9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图-高考数学总复习·人教A版数学

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高考数学总复习第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

(2)“三不变”平与行 x轴性平不行变的线段长度不变相对位置不变
[即时应用]
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如图，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，
O′C′＝2 cm，则原图形是
()
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
解析：如图，在原图形 OABC 中，应有 OD＝2O′D′
A′B′C′D′如图所示，因为 OE＝ 22－12＝1，
所以
O′E′＝12，E′F′＝
2 4.
所以直观图 A′B′C′D′的面积为
S′＝12×(1＋3)×
42＝
2 2.
答案：
2 2
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[由题悟法] 原图与直观图中的“三变”与“三不变”
(1)“三变”坐与标 y轴轴平的行夹的角线改段变的长度改变减半图形改变
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课堂考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一空间几何体的结构特征
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，
则这个几何体一定是
()
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．
侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
()
解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为 B，故选 B. 答案：B
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2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可
以是
()
解析：由俯视图是圆环可排除 A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项 D. 答案：D

2021人教A版高考数学总复习《空间几何体的结构、三视图和直观图》

何体为( )
A.圆锥
B.三棱椎
C.三棱柱
D.三棱台
解析三由视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选 C.
答案 C 6.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
其中 EH∥A′D′.剩下的几何体是( )
A.棱台 C.五棱柱
B.四棱柱 D.六棱柱
解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱. 答案 C
4.(2020·衡水中学联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈、长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为( )
意其中的虚线.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 ∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ) 解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.
解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 答案 A

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图新人教A版

9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(文)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S ＝π(1＋2)×4＝12π.(理)一个几何体的三视图如图所示，正视图上部是一个边长为4的正三角形，下部是高为3两底长为3和4的等腰梯形，则其表面积为( )A.31π2B.63π2C.π4(57＋737) D.π4(41＋737) [答案] D [解析]由三视图知，该几何体是一个组合体，上部是底半径为2，高为23的圆锥，下部是两底半径分别为2和32，高为3的圆台，其表面积S ＝π×2×4＋π(2＋32)×372＋π·(32)2＝π4(41＋737)，故选D. 2．如图所示是水平放置三角形的直观图，D 是△ABC 的BC 边中点，AB 、BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB 、AD 、AC 中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD [答案] B[解析] 由条件知，原平面图形中AB ⊥AC ，从而AB <AD <AC .3．(文)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．14 3 B．6＋2 3 C．12＋2 3 D．16＋2 3 [答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱，设底面正三角形边长为a，则32a＝3，∴a＝2，又其高为2，故其全面积S＝2×(34×22)＋3×(2×2)＝12＋2 3.(理)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据三视图画法规则“长对正，高平齐、宽相等”，俯视图应与正视图同长为3，与侧视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．4．(文)(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(正视图)，侧视图(侧视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2[答案] C[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S ＝12×23×2＝23，高h ＝3，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.(理)(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C.23 D.43[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB ＝BC ＝3，AC ＝1的△ABC 绕AC 边转动到与平面△PAC 位置(平面PAC ⊥平面ABC )所形成的几何体，故其体积V ＝13×(12×2×2)×2＝43.5．(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x ，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h ＝32－22＝5，其体积为V ＝13×8×5＋π×22×x ＝12π＋853，解得x ＝3. (理)(2011·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[答案] D [解析]由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如图，在侧视图中，O 、A 与C 的射影重合，侧视图是一个三角形△PBD ，OB ＝OD ，PO ⊥BD ，PO 为实线，故应选D.6．(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图不可以是( )[答案] D[解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为13，故为锥体，∴S 底＝1，A 中为三角形，此时其底面积为12，舍去；B 为14个圆，底面积为π4，也舍去，C 为圆，其面积为π舍去，故只有D 成立．[点评] 如果不限定体积为13，则如图(1)在三棱锥P －ABC 中，AC ⊥BC ，PC ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝PC ＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A ；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA 与POB 截下一角，OA ⊥OB ，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B ；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.(理)(2012·大同市调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143[答案] C[解析] 由题可知，原正方体如图所示，被平面EFB 1D 1截掉的几何体为棱台AFE －A 1B 1D 1，则所求几何体的体积V ＝23－V A 1B 1D 1－AEF ＝23－13×(2＋12＋2×12)×2＝173，故选C.7．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.[答案] 32[解析] 依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，其体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝1＋2×12×1＝32cm 3. 8．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为________．[答案] 2[解析] 由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故正视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S ＝12×2×2＝2.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为62. 其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，平面BFD 1E ∩平面ADD 1A 1＝D 1E ，平面BFD 1E ∩平面BCC 1B 1＝BF ，∴D 1E ∥BF ；同理BE ∥FD 1，∴四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立；当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，易证BF ＝FD 1＝D 1E ＝BE ，∴EF ⊥BD 1，又EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF⊥BD ，∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1E ，∴②④成立，四边形BFD 1E 在底面的投影恒为正方形ABCD .当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为62. 10．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)不妨设MA ＝1，∵四边形ABCD 为正方形，∴PD ＝AD ＝2，又∵PD ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23.所以V P －MAB ：V P －ABCD ＝1：4.能力拓展提升11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故侧视图为一等腰三角形，底边长3，高为正六棱锥的高3，故其面积为S ＝12×3×3＝32. 12．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )[答案] B [解析]由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. [点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P －ABC 的底面是正△ABC ，侧棱PB ⊥平面ABC ，AB ＝2，PB ＝2.13．(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．[答案] 16π[解析] 由三视图知，该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为3，高为2，故其外接球半径R 满足R 2＝(22)2＋(23×32×3)2＝4，∴R ＝2，∴S 球＝4πR 2＝16π.14．(2011·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.15．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．[解析] 如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO ＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r ，在Rt △SAO 中，2rSA＝sin30°，∴SA ＝4r .∵SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.16．(文)(2011·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． [解析] (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)． (理)多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PDC .[解析] 由多面体PABCD 的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA ＝PD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)连接AC ，则F 是AC 的中点，又∵E 是PC 的中点， ∴在△CPA 中，EF ∥PA ，又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PA .∵△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2.即PA ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PDC .1．(2011·宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )[答案] B[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．[解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．2.(2011·惠州模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案] A3．(2011·河源模拟)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )[答案] B[解析] 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.4.(2011·辽宁文，8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3[答案] B[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为34a 2·a ＝23，得a ＝2. 由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.5．(2011·天津理，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案] π＋6[解析] 根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为(π＋6)m3.6．下图是一几何体的直观图和三视图．(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；(2)求几何体BEC－APD的体积．[解析] (1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.∴AF ⊥平面PCD .(2)V BEC －APD ＝V C －APEB ＋V P －ACD ＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。

