ′AM ＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′， ∴S △OAC ＝S △O ′AC ′，∴阴影部分的面积S ＝S扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝2π，故答案为2π．12．解：作直径CE ，连接DE 、OD ，如图，∵C 为弧AB 的中点，∴∠BOC ＝∠AOC ＝90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴BC ＝OB ＝2，∠OCB ＝45°，∵∠BCD ＝15°，∴∠DCE ＝45°﹣15°＝30°，∵CE 为直径，∴∠CDE ＝90°，∴DE ＝CE ＝2，∴CD ＝DE ＝2，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝30°， ∴的长度＝＝π， ∴图中阴影部分的周长为π+2+2． 故答案为π+2+2．13．解：∵AB ＝30cm ，BD ＝20cm ，∴AD ＝10cm ，∵∠BAC ＝150°，∴扇面的面积＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ＝﹣ ＝π（cm 2）． 故答案为π．14．解：（1）∵AC 为⊙O 的直径，点E 是的中点， ∴∠ABE ＝45°，∵AB ⊥EN ，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BE ＝EM ，故答案为BE ＝EM ； （2）连接EO ，AC 是⊙O 的直径，E 是的中点，∴∠AOE ＝90°，∴∠ABE ＝∠AOE ＝45°，∵EN ⊥AB ，垂足为点M ，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN ＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．15．（1）证明：∵AO＝AC，∴∠ACO＝∠AOC，∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠BOD+∠D＝90°，∴OB⊥DE，∴BD＝BE；（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，∵OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，∴OD＝2OB＝2，∴CD＝OD+OC＝3，∵∠D＝∠OCB，∴BD＝BC，∵BD＝BE，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，∵BF⊥CE，∴BF∥CD，∵BD＝BE，∴BF＝CD＝；②解：连接OE，∵OD ＝2、OB ＝1，∴BD ＝，则DE ＝2BD ＝2， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠OED ＝30°，∴∠DOE ＝120°，S 阴影＝S 扇形ODE ﹣S △ODE ＝﹣×2×1＝π﹣．16．解：（1）连接CD ，如图，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝28°，∴∠BAC ＝90°﹣28°＝62°，∵CA ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD ＝62°，∴∠ACD ＝180°﹣62°﹣62°＝56°， ∴的度数为56°；（2）∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝1，∵CD ＝CA ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴阴影部分的面积＝S 扇形ACD ﹣S △ACD ＝﹣×12 ＝π﹣； （4）过点C 作CH ⊥AD 于H ，∴AH ＝DH ＝AD ，∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC，∵∠A＝∠A，∴AC2＝AH•AB，即（）2＝AD•AB，∴AD•AB＝6．17．（1）证明：∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＝∠CDB，∴∠ACO＝∠CDB；（2）解：连接OD，设⊙O的半径为r，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，解得，r＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠AOD＝120°，∴弧AD的长＝＝π．18．解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE＝CE，，又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，∴∠AOC＝60°．（2）∵，∴，∵∠AOC＝60°，∴∠C＝30°，设OE＝x，OC＝2x，∵OE2+EC2＝OC2，∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．19．（1）证明：如图1，连接CB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB＝CA，又∵CD＝CA，∴AC＝CD＝BC，∴∠D＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EAD，∴∠D＝∠EAD，∴EA＝ED，∵CD＝CA，∴EC⊥AD，∴∠ACE＝90°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：如图2，∵AE＝ED＝10，AC＝4，EC⊥AD，∴根据勾股定理得：CE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．。
弧长和扇形面积(解析版) 九年级数学下册
27.3第1课时弧长和扇形面积姓名：_______班级_______学号：________题型1三角形外接圆的说法辨析1．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是（）A ．经过三点可以作一个圆B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C ．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等D ．相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可．【详解】解：A 、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A 错误；B 、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B 错误；C 、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C 正确；D 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D 错误．故选：C ．2．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在ABC 中，点P 是ABC 的外心，则点P （）A ．到ABC 三边的距离相等B ．到ABC 三个顶点的距离相等C ．是ABC 三条高线的交点D ．是ABC 三条角平分线的交点【答案】B【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键．【详解】解：∵点P 是ABC 的外心，∴点P 是ABC 的三条边的垂直平分线的交点，即：点P 到ABC 的三个顶点距离相等，（1）当点O 在ABC ∵点O 是三角形ABC ∴12A BOC ∠=∠，又240BOC A ∠+∠=【答案】43【分析】由三角形外心的性质结合可得出12BAC BOC ∠=∠【答案】()1,2-【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作直平分线，两条线交于点D ，可得点定义．【详解】解：如图，根据网格作∴点(1,2)D -是ABC 的外心，ABC ∴ 的外心的坐标为(1,-故答案为：(1,2)-．6．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()3,6A ，()1,4B 【答案】()52，52，．所以点P的坐标为()52，．故答案为：()7．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点()3,0，点C是第一象限内0,3、()为(),a b，则a b+的最大值为【答案】222++【分析】如图，作等边三角形BK为半径的优弧AMB=-+上，而直线y x m∵点A B 、的坐标分别为()0,3、()3,0，∴2223AB OA OB =+=，sin OBA ∠∴60OBA ∠=︒，∵60ABM AMB ∠=︒=∠，∴AM OB ∥，∴()23,3M ，3BN OA ==，AN MN =(1)在正方形网格中画出ABC 的外接圆(2)若EF 是M 的一条长为4的弦，点【答案】(1)见解析，()1,0M -(2)6【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌（2）连接MD，MG，ME，CM 点G为弦EF的中点，EM=∴⊥，MG EF，EF=4∴==，2EG FG221∴=-=，MG ME EGA．3cm B【答案】B【分析】连接OB、OC则90ODB ∠=︒，60A ∠=︒ ，120BOC ∴∠=︒，60BOD ∴∠=︒，OB OC = ，OD BC ⊥∴OA OB =，AH BC ⊥，∴116322BH BC ==⨯=，在Rt AHB △中，由勾股定理，得2225AH AB BH =-=-题型5判断三角形外接圆的圆心位置18．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的（）A ．三个顶角的角平分线交点B ．三边高的交点C ．三边中线交点D ．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键．【详解】解：已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的三边的垂直平分线的交点，故选：D ．19．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点、、A B C 并顺次连接得到ABC ∆，则ABC ∆的外心是（）(1)求证：AO平分BAC∠(2)若O的半径为5，AD(3)若OD mOB=，求ADDC的值（用含【答案】(1)证明见解析(2)1.5AB AC = ，⊥AP BCPAB PAC ∴∠=∠，BP PC =，∵点O 是ABC 的外接圆圆心，∴点O 在AP 上，∴OAB OAC ∠=∠，OA ∴平分BAC ∠．（2）解：5OA OB == ，题型6判断确定圆的条件21．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．22．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧（3）任意三点可以确定一个圆（4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线（5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断．【详解】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误；任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误；圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确；圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确；故正确的个数是2个，故选：B．23．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）下列命题正确的是（）A．