2_第2章质点运动学1-2
第二章 质点运动学总结
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t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
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第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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Y
结束
X
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地心系
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第二章 质点运动学
选取不同的参考系，描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系， 建立恰当的坐标系，
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质； 以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论：刻舟求剑的启示？
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考：圆内的一点和圆外的一点？
x a b sin y a b cos
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结束
第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量，
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
第1章-质点运动学
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
第二章质点运动学
例1、自由落体运动的运动方程为 、
1 y = gt 2
2
例2、平抛运动的运动方程 、
x = v0t 1 y = 2 gt
2
g 2 y= 2 x 2v 0
为轨迹方程
v •定义 定义 ∆r v r1 把由始点到终点的有向线段定义为质点 P2 v 的位移矢量，简称位移。 的位移矢量，简称位移。它是描述质点 r2 位置变化的物理量。 位置变化的物理量 v v v O y •计算 计算 r1 + ∆r = r2 v v v ∆r = r2 − r1 v v v x ∆r = r2 − r1 v v v v v v = ( x 2 i ＋y 2 j + z 2 k ) − ( x1 i ＋y1 j + z1 k ) v v v 说明 = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k •说明 •位移是矢量； 位移是矢量； 位移是矢量 • 具有瞬时性； 具有瞬时性； •位移与路程的区别 位移与路程的区别 • 具有相对性； 具有相对性； 位移是矢量： 位移是矢量：是指位置矢量的变化 • 单位： 单位：米（m） ） 路程是标量： 路程是标量：是指运动轨迹的长度
二、位置矢量、运动方程、位移 位置矢量、运动方程、
1、位置矢量 、
基本概念 从原点O到质点所在的位 从原点 到质点所在的位 置P点的有向线段，叫做 点的有向线段， 点的有向线段 位置矢量或位矢。 位置矢量或位矢。
z v
k
γ α
v r
β
P(x,y,z)
v v v v r ＝xi ＋yj + zk
大学物理电子教案之第2章质点运动学
第2章 质点运动学本章要点：本章要点：1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。
机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 , , ,其基本形式有平动和转动。
在平动过程中其基本形式有平动和转动。
在平动过程中其基本形式有平动和转动。
在平动过程中,,若物体内各点的位置没有相对变化物体内各点的位置没有相对变化,,那么各点所移动的路径完全相同那么各点所移动的路径完全相同,,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动动来代表整个物体的运动,,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。
在力学中在力学中,,这部分内容称为质点运动学。
容称为质点运动学。
2.1 质点运动的描述 2.1.1 参考系 质点1．参考系．参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动在自然界中所有的物体都在不停地运动,,绝对静止不动的物体是没有的。
在观察一个物体的位置及位置的变化时的位置及位置的变化时,,总要选取其他物体作为标准总要选取其他物体作为标准,,选取的标准物不同选取的标准物不同,,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。
描述也就不同，这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。
不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。
因此因此,,在讲述物体的运动情况时在讲述物体的运动情况时,,必须指明是对什么参考系而言的。
参考系的选择是任意的。
在讨论地面上物体的运动时是任意的。
在讨论地面上物体的运动时,,通常选地球作为参考系通常选地球作为参考系 。
大学物理力学一、二章作业答案-一质点的运动方程为x=cos2
第一章质点运动学一、选择题1、一质点在xoy 平面内运动，其运动方程为x2，式中 a、、at , y b ct b c 均为常数。
当运动质点的运动方向与x 轴成 450角时，它的速率为 [ B ] 。
