练9_弧长及扇形面积(苏科版)(解析版)

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弧长及扇形面积同步能力提高训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册(含答案)

2.7弧长及扇形面积同步能力提高训练一、选择题（共9小题）.1．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣244．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O 的半径为5，AB＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π5．如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（）A．﹣B．﹣﹣C．﹣D．﹣8．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（）A．8πB．9πC．10πD．11π9．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．9π﹣4D．9π﹣2二、填空题10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是．11．如图，在△OAC中，OA＝4，AC＝2，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O'AC'，已知点O'的坐标是（2，2），则在旋转过程中线段OC扫过的阴影部分面积为．12．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C 为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为.（结果保留根号或π）．13．扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．三、解答题14．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB 的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；（3）若AC＝，求AD•AB的值．17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．（1）求证：∠ACO＝∠CDB；（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长；18．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．19．已知在⊙O中，点C为上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，连接AB，求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，若AC＝4，DE＝10，求阴影部分的面积之和．20．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）参考答案1．解：扇形面积＝，故选：D．2．解：连接AD，如图所示：∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∴AD＝，∴阴影部分的面积＝＝．故选：C．3．解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝2，AH＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．4．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．5．解：∵∠A＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠ODB+∠OEC＝100°，∴∠DOB+∠EOC＝160°，∴图中灰色区域的面积＝＝4π，故选：C．6．解：连接BC，OC，OC交BD于W，∵点C，O关于直线BD对称，∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝OB，即△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵的长为π，∴＝π，解得：OB＝3，即OC＝OB＝3，∴OW ＝CW ＝1.5，∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝30°，∴OD ＝2DW ，由勾股定理得：OD 2＝DW 2+OW 2，即（2DW ）2＝DW 2+1.52，解得：DW ＝（负数舍去），∴阴影部分的面积S ＝S 扇形AOC ﹣S △DOC ＝﹣＝，故选：A ．7．解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C ′时，△ABC 的面积最大，连接OC '，则OC '⊥AB 于D ，∴OD ＝AB ＝＝， ∴DC '＝OC '﹣OD ＝1﹣，∴S 四边形AOBC ′＝S △AOB +S △ABC ′＝×1×1+××（1﹣）＝， ∵扇形AOB 的面积＝＝， ∴阴影部分面积的最小值＝﹣，故选：C ．8．解：设所在圆的圆心为O ，连接OP 、OA 、AP 、AP ′、AB ′， ∵点P 是的中点，∴OP ⊥AB ，AM ＝BM ＝AB ＝4，∴OM ＝＝3， ∴PM ＝5﹣3＝2，∴PA ＝＝＝2，∴线段PB 扫过的面积＝S 扇形ABB ′﹣S 扇形APP ′＝﹣＝16π﹣5π＝11π，故选：D ．9．解：延长CD ，DA 交⊙O 于E ，F ，由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S 圆O ﹣S 正方形ABCD ）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，故选：B ．10．解，连接OD ，过D 作DE ⊥BC 于E ，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，∴∠C ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∵OD ＝BC ＝，∴DE ＝， ∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．11．解：过O ′作O ′M ⊥OA 于M ，则∠O ′MA ＝90°， ∵点O ′的坐标是（2，2）， ∴O ′M ＝2，OM ＝2， ∵AO ＝4，∴AM ＝4﹣2＝2，∴∠O ′AM ＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′， ∴S △OAC ＝S △O ′AC ′，∴阴影部分的面积S ＝S扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝2π，故答案为2π．12．解：作直径CE ，连接DE 、OD ，如图，∵C 为弧AB 的中点，∴∠BOC ＝∠AOC ＝90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴BC ＝OB ＝2，∠OCB ＝45°，∵∠BCD ＝15°，∴∠DCE ＝45°﹣15°＝30°，∵CE 为直径，∴∠CDE ＝90°，∴DE ＝CE ＝2，∴CD ＝DE ＝2，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝30°， ∴的长度＝＝π， ∴图中阴影部分的周长为π+2+2．故答案为π+2+2．13．解：∵AB ＝30cm ，BD ＝20cm ，∴AD ＝10cm ，∵∠BAC ＝150°，∴扇面的面积＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ＝﹣ ＝π（cm 2）．故答案为π．14．解：（1）∵AC 为⊙O 的直径，点E 是的中点， ∴∠ABE ＝45°，∵AB ⊥EN ，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BE ＝EM ，故答案为BE ＝EM ；（2）连接EO ，AC 是⊙O 的直径，E 是的中点，∴∠AOE ＝90°，∴∠ABE ＝∠AOE ＝45°，∵EN ⊥AB ，垂足为点M ，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN ＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．15．（1）证明：∵AO＝AC，∴∠ACO＝∠AOC，∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠BOD+∠D＝90°，∴OB⊥DE，∴BD＝BE；（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，∵OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，∴OD＝2OB＝2，∴CD＝OD+OC＝3，∵∠D＝∠OCB，∴BD＝BC，∵BD＝BE，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，∵BF⊥CE，∴BF∥CD，∵BD＝BE，∴BF＝CD＝；②解：连接OE，∵OD ＝2、OB ＝1，∴BD ＝，则DE ＝2BD ＝2， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠OED ＝30°，∴∠DOE ＝120°，S 阴影＝S 扇形ODE ﹣S △ODE ＝﹣×2×1＝π﹣．16．解：（1）连接CD ，如图，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝28°，∴∠BAC ＝90°﹣28°＝62°，∵CA ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD ＝62°，∴∠ACD ＝180°﹣62°﹣62°＝56°， ∴的度数为56°；（2）∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝1，∵CD ＝CA ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴阴影部分的面积＝S 扇形ACD ﹣S △ACD ＝﹣×12 ＝π﹣；（4）过点C 作CH ⊥AD 于H ，∴AH ＝DH ＝AD ，∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC，∵∠A＝∠A，∴AC2＝AH•AB，即（）2＝AD•AB，∴AD•AB＝6．17．（1）证明：∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＝∠CDB，∴∠ACO＝∠CDB；（2）解：连接OD，设⊙O的半径为r，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，解得，r＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠AOD＝120°，∴弧AD的长＝＝π．18．解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE＝CE，，又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，∴∠AOC＝60°．（2）∵，∴，∵∠AOC＝60°，∴∠C＝30°，设OE＝x，OC＝2x，∵OE2+EC2＝OC2，∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．19．（1）证明：如图1，连接CB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB＝CA，又∵CD＝CA，∴AC＝CD＝BC，∴∠D＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EAD，∴∠D＝∠EAD，∴EA＝ED，∵CD＝CA，∴EC⊥AD，∴∠ACE＝90°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：如图2，∵AE＝ED＝10，AC＝4，EC⊥AD，∴根据勾股定理得：CE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．。

弧长和扇形面积(解析版) 九年级数学下册

27.3第1课时弧长和扇形面积姓名：_______班级_______学号：________题型1三角形外接圆的说法辨析1．（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是（）A ．经过三点可以作一个圆B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C ．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等D ．相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可．【详解】解：A 、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A 错误；B 、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B 错误；C 、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C 正确；D 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D 错误．故选：C ．2．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在ABC 中，点P 是ABC 的外心，则点P （）A ．到ABC 三边的距离相等B ．到ABC 三个顶点的距离相等C ．是ABC 三条高线的交点D ．是ABC 三条角平分线的交点【答案】B【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键．【详解】解：∵点P 是ABC 的外心，∴点P 是ABC 的三条边的垂直平分线的交点，即：点P 到ABC 的三个顶点距离相等，（1）当点O 在ABC ∵点O 是三角形ABC ∴12A BOC ∠=∠，又240BOC A ∠+∠=【答案】43【分析】由三角形外心的性质结合可得出12BAC BOC ∠=∠【答案】()1,2-【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作直平分线，两条线交于点D ，可得点定义．【详解】解：如图，根据网格作∴点(1,2)D -是ABC 的外心，ABC ∴ 的外心的坐标为(1,-故答案为：(1,2)-．6．（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()3,6A ，()1,4B 【答案】()52，52，．所以点P的坐标为()52，．故答案为：()7．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点()3,0，点C是第一象限内0,3、()为(),a b，则a b+的最大值为【答案】222++【分析】如图，作等边三角形BK为半径的优弧AMB=-+上，而直线y x m∵点A B 、的坐标分别为()0,3、()3,0，∴2223AB OA OB =+=，sin OBA ∠∴60OBA ∠=︒，∵60ABM AMB ∠=︒=∠，∴AM OB ∥，∴()23,3M ，3BN OA ==，AN MN =(1)在正方形网格中画出ABC 的外接圆(2)若EF 是M 的一条长为4的弦，点【答案】(1)见解析，()1,0M -(2)6【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌（2）连接MD，MG，ME，CM 点G为弦EF的中点，EM=∴⊥，MG EF，EF=4∴==，2EG FG221∴=-=，MG ME EGA．3cm B【答案】B【分析】连接OB、OC则90ODB ∠=︒，60A ∠=︒ ，120BOC ∴∠=︒，60BOD ∴∠=︒，OB OC = ，OD BC ⊥∴OA OB =，AH BC ⊥，∴116322BH BC ==⨯=，在Rt AHB △中，由勾股定理，得2225AH AB BH =-=-题型5判断三角形外接圆的圆心位置18．（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的（）A ．三个顶角的角平分线交点B ．三边高的交点C ．三边中线交点D ．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键．【详解】解：已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的三边的垂直平分线的交点，故选：D ．19．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点、、A B C 并顺次连接得到ABC ∆，则ABC ∆的外心是（）(1)求证：AO平分BAC∠(2)若O的半径为5，AD(3)若OD mOB=，求ADDC的值（用含【答案】(1)证明见解析(2)1.5AB AC = ，⊥AP BCPAB PAC ∴∠=∠，BP PC =，∵点O 是ABC 的外接圆圆心，∴点O 在AP 上，∴OAB OAC ∠=∠，OA ∴平分BAC ∠．（2）解：5OA OB == ，题型6判断确定圆的条件21．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．22．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧（3）任意三点可以确定一个圆（4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线（5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断．【详解】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误；任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误；圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确；圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确；故正确的个数是2个，故选：B．23．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）下列命题正确的是（）A．过三点一定能作一个圆B．相似三角形的面积之比等于相似比C．圆内接平行四边形一定是矩形D．三角形的重心是三角形三边中垂线的交点【答案】C【分析】根据不共线的三点确定一个圆；相似三角形的面积之比等于相似比的平方；圆内接四边形对角互补；三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项判断即可．【详解】解：A.过不共线的三点一定能作一个圆，原命题错误；B.相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题错误；C.∵圆内接四边形对角互补，且平行四边形的对角相等，∴圆内接平行四边形的对角都是90 ，∴圆内接平行四边形一定是矩形，正确；D.三角形的重心是三角形三边中线的交点，原命题错误；故选：C．【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的重心等知识；熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．24．（2023上·广东汕头·九年级校考阶段练习）下列命题在，正确的是由（）①平分弦的直径垂直于弦；②经过三角形的三个顶点确定一个圆；③圆内接四边形对角相等；④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．A．①②B．②③C．②D．①④【答案】C【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；②经过三角形的三个顶点确定一个圆，②正确；③圆内接四边形对角互补，③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，④错误．故选：C．【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型7确定圆心（尺规作图）25．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．(2,0)B．(2,1)C．(2,2)D．(3,1)【答案】A【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,0)．故选：A ．26．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、A B C ，请在网格图中进行下列操作：(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为______；(2)求出扇形DAC 的面积．【答案】(1)见解析，()2,0(2)5π【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．（1）根据网格和正方形的性质，分别作出AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点D 的坐标；（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出90ADC ∠=︒以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．故答案为：(2,0)；（2）解：由（1）图可知：2222425,2AD CD =+==222DA DC AC += ，ADC ∴ 为直角三角形，ADC ∠即D 的半径为25，ADC ∠的度数为(1)在网格图中画出圆M （包括圆心）(2)判断M 与y 轴的位置关系：【答案】(1)见解析，(3,2)(2)相交点M 坐标为：(3,2)故答案为：(3,2)；（2）∵22(32)(25)MA =-+-=即：M 的半径10r =，点M 到y 轴的距离3d =，(1)画出圆心P ；(2)画弦BD ，使BD 平分ABC ∠．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意得到BC ，AF 是圆的直径，BC 和AF 的交点即为要求的点P ；（2）连接AC ，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，即为所求．【详解】（1）如图所示，点P 即为所求；∵BC ，AF 是圆的直径，∴BC 和AF 交于点P ，∴点P 是圆心．（2）如图所示，BD 即为所求；连接AC ，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，∵AE CE=∴PE AC⊥∴ CD AD=∴CBD ABD∠=∠∴BD 平分ABC ∠．【点睛】此题考查了垂径定理的应用，网格作图，解题的关键是熟练掌握以上知识点．题型8求能确定的圆的个数29．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,0-，以点P 为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】A【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．【详解】解：∵点()1,0P -为圆心，1为半径作圆，∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，故选：A ．30．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．【详解】解：依题意A ，B ；A ，C ；A ，D ；B ，C ；B ，D ；C ，D 加上点P 可以画出一个圆，∴共有6个，故选：C ．31．（2023上·全国·九年级专题练习）平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A 、B 、C 、D 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可．【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时1n =，②当三点在一直线上时，如图2n=，分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即3③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，n=，分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时4即n不能是2，故选：B．【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键．32．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．【详解】解：依题意，,A B；,A C；,A D；,B C；,B D，,C D加上点P可以画出一个圆，∴共有6个，故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．(1)求作A，使得(2)在（1）的条件下，设于点G，求AB AD【答案】(1)见解析(2)51-如图，以A 为圆心AN 为半径画圆即为所求；（2）解：设AB ADα=，A 的半径为BD Q 与A 相切于点E ，CF AE BD ∴⊥，AG CG ⊥，即90AEF AGF ∠=∠=︒，CF BD ⊥ ，90EFG ∴∠=︒，∴四边形AEFG 是矩形，又AE AG r ==，∴四边形AEFG 是正方形，，【答案】图见解析【分析】本题考查作图—复杂作图，切线的性质，根据切线的定义，得到点35．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系()4,4B -、()6,2.C -(1)在图中画出经过A 、B 、C (2)M 的半径为__；(3)点O 到M 上最近的点的距离为【答案】(1)见解析，()2,0-(2)25故答案为：()2,0-；（2）()6,2C - ，()2,0M -22(62)22MC ∴=-++=即M 的半径为25，A ．5π2【答案】D 【分析】先确定圆心由题意得：221OA =+∴222OA OC AC +=，∴AOC 是等腰直角三角形，∴=90AOC ∠︒，A．12【答案】A【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧【答案】5π【分析】本题考查了弧长，三角形内角和．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．由题意知，三条弧的半径相同为计算求解即可．【答案】1m 3【分析】本题考查圆锥的有关计算，是解决问题的关键．根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．A．0.9米B．0.8米【答案】B【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． OA【答案】4【分析】本题考查圆锥展开图及扇形弧长公式，直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，【答案】4【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式12S lr =即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【答案】500OCD S π=扇形【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求 180n r l π=扇形和2360n r S π=扇形是解题的关键．【详解】解：由题意得(1)点O 在线段BP 上．若以点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，O （2）解：连接CO ，∵BC PC=∴CBP P∠=∠∵ 6AB AC =，的长为π．(1)画出点A 的对应点A '（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)已知336AB ABC ∠=︒=，，点A 运动到点果保留π）；（2）解：∵336AB ABC ∠=︒=，，∴18036144ABA '∠︒-︒=︒＝，∴点A 经过的路线长为1443121805π⨯=π，故答案为：125π．49．（2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点(1)请作出△ABC 绕点B 逆时针旋转点E ．分别写出点D ，点E 的坐标．(2)请直接写出（1）中点A 在旋转过程中经过的弧长为【答案】(1)图见解析，()03D ，，(2)10π2【分析】本题考查旋转变换的作图、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．（2）利用勾股定理求出AB 的长，再利用弧长公式计算即可．由图可得，D （0，3），E （3，1）．（2）解：由勾股定理得，23AB =+∴点A 在旋转过程中经过的弧长为90π故答案为：10π2．50．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，个顶点坐标分别为()2,1A -，()1,4B -(1)ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒径长度；(2)以原点O 为位似中心，位似比为如果点(),D a b 在线段AB 上，那么请直接写出点【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，画位似图形，求位似图形对应点坐标，勾股定理，求弧长等等，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键．A ．54π【答案】C【分析】本题考查扇形面积的计算，角形的判定得出BOD9π(1)求证：PA PB =；(2)若O 的半径为6，60P ∠=︒， 3CD=【答案】(1)证明见解析(2)39π-【分析】（1）连接OA ，OC ，OD ，OB ，AC BD=，AC BD ∴=，OA OC OB OD === ，OM AC ⊥，ON BD ⊥，CM AM ∴=，BN DN =，90OMC OND ∠=∠=︒，CM DN ∴=，在Rt OMC 和Rt OND 中，CM DN OC OD=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)OMC OND \ ≌，OM ON ∴=，在Rt POM ∆和Rt PON ∆中，OP OP OM ON=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)POM PON ∴≅ ，PM PN ∴=，AM BN = ，PA PB ∴=．（2）解：60APB ∠=︒ ，90PMO PNO ∠=∠=︒，120MON ∴∠=︒，POM PON ≌，60POM PON ∴∠=∠=︒，3CDAC =，∴116322AJ OA ==⨯=912AOC O J S C A ∴=⋅= ，2306939360AOC AOC S S S ππ⨯⨯∴=-=-=- 阴扇形．【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【基础巩周】（2）如图，正方形ABCD 的比值；【尝试应用】（3）如图，在半径为【答案】（1）相等，理由见解析；【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；（2）根据OAN ODN S S = MN AD ∥，正方形ABCD ∴BC MN AD ∥∥，∴OAN ODN S S =，OBN S =∴阴影面积等于扇形DOCBD CD =，OB OC =∴OD BC ⊥，∴2BDC BDO ∠=∠=∴2BAC BDC ∠=∠= 2ACO BDO ∠=∠，A ．π【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出式，即可求解．【答案】84π-/84π-+【分析】由图知，要求的面积有两部分：与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积，三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径，【点睛】此题主要考查的是圆的综合题，图形面积的求法，切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识，与原三角形相似，原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆是解题的关键．57．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系顶点均在格点上，点C的坐标为(4-,绕原点O顺时针方向旋转(1)将ABC(2)C点运动到1C的过程，线段OC【答案】(1)见解析π(2)54【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出（2）解：如图，线段OC扫过的图形的面积即为扇形()，4,1C-。