过三点一定能作一个圆B．相似三角形的面积之比等于相似比C．圆内接平行四边形一定是矩形D．三角形的重心是三角形三边中垂线的交点【答案】C【分析】根据不共线的三点确定一个圆；相似三角形的面积之比等于相似比的平方；圆内接四边形对角互补；三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项判断即可．【详解】解：A.过不共线的三点一定能作一个圆，原命题错误；B.相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题错误；C.∵圆内接四边形对角互补，且平行四边形的对角相等，∴圆内接平行四边形的对角都是90 ，∴圆内接平行四边形一定是矩形，正确；D.三角形的重心是三角形三边中线的交点，原命题错误；故选：C．【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的重心等知识；熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．24．（2023上·广东汕头·九年级校考阶段练习）下列命题在，正确的是由（）①平分弦的直径垂直于弦；②经过三角形的三个顶点确定一个圆；③圆内接四边形对角相等；④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．A．①②B．②③C．②D．①④【答案】C【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；②经过三角形的三个顶点确定一个圆，②正确；③圆内接四边形对角互补，③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，④错误．故选：C．【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型7确定圆心（尺规作图）25．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．(2,0)B．(2,1)C．(2,2)D．(3,1)【答案】A【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,0)．故选：A ．26．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、A B C ，请在网格图中进行下列操作：(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为______；(2)求出扇形DAC 的面积．【答案】(1)见解析，()2,0(2)5π【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．（1）根据网格和正方形的性质，分别作出AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点D 的坐标；（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出90ADC ∠=︒以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．故答案为：(2,0)；（2）解：由（1）图可知：2222425,2AD CD =+==222DA DC AC += ，ADC ∴ 为直角三角形，ADC ∠即D 的半径为25，ADC ∠的度数为(1)在网格图中画出圆M （包括圆心）(2)判断M 与y 轴的位置关系：【答案】(1)见解析，(3,2)(2)相交点M 坐标为：(3,2)故答案为：(3,2)；（2）∵22(32)(25)MA =-+-=即：M 的半径10r =，点M 到y 轴的距离3d =，(1)画出圆心P ；(2)画弦BD ，使BD 平分ABC ∠．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意得到BC ，AF 是圆的直径，BC 和AF 的交点即为要求的点P ；（2）连接AC ，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，即为所求．【详解】（1）如图所示，点P 即为所求；∵BC ，AF 是圆的直径，∴BC 和AF 交于点P ，∴点P 是圆心．（2）如图所示，BD 即为所求；连接AC ，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，∵AE CE=∴PE AC⊥∴ CD AD=∴CBD ABD∠=∠∴BD 平分ABC ∠．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，网格作图，解题的关键是熟练掌握以上知识点．题型8求能确定的圆的个数29．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,0-，以点P 为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】A【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．【详解】解：∵点()1,0P -为圆心，1为半径作圆，∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，故选：A ．30．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．【详解】解：依题意A ，B ；A ，C ；A ，D ；B ，C ；B ，D ；C ，D 加上点P 可以画出一个圆，∴共有6个，故选：C ．31．（2023上·全国·九年级专题练习）平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A 、B 、C 、D 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可．【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时1n =，②当三点在一直线上时，如图2n=，分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即3③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，n=，分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时4即n不能是2，故选：B．【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键．32．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．【详解】解：依题意，,A B；,A C；,A D；,B C；,B D，,C D加上点P可以画出一个圆，∴共有6个，故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．(1)求作A，使得(2)在（1）的条件下，设于点G，求AB AD【答案】(1)见解析(2)51-如图，以A 为圆心AN 为半径画圆即为所求；（2）解：设AB ADα=，A 的半径为BD Q 与A 相切于点E ，CF AE BD ∴⊥，AG CG ⊥，即90AEF AGF ∠=∠=︒，CF BD ⊥ ，90EFG ∴∠=︒，∴四边形AEFG 是矩形，又AE AG r ==，∴四边形AEFG 是正方形，，【答案】图见解析【分析】本题考查作图—复杂作图，切线的性质，根据切线的定义，得到点35．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系()4,4B -、()6,2.C -(1)在图中画出经过A 、B 、C (2)M 的半径为__；(3)点O 到M 上最近的点的距离为【答案】(1)见解析，()2,0-(2)25故答案为：()2,0-；（2）()6,2C - ，()2,0M -22(62)22MC ∴=-++=即M 的半径为25，A ．5π2【答案】D 【分析】先确定圆心由题意得：221OA =+∴222OA OC AC +=，∴AOC 是等腰直角三角形，∴=90AOC ∠︒，A．12【答案】A【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧【答案】5π【分析】本题考查了弧长，三角形内角和．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．由题意知，三条弧的半径相同为计算求解即可．【答案】1m 3【分析】本题考查圆锥的有关计算，是解决问题的关键．根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．A．0.9米B．0.8米【答案】B【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． OA【答案】4【分析】本题考查圆锥展开图及扇形弧长公式，直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，【答案】4【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式12S lr =即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【答案】500OCD S π=扇形【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求 180n r l π=扇形和2360n r S π=扇形是解题的关键．【详解】解：由题意得(1)点O 在线段BP 上．若以点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，O （2）解：连接CO ，∵BC PC=∴CBP P∠=∠∵ 6AB AC =，的长为π．(1)画出点A 的对应点A '（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)已知336AB ABC ∠=︒=，，点A 运动到点果保留π）；（2）解：∵336AB ABC ∠=︒=，，∴18036144ABA '∠︒-︒=︒＝，∴点A 经过的路线长为1443121805π⨯=π，故答案为：125π．49．（2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点(1)请作出△ABC 绕点B 逆时针旋转点E ．分别写出点D ，点E 的坐标．(2)请直接写出（1）中点A 在旋转过程中经过的弧长为【答案】(1)图见解析，()03D ，，(2)10π2【分析】本题考查旋转变换的作图、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．（2）利用勾股定理求出AB 的长，再利用弧长公式计算即可．由图可得，D （0，3），E （3，1）．（2）解：由勾股定理得，23AB =+∴点A 在旋转过程中经过的弧长为90π故答案为：10π2．50．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，个顶点坐标分别为()2,1A -，()1,4B -(1)ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒径长度；(2)以原点O 为位似中心，位似比为如果点(),D a b 在线段AB 上，那么请直接写出点【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，画位似图形，求位似图形对应点坐标，勾股定理，求弧长等等，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键．A ．54π【答案】C【分析】本题考查扇形面积的计算，角形的判定得出BOD9π(1)求证：PA PB =；(2)若O 的半径为6，60P ∠=︒， 3CD=【答案】(1)证明见解析(2)39π-【分析】（1）连接OA ，OC ，OD ，OB ，AC BD=，AC BD ∴=，OA OC OB OD === ，OM AC ⊥，ON BD ⊥，CM AM ∴=，BN DN =，90OMC OND ∠=∠=︒，CM DN ∴=，在Rt OMC 和Rt OND 中，CM DN OC OD=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)OMC OND \ ≌，OM ON ∴=，在Rt POM ∆和Rt PON ∆中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)POM PON ∴≅ ，PM PN ∴=，AM BN = ，PA PB ∴=．