A． a；B．2a；C． 2c；D．a24c 2。
2、设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则表示木块速度与时间关系的曲线是图 1-1 中的 [ D ]。
v v v vt t t tA B C D图1-13、一质点的运动方程是r R cos ti Rsin tj ，R、为正常数。
从t＝/到 t=2/ 时间内该质点的路程是[ B]。
A ．2R；B．R；C． 0；D．R。
4、质量为 0.25kg 的质点，受F t i(N) 的力作用， t=0 时该质点以v =2 j m/s 的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是[B]。
A ． 2 t2i +2j m；B． 2 t3i2tj m；3C．3t4 i2t 3 j ；D．条件不足，无法确定。
43二、填空题1、一质点沿 x 轴运动，其运动方程为x52t t 2（x以米为单位，t以秒为单位）。
质点的初速度为2m/s，第 4 秒末的速度为-6m/s，第 4 秒末的加速度为2。
-2m/s2、一质点以（m/s）的匀速率作半径为5m的圆周运动。
该质点在5s 内的平均速度的大小为2m/s，平均加速度的大小为2m / s2。
53、一质点沿半径为 0.1m的圆周运动，其运动方程为2t 2（式中的θ以弧度计，t以秒计），质点在第一秒末的速度为0.2m/s，切向加速度为0.2m/s2。
4、一质点沿半径1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t 3，其中θ以弧度计，t 以秒计。
T=2s时质点的切向加速度为36m/s 2；当加速度的方向和半径成45o 角时角位移是3rad 。
85、飞轮半径 0.4m ，从静止开始启动，角加速度β=0.2rad/s 2。
t=2s 时边缘各点的速度为0.16m/s ，加速度为 0.102m/s 2。
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
1-2 质点运动的描述-1
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
3. 平均速率 ——质点在 △t 时间内所走过的路程△s与时间 △t 的比值.
Δs v = Δt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
4. 瞬时速率： ——速度 v 的大小称为速率.
Δr Δs ds = lim = v v = lim = Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt dt
ds v= et = v et dt
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
六、加速度 1） 平均加速度 ——单位时间内的速度增量。
y
A
O
vA
B
vB
Δv a = Δt
a 与 Δv 同方向 .
2）（瞬时）加速度
x
vA
Δv dv a = lim = Δt →0 Δt dt
Δv
vB
1-2 质点运动的描述
从中消去参数 t 得轨道方程
F(x, y, z) = 0
z
z (t )
o
x
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
例1. 已知质点的运动方程 r = 2ti + ( 2 − t 2 ) j ( SI ) 求：(1) 质点的轨迹。 (2) t = 0 及t = 2s 时，质点的位置矢量。
⎧ x = 2t 解：(1) 先写参数方程：⎨ y = 2 − t2 ⎩
dv a= = −10 j dt
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g
y : v y = 15 − 10t
1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
(2) x : v x = 5
ax = 0 a y = −10 ≈ g
第二章质点运动学(2)
F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
质点运动学-2圆周运动相对运动
一 平面极坐标
A(x,y)
变换 A(r, ) 关系
二 圆周运动的角量描述
r=常数 = (t)
x=r cos y=r sin
y A(x,y)
r
o
x
y
角坐标对时间的一阶导数 角速度
角速度
d dt
单位：rad·s-1
A
o r
x
角速度对时间的一阶导数 角加速度
角加速度
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点 运动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量 性、瞬时性和相对性 .
二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运 用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速 度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条 件求速度、运动方程的方法 .
三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速 度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、 切向加速度和法向加速度 .
l x v0
dl dt
2x
dx dt
或
v船
v0 cos
例 以与地面成 0 角的初度速v0 发射一炮弹，除重力
加速度外，还因阻力具有与速度成正比且方向相反的加
速解度：（aa' 比a例'k系v g数为kvkkxvix）i ，kv(求ykjv：y 炮g弹)的j 轨vy迹0 a？'
四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单 的质点相对运动问题 .