苏科版九年级数学上册《弧长及扇形面积》专题能力达标训练【含答案】

苏科版九年级数学上册《弧长及扇形面积》专题能力达标训练1．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（）A．B．2πC．D．2．小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：S＝，l＝，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（）A．该扇形的圆心角为3°，直径是4B．该扇形的圆心角为4°，直径是3C．该扇形的圆心角为4°，直径是6D．该扇形的圆心角为9°，直径是43．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为10cm，贴纸部分的CA长为5cm，则贴纸部分的面积为（）A．cm2B．25πcm2C．48πcm2D．75πcm24．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π5．如图，四边形ABCD的顶点B，C，D都在⊙A上，AD∥BC，∠BAD＝140°，AC＝3，则的弧长为（）A．πB．πC．πD．π6．如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则扇形AEF 的面积为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是（）A．B．C．D．9．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为（）A．πB．π+1C．2π+1D．2π+210．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．2πB．πC．D．11．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm212．如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9C．3πD．6π13．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM＝2∠A．若OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝6，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是．16．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为．17．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为．18．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝60°，则的长为．19．如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）20．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm．若量角器阴影部分的弧AB所对的扇形圆心角∠AOB为120°，则弧AB的长度为cm．（结果保留π）21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA 长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．22．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．23．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），（1）根据题意，画出平面直角坐标系；（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标．（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．（4）求弧AC的长．24．如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．25．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（2），C（0，2），求⊙A的半径和劣弧的长．26．如图所示，菱形ABCD，∠B＝120°，AD＝1，扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，求图中阴影部分的面积．答案1．解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OBD中，OB2﹣OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′＝＝π，S扇形OBB′＝＝π，∴S阴影＝S扇形OBB′﹣S扇形ODD′＝﹣π＝π＝π＝π．故选：C．2．解：∵S＝，l＝，∴S＝，l＝，∴该扇形的圆心角为9°，直径是4，故选：D．3．解：S＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝25π（cm2），故选：B．4．解：∵弦BC⊥OA，垂足为M，∴BM＝CM，∵OB∥AC，∴∠OBM＝∠ACM，在△ACM和△OBM中，∴△ACM≌△OBM（ASA），∴OM＝AM＝OA，∴∠AOB＝60°，∴S阴影＝S＝＝，故选：B．5．解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝140°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，∴的长＝＝π，故选：A．6．解：连接BC，由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，∴BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝2π，故选：A．7．解：连接AC．由题意AC＝＝，∵∠EAF＝45°，AE＝AF＝AC＝，∴S扇形AEF＝＝π，故选：B．8．解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，所以BC＝AC＝，∠A＝60°，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ACD＝×1×﹣＝﹣．故选：B．9．解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，故选：B．10．解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴阴影部分的面积＝＝π．故选：C．11．解：∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴S阴影部分＝＝2π（m2），∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2．故选：B．12．解：该莱洛三角形的周长＝3×＝3π．故选：C．13．解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣2．故π﹣2．14．解：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，∴∠BOC＝∠BCM＝60°，∴∠AOC＝120°，在Rt△BCO中，OC＝OA＝4，∠BCO＝30°，∴BO＝OC＝2，BC＝2，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣＝，故答案为．15．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AB＝6，∴AC＝BC＝AB×sin45°＝6＝6，∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形CAD＝﹣＝18﹣π，故18﹣π．16．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，故答案为﹣1．17．解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故9﹣3π．18．解：连接OB，OC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，则＝＝＝4π．故4π．19．解：连接AD，AE，∵AD＝AB＝＝，BD＝＝，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴弧BE所对的圆心角为90°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．故﹣．20．解：∵三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，∴扇形的半径为8﹣2＝6cm，∵弧AB所对的扇形圆心角∠AOB＝120°，∴扇形AOB的弧长＝＝4π（cm），故答案为4π．21．解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．22．解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°，而OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA＝AB＝4，即⊙O的半径为4；故答案为4；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2，∴OH＝＝2，∴y＝﹣×4×2+×4×x＝2x+π﹣4（0＜x≤2+4）．23．解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）由平面直角坐标系可知，圆心M点的坐标为（2，0），故（2，0）．（3）由图形可知，点D（5，﹣2）关于x轴的对称点D′（5，2）在⊙M内，∴点D（5，﹣2）在⊙M内；（4）AM＝＝2，∵∠AMC＝90°，∴弧AC的长为：＝π．24．解：（1）∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB＝BO′＝5，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5；（2）阴影部分面积为：S阴影＝S扇形O′A′P+S△O′PB＝×π×25+5×5×＝+．25．解：如图，连接BC．∵∠COB＝90°，且点O、C、B三点都在圆A上，∴BC是⊙A的直径，△OBC是直角三角形，又B（2），C（0，2），∴BC＝＝4，∴⊙A的半径为2；∴∠ACO＝60°，∴∠OAB＝120°，∴的长＝＝π．26．解：如图，延长弧EF交半径BC于点C，连接BD，∠EBD+∠DBF＝60°，∠DBF+∠FBC＝60°，∴∠EBD＝∠FBC，∠DBC＝60°，∴原来阴影部分的面积等于弧DFC所对应部分的面积，S原来阴影部分的面积＝S扇形BDFC﹣S△BDC＝•1﹣•1•＝﹣。

苏教版九年级数学上册第二章2.7弧长及扇形的面积练习题(含答案解析)

第二章2.7弧长及扇形的面积一. 选择题（共13小题）1.（2019・大庆）如图，在正方形A8CD中，边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形ABiCjDi,则线段CD扫过的而积为（）A. —B. —C. nD. 2n2.（2019・包头）如图，在RtAABC中，ZACB=90° , AC=BC=2据以BC为直径作半圆，交AB于点、D,则阴影部分的面积是（）A. n - 1B. 4-nC. V2D. 23.（2019・山西）如图，在RtAABC中，NA8C=90‘，AB=2寸耳，BC=2,以AB的中点。

为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为（）A. ^jL±-2LB.C. 2V3-KD. 4V3- —4 2 4 2 2 4.（2019-资阳）如图，直径为2顷的圆在直线/上滚动一周，则圆所扫过的图形而积为（）A. 511B. 6nC. 20n D・ 24n5. （2019-临沂）如图，。

0中，莅=&, £4CB=75° ,BC=2,则阴影部分的面积是（）6. （2019・凉山州）如图，在ZVIOC中，OA=3cm, OC=\cm.将ZVIOC绕点。

顺时针旋转90°后得到△8OD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cnr.7. （2019-泰安）如图，将。

沿弦AB 折叠，莅恰好经过圆心O,若0。

的半径为3,则宛的长为（）A. —nB. nC. 2nD. 3n28. （2019-南充）如图，在半径为6的中，点A, B, C 都在。

上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6nB.C. 2A /3^D- 2nA .2LB. 2nC.ILr 8D. Un89. （2019-枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，A8为半径画弧, 交对角线BD 于点E,则图中阴影部分的而积是（结果保留IT ）（）A. 8 - nB. 16 - 2nC ・ 8 - 2nD. 8 - —IT210. （2018•兴安盟）如图，在扇形AO8中，NAO8=9（T ,正方形CDEF 的顶点C 是疝的中点，点。

苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练(附答案)

苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练（附答案）1．若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（）A．π2B．πC．π6D．π32．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（）A．24B．36C．12D．63．某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（）A．4cm2B．8πcm2C．4πcm2D．2cm24．扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍5．如图，Rt△ABC中∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF=4则劣弧EF的长是（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．π3C．2π3D．4π7．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心．OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=4m,OB=2m，则阴影部分的面积是（）A．43πB．83πC．4πD．163π8．如图，在▱ABCD中AD=12,∠B=120°,AD是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点N，与AB相交于点M，则弧MN的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π9．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是BF的中点，连接AC．若∠CAB=30°,AB=2，则阴影部分的面积是（）A．π3B．π6C．2π3D．π210．如图是5×4的小正方形网格，小正方形的边长为2、点A和B是格点，连接AB，小明在网格中画出以AB 为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（）A．5π+10B．4π−9C．5π−54D．5π+10411．在△ABC中AB=2,BC=4,∠ABC=30°．以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中两部分的面积之差(S2−S1)是（）A．3−π3B．6−4π3C．2−π3D．3−2π312．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（）A．4π−8B．4π−4C．8π−8D．π−413．如图，在正方形ABCD中，边长AD=2，分别以A、D为圆心，线段AD的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（）A．43π−√3B．43π−2√3C．23πD．π−√314．如图，边长为2的正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，当点A的对应点A′落在对角线BD上时，点B所经过的路径与A′B，A′B′围成的阴影部分的面积是（）A．73B．52C．54π−32D．√52π−2315．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，以BC为直径的半圆，交AB于点D，以点A为圆心，AC 为半径作弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．π+2B．π−2C．2D．32π−216．如图，Rt△BCO中∠BCO=90°，∠CBO=30°，BO=4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C′在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积是（）A．4πcm²B．(√32+4π)cm2C．2πcm²D．(√32+2π)cm217．如图，在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，连接PA,PB,PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．83π−2√3+2B．83π−2√3−2C．8πD．8π−6√3−618．如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP,AP，得出下列结论：Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为83π．Ⅰ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．下列判断正确的是（）．A．只有Ⅰ正确B．只有Ⅰ正确C．Ⅰ、Ⅰ都正确D．Ⅰ、Ⅰ都不正确19．如图，点A(2,0),B(0,2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．(16+4π,0)B．(14+4π,2)C．(14+3π,2)D．(12+3π,0)20．如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中对应的每段弧弧的圆心依次按O，A，B,C1循环，当OA=1时，弧C2024C2025的长为（）A．1012πB．1022.5πC．2024πD．2025π参考答案1．解：根据题意得l=nπr180=60π×1180=π3．故选：D．2．解：ⅠS=12lRⅠ12π=12×2π×RⅠR=12故选：C.3．解：根据扇形的面积公式：S=nπr2360=160π32360=4π(cm2)．故选：C．4．解：∵S扇形=nπr2360，扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍∴扩大后的扇形面积为S扇形=2nπ(2r)2360=8nπr2360∴面积扩大为原来的8倍．故选：C．5．解：连接OE\OF，在四边形OFCE中∠OFC=∠C=∠OEC=90°∴四边形OFCE为矩形．又因为OF=OE∴四边形OFCE为正方形．则OF=CF=4,∠EOF=90°劣弧EF的长是90π⋅4180=2π．故选：A．6．解：Ⅰ⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为60°Ⅰ点A经过的路径长为60π×2180=2π3故选C．7．解：圆心角∠O=120°,OA=4m,OB=2mⅠS阴影=120360π×OA2−120360π×OB2=120360π×(OA2−OB2)ⅠS阴影=120360π×(OA2−OB2)=13π×(42−22)=4π故选：C．8．解：如图，连接OM,ONⅠ▱ABCD,∠B=120°Ⅰ∠A=60°,AD∥BCⅠ⊙O与BC相切Ⅰ∠ONB=90°Ⅰ∠AON=180°−∠ONB=90°ⅠOA=OMⅠ∠OMA=∠A=60°Ⅰ∠AOM=180°−∠OMA−∠A=60°Ⅰ∠MON=∠AON−∠AOM=30°Ⅰ弧MN的长为30π⋅6180=π故选：A．9．解：连接CF,OC,OF交AC于E∵点C为劣弧弧BF的中点∴弧CF=弧BC∵∠BAC=30°∴∠BAC=∠CAF=30°∴∠COF=2∠CAF=60°=∠OAF∵OA=OF=OC=12AB=1Ⅰ△AOF和△COF均为等边三角形∴∠AOF=∠CFO=60°∴AB∥CF∴S△ACF=S△COF则阴影部分的面积=S△ACF+S弓形CF=S△ACF+S弓形CF=S△COF+S弓形CF=S扇形COF=60π×12360=π6故选：B．10．解：如图所示，连接COⅠ小正方形的边长为2ⅠOC2+OB2=BC2Ⅰ∠COB=90°=∠AOCⅠ图中阴影部分的面积是S△AOB+S扇形AOC=90360π×(2√5)2+12×(2√5)2=5π+10故选：A．11．解：过点A作AF⊥BC于F∵AB=2,BC=4∴AF=12AB=1,BD=AB=2∴S1=S扇形ABD −S△ABD=30360×π×22−12×2×1=π3−1S2=S△ADC−S1=12⋅DC⋅AF−(π3−1)=12×2×1−π3+1=2−π3∴S2−S1=(2−π3)−(π3−1)=3−23π．故选：D．12．解：令半圆的圆心为M在Rt△AOB中∠AOB=90°Ⅰ∠B=∠A=45°ⅠBO是半圆的直径Ⅰ∠ODB=90°,OM=MB=2Ⅰ∠DOM=90°−45°=45°=∠B ⅠOD=BDⅠDM⊥OBⅠ∠BMD=∠DMO=90°ⅠS扇形OMD =90π×22360=S扇形OMD,S△OMD=12×2×2=S△BMDⅠS扇形OMD −S△OMD=S扇形OMD−S△BMD即S①=S②ⅠS阴影部分=S扇形AOB−S△ADO=90π×42360−12×4×4=4π−8π．故选A．13．解：连接AE,DE∵AE=DE=AD=2∴△AED是等边三角形∴∠EAD=∠ADE=60°∴扇形AED的面积=扇形DAE的面积=60π×22360=23π∴△AED的面积=√34AD2=√34×22=√3∴弓形EFD的面积=扇形AED的面积−△AED的面积=23π−√3阴影的面积=扇形DAE的面积+弓形EFD的面积=23π+23π−√3=43π−√3.故选：A14．解：如图，连接OB,OB′∵点O为AD的中点∴AO=12AD=1∴OB=√AB2+AO2=√5∵正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，且点A的对应点A′落在对角线BD上∴∠BOB′=90°∴S阴影=S扇形OBB′−S△OA′B−S△OA′B′=90°360°×(√5)2×π−12×1×1−12×1×2=54π−32故选：C．15．解：ⅠAC=BC=2,∠ACB=90°Ⅰ∠A=45°ⅠS空白BCE =S△ABC−S扇形CAE=12×AB×BC−45π⋅22360=2−π2ⅠS阴影=S半圆BCD−S空白BCE=12×π×12−2+π2=π−2．故选B．16．解：在Rt△OCB中∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4ⅠOC=12BO=2,∠COB=60°ⅠBC=2√3Ⅰ∠C′OC=∠B′OB=120°,∠B′OC=180°−∠BOC−∠B′OC′=60°由旋转知，OC′=OC=2,B′C′=BC=2√3,S△OC′B′=S△OCBⅠS扇形B′OB =120π×OB2360=16π3,S扇形C′OC=120π×OC2360=4π3ⅠS阴影=S扇形B′OB+S△OC′B′−S△OCB−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=4π．Ⅰ阴影部分的面积为4πcm2．故选：A．17．解：连接AC，延长AP，交BC于E在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4Ⅰ∠ABC=∠D=60°,AB=BC=4Ⅰ△ABC是等边三角形ⅠAB=AC在△APB和△APC中{AB=AC AP=AP PB=PCⅠ△APB≌△APC(SSS)Ⅰ∠PAB=∠PACⅠAE⊥BC,BE=CE=2Ⅰ△BPC为等腰直角三角形ⅠPE=12BC=2在Rt△ABE中AE=√32AB=2√3ⅠAP=2√3−2ⅠS阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝60⋅π⋅42360−12(2√3−2)×2−12×4×2=83π−2√3−2故选：B．18．解：连接OD、AD\PBⅠ∠ABD=30°Ⅰ∠AOD=2∠ABD=60°ⅠAO=DO=4Ⅰ△AOD是等边三角形，Ⅰ∠BOD=120°ⅠOD=OB=4Ⅰ△OBD是等腰三角形ⅠOE⊥BD于点EⅠ∠DOE=∠BOE=12∠BOD=60°Ⅰ∠DOE=∠ADOⅠOE∥ADⅠS△AOD=S△PADⅠ阴影部分的面积为S扇形AOD =60π×42360=83πⅠ阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为83π．故Ⅰ错误；ⅠPE垂直平分BDⅠ点D与点B关于OE对称ⅠDP=PB当A、P、B三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8Ⅰ阴影部分的周长的最小值为8+60π×4180=8+4π3Ⅰ阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．故Ⅰ正确；故选：B19．解：∵点A(2,0),B(0,2)∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°∴AB̂的长度=90·π×2180=π∵将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动∴O1O2=AB̂的长度=π∴点O1(2,2)，点O2(2+π,2)，点O3(4+π,0)，点O4(6+π,2)…∵10÷3=3 (1)∴O10的(14+3π,2)．故选：C．20．解：因为四边形OBAC1是正方形，且AB=1所以O为圆心的圆的半径为1同理可得依次类推，弧CnCn+1=90⋅π⋅n180=nπ2(n为大于1的正整数)弧C2024C2025=90⋅π⋅2024180=1012π．故选：A．。