（2）解：60APB ∠=︒ ，90PMO PNO ∠=∠=︒，120MON ∴∠=︒，POM PON ≌，60POM PON ∴∠=∠=︒，3CDAC =，∴116322AJ OA ==⨯=912AOC O J S C A ∴=⋅= ，2306939360AOC AOC S S S ππ⨯⨯∴=-=-=- 阴扇形．【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【基础巩周】（2）如图，正方形ABCD 的比值；【尝试应用】（3）如图，在半径为【答案】（1）相等，理由见解析；【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；（2）根据OAN ODN S S = MN AD ∥，正方形ABCD ∴BC MN AD ∥∥，∴OAN ODN S S =，OBN S =∴阴影面积等于扇形DOCBD CD =，OB OC =∴OD BC ⊥，∴2BDC BDO ∠=∠=∴2BAC BDC ∠=∠= 2ACO BDO ∠=∠，A ．π【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出式，即可求解．【答案】84π-/84π-+【分析】由图知，要求的面积有两部分：与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积，三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径，【点睛】此题主要考查的是圆的综合题，图形面积的求法，切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识，与原三角形相似，原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆是解题的关键．57．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系顶点均在格点上，点C的坐标为(4-,绕原点O顺时针方向旋转(1)将ABC(2)C点运动到1C的过程，线段OC【答案】(1)见解析π(2)54【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出（2）解：如图，线段OC扫过的图形的面积即为扇形()，4,1C-。
苏科版九年级数学上册《弧长及扇形面积》专题能力达标训练【含答案】
苏科版九年级数学上册《弧长及扇形面积》专题能力达标训练1．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A．B．2πC．D．2．小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：S＝，l＝，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（）A．该扇形的圆心角为3°，直径是4B．该扇形的圆心角为4°，直径是3C．该扇形的圆心角为4°，直径是6D．该扇形的圆心角为9°，直径是43．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为10cm，贴纸部分的CA长为5cm，则贴纸部分的面积为（）A．cm2B．25πcm2C．48πcm2D．75πcm24．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π5．如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则的弧长为（）A．πB．πC．πD．π6．如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF 的面积为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（）A．B．C．D．9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（）A．πB．π+1C．2π+1D．2π+210．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．2πB．πC．D．11．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm212．如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9C．3πD．6π13．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是．16．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为．17．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为．18．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则的长为．19．如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）20．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm．若量角器阴影部分的弧AB所对的扇形圆心角∠AOB为120°，则弧AB的长度为cm．（结果保留π）21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA 长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．22．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．23．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），（1）根据题意，画出平面直角坐标系；（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标．（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．（4）求弧AC的长．24．如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．25．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（2），C（0，2），求⊙A的半径和劣弧的长．26．如图所示，菱形ABCD，∠B＝120°，AD＝1，扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，求图中阴影部分的面积．答案1．解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′＝＝π，S扇形OBB′＝＝π，∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′＝﹣π＝π＝π＝π．故选：C．2．解：∵S＝，l＝，∴S＝，l＝，∴该扇形的圆心角为9°，直径是4，故选：D．3．解：S＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝25π（cm2），故选：B．4．解：∵弦BC⊥OA，垂足为M，∴BM＝CM，∵OB∥AC，∴∠OBM＝∠ACM，在△ACM和△OBM中，∴△ACM≌△OBM（ASA），∴OM＝AM＝OA，∴∠AOB＝60°，∴S阴影＝S＝＝，故选：B．5．解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝140°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，∴的长＝＝π，故选：A．6．解：连接BC，由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，∴BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝2π，故选：A．7．解：连接AC．由题意AC＝＝，∵∠EAF＝45°，AE＝AF＝AC＝，∴S扇形AEF＝＝π，故选：B．8．解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，所以BC＝AC＝，∠A＝60°，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD＝×1×﹣＝﹣．故选：B．9．解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，故选：B．10．解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴阴影部分的面积＝＝π．故选：C．11．解：∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴S阴影部分＝＝2π（m2），∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2．故选：B．12．解：该莱洛三角形的周长＝3×＝3π．故选：C．13．解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣2．故π﹣2．14．解：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在Rt△BCO中，OC＝OA＝4，∠BCO＝30°，∴BO＝OC＝2，BC＝2，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣＝，故答案为．15．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AB＝6，∴AC＝BC＝AB×sin45°＝6＝6，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形CAD＝﹣＝18﹣π，故18﹣π．16．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，故答案为﹣1．17．解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故9﹣3π．18．解：连接OB，OC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，则＝＝＝4π．故4π．19．解：连接AD，AE，∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴弧BE所对的圆心角为90°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．故﹣．20．解：∵三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，∴扇形的半径为8﹣2＝6cm，∵弧AB所对的扇形圆心角∠AOB＝120°，∴扇形AOB的弧长＝＝4π（cm），故答案为4π．21．解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．22．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．23．解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）由平面直角坐标系可知，圆心M点的坐标为（2，0），故（2，0）．（3）由图形可知，点D（5，﹣2）关于x轴的对称点D′（5，2）在⊙M内，∴点D（5，﹣2）在⊙M内；（4）AM＝＝2，∵∠AMC＝90°，∴弧AC的长为：＝π．24．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO′＝5，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×25+5×5×＝+．25．解：如图，连接BC．∵∠COB＝90°，且点O、C、B三点都在圆A上，∴BC是⊙A的直径，△OBC是直角三角形，又B（2），C（0，2），∴BC＝＝4，∴⊙A的半径为2；∴∠ACO＝60°，∴∠OAB＝120°，∴的长＝＝π．26．解：如图，延长弧EF交半径BC于点C，连接BD，∠EBD+∠DBF＝60°，∠DBF+∠FBC＝60°，∴∠EBD＝∠FBC，∠DBC＝60°，∴原来阴影部分的面积等于弧DFC所对应部分的面积，S原来阴影部分的面积＝S扇形BDFC﹣S△BDC＝•1﹣•1•＝﹣。
