动量守恒定律
动量和动量守恒定律
动量和动量守恒定律动量是物体运动的重要物理量，它描述了物体在运动中的惯性和力的效果。
动量守恒定律是描述一个孤立系统中动量守恒的原理。
本文将详细介绍动量和动量守恒定律的概念、公式以及实际应用。
一、动量的概念和公式动量是一个矢量量，它的大小等于物体的质量乘以其速度。
动量的公式可以表示为：p = m * v其中，p代表动量，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
根据动量的定义和公式，我们可以得出以下结论：1. 动量与物体的质量成正比，即物体的质量越大，其动量也越大。
2. 动量与物体的速度成正比，即物体的速度越大，其动量也越大。
3. 动量是矢量量，具有方向性。
方向与速度的方向一致。
二、动量守恒定律的原理动量守恒定律是描述一个孤立系统中动量守恒的基本原理。
在一个孤立系统中，如果没有外力作用，系统内物体的动量总和保持不变。
具体而言，如果一个物体在没有外力作用下，其动量守恒定律可以表示为：m1 * v1 + m2 * v2 = m1 * v'1 + m2 * v'2其中，m1和m2分别代表参与碰撞的两个物体的质量，v1和v2分别代表碰撞前两个物体的速度，而v'1和v'2则代表碰撞后两个物体的速度。
三、动量守恒定律的应用动量守恒定律是物理学中的重要定律，广泛应用于各个领域。
以下是一些常见的应用：1. 碰撞问题：动量守恒定律可用于解析碰撞问题。
在碰撞中，通过应用动量守恒定律，可以计算出物体碰撞前后的速度。
2. 火箭推进原理：根据动量守恒定律，当火箭喷射出高速废气时，枪炮发射子弹时，火箭或子弹的向后喷射废气或火药的速度减小，而火箭或子弹的速度相应增加。
3. 交通安全：根据动量守恒定律，人行道上的行人在与汽车碰撞时，如果行人速度较快，可能会对汽车产生较大的碰撞力，导致严重伤害。
因此，交通中的速度限制和行人过街设施的设置都是基于动量守恒定律的。
4. 运动员技巧：运动员在一些体育项目中，通过善用动量守恒定律来改变自身的状态。
物理学中的动量守恒定律
物理学中的动量守恒定律1. 引言动量守恒定律是物理学中非常重要的基本原理之一，它描述了在没有外力作用的情况下，系统的总动量将保持不变。
这一原理在理论物理学和工程学等领域具有广泛的应用，对于深入理解自然界中的许多现象具有重要意义。
2. 动量守恒定律的定义与表述2.1 定义动量守恒定律指的是，在一个孤立系统中，如果没有外力作用，那么系统的总动量将保持不变。
动量是物体的质量与速度的乘积，是一个矢量量，有大小和方向。
2.2 表述动量守恒定律可以用数学公式来表述：[ = _{i=1}^{n} m_i v_i = ]其中，( m_i ) 表示系统中第 ( i ) 个物体的质量，( v_i ) 表示第 ( i ) 个物体的速度，( n ) 表示系统中的物体总数。
3. 动量守恒定律的适用条件动量守恒定律在实际应用中有一定的局限性，需要满足以下条件：3.1 孤立系统动量守恒定律适用于孤立系统，即在系统中没有物质和能量的交换。
孤立系统可以是一个封闭的容器，也可以是真空中的自由空间。
3.2 没有外力作用在动量守恒定律的适用范围内，系统内部的所有作用力相互抵消，没有外力作用于系统。
外力可以是其他物体的撞击、摩擦力等。
3.3 物体间的相互作用力在动量守恒定律的适用范围内，系统内部物体之间的相互作用力在作用时间内具有相同的作用时间和大小。
这意味着在碰撞过程中，物体之间的相互作用力是恒定的。
4. 动量守恒定律的应用动量守恒定律在物理学和工程学中有广泛的应用，下面列举几个典型的应用场景：4.1 碰撞问题在碰撞问题中，动量守恒定律可以用来计算碰撞前后系统的总动量。
通过分析碰撞前后的动量变化，可以了解碰撞过程中物体速度、方向和能量的转化。
4.2 爆炸问题在爆炸问题中，动量守恒定律可以用来分析爆炸产生的冲击波和碎片运动。
通过计算爆炸前后系统的总动量，可以了解爆炸产生的能量和冲击波的传播速度。
4.3 宇宙物理学在宇宙物理学中，动量守恒定律可以用来研究星体碰撞、黑洞合并等极端现象。
动量守恒定律 (共19张PPT)
A
总
结
F外 0
F x =0
F y =0
5、斜面B置于光滑水平面上，物体A沿 光滑斜面滑下，则AB组成的系统动量守 恒吗？ 光滑
x
光滑
F外 0
F x =0
F y 0
空中爆炸
F外 0
但是F 内 ?