(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.7 弧长及扇形的面积》(2)

三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分） 11. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,AB=6,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 E,
交⊙O 于点 D,连接 BD.
(1)求证:∠BAD=∠CBD; (2)若∠AEB=125∘,求㈱的长(结果保留 ).
5. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转40∘得到△ADE,
点 B 经过的路径为㈱,则图中阴影部分的面积为（）

A. 14 − 6 B. 25 C. 33 − 3
3
9
8
D. 33 +
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分）
6. 若扇形的圆心角为45∘,半径为 3,则该扇形的弧长为
.
7. 一个扇形的面积是 13 3 2,半径是 6cm,则此扇形的圆心角是
°。
8. 扇形的半径为 3cm,弧长为 2 cm,则该扇形的面积为
3 2.
9. 如图,点 A、B、C 在半径为 9 的⊙O 上, 的长为 2 ,则∠ACB 的度数
是.
10. 如图,将直径 AB=6 的半圆绕点 B 按顺时针方向旋转30∘,此时点 A 到了点 A',则图中涂色部分的面积为 .
12. 如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，其中点 A(5，
4)，B(1，3)，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1. (2)求在旋转过程中线段 AB，BO 扫过的图形的面积之和．
13. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=100∘,OA=12,C 是 OB 的中点,CD⊥OB 于点 C,交于点 D,

苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)

苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)一、选择题1.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，则该扇形的面积为( )A. 18πB. 27πC. 36πD. 54π2.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB⏜的长是( )A. π6B. π4C. π3D. π23.如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为( )A. 2B. 2πC. 4D. 4π4.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A. 4π3−2√ 3 B. 8π3−4√ 3 C. 8π3−2√ 3 D. 8π3−45.如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6,∠A=60°，则B̂C的长为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 12π6.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC,BD分别与⊙O相切于点C,D.若AC= BD=4,∠A=45°，则CD⏜的长度为( )A. πB. 2πC. 2√ 2πD. 4π7.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A. π+√ 3B. π−√ 3C. 2π−√ 3D. 2π−2√ 38.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′,B′连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )A. 2π3B. 2√ 3−π3C. 2√ 3−2π3D. 4√ 3−2π39.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为( )A. 3π−3B. 3π−6C. 6π−3D. 6π−610.如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O，AB⏜的度数是120°，若线段PQ的最大的切线BQ，且BQ=3，现测得AB⏜的长度是4π3值是m，最小值是n，则mn的值是( )A. 3√ 10B. 2√ 13C. 9D. 10二、填空题11.若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．12.半径为6，圆心角为60°的扇形面积为．13.如图，已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为cm(结果保留π).14.如图，在扇形OEF中∠EOF=90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，在△ABC中BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为______．16.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，半径OA=4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为_________．17.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____(结果保留根号和π)．18.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD⏜，则图中阴影部分的面积是_______________．三、解答题19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D,E,ĈD=ĈE(1)求证：OA=OB；(2)已知AB=4√ 3,OA=4，求阴影部分的面积．20.如图，在Rt△ABC中∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA=4,∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．21.如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点OC//BD，交AD于点E，连结BC．(1)求证：AE=ED；(2)若AB=10,∠CBD=36°求AC⏜的长．22.如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若DE=√ 3,∠C=30°，求AD⏜的长．23.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D,E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE⏜、DF、EF围成的阴影部分面积．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：120πr180=6π∴r=9∴S扇形=120π×92360=27π故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了弧长的计算和垂径定理，此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．【解答】解：如图，作OC⊥AB则利用垂径定理可知BC=12∵弦AB=1∴sin∠COB=1 2∴∠COB=30°∴∠AOB=60°∴AB⏜的长=60π180=π3故选C．3.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4∴BC=√ AB2+AC2=4√ 2，∠ACB=∠A′CB′=45°∴阴影部分的面积=45π⋅(4√ 2)2360−12×4×4+12×4×4−45π⋅42360=2π．故选B．根据阴影部分的面积列式，代入数值解答即可．本题考查了扇形面积公式的应用，以及旋转的基本性质．4.【答案】C【解析】解：连接OD在Rt△OCD中OC=12OD=2∴∠ODC=30°，CD=√ OD2−OC2=2√ 3∴∠COD=60°∴阴影部分的面积=60π×42360−12×2×2√ 3=83π−2√ 3故选：C．连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接OB，OC∵∠A=60°∴∠BOC=2∠A=120°∴B̂C=120π×6180=4π．故选B．连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD= 4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD∵∠A=45°∴∠AOC=45°∴AC=OC=4∵AC=BD=4，OC=OD=4∴OD=BD∴∠BOD=45°∴∠COD=180°−45°−45°=90°=2π∴CD⏜的长度为：90π×4180故选：B．7.【答案】D【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解答】解：过A作AD⊥BC于D∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC=2∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵AD⊥BC ∴BD=CD=1AD=√ 3BD=√ 3∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√ 3=√ 3S扇形BAC=60π×22360=23π∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√ 3=2π−2√ 3故选：D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算等边三角形的判定和性质旋转的性质正确的作出辅助线是解题的关键．连接OO′BO′根据旋转的性质得到∠OAO′=60°推出△OAO′是等边三角形得到∠AOO′=60°推出△OO′B是等边三角形得到∠AO′B=120°得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°在底角为30°的等腰△BB′O′中求得BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)即可求解．【解答】解：连接OO′BO′∵将半径为2圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°∴∠OAO′=60°∴△OAO′是等边三角形∴∠AOO′=60°OO′=OA∴点O′在⊙O上∵∠AOB=120°∴∠O′OB=60°∴△OO′B是等边三角形∴∠AO′B=120°∵∠AO′B′=120°∴∠B′O′B=120°∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°又BO′=O′B′=2在底角为30°的等腰△BB′O′中BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)=12×1×2√ 3−(60⋅π×22360−12×2×√ 3)=2√ 3−2π3．故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了扇形的面积直角等腰三角形的面积弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出16三叶花即一个小弓形的面积再算三叶花的面积．一个小弓形的面积=扇形面积−三角形的面积．【解答】解：如图弧OA是⊙M上满足条件的一段弧连接AM MO由题意知∠AMO=90∘AM=OM．∵AO=2∴AM=√ 2．S扇形AMO =14⋅π⋅MA2=12πS△AMO=12AM⋅MO=1∴S弓形AO =12π−1∴S三叶花=6×(12π−1)=3π−6．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线必连过切点的半径构造定理图得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．连接OP OB O′点为OB的中点如图先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2再利用垂径定理得到OP⊥AB则∠OPB=90°于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图根据切线的性质得到OB⊥BQ则利用勾股定理可计算出O′Q=√ 10利用点与圆的位置关系得到m=√ 10+1n=√ 10−1然后计算mn即可．【解答】解：连接OP OB O′点为OB的中点如图设⊙O的半径为r根据题意得120⋅π⋅r180=43π解得r=2∵P点为AB的中点∴OP⊥AB∴∠OPB=90°∴点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图∴BQ为切线∴OB⊥BQ 在Rt△O′BQ中O′Q=√ 12+32=√ 10∴QE=√ 10+1QF=√ 10−1即m=√ 10+1n=√ 10−1∴mn=(√ 10+1)(√ 10−1)=10−1=9．故选C．11.【答案】2π【解析】【分析】根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．本题考查了弧长的计算．此题属于基础题熟记弧长公式是解题的关键．【解答】解：∵扇形的半径为3圆心角为120°∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．故答案为：2π12.【答案】6π【解析】解：扇形的面积=60×π×62360=6π故答案为6π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr 2360．13.【答案】8π【解析】【分析】本题主要考查的是正多边形的计算弧长的计算掌握正多边形的内角的计算公式弧长公式是解题的关键属于基础题．解答此题首先求出正六边形的内角的度数然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：正六边形的一个内角的度数为：(6−2)×180°6=120°则所得到的三条弧的长度之和为：120π×4180×3=8π(cm)故答案为8π．14.【答案】12π−1【解析】解：如图连接OC．∵在扇形AOB中∠EOF=90°正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点∴∠COF=45°∴OC=√ 2CD=2∴OD=CD=√ 2∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积=45360×π×22−12×(√ 2)2=12π−1．故答案为：12π−1．连结OC根据勾股定理可求OC的长根据题意可得出阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积依此列式计算即可求解．本题考查了正方形的性质勾股定理等腰直角三角形的性质和判定扇形面积的计算解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．15.【答案】4−π【解析】解：如图连接AD．∵⊙A与BC相切于点D∴AD⊥BC．∵∠EPF=45°∴∠BAC=2∠EPF=90°．∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=12BC⋅AD−90π⋅AD2360=12×4×2−90π⋅22360=4−π．故答案是：4−π．图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形AEF.由圆周角定理推知∠BAC=90°．本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时采用了“分割法”．16.【答案】4π−16√ 33【解析】【分析】本题考查的是折叠的性质扇形的面积三角形的面积有关知识根据题意先求出扇形OAB的面积再减去2个△BOD的面积即可解答．【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°半径OA=4∴扇形OAB的面积为90×π×42360=4π连接OC∵扇形AOB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点C处∴OD=DC BC=BO∠OBD=∠DBC∵OB=OC∴OB=OC=BC∴△BOC是等边三角形∴OD=OB·tan∠OBD=4×√ 33=43√ 3∴SΔOBD=SΔCBD=12×OB×DO=12×43√ 3×4=83√ 3∴阴影部分的面积为4π−2×8√ 33=4π−16√ 33．故答案为4π−16√ 33．17.【答案】3√ 32−π3【解析】【分析】本题考查的是正多边形和圆扇形面积计算掌握正多边形的中心角内角的计算公式扇形面积公式是解题的关键．设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H根据正多边形的中心角公式求出∠DOE求出OH得到正六边形ABCDEF的面积求出∠A利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积结合图形计算即可．【解答】解：设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H∠DOE=360°6=60°∴OD=OE=DE=1∴OH=√ 3 2∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×√ 32×6=3√ 32∠A=(6−2)×180°6=120°∴扇形ABF的面积=120π×12360=π3∴图中阴影部分的面积=3√ 32−π3．故答案为3√ 32−π3．18.【答案】2π3【解析】【分析】本题主要考查的是旋转的性质扇形的面积公式勾股定理的应用将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到AB=2√ 2再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD．【解答】解：∵∠ACB=90°AC=BC=1∴AB=2√ 2∴S扇形ABD =30π(2√ 2)2360=2π3．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE ∴Rt△ADE≌Rt△ACB∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=2π3.故答案为2π3．19.【答案】解：(1)连接OC∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°由于ĈD=ĈE∴∠AOC=∠BOC ∴∠A=∠B∴OA=OB (2)由(1)可知：△OAB是等腰三角形∴BC=12AB=2√ 3∴sin∠COB=BCOB=√ 32∴∠COB=60°∴∠B=30°∴OC=12OB=2∴扇形OCE的面积为：60π×4360=2π3△OCB的面积为：12×2√ 3×2=2√ 3∴S阴影=2√ 3−23π【解析】(1)连接OC由切线的性质可知∠ACO=90°由于ĈD=ĈE所以∠AOC=∠BOC从而可证明∠A=∠B从而可知OA=OB；(2)由(1)可知：△AOB是等腰三角形所以AC=2√ 3从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积本题考查切线的性质解题的关键是求证OA=OB然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC 的长度从而可知扇形OCE与△OCB的面积本题属于中等题型．20.【答案】解：(1)MN是⊙O的切线．理由：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A∠BCM=2∠A∴∠BCM=∠BOC∵∠B=90°∴∠BOC+∠BCO=90°∴∠BCM+∠BCO=90°∴OC⊥MN又OC为⊙O的半径∴MN是⊙O的切线；(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°∴∠AOC=120°在Rt△BCO中OC=OA=4∠BCO=30°∴BO=12OC=2BC=2√ 3∴S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π·42 360−12×4×2√ 3=16π3−4√ 3．【解析】本题考查直线与圆的位置关系扇形面积三角形面积等知识解题的关键是记住切线的判定方法扇形的面积公式．(1)要证MN是⊙O切线只要证明∠OCM=90°即可；(2)求出∠AOC以及BC根据S阴=S扇形OAC−S△OAC计算即可．21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵OC//BD∴∠AEO=∠ADB=90°即OC⊥AD∴AE=ED；(2)解：由(1)知OC⊥AD∴AC⏜=CD⏜∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°∴AC⏜=72π×5=2π．180【解析】本题考查弧长的计算垂径定理以及圆周角定理．(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°再利用垂径定理证明即可；(2)由(1)知OC⊥AD则可求出∠AOC=72°根据弧长公式解答即可．22.【答案】(1)证明：连接OD．∵OD=OC∴∠C=∠ODC∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠B=∠ODC∴OD//AB∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠ODE=90°即DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．(2)解：连接AD∵AC是直径∴∠ADC=90°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°BD=CD∴∠OAD=60°∵OA=OD∴△AOD是等边三角形∴∠AOD=60°∵DE=√ 3∠B=30°∠BED=90°又∵∠C=30°∴AC=2AD ∴在Rt△ADC中4AD²−AD²=12∴AD=2又∵△AOD是等边三角形∴OD=AD=2∴AD⏜的长为：60π⋅2180=2π3．【解析】(1)连接OD只要证明OD⊥DE即可；(2)连接AD根据AC是直径得到∠ADC=90°利用AB=AC得到BD=CD解直角三角形求得BD 在Rt△ADC中解直角三角形求得AD根据题意证得△AOD是等边三角形即可得到OD=AD然后利用弧长公式求得即可．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线已知此线过圆上某点连接圆心与这点(即为半径)再证垂直即可．23.【答案】解：(1)如图连接CD OD∵BC是⊙O的直径∴∠CDB=90°即CD⊥AB又∵△ABC是等边三角形∴AD=BD∵BO=CO∴DO是△ABC的中位线∴OD//AC∵DF⊥AC∴DF⊥OD∴DF是⊙O的切线；(2)连接OE作OG⊥AC于点G∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°∴四边形OGFD是矩形∴FG=OD=4∵OC=OE=OD=OB且∠COE=∠B=60°∴△OBD和△OCE均为等边三角形∴∠BOD=∠COE=∠C=60°∴∠DOE=60°CE=OC=4∴EG=12CE=2DF=OG=OC·sin∠C=OC·sin60°=4×√ 32=2√ 3∴EF=FG−EG=2则阴影部分面积为S梯形EFDO−S扇形DOE=12×(2+4)×2√ 3−60⋅π⋅42360=6√ 3−8π3．【解析】【试题解析】本题主要考查了切线的判定与性质等边三角形的性质垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系一般要猜想是相切再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．(1)连接CD OD先利用等腰三角形的性质证AD=BD再证OD为△ABC的中位线得DO//AC根据DF⊥AC可得；(2)连接OE作OG⊥AC求出EF DF的长及∠DOE的度数根据阴影部分面积=S梯形EFDO−S扇形DOE计算可得．第21页，共21页。