苏教版九年级数学上册第二章2.7弧长及扇形的面积练习题(含答案解析)
第二章2.7弧长及扇形的面积一. 选择题（共13小题）1.（2019・大庆）如图，在正方形A8CD中，边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形ABiCjDi,则线段CD扫过的而积为（）A. —B. —C. nD. 2n2.（2019・包头）如图，在RtAABC中，ZACB=90° , AC=BC=2据以BC为直径作半圆，交AB于点、D,则阴影部分的面积是（）A. n - 1B. 4-nC. V2D. 23.（2019・山西）如图，在RtAABC中，NA8C=90‘，AB=2寸耳，BC=2,以AB的中点。
为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为（）A. ^jL±-2LB.C. 2V3-KD. 4V3- —4 2 4 2 2 4.（2019-资阳）如图，直径为2顷的圆在直线/上滚动一周，则圆所扫过的图形而积为（）A. 511B. 6nC. 20n D・ 24n5. （2019-临沂）如图，。
0中，莅=&, £4CB=75° ,BC=2,则阴影部分的面积是（）6. （2019・凉山州）如图，在ZVIOC中，OA=3cm, OC=\cm.将ZVIOC绕点。
顺时针旋转90°后得到△8OD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cnr.7. （2019-泰安）如图，将。
沿弦AB 折叠，莅恰好经过圆心O,若0。
的半径为3,则宛的长为（）A. —nB. nC. 2nD. 3n28. （2019-南充）如图，在半径为6的中，点A, B, C 都在。
上，四边形OABC 是平 行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6nB.C. 2A /3^D- 2nA .2LB. 2nC.ILr 8D. Un89. （2019-枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，A8为半径画弧, 交对角线BD 于点E,则图中阴影部分的而积是（结果保留IT ）（）A. 8 - nB. 16 - 2nC ・ 8 - 2nD. 8 - —IT210. （2018•兴安盟）如图，在扇形AO8中，NAO8=9（T ,正方形CDEF 的顶点C 是疝的中点，点。
苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练(附答案)
苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练（附答案）1．若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（）A．π2B．πC．π6D．π32．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（）A．24B．36C．12D．63．某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（）A．4cm2B．8πcm2C．4πcm2D．2cm24．扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍5．如图，Rt△ABC中∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF=4则劣弧EF的长是（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．π3C．2π3D．4π7．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心．OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=4m,OB=2m，则阴影部分的面积是（）A．43πB．83πC．4πD．163π8．如图，在▱ABCD中AD=12,∠B=120°,AD是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点N，与AB相交于点M，则弧MN的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π9．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是BF的中点，连接AC．若∠CAB=30°,AB=2，则阴影部分的面积是（）A．π3B．π6C．2π3D．π210．如图是5×4的小正方形网格，小正方形的边长为2、点A和B是格点，连接AB，小明在网格中画出以AB 为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（）A．5π+10B．4π−9C．5π−54D．5π+10411．在△ABC中AB=2,BC=4,∠ABC=30°．以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中两部分的面积之差(S2−S1)是（）A．3−π3B．6−4π3C．2−π3D．3−2π312．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（）A．4π−8B．4π−4C．8π−8D．π−413．如图，在正方形ABCD中，边长AD=2，分别以A、D为圆心，线段AD的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（）A．43π−√3B．43π−2√3C．23πD．π−√314．如图，边长为2的正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，当点A的对应点A′落在对角线BD上时，点B所经过的路径与A′B，A′B′围成的阴影部分的面积是（）A．73B．52C．54π−32D．√52π−2315．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，以BC为直径的半圆，交AB于点D，以点A为圆心，AC 为半径作弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．π+2B．π−2C．2D．32π−216．如图，Rt△BCO中∠BCO=90°，∠CBO=30°，BO=4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C′在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积是（）A．4πcm²B．(√32+4π)cm2C．2πcm²D．(√32+2π)cm217．如图，在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，连接PA,PB,PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．83π−2√3+2B．83π−2√3−2C．8πD．8π−6√3−618．如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP,AP，得出下列结论：Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为83π．Ⅰ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．下列判断正确的是（）．A．只有Ⅰ正确B．只有Ⅰ正确C．Ⅰ、Ⅰ都正确D．Ⅰ、Ⅰ都不正确19．如图，点A(2,0),B(0,2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．(16+4π,0)B．(14+4π,2)C．(14+3π,2)D．(12+3π,0)20．如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中对应的每段弧弧的圆心依次按O，A，B,C1循环，当OA=1时，弧C2024C2025的长为（）A．1012πB．1022.5πC．2024πD．2025π参考答案1．解：根据题意得l=nπr180=60π×1180=π3．故选：D．2．解：ⅠS=12lRⅠ12π=12×2π×RⅠR=12故选：C.3．解：根据扇形的面积公式：S=nπr2360=160π32360=4π(cm2)．故选：C．4．解：∵S扇形=nπr2360，扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍∴扩大后的扇形面积为S扇形=2nπ(2r)2360=8nπr2360∴面积扩大为原来的8倍．故选：C．5．解：连接OE\OF，在四边形OFCE中∠OFC=∠C=∠OEC=90°∴四边形OFCE为矩形．又因为OF=OE∴四边形OFCE为正方形．则OF=CF=4,∠EOF=90°劣弧EF的长是90π⋅4180=2π．故选：A．6．解：Ⅰ⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为60°Ⅰ点A经过的路径长为60π×2180=2π3故选C．7．解：圆心角∠O=120°,OA=4m,OB=2mⅠS阴影=120360π×OA2−120360π×OB2=120360π×(OA2−OB2)ⅠS阴影=120360π×(OA2−OB2)=13π×(42−22)=4π故选：C．8．解：如图，连接OM,ONⅠ▱ABCD,∠B=120°Ⅰ∠A=60°,AD∥BCⅠ⊙O与BC相切Ⅰ∠ONB=90°Ⅰ∠AON=180°−∠ONB=90°ⅠOA=OMⅠ∠OMA=∠A=60°Ⅰ∠AOM=180°−∠OMA−∠A=60°Ⅰ∠MON=∠AON−∠AOM=30°Ⅰ弧MN的长为30π⋅6180=π故选：A．9．解：连接CF,OC,OF交AC于E∵点C为劣弧弧BF的中点∴弧CF=弧BC∵∠BAC=30°∴∠BAC=∠CAF=30°∴∠COF=2∠CAF=60°=∠OAF∵OA=OF=OC=12AB=1Ⅰ△AOF和△COF均为等边三角形∴∠AOF=∠CFO=60°∴AB∥CF∴S△ACF=S△COF则阴影部分的面积=S△ACF+S弓形CF=S△ACF+S弓形CF=S△COF+S弓形CF=S扇形COF=60π×12360=π6故选：B．10．解：如图所示，连接COⅠ小正方形的边长为2ⅠOC2+OB2=BC2Ⅰ∠COB=90°=∠AOCⅠ图中阴影部分的面积是S△AOB+S扇形AOC=90360π×(2√5)2+12×(2√5)2=5π+10故选：A．11．解：过点A作AF⊥BC于F∵AB=2,BC=4∴AF=12AB=1,BD=AB=2∴S1=S扇形ABD −S△ABD=30360×π×22−12×2×1=π3−1S2=S△ADC−S1=12⋅DC⋅AF−(π3−1)=12×2×1−π3+1=2−π3∴S2−S1=(2−π3)−(π3−1)=3−23π．故选：D．12．解：令半圆的圆心为M在Rt△AOB中∠AOB=90°Ⅰ∠B=∠A=45°ⅠBO是半圆的直径Ⅰ∠ODB=90°,OM=MB=2Ⅰ∠DOM=90°−45°=45°=∠B ⅠOD=BDⅠDM⊥OBⅠ∠BMD=∠DMO=90°ⅠS扇形OMD =90π×22360=S扇形OMD,S△OMD=12×2×2=S△BMDⅠS扇形OMD −S△OMD=S扇形OMD−S△BMD即S①=S②ⅠS阴影部分=S扇形AOB−S△ADO=90π×42360−12×4×4=4π−8π．故选A．13．