高考数学一轮复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图课件理新人教A版

2. 失误与防范 (1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行． (2)掌握三视图的概念及画法．一定要注意线的虚实及三视图中对位置和数据的要求．
(3)掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
2. 棱锥的结构特征 (1)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有有一一个个公公共共顶顶点点的的三三角角形形，这些面围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
(3)正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰腰三三角角形形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜斜高高． ②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．
创新演练·当堂冲关
1. [2012·北京海淀模拟题]一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可．能．是该锥体的俯视图的是( )
答案：C
解析：由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
2. [2012·广东深圳模拟题]利用斜二测画法可以得
到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观
第1课时空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
考纲下载 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构． 2. 能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测法画出它们的直观图． 3. 了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．
(二)旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，可旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴如图．

2021届高考数学总复习：空间几何体的结构特征及三视图和直观图

2021届高考数学总复习：空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、知识点1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。

平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点。

2．三视图的基本要求(1)长对正，高平齐，宽相等。

(2)在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”。

在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线。

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变。

“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变。

一、走进教材1．(必修2P 8T 1改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________。

(填写所有正确的序号)答案 ③⑤2．(必修2P 15练习T 1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是( )解析由俯视图定义易知选项C 符合题意。

故选C 。

答案 C二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示。

高考数学一轮复习第9章第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件文新课标版

4．球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形．圆 5．圆柱的正视图、侧视图都是，俯视图是全等的矩形． 6．圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心． 7．圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆． 8．表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．

9 ．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

10．会推导空间两点间的距离公式．
一、空间几何体 1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． 3．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．