F x 0
F y 0
F
外
3. 成立条件
(1) 系统不受外力或所受外力的矢量和为零。
4、动量的变化P
1、表达式：
P2
P1
△P
P＝P2－P1 =mv2-mv1=m(v2-v1)
2、运算：
（1）成θ角，平行四边形定则 （2）在一条直线上，确定正方向后，用正 负表示方向，就转化为代数运算
3、方向：与速度变化量的方向相同。
预 学
理解三个概念：
（请自主阅读教材P12）
1. 系统：相互作用的 两个或多个物体 组成的整体。系统可按 解决问题的需要灵活选取。
这个系统的总动量保持不变。
m11 m2 2 m11 m2 2
二、动量守恒定律成立的条件 1. 系统不受力，或者 F外合 = 0 2. F内 >> F外合
3. 若系统在某一方向上满足上述 1 或 2，则在该方向上系
统的总动量守恒。
三、应用动量守恒定律解决问题的基本步骤
定系统
判条件
2. 动量守恒定律是一个 独立的实验定律 ，它适用于目前为 止物理学研究的 一切 领域。
3. 与牛顿运动定律相比较，动量守恒定律解决问题优越性表 现在哪里？ 动量守恒定律只涉及始末两个状态，与过程中力的 细节无关，往往能使问题大大简化。
课 堂 总 结
动量守恒定律
例 题 3．如图所示，在光滑的水平地面上有一辆 讲 平板车，车的两端分别站着人A和B，A的 解 质量为mA，B的质量为mB，mA＞mB.最初 人和车都处于静止状态．现在，两人同时 由静止开始相向而行，A和B对地面的速度 大小相等，则车( ) A．静止不动 B．左右往返运动 C．向右运动 D．向左运动
(2)完全非弹性碰撞：设 m1 和 m2 碰后的共同速度为 v′. m1v1 动量关系：m1v1＝(m1＋m2)v′，即 v′＝ m1＋m2
1 2 1 2 能量关系： m1v1＝ (m1＋m2)v′ ＋ΔE，ΔE 为碰撞损失的动能． 2 2
例 【典例 2 】 质量为 M 的小物块 A 静止在离 题 讲 地面高 h 的水平桌面的边缘，质量为 m 的小物 解 块 B 沿桌面向 A 运动并以速度 v0 与之发生正碰
三、反冲、爆炸
2．爆炸问题
爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很 大，且远大于系统所受的外力，所以系统 动量守恒，爆炸过程中位移很小，可忽略 不计，作用后从相互作用前的位置以新的 动量开始运动．
例 题 1．在下列几种现象中，所选系统动量守恒的 ) 讲 是( 解 A．原来静止在光滑水平面上的车，从水平方 向跳上一个人，人、车为一系统 B．运动员将铅球从肩窝开始加速推出，以运 动员和铅球为一系统 C．从高空自由下落的重物落在静止于地面上 的车厢中，以重物和车厢为一系统 D．光滑水平面上放一斜面，斜面也光滑，一 个物体沿斜面滑下，以重物和斜面为一系统
例 题 2 ．如图所示，物体 A 静止在光滑的水平面上， 讲 A 的左边固定有轻质弹簧，与 A 质量相等的物 解 体 B以速度v向 A运动并与弹簧发生碰撞， A、 B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动 能损失最大的时刻是( ) A．A开始运动时 B．A的速度等于v时 C．B的速度等于零时 D．A和B的速度相等时
动量守恒定律
动量守恒定律动量守恒定律是力学中的基本原理之一，它是描述物体运动的重要定律。
本文将从动量守恒定律的概念、推导以及应用方面进行详细论述。
动量是物体运动状态的描述性物理量，它与物体的质量和速度密切相关。
在力学中，动量被定义为物体质量乘以速度。
动量守恒定律表明在某个闭合系统内，当没有外力作用时，系统的总动量将保持不变。
换句话说，系统中各个物体的动量之和在时间变化过程中保持不变。
动量守恒定律可以通过以下方式进行推导：考虑一个封闭系统，系统中存在两个物体A和B，它们的质量分别为mA和mB，速度分别为vA和vB。
根据动量的定义，物体A和B的动量分别为pA=mAvA和pB=mBvB。
根据动量守恒定律，系统的总动量应该在时间变化过程中保持不变，即pA + pB = mAvA + mBvB = 常数。
这就是动量守恒定律的数学表达式。
动量守恒定律在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
首先，在碰撞过程中，动量守恒定律可以帮助我们分析和预测物体的运动状态。
当两个物体发生碰撞时，它们之间的相互作用力会改变它们的动量，但是根据动量守恒定律，整个系统的总动量始终保持不变。
这可以用来解释为什么有时候碰撞后的物体会改变速度和方向。
其次，在推进技术和航天科学中，动量守恒定律也起着重要的作用。
例如，火箭发射时会产生巨大的推力，这是通过排出高速喷气来实现的。