解：连接AE,DE∵AE=DE=AD=2∴△AED是等边三角形∴∠EAD=∠ADE=60°∴扇形AED的面积=扇形DAE的面积=60π×22360=23π∴△AED的面积=√34AD2=√34×22=√3∴弓形EFD的面积=扇形AED的面积−△AED的面积=23π−√3阴影的面积=扇形DAE的面积+弓形EFD的面积=23π+23π−√3=43π−√3.故选：A14．解：如图，连接OB,OB′∵点O为AD的中点∴AO=12AD=1∴OB=√AB2+AO2=√5∵正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，且点A的对应点A′落在对角线BD上∴∠BOB′=90°∴S阴影=S扇形OBB′−S△OA′B−S△OA′B′=90°360°×(√5)2×π−12×1×1−12×1×2=54π−32故选：C．15．解：ⅠAC=BC=2,∠ACB=90°Ⅰ∠A=45°ⅠS空白BCE =S△ABC−S扇形CAE=12×AB×BC−45π⋅22360=2−π2ⅠS阴影=S半圆BCD−S空白BCE=12×π×12−2+π2=π−2．故选B．16．解：在Rt△OCB中∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4ⅠOC=12BO=2,∠COB=60°ⅠBC=2√3Ⅰ∠C′OC=∠B′OB=120°,∠B′OC=180°−∠BOC−∠B′OC′=60°由旋转知，OC′=OC=2,B′C′=BC=2√3,S△OC′B′=S△OCBⅠS扇形B′OB =120π×OB2360=16π3,S扇形C′OC=120π×OC2360=4π3ⅠS阴影=S扇形B′OB+S△OC′B′−S△OCB−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=4π．Ⅰ阴影部分的面积为4πcm2．故选：A．17．解：连接AC，延长AP，交BC于E在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4Ⅰ∠ABC=∠D=60°,AB=BC=4Ⅰ△ABC是等边三角形ⅠAB=AC在△APB和△APC中{AB=AC AP=AP PB=PCⅠ△APB≌△APC(SSS)Ⅰ∠PAB=∠PACⅠAE⊥BC,BE=CE=2Ⅰ△BPC为等腰直角三角形ⅠPE=12BC=2在Rt△ABE中AE=√32AB=2√3ⅠAP=2√3−2ⅠS阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝60⋅π⋅42360−12(2√3−2)×2−12×4×2=83π−2√3−2故选：B．18．解：连接OD、AD\PBⅠ∠ABD=30°Ⅰ∠AOD=2∠ABD=60°ⅠAO=DO=4Ⅰ△AOD是等边三角形，Ⅰ∠BOD=120°ⅠOD=OB=4Ⅰ△OBD是等腰三角形ⅠOE⊥BD于点EⅠ∠DOE=∠BOE=12∠BOD=60°Ⅰ∠DOE=∠ADOⅠOE∥ADⅠS△AOD=S△PADⅠ阴影部分的面积为S扇形AOD =60π×42360=83πⅠ阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为83π．故Ⅰ错误；ⅠPE垂直平分BDⅠ点D与点B关于OE对称ⅠDP=PB当A、P、B三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8Ⅰ阴影部分的周长的最小值为8+60π×4180=8+4π3Ⅰ阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．故Ⅰ正确；故选：B19．解：∵点A(2,0),B(0,2)∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°∴AB̂的长度=90·π×2180=π∵将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动∴O1O2=AB̂的长度=π∴点O1(2,2)，点O2(2+π,2)，点O3(4+π,0)，点O4(6+π,2)…∵10÷3=3 (1)∴O10的(14+3π,2)．故选：C．20．解：因为四边形OBAC1是正方形，且AB=1所以O为圆心的圆的半径为1同理可得依次类推，弧CnCn+1=90⋅π⋅n180=nπ2(n为大于1的正整数)弧C2024C2025=90⋅π⋅2024180=1012π．故选：A．。
(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.7 弧长及扇形的面积》(2)
三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分） 11. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,AB=6,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 E,
交⊙O 于点 D,连接 BD.
(1)求证:∠BAD=∠CBD; (2)若∠AEB=125∘,求 ㈱的长(结果保留 ).
5. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转40∘得到△ADE,
点 B 经过的路径为 ㈱,则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 14 − 6 B. 25 C. 33 − 3
3
9
8
D. 33 +
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分）
6. 若扇形的圆心角为45∘,半径为 3,则该扇形的弧长为
.
7. 一个扇形的面积是 13 3 2,半径是 6cm,则此扇形的圆心角是
°。
8. 扇形的半径为 3cm,弧长为 2 cm,则该扇形的面积为
3 2.
9. 如图,点 A、B、C 在半径为 9 的⊙O 上, 的长为 2 ,则∠ACB 的度数
是.
10. 如图,将直径 AB=6 的半圆绕点 B 按顺时针方向旋转30∘,此时点 A 到了点 A',则图中涂色 部分的面积为 .
12. 如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，其中点 A(5，
4)，B(1，3)，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1. (2)求在旋转过程中线段 AB，BO 扫过的图形的面积之和．
13. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=100∘,OA=12,C 是 OB 的中点,CD⊥OB 于点 C,交 于点 D,
苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)
苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)一、选择题1.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，则该扇形的面积为( )A. 18πB. 27πC. 36πD. 54π2.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB⏜的长是( )A. π6B. π4C. π3D. π23.如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为( )A. 2B. 2πC. 4D. 4π4.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A. 4π3−2√ 3 B. 8π3−4√ 3 C. 8π3−2√ 3 D. 8π3−45.如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6,∠A=60°，则B̂C的长为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 12π6.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC,BD分别与⊙O相切于点C,D.若AC= BD=4,∠A=45°，则CD⏜的长度为( )A. πB. 2πC. 2√ 2πD. 4π7.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A. π+√ 3B. π−√ 3C. 2π−√ 3D. 2π−2√ 38.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′,B′连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )A. 2π3B. 2√ 3−π3C. 2√ 3−2π3D. 4√ 3−2π39.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为( )A. 3π−3B. 3π−6C. 6π−3D. 6π−610.如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O，AB⏜的度数是120°，若线段PQ的最大的切线BQ，且BQ=3，现测得AB⏜的长度是4π3值是m，最小值是n，则mn的值是( )A. 3√ 10B. 2√ 13C. 9D. 10二、填空题11.若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．12.半径为6，圆心角为60°的扇形面积为．13.如图，已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为cm(结果保留π).14.如图，在扇形OEF中∠EOF=90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，在△ABC中BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为______．16.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，半径OA=4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为_________．17.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____(结果保留根号和π)．18.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD⏜，则图中阴影部分的面积是_______________．三、解答题19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D,E,ĈD=ĈE(1)求证：OA=OB；(2)已知AB=4√ 3,OA=4，求阴影部分的面积．20.如图，在Rt△ABC中∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA=4,∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．21.如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点OC//BD，交AD于点E，连结BC．(1)求证：AE=ED；(2)若AB=10,∠CBD=36°求AC⏜的长．22.如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若DE=√ 3,∠C=30°，求AD⏜的长．23.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D,E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE⏜、DF、EF围成的阴影部分面积．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：120πr180=6π∴r=9∴S扇形=120π×92360=27π故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了弧长的计算和垂径定理，此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．【解答】解：如图，作OC⊥AB则利用垂径定理可知BC=12∵弦AB=1∴sin∠COB=1 2∴∠COB=30°∴∠AOB=60°∴AB⏜的长=60π180=π3故选C．