9．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，中分别画成平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度一半；平行于y轴的线段，长度变为原来的不变． 10．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点． 11 ．圆柱、圆锥和圆台的侧面展开图分别矩形、扇形是和扇环．

解析： ①不符合圆柱母线的定义；③不符合圆台母线的定义．答案：D

2 ．已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6π 和 8π ，则两平行截面间的距离为 ( ) A．1 B．2 C．1或7 D．2或6

解析：若这两个平行截面在球心 O 的两侧，如图 1. 则截面周长为6π的圆的半径r1＝3，此时OO1＝4；截面周长为 8π的圆的半径r2＝4，此时OO2＝3，所以两平行线截面间的距离为7；当两平行线截面在球心 O的同侧，可以求得两平行截面间的距离为1.

高考大一轮总复习81空间几何体的结构特征、三视图、直观图解析

第八章立体几何§8.1空间几何体的结构特征、三视图、直观图考纲展示► 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．考点1空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都______，上、下底面是______且平行的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是________多边形旋转体(1)圆柱可以由________绕其任一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其________所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕________所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面或圆面绕________所在直线旋转得到(1)矩形(2)直角边(3)直角腰(4)直径(1)[教材习题改编]一个几何体由5个面围成，其中两个面是互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体是________；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周后形成的封闭曲面所围成的几何体是________．答案：三棱柱两个同底的圆锥解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．答案：侧视图俯视图解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.空间几何体的认识误区．给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的序号为________．答案：①②③解析：①如果上、下两个面平行，但不全等，即使其余各面是四边形，那也不可能是棱柱．②如图所示，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体不是棱柱．③棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．④棱台是由棱锥截得的，故侧棱延长线交于一点．[典题1](1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)下列说法中正确的是________．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面组成的几何体是棱锥；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③用一个平面去截棱锥，可得到一个棱锥和一个棱台；④棱锥的各侧棱长相等．[答案]②[解析]棱锥的侧面三角形有一个公共顶点，故①错误；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的底面，故②正确；用平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台，故③错误；④明显错误．[点石成金]解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考点2空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是________的，三视图包括________、________、________.答案：正投影完全相同正视图侧视图俯视图三视图：注意三个视图之间的长度关系．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．答案：48解析：由三视图可知，上面是一个长为4、宽为2、高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是上、下底分别为2,6，高为2的梯形．又长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋6 2×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48.角度一由三视图还原几何体[典题2][2017·河南郑州模拟]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A B C D[答案] D[解析]A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.角度二由空间几何体的直观图判断三视图[典题3]一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()A B C D[答案] B[解析]由直观图可知，该几何体是由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．故选B.角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图[典题4][2017·吉林长春模拟]已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．(把你认为正确的图的序号都填上)[答案]①②③④[解析]直观图如图①的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图①；直观图如图②的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图②；直观图如图③的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为题图③；直观图如图④的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为题图④.①②③④[点石成金]三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．考点3空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．[典题5]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2[答案] D[解析]图①所示的是△ABC的实际图形，图②是△ABC的直观图．由图①②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.[点石成金]用斜二测画法画直观图的技巧(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线；(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．解：建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，边A′B′在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B 点即为A′，B′点，长度不变．已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理，得OC′sin ∠OA′C′＝A′C′sin 45°，所以OC′＝sin 120°sin 45°a＝62a，所以原三角形ABC的高OC＝6a，所以S△ABC＝12×a×6a＝62a2.真题演练集训1．[2016·天津卷]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()A B C D答案：B解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．62 B. 4 2C．6 D．4答案：C解析：如图，侧面SBC⊥底面ABC.点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形．∵AB＝4，BO＝2，∴AO ＝20，SO⊥底面ABC ，∴SO ⊥AO，SO ＝4，∴最长的棱AS＝20＋16＝6.3．[2015·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2答案：C解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD 中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.课外拓展阅读三视图识图中的易误辨析[典例]在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②[错解]由已知该几何体正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别为(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)，且内有一实线，故正视图为①，俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别为(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图为②.[错因分析](1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．[解析]在空间直角坐标系中，构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②，故选D.[自我矫正] D答题启示对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．课时跟踪检测(三十九)[高考基础题型得分练]1．[2017·山东潍坊模拟]一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱答案：D解析：球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等．三棱锥的三条侧棱相等且两两垂直时，其三视图的形状都相同，大小均相等．不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.2．[2017·广州七校联考]如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台答案：C解析：由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.3．利用斜二测画法得到的()①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④答案：B解析：由斜二测画法规则知①正确，②错误；③中平行性不变，梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故不可能为平行四边形；④中由平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半，故菱形的直观图应为平行四边形．故选B.4．[2017·湖北武昌调研]已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()A BC D 答案：D解析：易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B，D选项知，D选项中侧视图方向错误，故选D.5．[2017·云南师大附中月考]已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体(图形)可能是()①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A．①②③B．②③C．①③D．①②答案：A解析：由三视图知，该几何体为正四棱柱如图所示．当选择的四个点为B1，B，C，C1时，几何体为矩形，①正确；当选择B，A，B1，C时，几何体满足②中要求；当选择A，B，D，D1时，几何体满足③中要求．故选A.6．[2017·山东淄博一模]把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.22B．12C.24D．14答案：D解析：由正视图与俯视图可得，三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S＝12×22×22＝14.7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为62.其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案：B解析：四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E，F分别为AA1，CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E，F分别为AA1，CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为62.故选B.8.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为平面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是________．(填出所有可能的序号)答案：①②③解析：空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①；在平面BCC′B′上的投影是②；在平面ABCD上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．9. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案：矩形8解析：由斜二测画法的特点可知，该平面图形是一个长为 4 cm、宽为2 cm的矩形，所以面积为8 cm2.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南长沙三校一模]已知点E、F、G分别是正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是()答案：C解析：当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.故选C.2．[2017·河北模拟]某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A．3∈A B．5∈AC．26∈A D．43∈A答案：D解析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长为25，EC的长为42，故选D.3．[2017·湖南郴州模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案：D解析：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现，故选D.4．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是()A B C D答案：B解析：本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和侧视图是个矩形，可以堵住方形空洞，故选B.5．[2017·辽宁大连模拟]某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案：27解析：由三视图可知，该四面体为V－ABC，如图所示．其中AE ⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，所以AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，VA＝20＝2 5.AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.。