2.7 弧长及扇形的面积苏科版数学九年级上册堂堂练(含答案)

2.7弧长及扇形的面积—2023-2024学年苏科版数学九年级上册堂堂练1.如图, 将边长为的正六边形铁丝变形为以点D为圆心, 3 为半径的扇形, 则的度数为( )A. B. C. D.2.如图，内接于，，若，则的度数为( )A.40°B.60°C.80°D.100°3.如图,在一块长为a,宽为2b的长方形铁皮中,以2b为直径分别剪掉两个半圆,若,时,则剩下的铁皮的面积为( )(取3)A.5B.7C.8D.124.如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若m，m，则阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5.若扇形面积为，圆心角为120°，则它的弧长为( )A. B. C. D.6.如图, 在矩形EDFG 中, 以DF为直径的半圆恰好与EG相切于点C, 将点C绕点F逆时针旋转, 其旋转路径与DF 交于点B. 若, 则图中阴影部分的面积为________.7.如图,中,,,以点C为圆心,CA长为半径画弧交BC于点D.则图中弧AD的长为__________(结果保留).8.如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的切线,切点为A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点.（1）试判断直线DE与圆O的位置关系,并说明理由;（2）若圆O的半径为2,,,求图中阴影部分的面积.答案以及解析1.答案：B解析：设扇形的圆心角为, 则, 解得，.2.答案：C解析：，，，，的度数为80°，故选：C.3.答案：A解析:根据题意,得:剩下的铁皮的面积=长方形的面积-圆的面积故选:A.4.答案：D解析：.故选：D.5.答案：C解析：设扇形的半径为.由题意：，解得，扇形的弧长，故选：C.6.答案：解析：由题意可得, 点C 为EG的中点. 如图, 设边DF的中点为O, 连接CO,CF, 则四边形COFG为正方形, ，,则，故7.答案：;解析:中,,,,,弧AD的长为:;故答案为:.8.答案：（1）见解析（2）解析:（1）直线DE与圆O相切,理由如下:连接OE,OD,如图,AC是圆O的切线,,,点E是AC的中点,O点为AB的中点,,,,,,,在和中,,,,OD为圆O的半径,DE为圆O的切线;（2）DE,AE是圆O的切线,,点E是AC的中点,,,图中阴影部分的面积.。

专题12 弧长和扇形面积(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法

专题12 弧长和扇形面积1.与弧长相关的计算扇形的弧长l=π180n r；注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.2.与扇形面积相关的计算（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.（2）扇形的面积S=2π360n r=12lr．扇形的面积与圆心角、半径有关.3.弓形的面积公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形概念规律重在理解典例解析掌握方法【例题1】（2021甘肃威武定西平凉）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．【答案】2π．【解析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．连接AC,∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．【例题2】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)【答案】管道的展直长度为2970mm．【解析】由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.【例题3】如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）【答案】见解析．【解析】∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为【例题4】如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.【答案】见解析．【解析】 ()22=24010.60.30.6336020.240.0930.91cm .OABS S ππ+=⨯+⨯⨯=+≈△弓形扇形S一、选择题1．（2021贵州毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O ，点C ，D 分别在OA ，OB 上．已知消防车道半径OC ＝12m ，消防车道宽AC ＝4m ，∠AOB ＝120°，则弯道外边缘的长为（）A ．8πmB ．4πmC ．πmD ．πm【答案】C各种题型强化训练【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为：＝（m）．2．（2021成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【解析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π．3．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣D．【答案】A【解析】∵⊙O的直径AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，连接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．+D．【答案】C【解析】连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S＝＝π，扇形AOE∴S＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）阴影＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4【答案】A【解析】连接OC，如图所示：∵在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，＝， ∴∠COD ＝45°，∴OD ＝CD ，∴OC ＝＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣△ODC 的面积＝﹣×（2）2＝2π﹣4．6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π【答案】B 【解析】先证明COD △是等边三角形，求解,OC OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．如图，连接CD ，,60,OC OD COD =∠=︒ COD ∴是等边三角形，4,CD = 4,OC OD ∴==12,AC BD == 16,OA OB ∴==所以则图中摆盘的面积 222601660440.360360AOB CODS S cm πππ⨯⨯-=-=扇形扇形．二、填空题 1．（2021湖北荆门）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，那么图中阴影部分的面积为．【答案】2﹣．【解析】连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，根据等边三角形的性质得到∠PBC ＝60°，解直角三角形求出BF 、PF ，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．解：连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，∵PB ＝PC ＝BC ， ∴△PBC 为等边三角形， ∴∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°，∴BF ＝PB •cos60°＝PB ＝1，PF ＝PB •sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP 的面积﹣（扇形BPC 的面积﹣△BPC 的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．2．（2021湖北宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）【答案】（2π﹣2）．【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2.3．（2021湖南怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】π﹣．【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．4．（2021四川凉山）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．【答案】。

苏科版九年级数学上册弧长及扇形的面积课件

如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交AC与B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
例2 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线.C为切点，设AB的长为d，圆环面积为S，则S与d之间有怎样的数关系？
O.
AC B
例3 如图，正三角形ABC的边长为a，分
s n r 2 nr r 1 lr
360
180 2 2
扇形的弧长与扇形面积的关系为：
S扇形
1 2
பைடு நூலகம்
lR
R
l
练习
①已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为 60°，它的弧长为＿＿＿＿ . ②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为＿＿. ③已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形的面积为＿＿ .
2.7 弧长及扇形的面积
问题1.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
10的圆心角所对的弧长是圆周长的3160
n0的圆心角所对的弧长是圆周长的多少? n0的圆心角所对的弧长是圆周长的3n60
如果用字母 L 表示弧长，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：
n
L＝ 360 C圆
3、如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙CD 、⊙D两两C不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________． (09黄冈）
小结
S扇形
nR 2

数学：5.8《弧长及扇形的面积》同步练习(苏科版九年级上)

数学：5.8《弧长及扇形的面积》同步练习（苏科版九年级上）一、填空题1．整个圆可看作_______度的圆弧，而它的长度即圆周长C＝_______，所以1°的圆心角所对的弧长是______，所以，半径为尺的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝______．2．扇形是由一条弧和经过这条弧的端点的两条______所组成的图形，所以扇形的周长等于_______与______的长之和．3．圆的面积公式为S圆＝_______；扇形为圆的一部分，若圆心角等于1°，则扇形的面积为_______．圆心角为n°的扇形面积为S扇＝_______，或S扇＝______．4．已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是_______，扇形的弧长是_______cm(结果保留π)．5．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对的弧等于 .6．如图所示，△ABC为正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中CD、DE、EF的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是_______．7．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则直线CD与⊙O的位置关系是______，阴影部分面积为 (结果保留π)______．第6题第7题第8题第9题第10题8．如图，扇形AOB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形AOB 的面积与OP的面积比是______．9．如图所示，当半径为30 cm的转动轮转过120°角时，传送带上物体A平移的距离为_______cm．10．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为___________.二、选择题11．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 ( )A．6π B．4π C．2π D．π12．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( )A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π13．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为 ( )A ．πB ．1C ．2 D．23π 14．如图，五个圆的位置关系相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形的面积和为( )A ．πB ．1.5πC ．2πD ．2.5π第14题第15题第16题第17题15．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的EF 上，若OA ＝1，∠1＝∠2，则扇形EOF 的面积为( )A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π 16．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且AC 的长为半圆的13，设扇形AOC 、三角形COB 、弓形BMC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是 ( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3 <S 1D ．S 3<S 2<S 117．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．64127π-B ．16－32πC ．64247π-D ．16127π-第18题第19题第20题18．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针方向旋转60°，此时点B 到了点B'，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π剪去19．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为(3)a a ≥的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.2a π-B. 2(4)a π-C. πD. 4π-20．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53cm 三、解答题21．如图，已知正方形的边长为2 cm ，以对角的两个顶点为圆心，2 cm 长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为______cm(结果保留π)．第21题第22题 22．如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，以点A 为圆心，AB 为半径画弧，交AC于点D ．则阴影部分的面积是______．23．圆心角都是90°的扇形AOB 与扇形COD 如图所示那样叠放在一起，连接AC ，BD ．(1)求证：△AOC ≌△BOD ；(2)若AO ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，求阴影部分的面积．24．在平行四边形ABCD 中，AB =10，∠ABC =60°，以AB 为直径作⊙O ，边CD 切⊙O 于点E ．（1）圆心O 到CD 的距离是______；（2）求由弧AE 、线段AD 、DE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）参考答案1．360 2πR 180R π 180n R π 2．半径弧长两条半径 3．πR 2 2360R π 2360n R π 12l R 4．120° 27π 5．2π 6．4π 7．相切 6－π 8．3224+ 9． 20π 10．80160π-11．B 12．B 13．C 14．B 15．C 16．B 17．D 18．A 19．D 21．2π22．326π- 23．(1)略 (2)2π(cm 2)．24．(1)圆心⊙到CD 的距离是5．(2)25+2563-254π。

27弧长与扇形的面积(解析版)-2021-2022学年九年级上册数学卷(苏科版)