3.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4∴BC=√ AB2+AC2=4√ 2，∠ACB=∠A′CB′=45°∴阴影部分的面积=45π⋅(4√ 2)2360−12×4×4+12×4×4−45π⋅42360=2π．故选B．根据阴影部分的面积列式，代入数值解答即可．本题考查了扇形面积公式的应用，以及旋转的基本性质．4.【答案】C【解析】解：连接OD在Rt△OCD中OC=12OD=2∴∠ODC=30°，CD=√ OD2−OC2=2√ 3∴∠COD=60°∴阴影部分的面积=60π×42360−12×2×2√ 3=83π−2√ 3故选：C．连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接OB，OC∵∠A=60°∴∠BOC=2∠A=120°∴B̂C=120π×6180=4π．故选B．连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD= 4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD∵∠A=45°∴∠AOC=45°∴AC=OC=4∵AC=BD=4，OC=OD=4∴OD=BD∴∠BOD=45°∴∠COD=180°−45°−45°=90°=2π∴CD⏜的长度为：90π×4180故选：B．7.【答案】D【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解答】解：过A作AD⊥BC于D∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC=2∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵AD⊥BC ∴BD=CD=1AD=√ 3BD=√ 3∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√ 3=√ 3S扇形BAC=60π×22360=23π∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√ 3=2π−2√ 3故选：D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算等边三角形的判定和性质旋转的性质正确的作出辅助线是解题的关键．连接OO′BO′根据旋转的性质得到∠OAO′=60°推出△OAO′是等边三角形得到∠AOO′=60°推出△OO′B是等边三角形得到∠AO′B=120°得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°在底角为30°的等腰△BB′O′中求得BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)即可求解．【解答】解：连接OO′BO′∵将半径为2圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°∴∠OAO′=60°∴△OAO′是等边三角形∴∠AOO′=60°OO′=OA∴点O′在⊙O上∵∠AOB=120°∴∠O′OB=60°∴△OO′B是等边三角形∴∠AO′B=120°∵∠AO′B′=120°∴∠B′O′B=120°∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°又BO′=O′B′=2在底角为30°的等腰△BB′O′中BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)=12×1×2√ 3−(60⋅π×22360−12×2×√ 3)=2√ 3−2π3．故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了扇形的面积直角等腰三角形的面积弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出16三叶花即一个小弓形的面积再算三叶花的面积．一个小弓形的面积=扇形面积−三角形的面积．【解答】解：如图弧OA是⊙M上满足条件的一段弧连接AM MO由题意知∠AMO=90∘AM=OM．∵AO=2∴AM=√ 2．S扇形AMO =14⋅π⋅MA2=12πS△AMO=12AM⋅MO=1∴S弓形AO =12π−1∴S三叶花=6×(12π−1)=3π−6．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线必连过切点的半径构造定理图得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．连接OP OB O′点为OB的中点如图先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2再利用垂径定理得到OP⊥AB则∠OPB=90°于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图根据切线的性质得到OB⊥BQ则利用勾股定理可计算出O′Q=√ 10利用点与圆的位置关系得到m=√ 10+1n=√ 10−1然后计算mn即可．【解答】解：连接OP OB O′点为OB的中点如图设⊙O的半径为r根据题意得120⋅π⋅r180=43π解得r=2∵P点为AB的中点∴OP⊥AB∴∠OPB=90°∴点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图∴BQ为切线∴OB⊥BQ 在Rt△O′BQ中O′Q=√ 12+32=√ 10∴QE=√ 10+1QF=√ 10−1即m=√ 10+1n=√ 10−1∴mn=(√ 10+1)(√ 10−1)=10−1=9．故选C．11.【答案】2π【解析】【分析】根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．本题考查了弧长的计算．此题属于基础题熟记弧长公式是解题的关键．【解答】解：∵扇形的半径为3圆心角为120°∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．故答案为：2π12.【答案】6π【解析】解：扇形的面积=60×π×62360=6π故答案为6π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr 2360．13.【答案】8π【解析】【分析】本题主要考查的是正多边形的计算弧长的计算掌握正多边形的内角的计算公式弧长公式是解题的关键属于基础题．解答此题首先求出正六边形的内角的度数然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：正六边形的一个内角的度数为：(6−2)×180°6=120°则所得到的三条弧的长度之和为：120π×4180×3=8π(cm)故答案为8π．14.【答案】12π−1【解析】解：如图连接OC．∵在扇形AOB中∠EOF=90°正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点∴∠COF=45°∴OC=√ 2CD=2∴OD=CD=√ 2∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积=45360×π×22−12×(√ 2)2=12π−1．故答案为：12π−1．连结OC根据勾股定理可求OC的长根据题意可得出阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积依此列式计算即可求解．本题考查了正方形的性质勾股定理等腰直角三角形的性质和判定扇形面积的计算解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．15.【答案】4−π【解析】解：如图连接AD．∵⊙A与BC相切于点D∴AD⊥BC．∵∠EPF=45°∴∠BAC=2∠EPF=90°．∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=12BC⋅AD−90π⋅AD2360=12×4×2−90π⋅22360=4−π．故答案是：4−π．图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形AEF.由圆周角定理推知∠BAC=90°．本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时采用了“分割法”．16.【答案】4π−16√ 33【解析】【分析】本题考查的是折叠的性质扇形的面积三角形的面积有关知识根据题意先求出扇形OAB的面积再减去2个△BOD的面积即可解答．【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°半径OA=4∴扇形OAB的面积为90×π×42360=4π连接OC∵扇形AOB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点C处∴OD=DC BC=BO∠OBD=∠DBC∵OB=OC∴OB=OC=BC∴△BOC是等边三角形∴OD=OB·tan∠OBD=4×√ 33=43√ 3∴SΔOBD=SΔCBD=12×OB×DO=12×43√ 3×4=83√ 3∴阴影部分的面积为4π−2×8√ 33=4π−16√ 33．故答案为4π−16√ 33．17.【答案】3√ 32−π3【解析】【分析】本题考查的是正多边形和圆扇形面积计算掌握正多边形的中心角内角的计算公式扇形面积公式是解题的关键．设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H根据正多边形的中心角公式求出∠DOE求出OH得到正六边形ABCDEF的面积求出∠A利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积结合图形计算即可．【解答】解：设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H∠DOE=360°6=60°∴OD=OE=DE=1∴OH=√ 3 2∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×√ 32×6=3√ 32∠A=(6−2)×180°6=120°∴扇形ABF的面积=120π×12360=π3∴图中阴影部分的面积=3√ 32−π3．故答案为3√ 32−π3．18.【答案】2π3【解析】【分析】本题主要考查的是旋转的性质扇形的面积公式勾股定理的应用将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到AB=2√ 2再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD．【解答】解：∵∠ACB=90°AC=BC=1∴AB=2√ 2∴S扇形ABD =30π(2√ 2)2360=2π3．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE ∴Rt△ADE≌Rt△ACB∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=2π3.故答案为2π3．19.【答案】解：(1)连接OC∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°由于ĈD=ĈE∴∠AOC=∠BOC ∴∠A=∠B∴OA=OB (2)由(1)可知：△OAB是等腰三角形∴BC=12AB=2√ 3∴sin∠COB=BCOB=√ 32∴∠COB=60°∴∠B=30°∴OC=12OB=2∴扇形OCE的面积为：60π×4360=2π3△OCB的面积为：12×2√ 3×2=2√ 3∴S阴影=2√ 3−23π【解析】(1)连接OC由切线的性质可知∠ACO=90°由于ĈD=ĈE所以∠AOC=∠BOC从而可证明∠A=∠B从而可知OA=OB；(2)由(1)可知：△AOB是等腰三角形所以AC=2√ 3从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积本题考查切线的性质解题的关键是求证OA=OB然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC 的长度从而可知扇形OCE与△OCB的面积本题属于中等题型．20.