喷气的推力产生于燃烧过程中气体的重量和速度的改变，而根据动量守恒定律，整个系统的总动量保持不变。
因此，喷射出去的气体会以极高的速度向后排出，从而推动火箭向前飞行。
此外，在运动员比赛中也可以应用动量守恒定律。
例如，田径比赛中的标枪投掷项目中，运动员在投掷标枪时通过加大自身的动量来增加标枪的飞行距离。
同样，在击剑项目中，运动员通过调整自身的动量来控制刺击或防守的效果。
综上所述，动量守恒定律是力学领域中一个重要的定律，它在物体运动和相互作用等方面起着重要的作用。
通过研究动量守恒定律，我们可以更好地理解自然界中的各种运动现象，并应用于实际生活和科学研究中。
动量守恒定律
动量守恒定律动量守恒定律是物理学中的重要定律之一，它描述了一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量将保持不变。
本文将详细介绍动量守恒定律的定义、原理、应用以及相关实验。
一、动量守恒定律的定义动量是物体运动的量度，它等于物体的质量与速度的乘积，即动量=质量×速度。
动量守恒定律的定义可以表述如下：在一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量保持不变。
二、动量守恒定律的原理动量守恒定律的原理可以从牛顿第二定律推导而来。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，即F=ma。
将牛顿第二定律改写为F=Δ(mv)/Δt，其中Δ(mv)表示物体动量的变化量，Δt表示时间变化量。
如果没有外力作用，即 F=0，则Δ(mv)=0，即总动量保持不变。
三、动量守恒定律的应用动量守恒定律在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 碰撞问题：当两个物体发生碰撞时，根据动量守恒定律可以推导出碰撞前后物体的速度变化。
例如，在车辆碰撞事故中，利用动量守恒定律可以确定碰撞前后车辆的速度，从而分析碰撞的严重程度。
2. 火箭推进原理：火箭推进原理依赖于动量守恒定律。
火箭喷出高速气体的同时，产生与气体喷出速度相反的动量，从而推动火箭向前运动。
3. 弹道学：弹道学研究物体在重力和空气阻力下的运动规律。
动量守恒定律是弹道学中的基本原理，通过分析物体在不同重力和阻力条件下的动量变化，可以预测物体的轨迹和射程。
四、相关实验为了验证动量守恒定律的有效性，科学家们进行了一系列实验。
以下是两个与动量守恒定律相关的实验。
1. 碰撞实验：在实验室中，可以通过设计不同碰撞装置，如弹性碰撞和非弹性碰撞，来观察和测量碰撞前后物体的质量和速度变化。
实验结果验证了动量守恒定律在碰撞问题中的适用性。
2. 火箭实验：利用模型火箭进行实验，测量火箭喷出气体的速度和质量，以及火箭前后的速度变化，验证了动量守恒定律在火箭推进中的应用。
高中物理动量守恒定律
一、概念复习
1、动量：p = mv
2、冲量：I=F·t
3、动量定理：即 p ′ — p=I
4、动量守恒定律 如果一个系统不受外力，或者所受外力之和为零 （两个物体）m1v1+m2v2=m1v/1+m2v/2
动量守恒定律成立的三个条件：
（1） 系统不受外力或者所受外力之和为零 （2） 若系统所受合外力不为零，但在内力远大于外
m2 m2
V0
m1
m2
V1ˊ
V2ˊ
V2
2m1 m1 m2
V0
m1
m2
碰撞问题的解应同时遵守三个原则：
(1)系统动量守恒的原则：P′=P (2)空间可行性原则
(63. )反不冲违运背动能：量一守个恒静的止原的则物体：在EK内′≤力E作K 用下分裂为两个部分，
一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动。这个
现象叫做反冲。
二、应用动量定理或动量守恒定律 解题的一般步骤
• 1．选取研究对象和系统，确定物理过程（是解 题关键所在），根据是否满足动量守恒的条件选 择用动量守恒定律还是动量定理； 2．选取正方向（或建立坐标系）和参考系（一 般以地面为参考系）； 3．写出初末状态的动量(注意：一般以相对地面 速度），或应用动量定理时的冲量；
例7、带有1/4光滑圆弧轨道质量为M的滑车静止于光
滑水平面上，如图示，一质量为m的小球以速度v0水 平冲上滑车，当小球上行再返回并脱离滑车时，以下
说法正确的是： （ B C D ）
A.小球一定水平向左作平抛运动
B.小球可能水平向左作平抛运动
v0
C.小球可能作自由落体运动
m
M
D.小球可能水平向右作平抛运动
动量守恒定律
Ek Ek 0 碰撞过程中有机械能损失
练习1、 质量相等A、B两球在光滑水平桌面上沿 同一直线，同一方向运动，A球的动量是7kg· m/s， B球的动量是5kg· m/s，当A球追上B球发生碰撞， 则碰撞后两球的动量可能值是（ A ） A.pA'=6kg· m/s，pB'=6kg· m/s