at
y v
a
o
a
n
aeetntA
x
一般曲 线运动
a
dv dt
a a2 an2 tg an
第二章质点运动学Kinematicsofaparticle
冲量－动量方法 静力学
2010年10月12日 8:00-9:50 第二章 质点运动学 2
第二章 质点运动学(Kinematics of a particle) 运动学(Kinematics): 定量地描述物体的运动而不涉及引起运动的原因
绝对运动 运动学
相对运动
•绝对运动(Absolute motion): 物体相对于固定参考系的运动 •相对运动(Relative motion): 物体相对于运动参考系的运动
x 2 y 2 R 2 z 0
第二章 质点运动学 18
x
2010年10月12日 8:00-9:50
力学(Mechanics) 第二章 质点运动学
Kinematics of a particle
2.1质点的运动学方程
Kinematic equation of a particle
2.1.1 位置矢量 2.1.2 运动学方程轨迹方程 2.1.3 位移矢量
2010年10月12日 8:00-9:50
第二章 质点运动学
12
2.1.3 运动学方程轨迹方程
1. 运动学方程(Kinematical equation of motion)
方向随时间变化
v 运动的质点的位置随时间变化，因而其位置矢量 r 的大小和 v是时间t 的矢量函数 r v v r r (t )
假定极限存在. 导数的符号表述：
f ( x)
2010年10月12日 8:00-9:50
dy df y dx dx
第二章 质点运动学
x
x+x
25
2.2.1 数学知识：矢量函数的导数 2. 二阶导数(Second Derivative):
大学物理1,第2章 质点动力学
O
x
mg
tan a1 , arctan a1
g
g
l
m
a1
(2)以小球为研究对象，当小车沿斜面作匀加速运
动时，分析受力如图，建立图示坐标系。
x方向：FT2 sin(α θ) mg sin α ma2
FT 2
y方向：FT2 cos(α θ) mg cos α 0 a2
m
FT2 m 2ga22 sin α a22 g 2
• 强力（strong interaction）
在原子核内（亚微观领域）才表现出来，存在于 核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中 子紧紧束缚在一起的一种力。
其强度是电磁力的百倍，两个相邻质子之间的强 力可达104 N 。力程：<10-15 m
• 弱力（weak interaction）
亚微观领域内的另一种短程力。导致衰变放出 电子和中微子。两个相邻质子之间的弱力只有10-2 N 左右。
重力（gravity） 重力是地球表面物体所受地球引力的一个分量。
G mg
g g0 (1 0.0035cos2 φ)
地理纬度角 g0 是地球两极处的重力加速度。
重力
引力
重力与重力加速度的方向都是竖直向下。
忽略地球自转的影响物体所受的重力就等于它所受的
万有引力：
mg
G
mEm R2
弹力（elastic force）
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合 外力的大小成正比，与物体的质量成反比；加速度的
方向与合外力F的方向相同。 F kma
比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k＝1
瞬时性：是力F的瞬m时a 作m用d规v律 dt
F
力学 第二章 质点运动学
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )
v
速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx
dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax
dvx dt
d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t
t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS
S
r
r( t t )
02质点运动学二解答
2 3
只适用于匀加速率运动
S υ 2υ1 3 2 2 a = 6t ,υ1 = 0, S1 = 0 υ 2 = 3t , S 2 = t υ = =t ≠ = t t 2 2
质点运动学二
第一章 质点运动学