2015高考数学(人教A版,文)一轮开卷速查：9-1空间几何体的结构、三视图和直观图

开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(39)空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1．[2014·青岛调研]如图，在下列四个几何体中，其三视图(正(主)视图、侧(左)视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()①棱长为1的正方体②底面直径和高均为1的圆柱③底面直径和高均为1的圆锥④底面边长为1、高为1.2的正四棱柱A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正(主)视图、侧(左)视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正(主)视图、侧(左)视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正(主)视图、侧(左)视图是相同的矩形．答案：A2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．答案：A3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()正(主)视图侧(左)视图A BC D解析：C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.答案：C4．如图是一几何体的直观图、正(主)视图和俯视图．在正(主)视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()侧(左)视图A侧(左)视图B侧(左)视图C侧(左)视图D解析：由直观图和正(主)视图、俯视图可知，该几何体的侧(左)视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．答案：B5．如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：由斜二测画法知B正确．答案：B6．[2014·石家庄质检一]把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为()A.32B.12C．1 D.2 2解析：由题意可知，三棱锥C-ABD的直观图如图所示．其中平面CBD⊥平面ABD.取BD的中点E，连接CE，AE，则CE⊥AE，Rt△AEC为三棱锥C-ABD的侧视图．∵AB＝AD＝BC＝CD＝2，∴AE＝CE＝1，∴S△AEC＝12×1×1＝12，故选B.答案：B二、填空题7．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的__________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合题目要求．答案：①②③⑤8．如图，在斜二测投影下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是__________．解析：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则AE＝BF＝AD cos45°＝1，∴CD＝EF＝3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝22，∴S四边形ABCD＝12·(5＋3)·22＝8 2.答案：8 29．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为__________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知一个几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)__________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：由该几何体的三视图可知该几何体是底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形.答案：①③④⑤三、解答题11．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解析：如图所示，正四棱锥S-ABCD中，高OS＝3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，在Rt△SOA中，OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2 2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝12BC＝2，SO＝3，∴SE＝5，即棱锥的斜高为 5.答案： 512．已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解析：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中V A ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.答案：(1)图略(2)6创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()A B C D解析：由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.答案：D2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为()A B C D解析：根据“长对正，宽相等，高平齐”原则，易知选项D符合题意．答案：D3．如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数共有()A．3块B．4块C．5块D．6块解析：由几何体的三视图还原出几何体的直观图，如图所示，则可知该几何体是由4块长方体堆放而成的．答案：B4．[2014·深圳模拟]如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为__________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：35．[2014·北京朝阳]有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B .322C . 2D . 3解析：如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1，∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a ＝2，∴a ＝63.∴投影面的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝ 3.此时投影面积最大，故D 正确．答案：D6．[2014·北京海淀]已知正三棱柱ABC-A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为__________，最小正周期为__________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(x)的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B 点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：8，2π3.。