律中的“总动量保持不变”指系统在整个过程中任意两个时 刻的总动量相等。
5．(动量守恒定律的简单应用)解放军鱼雷快艇在 南海海域附近执行任务，假设鱼雷快艇的总质量 为M，以速度v前进，现沿快艇前进方向发射一颗 质量为m的鱼雷后，快艇速度减为原来的3/5，不 计水的阻力，则鱼雷的发射速度为( A )
6.如图9所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下 端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧 轨道的最高点和最低点．现将A无初速度释放，A 与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知 圆弧轨道光滑，半径R＝0.2 m，A和B的质量相等， A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力 加速度g＝10 m/s2.求： (1)碰撞后瞬间A和B整体 的速率v′； (2)A和B整体在桌面上滑 动的距离L.
v1 v2
2v1 v2
0 v2
理论论证
m
v0
m
2m
v
v0 v 2
由动量守恒定律：mv0 0 2mv 碰撞前系统总动能： E k 0
1 2 mv 0 2
v0 2 1 1 1 2 2 E 2 m v 2 m ( ) m v 碰撞后系统总动能： k 2 0 2 2 4
v1 v1/ m2 m1 m2 v2/
m1
m2 v2 m1v1 m1v1
1 1 1 2 2 m2 v 2 2 m1v1 m1v1 2 2 2
动量守恒定律
动量守恒定律一.动量和冲量1.动量：物体的质量和速度的乘积叫做动量：p =mv⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。
⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。
2.冲量：力和力的作用时间的乘积叫做冲量：I =Ft⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。
⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。
如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。
⑶高中阶段只要求会用I=Ft 计算恒力的冲量。
对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。
⑷要注意的是：冲量和功不同。
恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。
例1. 质量为m 的小球由高为H 的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？ 解：力的作用时间都是gHg H t 2sin 1sin 22αα==，力的大小依次是mg 、 mg cosα和mg sin α，所以它们的冲量依次是：gH m I gHm I gH m I N G 2,tan 2,sin 2===合αα特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。
二、动量定理1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。
既I =Δp⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。
这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。
⑶现代物理学把力定义为物体动量的变化率：tP F ∆∆=（牛顿第二定律的动量形式）。
⑷动量定理的表达式是矢量式。
在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。
三．动量守恒定律1.动量守恒定律的条件⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。
动量守恒定律
动量守恒定律1、动量守恒定律内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的总动量就保持不变。
用公式表示为：P P P P 1212+='+' 或 m v m v m v m v 11221122+='+'2、动量守恒定律的适用范围：动量守恒定律适用于惯性参考系。