【答案】解：(1)MN是⊙O的切线．理由：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A∠BCM=2∠A∴∠BCM=∠BOC∵∠B=90°∴∠BOC+∠BCO=90°∴∠BCM+∠BCO=90°∴OC⊥MN又OC为⊙O的半径∴MN是⊙O的切线；(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°∴∠AOC=120°在Rt△BCO中OC=OA=4∠BCO=30°∴BO=12OC=2BC=2√ 3∴S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π·42 360−12×4×2√ 3=16π3−4√ 3．【解析】本题考查直线与圆的位置关系扇形面积三角形面积等知识解题的关键是记住切线的判定方法扇形的面积公式．(1)要证MN是⊙O切线只要证明∠OCM=90°即可；(2)求出∠AOC以及BC根据S阴=S扇形OAC−S△OAC计算即可．21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵OC//BD∴∠AEO=∠ADB=90°即OC⊥AD∴AE=ED；(2)解：由(1)知OC⊥AD∴AC⏜=CD⏜∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°∴AC⏜=72π×5=2π．180【解析】本题考查弧长的计算垂径定理以及圆周角定理．(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°再利用垂径定理证明即可；(2)由(1)知OC⊥AD则可求出∠AOC=72°根据弧长公式解答即可．22.【答案】(1)证明：连接OD．∵OD=OC∴∠C=∠ODC∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠B=∠ODC∴OD//AB∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠ODE=90°即DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．(2)解：连接AD∵AC是直径∴∠ADC=90°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°BD=CD∴∠OAD=60°∵OA=OD∴△AOD是等边三角形∴∠AOD=60°∵DE=√ 3∠B=30°∠BED=90°又∵∠C=30°∴AC=2AD ∴在Rt△ADC中4AD²−AD²=12∴AD=2又∵△AOD是等边三角形∴OD=AD=2∴AD⏜的长为：60π⋅2180=2π3．【解析】(1)连接OD只要证明OD⊥DE即可；(2)连接AD根据AC是直径得到∠ADC=90°利用AB=AC得到BD=CD解直角三角形求得BD 在Rt△ADC中解直角三角形求得AD根据题意证得△AOD是等边三角形即可得到OD=AD然后利用弧长公式求得即可．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线已知此线过圆上某点连接圆心与这点(即为半径)再证垂直即可．23.【答案】解：(1)如图连接CD OD∵BC是⊙O的直径∴∠CDB=90°即CD⊥AB又∵△ABC是等边三角形∴AD=BD∵BO=CO∴DO是△ABC的中位线∴OD//AC∵DF⊥AC∴DF⊥OD∴DF是⊙O的切线；(2)连接OE作OG⊥AC于点G∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°∴四边形OGFD是矩形∴FG=OD=4∵OC=OE=OD=OB且∠COE=∠B=60°∴△OBD和△OCE均为等边三角形∴∠BOD=∠COE=∠C=60°∴∠DOE=60°CE=OC=4∴EG=12CE=2DF=OG=OC·sin∠C=OC·sin60°=4×√ 32=2√ 3∴EF=FG−EG=2则阴影部分面积为S梯形EFDO−S扇形DOE=12×(2+4)×2√ 3−60⋅π⋅42360=6√ 3−8π3．【解析】【试题解析】本题主要考查了切线的判定与性质等边三角形的性质垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系一般要猜想是相切再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．(1)连接CD OD先利用等腰三角形的性质证AD=BD再证OD为△ABC的中位线得DO//AC根据DF⊥AC可得；(2)连接OE作OG⊥AC求出EF DF的长及∠DOE的度数根据阴影部分面积=S梯形EFDO−S扇形DOE计算可得．第21页，共21页。
2.7 弧长及扇形的面积 苏科版数学九年级上册堂堂练(含答案)
2.7弧长及扇形的面积—2023-2024学年苏科版数学九年级上册堂堂练1.如图, 将边长为的正六边形铁丝变形为以点D为圆心, 3 为半径的扇形, 则的度数为( )A. B. C. D.2.如图，内接于，，若，则的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°3.如图,在一块长为a,宽为2b的长方形铁皮中,以2b为直径分别剪掉两个半圆,若,时,则剩下的铁皮的面积为( )(取3)A.5B.7C.8D.124.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若m，m，则阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5.若扇形面积为，圆心角为120°，则它的弧长为( )A. B. C. D.6.如图, 在矩形EDFG 中, 以DF为直径的半圆恰好与EG相切于点C, 将点C绕点F逆时针旋转, 其旋转路径与DF 交于点B. 若, 则图中阴影部分的面积为________.7.如图,中,,,以点C为圆心,CA长为半径画弧交BC于点D.则图中弧AD的长为__________(结果保留).8.如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的切线,切点为A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点.（1）试判断直线DE与圆O的位置关系,并说明理由;（2）若圆O的半径为2,,,求图中阴影部分的面积.答案以及解析1.答案：B解析：设扇形的圆心角为, 则, 解得，.2.答案：C解析：，，，，的度数为80°，故选：C.3.答案：A解析:根据题意,得:剩下的铁皮的面积=长方形的面积-圆的面积故选:A.4.答案：D解析：.故选：D.5.答案：C解析：设扇形的半径为.由题意：，解得，扇形的弧长，故选：C.6.答案：解析：由题意可得, 点C 为EG的中点. 如图, 设边DF的中点为O, 连接CO,CF, 则四边形COFG为正方形, ，,则，故7.答案：;解析:中,,,,,弧AD的长为:;故答案为:.8.答案：（1）见解析（2）解析:（1）直线DE与圆O相切,理由如下:连接OE,OD,如图,AC是圆O的切线,,,点E是AC的中点,O点为AB的中点,,,,,,,在和中,,,,OD为圆O的半径,DE为圆O的切线;（2）DE,AE是圆O的切线,,点E是AC的中点,,,图中阴影部分的面积.。
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练习9 弧长及扇形面积1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，已知B （2√3，0），C （0，2），求⊙A 的半径和劣弧OB̂的长．【分析】利用圆周角定理可以判定BC 是⊙A 的直径，则由勾股定理来求该圆的直径，然后根据弧长公式即可得到结论．．【解答】解：如图，连接BC ．∵∠COB ＝90°，且点O 、C 、B 三点都在圆A 上，∴BC 是⊙A 的直径，△OBC 是直角三角形，又B （2√3，0），C （0，2），∴BC =√(2√3)2+22=4，∴⊙A 的半径为 2；∴∠ACO ＝60°，∴∠OAB ＝120°，∴OB ̂的长=120⋅π×2180=43π．【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理、坐标与图形性质以及勾股定理．证得BC 是圆A 的直径是解题的关键．2．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C ．若A 点的坐标为（0，4），C 点的坐标为（6，2），（1）根据题意，画出平面直角坐标系；（2）在图中标出圆心M 的位置，写出圆心M 点的坐标 （2，0） ．（3）判断点D （5，﹣2）与⊙M 的位置关系．（4）求弧AC 的长．【分析】（1）根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系；（2）根据垂径定理、三角形外心的性质解答；（3）根据点D （5，﹣2）关于x 轴的对称点为（5，2）在⊙M 即可判断；（4）求得半径和圆心角，根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）由平面直角坐标系可知，圆心M 点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．（3）由图形可知，点D （5，﹣2）关于x 轴的对称点D ′（5，2）在⊙M 内，∴点D （5，﹣2）在⊙M 内；（4）AM =√22+42=2√5，∵∠AMC ＝90°，∴弧AC 的长为：90π×2√5180=√5π．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．3．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC ⊥AD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB ＝∠OBC＝30°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3√3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE=12BD=32，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD=120⋅π×32360−12×3√3×32=3π−9√34．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE；（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接DB，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；（2）根据扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝CE=12BC，∴∠EDC＝∠C，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠ADO+∠EDC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，∴AD＝6√3，阴影部分的面积=120π×62360−12×6×3√3＝12π﹣9√3．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB̂上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为4；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．【分析】（1）利用圆周角定理得到∠AOB＝60°，然后证明△OAB为等边三角形得到OA＝AB即可；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则AH＝BH=12AB＝2，OH＝2√3，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积等于弓形AB的面积加上△P AB的面积进行计算．【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH=12AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH=√42−22=2√3，∴y=60⋅π⋅42360−12×4×2√3+12×4×x＝2x+83π﹣4√3（0＜x≤2√3+4）．