空间几何体的结构特征、直观图知识点(人教A版2019必修第二册)

空间几何体的结构特征、直观图屾＿1空间几何体的结构特征＠空间几何体多面体由若干个平面多边形围成的几何体，旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。

＠棱柱侧底血(I)概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

(2)性质♦侧棱都相等，侧面是平行四边形；♦两个底面与平行千底面的截面是全等的多边形；♦过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；♦直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

(3)分类＠按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等。

＠按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱（底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体）＠棱锥sB有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

(2)性质♦♦♦平行千底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等千顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、商、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

）(3)常见棱锥正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥。

(4)侧面展开图正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

4棱台,§“'｀,＇`｀, 1,｀'｀， I' ｀， I'侧二三l IA如旬-B(I)用一个平行千棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

(2)棱台的分类由三棱锥、四棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形。

9.1空间几何体的结构特征及其三视图(学生版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时9.1空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲定位认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质；了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系.一、基础检测1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( )．A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．以下命题：其中正确命题的个数为( )．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．33．(2012 杭州)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )．A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．小结：1、空间几何体的结构特征：（1）多面体：①棱柱②棱锥③棱台（2）旋转体：①圆柱②圆锥③圆台④球2、三视图：(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．二、典例分析例1、(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．例2、(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3练习:1、(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．2、(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m 3.3、（2011北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）．Ａ．32Ｂ．16162+Ｃ．48Ｄ．16322+【课后反思】4俯视图侧左()视图正主()视图42。