无论是宏观物体构成的宏观系统，还是由原子及基本粒子构成的微观系统，只要系统所受合外力等于零，动量守恒定律都适用。
3、动量守恒定律的研究对象是物体系。
物体之间的相互作用称为物体系的内力，系统之外的物体的作用于该系统内任一物体上的力称为外力。
内力只能改变系统中个别物体的动量，但不能改变系统的总动量。
只有系统外力才能改变系统的总动量。
要点：1、在中学阶段常用动量守恒公式解决同一直线上运动的两个物体相互作用的问题，在这种情况下应规定好正方向，v v v v 1212、、、''方向由正、负号表示。
2、两个物体构成的系统如果在某个方向所受合外力为零，则系统在这个方向上动量守恒。
3、碰撞、爆炸等过程是在很短时间内完成的，物体间的相互作用力（内力）很大，远大于外力，外力可忽略。
碰撞、爆炸等作用时间很短的过程可以认为动量守恒。
碰撞1、碰撞：碰撞现象是指物体间的一种相互作用现象。
这种相互作用时间很短，并且在作用期间，外力的作用远小于物体间相互作用，外力的作用可忽略，所以任何碰撞现象发生前后的系统总动量保持不变。
2、正碰：两球碰撞时，如果它们相互作用力的方向沿着两球心的连线方向，这样的碰撞叫正碰。
3、弹性正碰、非弹性正碰、完全非弹性正碰：①如果两球在正碰过程中，系统的机械能无损失，这种正碰为弹性正碰。
②如果两球在正碰过程中，系统的机械能有损失，这样的正碰称为非弹性正碰。
③如果两球正碰后粘合在一起以共同速度运动，这种正碰叫完全非弹性正碰。
4、弹性正确分析：①过程分析：弹性正碰过程可分为两个过程，即压缩过程和恢复过程。
什么是动量守恒定律
什么是动量守恒定律动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的物理定律。
它表明在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律是质点运动的基本定律之一，它与质量和速度密切相关。
质点的动量定义为质量与速度的乘积，即动量=质量 ×速度。
根据动量守恒定律，如果质点或质点系系统中的质点没有受到外力作用，或者外力作用合力为零，则系统的总动量在运动过程中保持不变。
动量守恒定律可以用数学公式来表示。
对于一个由n个质点组成的系统，在任意时刻t的总动量为：P_total(t) = P_1(t) + P_2(t) + ... + P_n(t)其中，P_i(t)为第i个质点在时刻t的动量。
动量守恒定律是通过对系统内部相互作用力和外力之和的分析得出的。
在一个孤立系统中，由于没有外力作用（或外力合成为零），系统内部相互作用力之和为零。
根据牛顿第三定律，质点i对质点j的作用力与质点j对质点i的作用力大小相等、方向相反。
因此，系统内各质点的作用力对总动量的贡献相互抵消，导致总动量保持恒定。
动量守恒定律适用于各种不同的物理情境。
在力学中，例如弹性碰撞和非弹性碰撞中，质点间的相互作用力可以改变质点的动量，但总动量保持不变。
在流体力学中，根据质点流体运动的动量守恒定律，可以推导出流体动量守恒定律，描述流体运动过程中总动量的守恒。
动量守恒定律的应用广泛，并在科学和工程领域中有着重要的意义。
例如，在交通工程中，研究车辆碰撞时的动量守恒可以帮助设计安全的汽车结构和防护设施。
在天体力学中，动量守恒定律用于解释行星间的相互作用和天体运动的轨迹。
此外，在核物理学和高能物理学中，动量守恒定律被广泛应用于粒子加速器中的粒子碰撞实验和粒子物理过程的研究。
总结起来，动量守恒定律是描述质点系列运动中动量守恒的基本物理定律。
它指出在一个孤立系统中，当系统内部没有外力作用或外力合成为零时，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律
动量守恒定律动量是物体运动中的重要物理量，描述了物体运动的性质和特点。
动量守恒定律是指在一个封闭系统中，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
本文将介绍动量守恒定律的基本原理和应用，并探讨它在实际生活中的重要性。
一、动量守恒定律的基本原理动量守恒定律是基于牛顿第二定律和牛顿第三定律的基础上得出的，它指出在一个封闭系统中，当没有外力作用时，系统中所有物体的总动量保持不变。
这可以用数学公式表示为：Σmv = 常数其中，Σmv表示系统中所有物体动量的总和，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
根据动量守恒定律，如果在系统内部发生碰撞或运动状态改变，系统中物体的总动量的和仍保持不变。
二、动量守恒定律的应用1. 碰撞实验中的应用碰撞是动量守恒定律的典型应用场景之一。
在完全弹性碰撞中，物体在碰撞前后的动量总和保持不变。