第2章对称图形－圆（2.7弧长与扇形的面积)一、选择题（每题3分，共24分）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在O 上．若55,6OCA AB ∠=︒=，则BC 的长为（）A ．113πB ．116πC ．114πD ．11π【解析】解：∵∠OCA =55°，OA =OC ，∴∠A =55°，∴∠BOC =2∠A =110°，∵AB =6，∴BO =3，∴BC 的长为：1103180π⨯=116π，故选B ．2．如图，ABC 中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =，点P 从C 点出发，沿CB 运动到点B 停止，过点B 作射线AP 的垂线，垂足为Q ，点Q 运动的路径长为（）A ．3B ．C ．3D ．2π3【解析】解：取AB 中点O ，连接CO 、OP ，∵Rt ABQ 和Rt ABC △中，122OQ OB OA OC AB =====， ∴Q 在以O 为圆心，AB 为直径的圆上，运动路径为BC ，30ACO OAC ∠=∠=︒， ∴60COB ∠=︒，∴点Q 运动路径长为60π22π1803⋅=．故选：D ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =2BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．8π-B ．4π-C ．24π- D ．14π- 【解析】∵90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =90°，∵AB =2BC =，∴AC ，∴S 阴影=S △ABC -S 扇形BEF -S 扇形ACD =12BC·AC -290360AC π⋅⋅ =12×1×2-90360π=1-4π，故选：D ．4．如图ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，OD ⊥BC 于点D ，若OD ＝3，则BC 的弧长为（）A ．4πB ．103π C ．2π D ．π【解析】解：连接OB ，OC ，∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝2∠A ＝120°．∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠COD ＝12∠BOC ＝60°，∴∠OCD ＝30°，∵OD ＝3，∴OC ＝2DO ＝6，∴BC 的长为1206180π⋅⨯＝4π．故选：A ．5．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A '，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（）A ．B ．6C ．43πD ．83π 【解析】解：由图可知：AC =A’C =4，BC =2，连接AA ’，∵A ’B 是AC 的垂直平分线，∴AA ’＝CA ’∴△AA ’C 是等边三角形∴'30,'60BA C BCA ，线段CA 扫过的图形为扇形，此扇形的半径为4CA =， ∴2'608=4=3603ACA S 扇形，故选：D ．6．如图，ABCD 中，110A ∠=︒，2AD =，以AD 为直径的O 交DC 于点E ，则AE 的长为（）A ．19πB ．718πC ．79πD ．29π 【解析】连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，110A ∠=︒，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠AOE ＝2∠D＝140°，∴AE 的长=140171809ππ︒⨯=︒. 故选:C ．7．如图，一张扇形纸片OAB ，∠AOB ＝120°，OA ＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（）A ．B ．12π-C ．D ．6π-【解析】连接AD 、DO ，由折叠可知，AD OD S S =弓形弓形，DA DO =，∵OA OD =，∴AD OD OA ==，∴AOD △是等边三角形，∴60AOD ∠=︒，30DOB ∠=︒，∵6AD OD OA ===， ∴CD =∴26061663602ADOAD ADO S S S ππ=-=-⨯⨯=-△弓形扇形∴6OD S π=-弓形，∴阴影部分的面积=(26066360ODBDO S S ππ-=--=弓形扇形；故答案选A ．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，以点A 为圆心、AC 的长为半径作CE 交AB 于点E ，以点B 为圆心、BC 的长为半径作CD 交AB 于点D ，则阴影部分的面积为（）A ．π一2B ．2π﹣4C ．4π﹣8D ．2π﹣【解析】解：∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴S △ABC =12×4×4=8， S 扇形BCD 24542360ππ⨯==， S 空白=2×(8-2π)=16-4π，S 阴影=S △ABC -S 空白=8-16+4π=4π-8，故选：C ．二、填空题（每题3分，共24分）9．如图，在33⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 、O 是格点，则图中扇形OAB 中阴影部分的面积是___．【解析】解:在△ACO 和△ODB 中，AC OD ACO ODB CO DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACO ≌△ODB （SAS ），∴∠CAO ＝∠BOD ，∵∠ACO ＝90°，∴∠CAO +∠AOC ＝90°，∴∠BOD +∠AOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，由勾股定理得，OA ＝OB∴扇形OAB﹣1254π﹣52，故答案为：5542π-．10．扇形的半径为5，圆心角等于120︒，则扇形的面积等于______．【解析】解：S 扇形21205253603ππ⨯==．故答案为：253π． 11．如图，以ABC 各个顶点为圆心，6cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）【解析】∵三角形的内角和为180︒，又∵半径为6cm ，()22180618360cm ππ⋅⋅∴=，故答案为：218cm π．12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________．【解析】扇形的弧长为12010180π︒⨯⨯︒=203π 故答案为：203π． 13．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为225cm 3π，则它的圆心角为________________．【解析】根据题意可知该扇形的半径为5cm ， ∴由扇形的面积公式可知，22553360n ππ⨯=，解得：120n =︒．故答案为：120︒．14．如图，已知在扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，半径8OA OB ==．P 为弧AB 上的动点，过点P 作PM OA ⊥于点M ，PN OB ⊥于点N ，点M ，N 分别在半径,OA OB 上，连接MN ．点D 是PMN 的外心，则点D 运动的路径长为________．【解析】如图：连接,,,OD DP DM DN,PM OA PN OB ⊥⊥90,90PMO PNO ∴∠=︒∠=︒点D 是PMN 的外心∴,DM DP DP DN ==,PMD MPD PND NPD ∴∠=∠∠=∠90PMD DMO PMO ∠+∠=∠=︒90PND DNO PNO ∠+∠=∠=︒90POM MPO ∠+∠=︒90PON OPN ∠+∠=︒,DMO MOP PON DNO ∴∠=∠∠=∠,MD DO DO DN ==DM DN DO DP ∴===P O M N ∴、、、四点共圆90,90PMO PNO ∠=︒∠=︒∴OP 为圆的直径8OA =, ∴11=422OD OP OA == 120AOB ∠=︒设点D 运动的路径长为l ，∴ 120441801803n l r πππ==⨯= 故答案为：43π． 15．如图，已知半圆O 的直径6AB =，将半圆O 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半圆O 交于点C ，若弧BC 的长为32π，则图中阴影部分的面积是_________．【解析】解：连接OC ，设∠BOC =n °，∵弧BC 的长为32π，半圆O 的直径6AB =， ∴331802n ππ⨯=，解得：n =90，即∠BOC =90°， ∴∠BAC =45°，∴根据旋转的性质得=O O BOB S S S S '+-阴影半圆半圆扇形= BOB S '扇形= 2456360π⨯=92π，故答案为：92π．16．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝4，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为__．（结果保留π）【解析】解：连接OE 交BD 于F ，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，OA ＝OD ＝4，CD ＝4，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝4，∠DOE ＝∠BEO ＝90°，在△ODF 和△EBF 中，90DOF BEF OFD EFB DO BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ， ∴阴影部分的面积2904===4360EOD S ππ⨯扇形，故答案为：4π．三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，在平面直角坐标系中，点P (3，4)，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得线段OP 1．(1)在图中作出线段OP 1，并写出P 1点的坐标；(2)求点P 在旋转过程中所绕过的路径长；(3)求线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积．【解析】解：（1）如图所示，线段OP 1即为所求，P 1点的坐标为（﹣4，3）；（2）点P 在旋转过程中所绕过的路径长为：90551802ππ⨯⨯=；（3）线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积为：2905253604ππ⨯⨯=． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是边AC 上的点，以OC 为半径的圆分别交边BC 、AC 于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝1，∠A ＝45°，求劣弧DE 的长．【解析】证明：如图，连结OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．19．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O 的半径为2，求阴影部分面积．【解析】解：（1）连接OE ．∵OA＝OE ，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵∠C＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE＝OE ＝2，∠COE＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝12⨯2×2﹣2452360π⨯＝2﹣2π． 20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO ∆的三个顶点分别为()()1,3,4,3,A B O --()0,0．（1）画出ABO ∆关于x 轴对称的11A BO ∆，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABO ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22B O ∆A ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留π）．【解析】解：（1）如图所示：∴由图象可得()14,3B --；（2）如图所示：∴由图象可得()23,4B ；（3）由（2）的图象可得：点B 旋转到点2B 所经过的路径为圆弧，∵5OB =，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90551801802n r l πππ⨯===．21．如图，AB 是O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，交OB 于点E ，CD =（1）求BD 的长．（2）求劣弧AC 的弧长．【解析】解：（1）设圆O 的半径为r ，∵CD 垂直平分OB ，∴CE =DE =OE =BE =12r ，∠OEC =∠BED =90°，∴△OEC ≌△BED （SAS ），∴BD =OC =r ，在△OCE 中，222OE CE OC +=，即(22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：r =8或-8（舍），∴BD =OC =8；（2）∵cos∠COE =12OE OC =，∴∠COB =60°，∴∠AOC =120°，∴劣弧AC =8120180π⨯⨯=163π．22．如图，已知等边ABC 的边长为6，以AB 为直径的O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，连结OD ，OE ．（1）求DOE ∠的度数．（2）求劣弧DE 的长．【解析】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴=60A B C ∠=∠=∠︒，∵6AB =，∴3OA OB OE OD ====，∴△AOD 、△OBE 都为等边三角形，∴=60AOD EOB ∠=∠︒，∴=60DOE ∠︒；（2）由（1）及弧长计算公式可得：603180180n r l πππ⨯===． 23．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）若BD ＝8，求线段AC 的长度；（2）求证：EC 是⊙O 的切线；（3）当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积．【解析】解：（1）如图，连接BC ，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∵AB＝4，BD ＝8，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AD，∴BC＝AB BDAD ⋅5，（2）连接OC ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC 中，∵BE＝ED ，∴DE＝EC ＝BE ，∵OC＝OB ，OE ＝OE ，∴△OCE≌△OBE（SSS ），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC 为半径，∴EC 是⊙O 的切线；（3）∵OA＝OB ，BE ＝DE ，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BE＝∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×12∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝21202360π⋅⨯＝43π．24．如图，在ABC 中，AC BC BD ==，点O 在AC 边上，OC 为O 的半径，AB 是O 的切线，切点为点D ，2OC =，OA =（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求阴影部分的面积．【解析】如图，连接OD ，∵AB 是O 的切线，切点为点D ，∴∠ODB =90°，在△OBC 和△OBD 中BC BDOC ODOB OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OBD ，∴∠OCB =∠ODB =90°，∵OC 为O 的半径，∴BC 是O 的切线．（2）∵∠OCB =90°，AC BC =，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠AOD =45°，∴∠COD =135°，∵△OBC ≌△OBD ，∴S △OBC =S △OBD ，∵2OC =，OA =∴2BC AC OC OA ==+=+∴S 阴影=2S △OBC -S 扇形COD =2×12OC ·BC -2135360OC π⋅=342π+． 25．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、D 三个点在⊙O 上，CD 与⊙O 交于点F ，连结BO 并延长交边AD 于点E ，点E 恰好是AD 的中点．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若175AE BAD =∠=︒，，①求BE 的长．②求阴影部分的面积．【解析】（1）由题意，根据垂径定理BE AD ⊥， ∵四边形ABCD 平行四边形，∴//AD BC ，∴BE BC ⊥，∵OB 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AO ，∵//AD BC ，75BAD ∠=︒，∴105ABC ∠=︒，∵90OBC ∠=︒，∴1059015ABO ∠=︒-︒=︒，∵OA OB =，∴15BAO ABO ∠=∠=︒，∴751560OAE ∠=︒-︒=︒，∴在Rt AOE 中，30AOE ∠=︒，∴22AO AE ==，OE == ∴2BO AO ==，∴2BE BO OE =+=∴2BE =②如图，连接OD ，OF ，BF ，由题意，105ADC ∠=︒，由①可知，60ODE ∠=︒，30DOE ∠=︒， ∴45ODF ∠=︒，∵OD OF =，∴45ODF OFD ∠=∠=︒，∴90DOF ∠=︒,ODF △为等腰直角三角形， ∴60BOF ∠=︒，∴DOE DOF BCDE BOF S S S S S =---阴影梯形扇形，由①可知，1ED AE ==，2BC AD ==，∴()()(11·122322BCDE S ED BC BE =+=⨯+⨯=梯形，11122DOE S ED OE ==⨯=△， 1122222DOF S DO OF ==⨯⨯=△， 260223603BOF S ππ⨯==扇形，∴2232133S ππ=--=+阴影，∴阴影部分的面积213S π=+．。

苏教版九年级数学上册第二章 2.7 弧长及扇形的面积练习题(含答案解析)

第二章 2.7 弧长及扇形的面积一．选择题（共13小题）1．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π2．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2 3．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣4．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π5．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π6．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π7．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π8．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π9．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π10．（2018•兴安盟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣πB．π﹣9C．π﹣9D．π﹣1811．（2018•安丘市）如图，在直角坐标系中，圆经过点O，与X轴，y轴分别交于A，B两点，且A（0，2），B（2，0），则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．C．D．12．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+13．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．二．填空题（共11小题）14．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．15．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．16．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．17．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．18．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）19．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．20．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为．21．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．22．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．23．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）24．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共10小题）25．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．26．如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．（1）求证：AD＝2OE；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．28．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．29．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．30．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝，S5＝，S6＝+，S＝S1+S6＝S1+S2+S3＝．阴影31．如图，⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是；（2）求线段DE的长．32．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．33．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．34．如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：（1）弧BE的长度；（2）图中阴影部分的面积．答案与解析一．选择题（共13小题）1．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π【分析】根据中心对称的性质得到CC1＝2AC＝2×AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，∴CC1＝2AC＝2×AB＝2，∴线段CD扫过的面积＝×（）2•π﹣×π＝，故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．2．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，推出△ACB是等腰直角三角形，得到CD＝BD，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵BC是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×22＝2，故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．【点评】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫过的图形面积是圆的面积与矩形的面积和是解题的关键．5．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线，∵＝，∴AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，∵∠ACB＝75°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S ﹣S△BOC是解题的关键．扇形BOC6．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．7．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．8．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．9．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．10．（2018•兴安盟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣πB．π﹣9C．π﹣9D．π﹣18【分析】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图，连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝6，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝﹣×（3）2＝π﹣9．故选：C．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．11．（2018•安丘市）如图，在直角坐标系中，圆经过点O，与X轴，y轴分别交于A，B两点，且A（0，2），B（2，0），则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．C．D．【分析】找到圆心，根据垂径定理求出半径，然后计算扇形面积，再减去等腰三角形的面积，即得阴影面积．【解答】解：确定圆心P，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，连接PO，PB根据垂径定理，可知点C、D分别为OA、OB的中点由题意知A（0，2），B（2，0），于是有OD＝，PD＝1∴PO＝PB＝2，且∠POB＝∠PBO＝30°∴∠OPB＝120°于是S阴影＝S扇形POB﹣S△POB即：S阴影＝﹣×2×1＝﹣故选：B．【点评】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据垂径定理求出圆的半径，再用公式求出阴影部分的面积．12．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴EO＝2OC，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（﹣）＝4π﹣π﹣+2＝+2故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S＝．13．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．二．填空题（共11小题）14．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．15．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC 是解题的关键．17．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+﹣．【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC ＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案为：+﹣．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为+π．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．故答案为6π．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．22．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是8﹣8．【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．【解答】解：连接AE，∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，∴sin∠AED＝，∴∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，∴AD＝DE＝2，∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．24．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为+．【分析】连接BE、EF，根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠ABE，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接BE、EF，由题意得．BE＝BC＝2，由勾股定理得，AE＝＝1，sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠CBE＝60°，则图中阴影部分的面积＝扇形EBC的面积+△ABE的面积﹣扇形EAF的面积＝+×1×﹣＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．三．解答题（共10小题）25．（2017•贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE ⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，根据圆周角定理得到∠CAB＝30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD＝60°，推出△AOD是等边三角形，OA＝2，得到DE＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°；（2）由（1）知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝π﹣．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（2019•台江区模拟）如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．（1）求证：AD＝2OE；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．【分析】（1）证明：连接AC，因为AB⊥CD，所以，AC＝BD，又OE⊥BC，则E为BC的中点，OE＝AC，OE＝AD，即AD＝2OE；（2）S半圆＝π•OB2＝＝2π，S△ABC＝AC•BC＝＝2，S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝2π﹣2．【解答】解：（1）证明：连接AC，∵AB⊥CD，∴，∴AC＝BD，∵OE⊥BC，∴E为BC的中点，∵O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝AC，∴OE＝AD，即AD＝2OE；（2）S半圆＝π•OB2＝＝2π，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝AB＝，BC＝，S△ABC＝AC•BC＝＝2，∵AB⊥CD，∴拱形AD的面积＝弓形AC的面积，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝2π﹣2．【点评】本题是圆的综合题，熟练运用垂径定理、特殊直角三角形的性质以及扇形面积公式是解题的关键．27．（2019•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．【分析】（1）欲证明BD＝CE，只要证明＝即可．（2）求出∠DOE，利用扇形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠CDB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝【点评】本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．（2019•南浔区一模）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，根据平行线的性质得到＝，等量代换证明结论；（2）连接OE，作OH⊥AE于H，根据余弦的定义求出∠OAH，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝，∵AE∥CD，∴＝，∴＝；（2）解：连接OE，作OH⊥AE于H，则AH＝HE＝AE＝3，cos∠OAH＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，∴∠AOE＝120°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．29．（2019•资中县一模）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；（2）∵AB＝2，∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．30．（2019•北京模拟）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝，S6＝S4+S5，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．（2018•兰山区二模）如图，⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是9π+18；（2）求线段DE的长．【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题目中的数据和图形，即可求得阴影部分的面积；（2）根据题意和图形，利用平行线的性质和特殊角的三角函数可以求得DE的长．【解答】解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝6，∴由AB，BD，围成的阴影部分的面积是：＝9π+18，故答案为：9π+18；（2）作AF⊥DE于点F，则AF＝OD＝6，∵AB∥DE，∠OAB＝45°，∴∠ADF＝∠OAB＝45°，∴DF＝AF＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，∴∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB＝60°，∵AF＝6，∠AFE＝90°，∴EF＝，∴DE＝EF+DF＝2+6．【点评】本题考查扇形的面积、勾股定理、垂径定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．32．（2018秋•兴业县期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b 厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．【分析】根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接CF，则阴影部分的面积＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．【点评】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．33．（2018秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD ＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）证明△ADE≌△BDC（SAS），推出∠ADE＝∠BDC，推出＝即可解决问题．（2）证明S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．【点评】本题考查扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．34．（2018秋•嘉定区期末）如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：（1）弧BE的长度；（2）图中阴影部分的面积．【分析】（1）求出AB即可解决问题．（2）S＝S扇形BCF﹣S△EDF﹣（S长方形ABCD﹣S扇形ABE）计算即可．【解答】解：（1）由题意AB＝28÷2×＝6，BC＝28÷2×＝8，∴＝＝3π．（2）S＝S扇形BCF﹣S△EDF﹣（S长方形ABCD﹣S扇形ABE）＝S扇形BCF+S扇形ABE﹣S△EDF﹣S长方形ABCD＝+﹣×2×2﹣6×8＝25π﹣50【点评】本题考查矩形的性质，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31。

苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形的面积(含解析)

2.7弧长及扇形的面积一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•建湖县期中）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（）A．6πB．7πC．πD．π2．（2019秋•常州期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2D．（3π+16）cm2 3．（2019秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2A．6πB．6πC．πD．6π4．（2019秋•东海县期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9C．3πD．6π5．（2019秋•建湖县期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（）A．πB．π﹣5C．2π﹣5D．3π﹣2 6．（2020春•东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2019秋•崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是．8．（2019秋•惠山区校级期中）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为．9．（2019秋•惠山区校级期中）如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为．10．（2019秋•秦淮区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．11．（2019春•兴化市期中）如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为 cm2．12．（2019秋•江都区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是．13．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是（结果保留π）．14．（2019秋•淮安区期中）如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2019秋•大丰区期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60°．（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；（2）求图中阴影部分的面积．16．（2019秋•相城区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°．（1）求∠CEB的度数；（2）若AD＝2，求扇形AOC的面积．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．18．（2019秋•东台市期中）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．19．（2019秋•灌云县期中）如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．20．（2020•通州区一模）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•建湖县期中）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（）A．6πB．7πC．πD．π【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠OAB＝70°，根据平行线的性质得到∠OBC＝∠AOB＝40°，根据弧长公式即可得到结论．【解析】连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝70°，∴∠AOB＝40°，∵OA∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝40°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝100°，∴∠AOC＝100°+40°＝140°，∴劣弧AC的长7π，故选：B．2．（2019秋•常州期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2D．（3π+16）cm2【分析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积＝三角形的面积﹣（正方形的面积﹣扇形的面积），依面积公式计算即可．【解析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形．则S△CEF＝（8+4）×4÷2＝24cm2，S正方形ADEF＝4×4＝16cm2，S扇形ADF4πcm2，∴阴影部分的面积＝24﹣（16﹣4π）＝8+4π（cm2）．故选：A．3．（2019秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2A．6πB．6πC．πD．6π【分析】根据阴影的面积＝△ABC的面积﹣两个扇形的面积和扇形的面积公式计算即可．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，设∠A＝α，∠B＝β，则α+β＝90°，∵∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC5cm，∴阴影的面积为3×4（6π）cm2．故选：B．4．（2019秋•东海县期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9C．3πD．6π【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解析】该莱洛三角形的周长＝33π．故选：C．5．（2019秋•建湖县期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（）A．πB．π﹣5C．2π﹣5D．3π﹣2【分析】连接AM，MH，MR．首先证明△AMH是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题．【解析】连接AM，MH，MR．∵AM＝MH＝2，AH＝2，∴AM2+MH2＝AH2，∴∠AMH＝90°，∴△AMH是等腰直角三角形，∴RH AH，∵∠MPH＝90°，∴MH是圆的直径，∴∠MRH＝90°，∴MR⊥AH，∴∠RMH＝∠RMA＝45°，∴弧RH所对的圆心角为90°，半径，∴图中阴影部分面积π，故选：A．6．（2020春•东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm2【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．【解析】∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴S阴影部分2π（m2），∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2019秋•崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是　2π　．【分析】利用弧长公式计算即可．【解析】60°圆心角所对的弧长2π，故答案为2π．8．（2019秋•惠山区校级期中）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为　π　．【分析】代入弧长公式计算，得到答案．【解析】该弧的长度π，故答案为：π．9．（2019秋•惠山区校级期中）如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为　4π﹣8　．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，根据扇形面积公式计算即可．【解析】由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积4×4＝4π﹣8，故答案为：4π﹣8．10．（2019秋•秦淮区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：．故答案为11．（2019春•兴化市期中）如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为　15　cm2．【分析】根据平移的性质得到图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积，根据矩形的面积公式计算即可．【解析】由平移的性质可知，图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积＝3×5＝15（cm2）故答案为：15．12．（2019秋•江都区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是　2　．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，根据扇形的面积的面积公式求得三个扇形的面积，于是得到阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣三个扇形的面积．【解析】∵∠C＝90°，CA＝CB＝2，∴∠A＝∠B＝45°，∴三条弧所组成的三个扇形的面积为，△ABC的面积为，∴阴影部分的面积＝2，故答案为：2．13．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是　8﹣2　（结果保留π）．【分析】连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，即可得到结论．【解析】连接AE，在Rt三角形ADE中，AE＝4，AD＝2，∴∠DEA＝30°，DE＝2，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∴S阴影＝S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE＝4×22×28﹣2．故答案为：8﹣2．14．（2019秋•淮安区期中）如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积　π　．【分析】图中阴影部分的面积等于扇形BAC的面积减去扇形BEF的面积即可．【解析】∵△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，∴△BAE≌△BFC∴阴影部分的面积＝S扇形BAC﹣S扇形BEF，故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2019秋•大丰区期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60°．（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝AB，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC＝60°，再求出答案即可；（2）求出△ABM≌△DBN，根据阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴∠ADB＝∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠EBF＝ABD＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，即∠DBF＝∠ABE；（2）解：过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，∴DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，BC＝AB＝6，∴∠ADC＝120°，∴∠QBC＝30°，∴CQ BC＝3，BQ CQ＝3，∵∠A＝60°，∠CDB＝120°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵AB＝BD，∴在△ABM和△DBN中∴△ABM≌△DBN（ASA），∴S△ABM＝S△DBN，∴阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC6π﹣9．16．（2019秋•相城区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°．（1）求∠CEB的度数；（2）若AD＝2，求扇形AOC的面积．【分析】（1）连接BC，根据直径所对的角等于90°，求出∠BAC，再根据外角的性质得出∠CEB的度数；（2）连接BD，OC，根据圆周角定理得到∠AOC的度数，然后根据解直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】连接BC．∴∠ADC＝∠B，∵∠ADC＝50°，∴∠B＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°，∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，∴∠CEB＝60°+40°＝100°；（2）连接BD，OC，则∠AOC＝2∠ADC＝100°，∵∠BAD＝∠BCD＝30°，∠ADB＝90°，AD＝2，∴AB＝4，∴AO＝2，∴扇形AOC的面积．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）证明△OAB是等边三角形即可．（2）根据S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB计算即可．【解析】（1）∵∠AOB＝2∠APB，∠APB＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4．（2）S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB42π﹣4．18．（2019秋•东台市期中）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD＝∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD＝∠BOD，所以AD＝BD，∠ABD＝∠BAD＝45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解析】（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC中，∵cos∠BAC，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，∴的长π．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，在Rt△ABD中，BD＝AB×sin45°＝105．19．（2019秋•灌云县期中）如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．【解析】连接OC、OD、CD．∵△COD和△CDA等底等高，∴S△COD＝S△ACD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形CODπ．20．（2020•通州区一模）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；（2）先计算出∠AOB＝60°，OB AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵O与边AB相切，且切点恰为点B．∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，∵∠AOB＝2∠C，∴∠A+2∠C＝90°；（2）解：在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，OB AB＝2，作OH⊥BC于H，则BH＝CH，∵∠C∠AOB＝30°，∴OH OC，CH OH＝3，∴BC＝2CH＝6，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD6＝32π．。

九年级数学上册《第二章-弧长及扇形面积》单元测试卷带答案-苏科版

九年级数学上册《第二章弧长及扇形面积》单元测试卷带答案-苏科版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在⊙O中，AO＝3，∠C＝60°，则劣弧的长度为（）A．6πB．9πC．2πD．3π2．如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为10cm，经过20分钟，分针针尖转过的弧长是（）A．B．C．D．3．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（）A．2πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．15πcm24．如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O，则弧AB长为（）A．B．C．2πD．4π5．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14πB．7πC．D．2π6．如图，扇形OAB的半径为6cm，AC切于点A交OB的延长线于点C，若的长为3cm，AC＝4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．4cm2D．3cm27.小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其形状是扇形的一部分，图2是其平面示意图，AD和BC 都是半径的一部分，小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传版面的周长为（）A．（π+2）m B．（π+2）mC．（）m D．（）m8．如图，半径为6的⊙O中，＝，∠C＝70°，则劣弧BC的长为（）A．πB．πC．πD．4π9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且弧AC的长是弧BC长的2倍，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，则∠CBD的度数为（）A．90o B．95o C．100o D．105o10．如图，△ABC中，AB＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π11．如图，⊙O，⊙O1都经过A、B两点，且点O在⊙O1上，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC交⊙O1于点D，连接AD，AD⊥BO，若AB＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC 的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣D．﹣213．如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．2﹣214．如图，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，将沿BC翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接AC，若AB ＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，C是OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，以OC为半径作交OB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．C．D．16．如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，且∠AOD＝60°，则阴影部分面积为（）A．B．C．D．17．如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△A′BC′．则线段AC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A．B．πC．D．19．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示，若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（）﹣B．﹣C．+D．A．20．如图，⊙O的半径为6，直径AB垂直平分圆内的线段CD，∠CAO＝30°，OC＝3，以点O为圆心OC 为半径画扇形，则以下说法正确的是（）A．∠COD是120°B．线段AD的长为6+C．的长是5πD．阴影部分的面积是7.5π参考答案1．【答案】解：由题意可得：∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120°∴劣弧的长度为＝2π．故选：C．2．【答案】解：l＝＝＝π（cm）．故选：B．3．【答案】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC∴∠AEB＝30°∴∠CBE＝∠AEB＝30°∴S扇形EBC＝＝12π（cm2）故选：C．4．【答案】解：作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C∴∠ODA＝90°∵将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过圆心O∴OA＝OC＝OB＝8，OD＝OA∴∠OAD＝30°∴∠AOD＝60°∴∠AOB＝120°∴弧AB长为：＝故选：B．5．【答案】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π故选：B．6．【答案】解：∵AC切弧AB于点A∴CA⊥OA∴S△AOC＝×6×4＝12（cm）∵S扇形AOB＝×6×3＝9（cm2）∴阴影部分面积为12﹣9＝3（cm2）．故选：D．7．【答案】解：如图，延长AD、交BC的延长线于点E∵∠ADC＝∠BCD＝120°∴∠CDE＝∠DCE＝60°∴∠E＝60°∴DE＝DC＝0.8m∴AE＝AD+DE＝0.6+0.8＝1.4（m）∴＝＝∴这块宣传版面的周长为：AD+DC+BC+＝0.6+0.8+0.6+＝＝（m）．故选：A．8．【答案】解：∵＝∴AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠ACB＝70°∴∠ABC＝70°∴∠A＝40°连接BO，CO∴∠BOC＝2∠A＝80°∵⊙O的半径为6∴劣弧BC的长为：＝故选：C．9．【答案】解：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵弧AC的长是弧BC长的2倍∴∠ABC＝60°，∠CAB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝45°∴∠ABD＝∠ACD＝45°∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝60°+45°＝105°故选：D．10．【答案】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．∴∠BAB1＝60°，△ABC的面积等于△AB1C1的面积∴S阴影部分＝＝＝π．故选：B．11．【答案】解：∵AD是⊙O1的直径，AD⊥BO∴AD垂直平分BO，∠ABD＝90°∴AB＝AO∵OA＝OB∴OA＝OB＝AB∴△AOB是等边三角形∴∠AOB＝60°∴∠ADB＝60°∴∠BAD＝30°∵AB＝3∴BD＝连接O1B∵∠BO1D＝2∠BAD＝60°∴O1B＝BD＝∴的长为＝π故选：D．12．【答案】解：连接DE在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠BCD＝90°∴DE＝AD＝4∴CE＝＝2∴CE＝DE∴∠EDC＝30°∴图中阴影部分的面积＝S扇形DEF﹣S△DEC＝﹣×2×2＝﹣2．故选：B．13．【答案】解：连接OD则OD＝＝2＝OA根据题意可知，阴影部分的面积＝长方形ACDF的面积．∴S阴影＝S ACDF＝AC•CD＝（OA﹣OC）CD＝（2﹣）×＝．故选：D．14．【答案】解：连接OC，作OD⊥BC于点D由图可知，阴影部分的面积＝△AOC的面积∵OD＝OC，∠ODC＝90°，AB＝6∴∠DCO＝30°，OC＝3∵OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠AOC＝60°∴△ACO是等边三角形∴△AOC的面积是：＝故选：C．15．【答案】解：连接OE、AE∵点C为OA的中点∴OC＝OE∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE＝＝π∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故选：B．16．【答案】解：如图，过点E作EH⊥OF于H由题意得，OF＝OA＝4，OC＝AB＝2由勾股定理得，CF＝＝＝2∴∠OFC＝30°∴∠COF＝60°∴∠AOF＝∠AOC＝∠COF＝30°∵∠AOD＝60°∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°∴∠OFC＝∠DOF，∠COE＝30°∴OE＝FE∵∠C＝90°，OC＝2∴OE＝∴EH＝∴阴影部分的面积＝S扇形ODF﹣S△OEF＝﹣×4×＝﹣故选：A．17．【答案】解：连接OD交AC于M．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°∴∠OAM＝30°∴∠AOM＝60°∵：＝3：1∴∠AOB＝80°设扇形的半径为r∴＝∴r＝4（负值已舍去）∴＝＝π．故选：C．18．【答案】解：由已知可得△BAC≌△BA′C′∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，把△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到△A′BC′．∴AB＝2AC＝2，BC＝＝＝，∠ABA′＝∠CBC′＝90°由图可得，S阴影＝S扇形ABA′+S△BA′C′﹣S△BAC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′＝﹣＝＝π故选：C．19．【答案】解：由题意可知正三角形的边长为3，即AB＝BC＝AC＝3所以扇形ABC的面积等于以点A为圆心，AB为半径的圆的面积的∴扇形ABC的面积S＝×π×32＝π又S△ABC＝∴莱洛三角形”的面积为3S﹣2S△ABC＝π﹣．故选：A．20．【答案】解：过点O作OH⊥AC于H∵∠CAO＝30°，OC＝3，⊙O的半径为6∴OH＝AO＝3，∠ACD＝60°∴CH＝＝＝3，AH＝3∴OH＝CH，AC＝3+3∴∠OCH＝45°∴∠OCD＝15°∵直径AB垂直平分圆内的线段CD∴OC＝OD，AD＝AC＝3+3，故B错误，不合题意；∴∠OCD＝∠ODC＝15°∴∠COD＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故A错误，不合题意；∴的长是：＝π，故C错误，不合题意；阴影部分的面积是：×π×3＝7.5π，故D正确，符合题意；故选：D．。