4．下列说法中，哪一个是正确的？ ．下列说法中，哪一个是正确的？ (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是 一质点在某时刻的瞬时速度是2m/s，说明它 ， 在此后1s内一定要经过 的路程． 内一定要经过2m的路程 在此后 内一定要经过 的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小， 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小， 加速度最大． 加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向 物体作曲线运动时， 加速度为零． 加速度为零． (D) 物体加速度越大，则速度越大． 物体加速度越大，则速度越大．
0 = υ 3 + υ 2 + υ1
质点运动学二
第一章 质点运动学
υ 5. 两条直路交叉成α角，两辆汽车分别以速率υ1和υ2沿 两条路行驶，一车相对另一车的速度大小为_______. 两条路行驶，一车相对另一车的速度大小为 υ1 υ2-1 α α υ2 υ2 υ2-1 υ1
υ 21 = υ 2 υ 1
风-人 人
υ风-地 地
二、填空题
√1．在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹，发射后 ．在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹， 飞机的速度为υ0，炮弹相对于飞机的速度为υ．略去空 气阻力， 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为__， 气阻力，则(1) 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为 ， (2) 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为______． ． (设两种参考系中坐标原点均在发射处，x轴沿速度方向 设两种参考系中坐标原点均在发射处， 轴沿速度方向 设两种参考系中坐标原点均在发射处 向前， 轴竖直向下 轴竖直向下) 向前，y轴竖直向下
大学物理1-2 求解运动学问题举例
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
解
a ay g g j
y
ax
0
v0t
r
v0t
1 2
gt
2
按已知条件，t=0时，有 O
rv0
vox v0 cos
ax 0
voy v0 sin
ay g
1 gt 2 2
P
x
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
解得：
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt2
轨迹方程为：
y
x
tan
2v02
y cos2
x2
y voy
v0
v y v
v x
v x
o α vox
d0
v y
vx
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
求最大射程
d0
2v02 g
sin
（3）质点的轨迹方程。
解：（1）质点在任一时刻的速度为
v v0
t (6tˆj)dt 2iˆ 3t 2 ˆj (m / s)
0
a d
dt
（2）质点的运动学方程为：
r r0
t (2iˆ 3t 2 ˆj)dt 2tiˆ t 3 ˆj
0
(m)
例 1-1 已知质点在直角坐标系中作平面运动，其运动
方程为
r(t) (t 2)iˆ (1 t 2 2) ˆj 4
第二讲：1-2 质点运动的描述
v v0 dv adt
v0 0
v
t
v v0 adt
0
t
同理
x x0 dx vdt
x0 0
x
t
x x0 vdt
0
t
21
在匀加速直线运动中，a为常量，依次对两式求积分， 可得
v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
11
v2
直角坐标系中
加速度：
dv dv x dv y dv z a i j k dt dt dt dt 2 d r d 2 x d 2 y d 2z i j k dt dt dt dt a x i a y j az k
速度是位矢对时间的一阶导数
v
速度方向 t 0 时， r 的极限方向
在 P 点的切线并指向质点运动方向
8
直角坐标系中
dr dx dy dz 二、瞬时速度： v i j k dt dt dt dt v x i v y j vz k
dr d2r r r t v ;a dt dt 2
2.已知加速度和初始条件,求速度和运动方程.
t2 a at v a dt t1
注意：
讨论问题一定要选取坐标系 注意矢量的书写
dr , ds, dv , dt 与 r , s , v , t 的物理含义
为了描述一个物体的运动,必须选择另一个物 体作为参考,被选作参考的物体称为参考系。 注意
参考系不一定是静止的。 Z 地面系
日心系
2
力学第二章质点运动学（ＰＤＦ）
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
第一,二,三 ,四章
v
t
dx ( 2) v dt