高中数学知识结构图（人教A版）

高中数学知识结构图与集合与常常用逻辑用语逻辑用语集合集合集合的含义与表示集合的含义与表示集合间的基本关系集合间的基本关系集合的基本运算集合的基本运算常用逻辑用语常用逻辑用语（选修）（选修）四种命题四种命题充分条件与必要条件充分条件与必要条件简单的逻辑联结词（或、且、非）简单的逻辑联结词（或、且、非）全称量词与存在量词全称量词与存在量词函数函数函数的概念函数的概念函数的表示法函数的表示法函数的基本性质函数的基本性质基本初等函数基本初等函数函数的应用函数的应用定义域定义域值域值域对应关系对应关系单调性单调性最大（小）值最大（小）值奇偶性奇偶性指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算指数函数及其性质指数函数及其性质对数与对数运算对数与对数运算对数函数及其性质对数函数及其性质函数与方程函数与方程函数模型及其应用函数模型及其应用方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例函数模型的应用实例立体几何立体几何空间几何体空间几何体点、直线、平面点、直线、平面之间的位置关系之间的位置关系空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征简单组合体的结构特征柱、锥、台的表面积与体积柱、锥、台的表面积与体积球的体积和表面积球的体积和表面积平面及其性质（三个公理）平面及其性质（三个公理）空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间空间点、直线、平面之间的位置关系的位置关系直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质面与平面垂直的性质直线与圆直线与圆直线与方程直线与方程圆与方程圆与方程直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率直线的方程直线的方程直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系倾斜角与斜率倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程（含斜截式方程）直线的两点式方程（含截距式方程）直线的一般式方程直线的一般式方程圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程圆的方程圆的方程空间直角坐标系空间直角坐标系两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标两点间的距离两点间的距离点到直线的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式算法初步算法初步概率与统计概率与统计统计案例统计案例算法与程序框图算法与程序框图基本算法语句基本算法语句算法案例算法案例算法的概念算法的概念程序框图与算法的基本逻辑结构程序框图与算法的基本逻辑结构输入语句、输出语句和赋值语句输入语句、输出语句和赋值语句条件语句条件语句循环语句循环语句随机抽样随机抽样统计统计概率概率求最大公约数（辗转相除法、更相减损术）秦九韶算法秦九韶算法进位制进位制简单随机抽样简单随机抽样系统抽样系统抽样分层抽样分层抽样用样本估计总体用样本估计总体用样本的频率分布估计总体分布用样本的频率分布估计总体分布用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征变量间的相关关系变量间的相关关系变量之间的相关关系变量之间的相关关系两个变量的线性相关（线性回归方程）两个变量的线性相关（线性回归方程）随机事件的概率随机事件的概率古典概型古典概型几何概型几何概型随机事件的概率随机事件的概率概率的意义概率的意义概率的基本性质概率的基本性质统计案例统计案例（选修）（选修）独立性检验独立性检验回归分析回归分析离散型随机变量离散型随机变量分布列分布列期望期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布超几何分布超几何分布正态分布正态分布正态分布密度曲线正态分布密度曲线 3σ分布σ分布条件概率和事件的独立性条件概率和事件的独立性独立事件同时发生的概率独立事件同时发生的概率独立重复试验独立重复试验三角函数三角函数任意角和弧度制任意角和弧度制三角函数三角函数三角恒等变换三角恒等变换任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式平方关系平方关系商数关系商数关系三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象）的图象三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用两角和与差的正弦、两角和与差的正弦、余弦、正切公式余弦、正切公式余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式解三角形解三角形正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理向量向量平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念平面向量平面向量平面向量应用平面向量的线性运算平面向量的线性运算向量加法运算及其几何意义向量加法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义向量减法运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量的数量积平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角空间向量空间向量（选修）（选修）空间向量及其运算空间向量及其运算立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念向量的几何表示向量的几何表示相等向量与共线向量相等向量与共线向量平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算空间向量的数量积空间向量的数量积空间向量的基本定理空间向量的基本定理空间向量的线性运算空间向量的线性运算数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法数列数列等比数列的前n 项和项和等差数列等差数列等差数列的前n 项和项和等比数列等比数列数列的应用数列的应用不等关系与不等式不等关系与不等式不等式不等式不等式选讲不等式选讲一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与简单的线性基本不等式2a bab +≤基本性质基本性质比较大小比较大小二元一次不等式(组)与平面区域与平面区域简单的线性规划问题简单的线性规划问题不等式与绝对值不等式不等式与绝对值不等式柯西不等式柯西不等式数学归纳法数学归纳法不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法比较法、综合法、分析法比较法、综合法、分析法反证法、放缩法反证法、放缩法复数的基本概念复数的基本概念复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算复数(选修)变化率与导数变化率与导数几种常见函数的导数几种常见函数的导数导数的运算导数的运算导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例定积分的概念定积分的概念微积分基本定理微积分基本定理椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆的简单性质椭圆的简单性质双曲线的标准方程和简单性质双曲线的标准方程和简单性质抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程抛物线的简单性质抛物线的简单性质直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的简单应用圆锥曲线的简单应用平面直角坐标系伸缩变换下的平面图形变化平面直角坐标系伸缩变换下的平面图形变化极坐标系极坐标系极坐标系中简单图形的方程极坐标系中简单图形的方程柱坐标系、球坐标系简介柱坐标系、球坐标系简介计数原理、二项式定理计数原理、二项式定理分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理排列排列组合组合二项式定理二项式定理坐标系参数方程抛物运动轨迹的参数方程抛物运动轨迹的参数方程直线、圆和圆锥曲线的参数方程直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的比较参数方程与普通方程的比较平摆线和渐开线的参数方程平摆线和渐开线的参数方程优选法与试验设计初步优选法优选法试验设计初步试验设计初步。

高考数学考点：空间几何体的结构特征及三视图和直观图

高考数学考点：空间几何体的结构特征及三视图和直观图一、多面体的结构特征典型例题1：二、旋转体的形成典型例题2：三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．典型例题3：四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．典型例题4：五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．典型例题5：有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．值得注意是：1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，知道其面积与原图形的面积关系。