苏科版九年级数学上册同步练习：2.7 弧长和扇形的面积(含答案)

2.7 弧长及扇形的面积1，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝2 2，则AB ︵的长是 ( ) A ．π B.32π C ．2π D.12π图1 图22．如图2，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 ( )A ．π2 m 2B ．32π m 2 C ．πm 2 D ．2π m 23如图3，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，∠ABC ＝30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是( )A ．2－π3B ．2－π6C ．4－π3D ．4－π6图3 图44．如图4，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB ＝2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A ．π＋3B ．π－ 3C ．2π－3D ．2π－2 35.如图5，在边长为1的小正方形组成的网格中．若将△ABC (点A ，B ，C 均在格点处)绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则点B 经过的路线长为( )图5A ．A.π B.π2C ．7πD ．6π 二、填空题6．一个扇形的弧长是65π cm ，半径是6 cm ，则此扇形的圆心角是________度．7．若扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则该扇形的面积为________. 8．如图6，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为_______ cm(结果保留π)．图6 图79．如图7，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．10．如图8，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2 cm ，∠BOC ＝60°，∠BCO ＝90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′的位置，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为________ cm 2.(结果保留π)图8三、解答题11．如图9，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC .(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC ︵的长．图912. 如图10，点B ，C ，D 在⊙O 上，四边形OCBD 是平行四边形．(1)求证：BC ︵＝BD ︵；(2)若⊙O 的半径为2，求BD ︵的长.图1013．如图11，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上， ∠D ＝60°且AB ＝6，过点O 作OE ⊥AC ，垂足为E .(1)求OE 的长；(2)若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF ，AC 和CF ︵围成的图形(阴影部分)的面积.图1114．如图12，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且BD ︵＝DE ︵.(1)求证：AB 为⊙O 的直径；(2)若AB ＝8，∠BAC ＝45°，求阴影部分的面积．15 方程思想如图13所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝9，O是斜边AB上一点，以点O为圆心，2为半径的圆分别与AC，BC相切于点D，E.(1)求AC，BC的长；(2)若AC＝3，连接BD，求图中阴影部分的面积(π取3.14)．图13答案1．[解析]A 连接OA ，OB. ∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AB ＝BC ＝DC ＝AD ， ∴AB ︵＝BC ︵＝DC ︵＝AD ︵， ∴∠AOB ＝14×360°＝90°.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得2AO 2＝(2 2)2，解得AO ＝2，∴AB ︵的长为90×π×2180＝π.故选A .2．[解析]A 连接AC.∵从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC ＝90°.∴AC 为⊙O 的直径，即AC ＝2 m ．∵AB ＝BC ，AB2＋BC 2＝22，∴AB ＝BC ＝2m ，∴阴影部分的面积是90×π×（2）2360＝12π(m 2)．故选A .3．[解析]A 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵AB ＝2，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12AB ＝1.又∵BC ＝4，∴阴影部分的面积是12×4×1－30×π×22360＝2－13π.故选A .4．[解析]D 过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1，由勾股定理，得AD ＝3，∴△ABC 的面积为12BC ·AD ＝12×2×3＝3，S 扇形BAC ＝60×π×22360＝23π，∴莱洛三角形的面积S ＝3×23×π－2×3＝2π－2 3.故选D .5．[解析]A 根据图示知∠BAB ′＝45°，∴点B 经过的路线长为45×π×4180＝π.故选A .6．[答案] 36[解析] 设扇形的圆心角为n.由题意，得65π＝n ×π×6180，解得n ＝36°.7．[答案] 3πcm 2[解析] 根据扇形面积公式，知S ＝12lR ＝12×2π×3＝3π(cm 2)．8．[答案]8π3[解析] 由图得AO ︵的长＋OB ︵的长＝AB ︵的长．∵半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为120×π×2180×2＝8π3cm .9．[答案] 8－2π[解析] S 阴＝S △ABD －S 扇形BAE ＝12×4×4－45×π×42360＝8－2π.10．[答案]14π[解析]∵∠BOC ＝60°，△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的， ∴∠B ′OC ′＝60°，△BCO ≌△B ′C ′O ，∴∠B ′OC ＝60°，∠C ′B ′O ＝30°，∴∠B ′OB ＝120°. ∵AB ＝2 cm ，∴OB ＝OB ′＝1 cm ，OC ′＝OC ＝12cm ，∴B ′C ′＝32， ∴S 扇形B ′OB ＝120×π×12360＝13π，S 扇形C ′OC ＝120×π×14360＝π12， S 阴影＝S 扇形B ′OB ＋S △B ′C ′O －S △BCO －S 扇形C ′OC ＝S 扇形B ′OB －S 扇形C ′OC ＝13π－π12＝14π.11．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD ，∴AE ＝ED. (2)∵AB ＝10，∴AO ＝5. ∵OC ⊥AD ，∴AC ︵＝DC ︵，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°， ∴AC ︵的长为72π×5180＝2π.12．解：(1)证明：如图，连接OB.∵四边形OCBD 是平行四边形， ∴OC ＝BD ，OD ＝BC ，而OC ＝OD ， ∴BD ＝BC ， ∴BC ︵＝BD ︵.(2)由(1)知OD ＝OB ＝OC ＝BD ＝BC ， ∴△OBD 和△OBC 均为等边三角形， ∴∠BOC ＝∠BOD ＝60°， ∴BD ︵的长为60π×2180＝23π.13．解：(1)∵∠D ＝60°，∴∠B ＝60°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝30°. 又∵AB ＝6，∴BC ＝3.∵OE ⊥AC ，∴OE ∥BC.又∵O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝32.(2)连接OC ，则易得△COE ≌△AFE ，故阴影部分的面积＝扇形FOC 的面积．∵易知∠EOC ＝60°，∴S 扇形FOC ＝60π×32360＝32π，∴可得阴影部分的面积为32π.14．解：(1)证明：连接AD. ∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的直径． (2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴点O 在AB 上，连接OE ，由圆周角定理，得∠BOE ＝2∠BAC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°，∴阴影部分的面积为12×4×4＋90π×42360＝8＋4π.15 解：(1)如图，连接OD ，OC ，OE.∵D ，E 为⊙O 的切点，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD ＝OE ＝2. ∵S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ，AC ＋BC ＝9， ∴12AC ·BC ＝12AC ·OD ＋12BC ·OE ， ∴12AC ×2＋12BC ×2＝AC ＋BC ＝9，即AC ·BC ＝18. 又∵AC ＋BC ＝9，∴AC ，BC 的长是方程x 2－9x ＋18＝0的两个根，解得x ＝3或x ＝6.∴AC ＝3，BC ＝6或AC ＝6，BC ＝3.(2)如图，连接DE ，则S 阴影＝S △BDE ＋S 扇形ODE －S △ODE .∵AC＝3，∴BC＝6.∵OD⊥AC，OE⊥BC，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，∴EC＝OE＝2，∴BE＝BC－EC＝6－2＝4，∴S△BDE ＝12BE·DC＝12×4×2＝4，S扇形ODE＝14π×22＝π，S△ODE＝12OD·OE＝2，∴S阴影＝4＋π－2＝2＋π≈5.14.。

弧长及扇形面积优生辅导专题提升训练 2021-2022学年苏科版数学九年级上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》优生辅导专题提升训练（附答案）1．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（）A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm2．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm3．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣3C．π﹣2D．4﹣π4．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（）A．30B．60C．105D．2105．如图菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形，图中阴影部分面积为（）A．B．C．2πD．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣247．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π8．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．πm2B．πm2C．πm2D．πm29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝2，则的长度是）A．B．C．2πD．10．如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（）A．B．πC．D．2π11．一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是cm．12．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为．13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为．14．如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA ＝2，则阴影部分的面积为．16．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为．17．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．18．如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为．19．如图正方形ABCD，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是．20．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于．21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．22．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB 的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．23．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）参考答案1．解：设弧所在圆的半径为rcm，由题意得，＝2π×3×5，解得，r＝40．故选：B．2．解：由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故选：B．3．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．故选：C．4．解：由题意可求得圆形的周长C＝2π×6＝12π，其中一个扇形的弧长L1＝5π，则另一个扇形的弧长L2＝12π﹣5π＝7π，设另一个扇形的圆心角度数为n°，根据弧长公式：L＝，有：7π＝，解得n＝210，故选：D．5．解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠P AB＝∠P AC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A．6．解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝sin30°×OA＝2，AH＝cos30°×OA＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．7．解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，∴∠DBC＝30°，∴∠CBC″＝60°，∵BC＝BC''∴△BCC''为等边三角形，∴S扇形BC′C″＝＝π，作C''F⊥BC于F，∵△BCC''为等边三角形，∴BF＝，∴C''F＝，∴S△BCC''＝，∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．故选：B．8．解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积＝＝（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．故选：B．9．解：∵对的圆周角是∠D，对的圆心角是∠AOC，∴∠D＝∠AOC，∵∠AOC＝∠ABC，∴∠D＝ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D＝180°，∴ABC+∠ABC＝180°，解得：∠ABC＝120°，∴∠AOC＝∠ABC＝120°，过O作OE⊥AC于E，则∠OEA＝90°，∵OE过O，AC＝2，∴AE＝CE＝AC＝，∴OA＝OC，OE⊥AC，∠AOC＝120°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝1，∴OA＝2OE＝2，∴的长度是＝，故选：B．10．解：在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝2，∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，∴∠CAC1＝90°，∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S＝+2×2﹣2×2﹣＝π，故选：B．11．解：设扇形的半径为rcm，由题意得，＝8π，解得r＝10（cm），故答案为：10．12．解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝20°，又∵E为BC的中点，∴BE＝EC＝BC＝2，∵BE＝EF，∴EF＝EC＝2，∴∠EFC＝∠ACB＝20°，∴∠BEF＝40°，∴扇形BEF的面积＝＝，故答案为：．13．解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，∴的长＝＝．故答案为：．14．解：连接AC，∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．故答案为：2π．15．解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．16．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．17．解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．18．解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．19．解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n ＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．故答案为：4039π．20．解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5＝5π，故答案为：5π．21．解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．22．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．23．（1）证明：连接CB，AB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB＝CA，又∵CD＝CA，∴AC＝CD＝BC，∴∠D＝∠CBD，∠CAB＝∠CBA，∴2∠CBD+2∠CBA＝180°，∴∠CBD+∠CBA＝90°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABE＝90°，即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵AE＝10，AC＝4，∴根据勾股定理得：CE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．。

弧长及扇形的面积(2种题型)-2023年新九年级数学暑假精品课(苏科版)(解析版)