物理学
第五版
选题目的： 掌握自然坐标系下对运动的描述
1-17 质点在Oxy平面内运动，其运动方程为
-1 -2 2 r (2.0m s )ti [19.0m (2.0m s )t ] j
求：（1）质点的轨迹方程； （2）在t1=1.0s到t2=2.0s时间内的平均速度； （3） t1=1.0s时的速度及切向和法向加速度． （4） t=1.0s时质点所在轨道的曲率半径 ρ
α 3 s x x0 v0t t 467 m 6m
物理学
第五版
选择题答案：P48-49
2-1 D 2-5 A
2-2 A
2-3 C 2-4 B
第 三 章
动量守恒定律和 能量守恒定律
物理学
第五版
本章目录
3- 1 3- 2 * 3- 3 3- 4 3- 5 3- 6 3- 7 3- 8
基础
牛顿运动定律
力的空间累积
瞬时效果
力的时间累积
动量定理 动量守恒定律
动能定理 机械能守恒定律
物理学
第五版
第 一 章
质 点 运 动 学
物理学
第五版
本章目录
1-1 质点运动的描述 1-2 圆周运动 1-3 相对运动
物理学
第五版
第01章 质点运动学
1. 运动的描述
三种坐标系下描述运动的物理量
2. 运动学的两类问题
注意变力、矢量 2. 力的空间累积效应——动能、功、动能定理、 功能原理机械能守恒定律
注意变力的功
物 理 学
物理学
第五版
选题目的： 掌握一维运动下处理变力问题
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dr dx( t ) dy( t ) dz( t ) v i j k r dt dt dt dt v v x i v y j vz k o
2 v v v2 v 2 vz x y 速度的大小
r dr t dt
质点在第2秒时刻的速率
2 2 v 2 4 2 5 (m / s)
思考： 还有否其它的方法求速率？
dS 2 1 t 2 dt
将t 2 s代入
得 : v 2 5 (m / s)
dS v 2 1 t2 dt
dS 1 1 2 dx 2 求v 方法3 : v 4 x 4 x vx dt 2 dt 2
（一） 位移(displacement):描述质点位置变化的矢量
t t t r AB rB rA
y
A
rA rB rA x1 i y1 j z1 k x o rB x 2 i y 2 j z 2 k z r ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k xi yj zk
解: 分析(1) r ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
r0
o
P
r1
r1
r2
r
x
Q
t 0 s， r1 2 j , t 2 s， r2 4i 2 j
（4，-4） r r2 r1 4i 2 j ） 2 j 4i 4 j （
参考系选择是任意的
2. 坐标系: 固定在参考系上，定量描述空间位置的 有次序的一组数。 直角坐标系 自然坐标系
P（x，y，z）
S
S
o
(四) 位置矢量和质点运动方程-质点位置
与时间的变化关系
1 位置矢量 简称:位矢或径矢
(position vector)
r xi yj zk
讨论： 一般
微分情况下,
r S
dr dS
r
S
问题:
r r ?
1) r＝AB
r rB rA
A
r r
r AB rB rA
2) dr dr
3) d r d S
rA
O
S AB
4) d r √ d S
v
r
B
某点的速度方向:该点的切线方向
3. 平均速率与瞬时速率 (speed)
S 平均速率: v t
瞬时速率
v lim
t 0
S dS t dt
4. 瞬时速度的大小与瞬时速率的关系 2 2 2 t 0 dr dS d r (dx) (dy) (dz) r dd r d S x 2 y 2 d z 2 r r? v v lim t 0 t dt dt dt 结论 瞬时速度的大小等于瞬时速率.
从客观实际中抽象出来的、具有质量而没有大 小和形状的理想模型。 一个物体能否被看作质点，主要决定所研究 问题的性质。
（二） 时间与空间
Time:描述物质存在持续性,运动变化的顺序性
Space:表征物质广延性及排列顺序
(三) 参考系和坐标系
1. 参考系: 定性描述物体运动而选作参考的物体
运动描述的相对性
运动方程表示: x~t、v~t、a~t等 运动曲线的优点是直观,便于分析相遇点、等 速点、转向点以及运动的趋势等.
运动学的两类问题 例：已知质点运动方程：
r 2ti ( 2 t 2 ) j ( SI )
y
求：(1) 时间t=02s 的位移.
(2) t=2s时的速度和加速度.
虑导致运动状态变化的原因。
本次课重点与难点
重点: 1. 位移; 速度; 加速度矢量在直角坐标系中的 表示。 2. 有关质点运动学两类问题的求解。 1.正确理解:速度, 加速度的瞬时性 和矢量性.
难点:
2.熟练掌握运用微积分数学手段解决有关运动 学两类问题的方法.