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n 360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了圆周角定理和垂径定理．6．如图，半圆O的直径AB＝18，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长．（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；（2）根据S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=√2BO，∴AP＝AB﹣BP＝18﹣9√2；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB=14×π×81+9×9×12=814π+812．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出S阴影＝S扇形O′A′P′+S△O′PB．7．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE＝AB；（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF＝FC＝1，试求EĜ的长．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，得出∠EAD＝∠AFB，由AAS证明△ADE≌△F AB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF＝AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE＝60°，∠ADE ＝30°，由AE ＝BF ＝1，根据三角函数得出DE ，由弧长公式即可求出EĜ的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC ，BC ＝AD ，AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠AFB ，∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝90°，在△ADE 和△F AB 中，{∠AED =∠B =90°∠EAD =∠AFB AD =AF，∴△ADE ≌△F AB （AAS ），∴DE ＝AB ；（2）连接DF ，如图所示：在△DCF 和△ABF 中，{DC =AB∠C =∠B FC =BF，∴△DCF ≌△ABF （SAS ），∴DF ＝AF ，∵AF ＝AD ， ∴DF ＝AF ＝AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠DAE ＝60°，∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝90°，∴∠ADE ＝30°，∵△ADE ≌△F AB ，∴AE ＝BF ＝1，∴DE =√3AE =√3，∴EG ̂的长=30×π×√3180=√36π．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．8．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，∠A ＝110°，BD ＝CD ．（1）求∠DBC 的度数；（2）若⊙O 的半径为3，求BĈ的长．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠C 的度数，然后根据等边对等角可得答案；（2）首先计算出∠BDC 的度数，再根据圆周角定理可得∠BOC 的度数，进而可得BĈ的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠DCB +∠BAD ＝180°，∵∠A ＝110°，∴∠C ＝180°﹣110°＝70°，∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠C ＝70°；（2）连接BO 、CO ，∵∠C ＝∠DBC ＝70°，∴∠BDC ＝40°，∴∠BOC ＝80°，故BC ̂的长l =80π×3180=4π3．【点评】此题考查了弧长的计算，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．9．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB̂上运动，且∠APB＝30°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）证明△OAB是等边三角形即可．（2）根据S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠APB，∠APB＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4．（2）S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB=60⋅π⋅42360−√34×42=83π﹣4√3．【点评】本题考查扇形的面积，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：CD＝CE；（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．【分析】（1）只要证明∠E＝∠D，即可推出CD＝CE；（2）根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC计算即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠D＝∠ABC，∵∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，∴CD＝CE．（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2√3，连接OC，则∠COB＝120°，∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC=120⋅π⋅22360−12×12×2√3×2=4π3−√3．【点评】本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接DB，根据圆周角定理、直角三角形的性质证明；（2）根据扇形面积公式计算即可．【解答】（1）证明：连接DB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵点E是BC的中点，∴DE＝CE=12BC，∴∠EDC＝∠C，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠ADO+∠EDC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；（2）∵AB＝8，∠BAC＝30°，∴AD＝4√3，阴影部分的面积=120π×42360−12×4×2√3=163π﹣4√3．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．12．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接P A，PB，PC．将△P AB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB 的位置．（1）设AB＝m，PB＝n（m＞n），求△P AB旋转到△P′CB的过程中边P A所扫过区域（图中阴影部分）的面积；（2）若P A＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．【分析】（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△P AB重合，此时阴影部分面积＝扇形BAC的面积﹣扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP＝BP'，旋转角∠PBP'＝90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C＝∠BP A＝135°，∠PP'C＝∠BP'C﹣∠BP'P＝135°﹣45°＝90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．【解答】解：（1）∵将△P AB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△P AB≌△P'CB，∴S△P AB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4（m2﹣n2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP＝BP′＝4，P′C＝P A＝2，∠PBP′＝90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P′P2＝PB2+P'B2＝32．又∵∠BP′C＝∠BP A＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣45°＝90°，即△PP′C是直角三角形，∴PC=√PP′2+P′C2=6．【点评】本题考查了正方形的性质、扇形面积公式运用以及旋转的性质，运用旋转知识，将不规则的阴影部分转化为两个扇形面积差，又利用旋转将线段、角进行转化是解题的关键．13．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6√3．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC＝3√3，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；（2）图中阴影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半．【解答】解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）∵OA＝OB，∴AC＝BC=12AB=12×6√3=3√3．（2分）在Rt△AOC中，OC=√OA2−AC2=√62−(3√3)2=3，∴⊙O的半径为3；（4分）（2）∵OC=12 OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°（5分）∴扇形OCD的面积为S扇形OCD=60×π×32360=32π，（7分）∴阴影部分的面积为S阴影＝S Rt△OBC﹣S扇形OCD=12OC•CB−32π=9√32−32π．（8分）【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且注意，不规则图形的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差．14．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC、BD．（1）AC与BD相等吗？为什么？（2）若OA＝2cm，OC＝1cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）求证：AC＝BD，则需求证△AOC≌△BOD，利用已知条件证明即可．（2）从图中可以得S阴影就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠AOD＝∠BOD+∠AOD；∴∠AOC＝∠BOD；∵{OA=OB∠AOC=∠BOD CO=DO，∴△AOC≌△BOD；∴AC＝BD．（2）解：根据题意得：S阴影=90π⋅OA2360−90π⋅OC2360=90π⋅(OA2−OC2)360=90π×(22−12)360=3π4cm2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算方法等知识点，难度一般．。