弧长及扇形的面积（2种题型）1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.一．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．一．弧长的计算（共13小题）1．（2023•南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A．B．πC．2πD．3π【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的长为：＝π，故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．2．（2022秋•常州期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为（）A．4πB．2πC．D．【分析】如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，则E在△ACH的外接圆P 上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，证明∠AOD+∠BOC＝120°，再证明OA+OC ≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，则E在△ACH的外接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，∴，，∴∠AOD+∠BOC＝2（∠ACD+∠BAC）＝2（180°﹣∠AEC）＝2×60°＝120°，结合三角形的三边关系可得：OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），当OA+OC＝AC时，⊙O半径最小，此时半径为，∴此时与的和最小，最小值为：．故选：C．【点评】本题考查弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O的位置是解本题的关键．3．（2023•苏州一模）半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为cm．（结果保留π）【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：∵扇形的半径是10cm，圆心角为120°，∴扇形弧长＝＝（cm）．故答案为：．【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解决问题的关键．4．（2023•泗洪县二模）若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．5．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点C，D在⊙O上直径AB两侧的两点，∠ACD＝60°，AB＝8，则的长为．【分析】连接OD．根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°，那么∠BOD＝60°，代入弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OD．∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，∴∠BOD＝60°，∵AB＝8，∴OA＝OB＝4，∴的长为＝．故答案为：．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°是解题的关键．6．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（）A．4πB．8πC．9πD．18π【分析】连接OD，OC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC，再求出圆心角∠DOC，利用弧长公式求解．【解答】解：连接OD，OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝50°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠DAC＝80°，∴∠DOC＝2∠DAC＝160°，∴的长＝＝8π．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式．7．（2023•苏州一模）如图，正方形ABCD的边长是1，延长AB到E，以A为圆心，AE为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长为．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAC，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：连接AC，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB是小正方形的对角线，∴∠EAC＝45°，∴的长度是＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．8．（2023•宝应县校级三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAF，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：如图，连接AC，则AC＝＝，∴弧长＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．9．（2023•海陵区一模）如图，⊙O的直径为10，点P是弦AB所对优弧上一动点，连接AP、BP，作AH ⊥BP，垂足为H．（1）若∠P＝45°，求AB的长及的长；（2）若AB＝5，求点H到AP的距离的最大值．【分析】（1）连接OA，OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠AOB＝90°，然后利用勾股定理及扇形弧长面积公式即可求得答案；（2）结合已知条件易得△AOB是等边三角形，则∠AOB＝90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠P＝30°，再由三角函数可得AH＝AP，PH＝AP，设点H到AP的距离为h，利用等面积法可得h＝AP，那么当AP为直径时，h最大，从而得出答案．【解答】（1）如图，连接OA，OB，∵⊙O的直径为10，∴OA＝OB＝5，∵∠P＝45°，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴AB＝＝5，的长为：＝π；（2）∵AB＝OA＝OB＝5，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝∠AOB＝30°，∵AH⊥BP，∴AH＝AP，PH＝AP，设点H到AP的距离为h，则AH•PH＝AP•h，那么h＝AP，若要h最大，那么AP最大即可，故当AP为直径时h最大，即h最大值为×10＝，即点H到AP的距离的最大值为．【点评】本题主要考查与圆有关的性质及与圆有关的计算，（1）中圆周角定理及弧长公式是重要知识点，必须熟练掌握；（2）中利用等面积法得出点H到AP的距离与AP的数量关系是解题的关键．10．（2022秋•如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．（1）求证：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，则根据等弧所对的圆周角相等得到∠ACB＝∠E；（2）先利用（1）的结论得到∠E＝30°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝60°，则可判断△OAC为等边三角形，所以OA＝AC＝3，然后根据弧长公式求解．【解答】（1）证明：∵OA⊥弦BC，∴＝，∴∠ACB＝∠E；（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝2∠E＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝3，∴的长为＝π．【点评】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键（弧长公式为l＝，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了垂径定理和圆周角定理．11．（2023•建湖县三模）如图，弧AB与∠ACB的一边CB切于点B，与另一边CA交于点A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，则弧AB的长是．（结果保留π）．【分析】设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OB⊥BC，再证明四边形OBCD为矩形的∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，接着在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r﹣5）2+（5）2＝r2，解方程求出r，得AD＝5，OA＝10，然后利用正弦的定义求出∠AOD＝30°，所以∠AOB＝60°，最后利用弧长公式求出即可．【解答】解：设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，如图，设⊙O的半径为r，∵BC与⊙O相切，∴OB⊥BC，∵∠OBA＝∠ODA＝90°，∠ACB＝90°∴四边形OBCD为矩形，∴∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，∴AD＝r﹣5，在Rt△OAD中，（r﹣5）2+（5 ）2＝r2，解得：r＝10，AD＝10﹣5＝5，OA＝10，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴的长＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式和直角三角形的性质，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．12．（2023•淮阴区一模）半径为3，圆心角为30°的扇形的弧长为．【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．【解答】解：弧长l＝＝；故答案为：．【点评】本题考查了扇形的弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．13．（2023•兴化市一模）75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为．【分析】利用弧长公式求解即可．【解答】解：设扇形的半径为r．则有＝π，解得r＝6，故答案为：6．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式：l＝．二．扇形面积的计算（共14小题）14．（2023•天宁区校级一模）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是cm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积＝＝2πcm2．故答案是：2π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．15．（2023•鼓楼区校级三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为．【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝lR进行计算即可．【解答】解：∵S扇形＝lR，即4＝l×4，∴l＝2，故答案为：2．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握S扇形＝lR是正确解答的前提．16．（2023•连云港二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为．【分析】连接OF，过点C作CH⊥OF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据S阴＝S扇形AOF﹣S△COF求出结果即可．【解答】解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，由平移性质知，CE∥OB，∵CO＝CF，∴∠COF＝∠CFO，∴，在等腰△OCF中，，∴CH＝OH•tan30°＝×＝，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出，．17．（2023•大丰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是．【分析】连接OD、BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OD、BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥DB，∴∠COB＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△CBD，∴图中阴影部分的面积＝扇形COB的面积＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．18．（2022秋•连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（）A．260°B．240°C．140°D．120°【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，由题意得，∴n＝240，∴这个扇形的圆心角为240度．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则．19．（2023•锡山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（）A．B．C．D．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OD，BC．∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，∴OC＝2或﹣2（舍去），∴的长＝＝π，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．20．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【分析】根据进行的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．21．（2022秋•苏州期末）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC 绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】连接OC，OD，根据∠ABC＝30°及旋转，得到∠ABC＝∠CBC'＝30°，∠DOB＝60°，从而得到△BOD是等边三角形，结合AB是⊙O的直径，即可得到∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，从而得到△AOC 是等边三角形，即可得到OD⊥BC，∠BOC＝120°，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．【解答】解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝2，∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到ΔA'BC'，∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），∴阴影部分的面积为：S扇COD＝＝，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．22．（2023•启东市三模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【解答】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为＝，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠DBE+∠DBF＝60°，∠ABE+∠DBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，∵∠A＝∠DBH，AB＝BD，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．故答案为：．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD 的面积等于△ABD的面积是解题关键．23．（2023•工业园区校级二模）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l 与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是．【分析】由翻折的性质得到CA＝，而OA＝OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵点A与圆心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝，∴阴影部分的面积为：﹣×2×＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（2023•如皋市一模）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．（1）求CD的长；（2）计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，根据垂径定理得CE＝DE，再根据PO＝4，∠OPC ＝30°，得OE＝2，再根据勾股定理计算即可；（2）根据阴影部分的面积为扇形COD的面积减去△COD的面积即可．【解答】解：（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，∴CE＝DE，∵PO＝4，∠OPC＝30°，∴OE＝PO＝2，∵直径AB＝8，∴OD＝4，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4；（2）∵OD＝2DE，∴∠DOE＝30°，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积为﹣×4×2＝﹣4．【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．25．（2022秋•南京期末）如图，用长度均为12m的两根绳子分别围成矩形ABCD和扇形OEF，设AB的长为xm，半径OE为Rm，矩形和扇形的面积分别为S1m2，S2m2．（1）BC的长为m，的长为m；（用含x或R的代数式表示）（2）求S1，S2的最大值，并比较大小．【分析】（1）根据长方形周长公式和扇形周长的定义可求BC，的长；（2）根据长方形面积公式，扇形的面积公式，结合完全平方公式可求S1，S2的最大值，再进行比较即可求解．【解答】解（1）BC的长为12÷2﹣x＝（6﹣x）m，的长为（12﹣2R）m．故答案为：（6﹣x），（12﹣2R）；（2）S1＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当x＝3时，S1有最大值9．S2＝（12﹣2R）R＝﹣（R﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴当R＝3时，S2有最大值9．∴S1的最大值＝S2的最大值．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，弧长的计算，关键是熟练掌握长方形周长公式和扇形周长的定义，长方形面积公式，扇形的面积公式．26．（2023•清江浦区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC ＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；（2）由（1）已证：∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵点E是斜边AC的中点，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，∵∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴阴影部分的面积为：＝．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．27．（2023•邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是．【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【解答】解：连接BC，如图，由作法可知AC＝BC＝AB＝3，∴△ACB为等边三角形∴∠BAC＝60°，∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O＝4×﹣2×3××3﹣π×（）2＝π﹣．故答案为：π﹣．【点评】本题考查了扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，明确阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC ﹣S⊙O是解此题的关键．一、单选题 1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A ，B ，C ，D 为O 上的点，且直线AB 与CD 夹角为45︒．若AB ，AC ，CD 的长分别为π，π和3π，则O 的半径是（）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5【答案】A 【分析】延长BA ，与直线CD 交于E ，连接BD ，设弧长为π所对的圆周角为α，根据题意得出2BDC α∠=，4ABD α∠=，利用三角形内角和定理求得1356α︒=，即可求得弧长为π所对的圆心角为1352456︒⨯=︒，代入弧长公式即可求得O 的半径．【详解】解：延长BA ，与直线交于E ，连接BD ， AB ，AC ，CD 的长分别为π，π和3π，∴BC 的长为2π，AD 的长为4π，∴设弧长为π所对的圆周角为α，则2BDC α∠=，4ABD α∠=，180BDC ABD E ∠+∠+∠=︒，45E ∠=︒，2445180αα∴++︒=︒，1356α︒∴=，∴弧长为π所对的圆心角为1352456︒⨯=︒， ∴45180R ππ⋅=，4R ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为π所对的圆心角是解题的关键． 2．（2023·江苏南通·统考三模）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，AC AD =，若130ABC ∠=︒，O 的半径为9，则劣弧CD 的长为（）A ．4πB ．8πC ．9πD ．18π【答案】B 【分析】连接、OD OC ；由圆内接四边形性质可得ADC ∠的度数，再由AC AD =及三角形内角和定理可求得DAC ∠的度数，由圆周角定理可得DOC ∠的度数，最后由弧长公式即可求得结果．【详解】解：连接、OD OC ，如图；∵四边形ABCD 是圆内接四边形，130∠=︒，∴18050ADC ABC ∠=︒−∠=︒，∵AC AD =，∴50ADC ACD ∠=∠=︒，∴18025080DAC ∠=︒−⨯︒=︒，∴2160DOC DAC ∠=∠=︒，∴160π98π180CD l ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是关键．A ．13124π− 【答案】A【分析】根据图形可以求得BF 的长，然后根据图形即可求得12S S −的值．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形，∴22129031343123604S S ππ⋅⨯−=⨯−=−，故选A ．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．4．（2023·江苏苏州·统考二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到16cm AC BD ==，C 、D 两点之间的距离为10cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）2cm ．A ．26πB ．96πC ．98πD ．100π【分析】连接CD ，先证OCD ∆是等边三角形，求出OC ，再利用扇形面积公式分别求出OAB S 扇和OCD S 扇，=OAB OCD S S S −阴影扇扇即可得出结果．【详解】解：如图，连接CD ，由题意OC OD =，60O ∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形，10cm OC OD CD ∴===，16cm AC BD ==，161026cm OA OB ∴==+=，=OAB OCD S S S ∴−阴影扇扇226060360360OA OC ππ⋅⋅=−()22602610360π⋅−=()296cm π=故选：B ．【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式2360n R S π⋅⋅=扇是解题关键． 5．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是()4,5P ，P 与x 轴相切．点A ，B 在P 上，它们的横坐标分别是0，9．若P 沿着x 轴向右作无滑动的滚动，当点B 第一次落在x 轴上时，此时点A 的坐标是（）A ．()72,9π+B ．()7 2.5,9π+C ．()72,8π+D ．()7 2.5,8π+【分析】连接,AP PB ，过点P 作PC y ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，求出,A B 的坐标，当点B 第一次落在x 轴上时，点P 移动的距离为BD 的长，进而得到此时点P 的坐标，根据旋转过程中AB 的长度不变，确定A 的位置，再进行求解即可．【详解】解：连接,AP PB ，过点P 作PC y ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∵()4,5P∴5,4PD OC PC OD ====，∵P 与x 轴相切，∴5PA PB ==，∴3AC =，∴8OA OC AC =+=，∴()0,8A ，∵点B 的横坐标为：9，945−=，∴,P B 在平行于x 轴的直线上，即：()9,5B ，∴90BPD ∠=︒，∴BD 的长为905 2.5180ππ=⨯=，当点B 第一次落在x 轴上时，点P 移动的距离为BD 的长，∴此时P 点的坐标为：()4 2.5,5π+，∵P 沿着x 轴向右作无滑动的滚动，AB 的长度保持不变，∴点A 位置转动到如图所示的位置：∵3,4AC PC ==，∴9BC PB PC =+=，∴()4 2.53,9A π++，即：()7 2.5,9A π+，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B 第一次落在x 轴上时，点P 和点A 的位置． A ．3π 【答案】B【分析】根据垂径定理得到CE DE =BC BD = ，30A ∠=︒，再利用三角函数求出2OD =，即可利用弧长公式计算解答．【详解】如图：连接OD ，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于E 点，AD =CD =∴CE DE ==BC BD = ，30A ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，OD ∴=2sin 60DE =，∴BC 的长=BD 的长=60221803ππ⨯=，故选：B ．【点睛】此题考查垂径定理，解直角三角形，弧长公式，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． A ．33B ．π【答案】C 【分析】过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，根据题中条件可得12OD OB =，30OBD ∠=︒，即可得到弧长BC =弧长AC ，用弧长公式求解即可．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，连接AC ，如图所示，∵将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O ， ∴12OD OB=，∴30OBD ∠=︒， ∵90ACB ∠=︒， ∴60CAB ∠=︒， ∴弧长BC =2弧长AC ， ∵6AB =， ∴3OB =， ∵18033180ACB l ππ︒⨯=︒弧长=， ∴12032180BC l ππ︒⨯==︒弧长故选：C ．【点睛】本题考查了圆的几何问题，涉及到圆的性质、弧长公式等，正确作出辅助线是关键．A ．4πB 【答案】C【分析】如图，以AC 为边作等边ACH ，则60AHC ∠=︒，而120AEC ∠=︒，则E 在ACH 的外接圆P 上运动，记AB ，CD 所在的圆为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，证明120AOD BOC ∠+∠=︒，再证明OA OC AC +≥，（当A ，O ，C 三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．【详解】解：如图，以AC 为边作等边ACH ，则60AHC ∠=︒，而120AEC ∠=︒，则E 在ACH 的外接圆P 上运动，记AB ，CD 所在的圆为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，∴12ACD AOD ∠=∠，12BAC BOC∠=∠，∴()2AOD BOC ACD BAC ∠+∠=∠+∠()2180260120AEC =︒−∠=⨯︒=︒，∵结合三角形的三边关系可得：OA OC AC +≥，（当A ，O ，C 三点共线时取等号），当OA OC AC +=时，O 半径最小，此时半径为122AC =，∴此时AD 与BC 的和最小，最小值为：12024=1803ππ⨯．故选C ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O 的位置是解本题的关键．A ．6B ．12 【答案】D【分析】如图，连接AE 、AC 、BD ，设AC 、BD 交于点P ，AE 交MN 于点F ，连接CF ，设CF 中点为O ，连接OP 、OE ，根据菱形及等边三角形得性质可得AE BC ⊥，ANFEBF ，可得出12EF AF =，可得MN必经过点F ，根据90FEC CHF ∠=∠=︒，可得点H 在以CF 为直径的圆上，根据M 、N 的速度及菱形性质可得当点M 达到点B 时，点N 达到点D ，AC BD ⊥，可得点H 点运动路径长是»EP 的长，利用勾股定理可求出CF 的长，根据圆周角定理可得=120EOP ∠︒，利用弧长公式即可得答案．【详解】如图，连接AE 、AC 、BD ，设AC 、BD 交于点P ，AE 交MN 于点F ，连接CF ，设CF 中点为O ，连接OP 、OE ，∵菱形ABCD 的边长为12，=60B ∠︒， ∴=12AB BC =，ABC 是等边三角形， ∵点E 为BC 边的中点，∴AE BC ⊥，162BE CE AB ===，=AE∵点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒2个单位， ∴12M E A N=， ∵AN ME ， ∴ANFEBF ，∴12EF ME AF AN ==，∴13FE AE ==CF =∴MN 必经过点F ， ∵CH MN ⊥，AE BC ⊥，∴点H 在以CF 为直径的圆上，且F 、E 、C 、H 四点共圆， ∵当点M 达到点B 时，点N 达到点D ，AC BD ⊥， ∴点H 点运动路径长是»EP 的长，∵60BCA ∠=︒，=EP EP ， ∴2120EOP BCA ∠=∠=︒，∴EP =，即点H 点运动路径长是．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点H 的运动轨迹是解题关键．A ．12π− 【答案】D【分析】设弧BD 和弧AC 的交点为E,连接,DE AE 、作EF AD ⊥.先求出ADES，再求出ADE扇形S ，即可得到DE拱形S .再根据ADE 空白S ADE AES +扇形=S 拱形即可得到空白ADE 的面积.再根据DCE S DEDCE S S =−阴影拱形扇形即可得到得到阴影DCE 的面积，再用=ABCD ABD DCEBCE S S S S −−正方形扇形阴影空白即可得到空白BCE 的面积，最后用ADE BCES S −空白空白即可得到图中空白两部分的面积之差.【详解】设弧BD 和弧AC 的交点为E,连接,DE AE 、则ADE V 是等边三角形作EF AD ⊥，则1,2DF DE ==EF ==122ADES∴=⨯=26022=3603ADE S ππ=⋅⋅扇形23DE S π∴=拱形23E S π∴=拱形AADE∴空白S 2(32433ADE AE S πππ+=+=扇形=S 拱形DCE DE DCE S S S =−阴影拱形扇形23022(3603ππ=⋅⋅−3π==ABCD ABD DCEBCE S S S S −−正方形扇形阴影空白22122)43ππ=−⋅⋅−243π=−4242433ADE BCE S S πππ⎛⎛∴−=−−=− ⎝⎝空白空白故选：D【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键二、填空题11．（2023·江苏淮安·统考二模）已知圆锥侧面展开图的半径为4，圆心角为120︒，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留π）【答案】163π【分析】根据扇形面积的计算方法即可求解．【详解】解：根据题意得，图的半径为4，圆心角为120︒，∴圆锥的侧面积为21201643603ππ︒⨯⨯=︒，故答案为：163π．【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键．。

苏科版九年级上册 2.7 弧长及扇形的面积同步练习(含答案)

初中数学苏科版九年级上册2.7弧长及扇形的面积同步测试一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.2.若扇形的弧长是，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A. B. C. D.3.圆心角为，弧长为的扇形半径为（）A. B. C. D.4.如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，⊙A＝24°，则的长为（）A.9πB.10πC.11πD.12π5.如图1，一只蚂蚁从点O出发，以1厘米/秒速度沿着扇形AOB的边缘爬行一周。

设爬行时间为x秒，蚂蚁到点O的距离为y厘米，y关于x的函数图像如图2所示，则扇形的面积为（）A.3B.6C.πD.π6.如图，OO是⊙ABC的外接圆，BC=3，⊙BAC=30°，则劣弧的长等于（）A. B.π C. D.7.如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（）A. B. C. D.8.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊙AB于点M，PN⊙CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A. B. C. D.9.如图，半径为2的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于（）A.4B.6C.2πD.π+ 410.如图，若弧AB半径PA为18，圆心角为120°，半径为2的⊙，从弧AB的一个端点A （切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙自转的周数是（）。