一.质点 参考系 运动方程
（一） 质点
将t 2 s, x 4m, v x 2m / s代入
得 : v 20( m / s )
dr 2i 2tj 求a: v dt dv
a dt 2 j
为恒量 指向 y方向
例：设质点沿x轴作直线运动，a=2t，t=0时 x0=0，v0=0
P点的位置矢量 例如: r ( t ) 5i 3 j 2k
P( x, y, z )
z
r
γ
r 的大小 : r r
x2 y2 z2
z cos r
α
β
o
x cos r y
y cos r
x
cos 2 cos 2 cos 2 1
2
2
x dx dx 2
2
方法(2): dS 2dt d ( 2 t )
2 2
1 S dS 4 x 2 dx 5.91(m) p 2 0
Q
2
4
1 2 4 x dx 2
2
r 5.65m
2
2 1 t dt
思考题：1)平均速率与平均速度的大小是否相等？ 2)速度改变时速率能否不变？
例如:
2 r ( t ) 5t i 3tj 2k
求：(1) 时间t=02s 的平均速度？
r t 2 解: 分析(1) v 10i 3 j t r 0 2k r 2 20i 6 j 2k r 20i 6 j dr v 2 20i 3 j v 10ti 3 j
2 r 4 2 4） 4 2 5.65( m )， 方向 （ 4
问题： 位移的大小是路程吗？
方法(1)路程 PQ
Q
P
dS对弧长的曲线积分:
x2 x 2t; y (2 t ) y 2 4
2
dS
dx dy
2
2
x2 dx d 2 4
2 v d v d dr d r a lim 2 t 0 t dt dt dt dt
在直角坐标系中 a 可表示为:
a a x i a y j az k
dv x dv y dv z i j k dt dt dt
d2 y d2 z d x 2 i 2 j 2 k dt dt dt
2
2 dvx d x 2 a x dt dt dv y d 2 y 2 a y dt dt 2 dvz d z 2 az dt dt
加速度的大小
a 的方向：
x
r
P ( x, y, z )
r (t )
y
o
消去时间t=>运动质点的轨迹方程.
例如:
2 r ( t ) 5t i 3tj 2k
自然坐标 表示法：S
f (t )
x 5t 2 y 3t z2
例：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为r，角速度
为 ，试分别写出直角坐标系下的标量表示法、位矢、 自然法表示的质点运动学方程。
2
S dS 2 1 t dt 5.91(m)
2 p 0
Q
(2)
r 2ti ( 2 t 2 ) j
dr v 2i 2tj 质点在第2秒时刻的速度 dt
速度随时间的变化关系
v |t 2 2i 4 j
解： 建立直角坐标系XOY
并确定计时P在X正轴位置为起始时刻：
Y
j
标量
x r cost y r sin t
r
P(x,y)
i
t
O’
X
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
位矢 r xi yj r cos ti r sin tj
自然坐标 表示法： S
rt
二 位移 速度 加速度
2 质点运动方程-质点位置随时间变化关系
equation of motion
r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k
z
P ( x, y, z )
直角坐标系下的标量表示法:
运动 方程 的分 量式
x x(t )
y y (t )
Z Z (t )
rB
B
r rB rA
思考题：1 s是否可能取负值, x呢？
2试问以圆心为原点, 质点运动半圆周时的s、 r 和 r
（二） 速度(velocity):描述质点位置变化快慢的矢量
1. 平均速度
r v t
t 0
方向: r
特点: 矢量 瞬时 相对
A
2. 瞬时速度 v lim
dS 3 √. dt v
dv 6. a dt
思考题：如果让两个小球沿如 图所示两个光滑轨道同时出发, 其中一个轨道水平一个轨道在 中部有一段呈U型下沉后回到水 平.试问哪个小球先到达终点？
dv d 2 r a 2 dt dt
运动学的两类问题
1. 已知运动方程，求速度或加速度。在数学运算上 2 dr dv d r 为求导: v ; a 2 ， 这是运动学 dt dt dt 中的第一类问题- 微分方法。 2.已知加速度，求速度或运动方程。在数学运算上 为积分，这是运动学的第二类问题-积分方法。 由题意初始条件确定积分上下限，采用定积分。