在完全非弹性碰撞中，物体在碰撞前后的动量总和同样保持不变。
这些实验可以通过实验室模拟，用于研究物体在碰撞过程中的能量转移和动量转移等现象。
2. 器械设计中的应用在器械设计中，动量守恒定律是一个重要的设计原则。
例如，在设计射击器械时，需要考虑枪弹的动量以及射击后枪身的反作用力等因素，以保证射击过程中能量的转移和利用。
在设计交通工具时，需要考虑动量守恒定律以确保车辆的行驶速度和安全性。
因此，理解并应用动量守恒定律对器械的设计和优化起着重要的作用。
3. 自然灾害预测和防范中的应用动量守恒定律也可以应用于自然灾害的预测和防范中。
例如，在地震预测中，研究人员可以通过测量地震波传播的速度和方向，推断地震发生的位置和规模，并采取相应的防范措施。
此外，在洪水和台风等自然灾害中，也可以利用动量守恒定律来预测和评估灾害的影响范围和破坏性。
三、动量守恒定律的重要性动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，具有重要的理论和实践意义。
它不仅对于物理学研究起着重要的指导作用，也在工程设计、自然灾害防范等方面发挥着重要作用。
通过应用动量守恒定律，人们能够更好地理解和解释物体运动中的现象，推导出重要的定量关系，为科学研究、技术发展和工程设计提供指导。
动量守恒定律
动量守恒定律动量守恒定律是物理学中一条重要的定律。
它揭示了在一个孤立系统中，当没有外力作用时，系统内各个物体的总动量保持不变。
本文将探讨动量守恒定律的定义、原理、应用以及相关实验。
一、动量守恒定律的定义动量是物体运动状态的量度，在受到力的作用下会发生变化。
动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，即使系统内部发生碰撞或交互作用，系统的总动量仍然保持不变，即动量守恒。
这意味着当没有外力作用时，物体的总动量始终保持恒定。
二、动量守恒定律的原理动量是质量和速度的乘积，常用符号表示为p=mv，其中p为动量，m为物体的质量，v为物体的速度。
动量守恒定律的原理可以通过牛顿第三定律和动量的定义推导得出。
根据牛顿第三定律，对于两个物体之间的相互作用力，力的大小相等，方向相反。
当这两个物体之间发生相互作用时，它们所受到的合外力为零。
根据动量的定义，物体受到的合外力为零时，物体的总动量不变。
即使在碰撞或交互作用的过程中，物体之间可能会发生形状、速度的变化，但是总动量仍然保持不变。
这是因为在碰撞过程中，物体之间力的相互作用虽然改变了它们的运动状态，却不会改变物体的总动量。
三、动量守恒定律的应用动量守恒定律在物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 碰撞问题：在两个物体碰撞的过程中，根据动量守恒定律可以计算各个物体的速度变化。
例如，在汽车碰撞案件中，通过分析碰撞前后各个车辆的动量，可以推断出车辆碰撞的速度。
2. 火箭推进原理：火箭在发射时会产生巨大的推力，而这是由于火箭燃料的喷射速度非常高，根据动量守恒定律，燃料喷射的高速带来了火箭的推力。
3. 运动器械设计：在设计运动器械时，需要考虑动量守恒定律。
例如，滑雪运动中，运动员下坡时的动能可以转化为速度和高度，以保持平衡，避免摔倒。
四、相关实验为了验证动量守恒定律，科学家设计了一系列实验。
以下是其中一些实验的简要介绍：1. 相撞小车实验：在实验室中放置两个小车，在一条直线上相向运动，在碰撞时，观察它们的反弹情况。
动量守恒定律
动量守恒定律定律说明一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。
1.动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，是一个实验规律，也可用牛顿第三定律结合动量定理推导出来。
2.相互间有作用力的物体系称为系统，系统内的物体可以是两个、三个或者更多，解决实际问题时要根据需要和求解问题的方便程度，合理地选择系统。
[1]定律特点矢量性动量是矢量。
动量守恒定律的方程是一个矢量方程。
通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能确定方向的物理量可以用字母表示，若计算结果为“+”，则说明其方向与规定的正方向相同，若计算结果为“-”，则说明其方向与规定的正方向相反。
瞬时性动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。
因此，列出的动量守恒定律表达式m1v1+m2v2+…=m1v1ˊ+m2v2ˊ+…，其中v1，v2…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v1ˊ，v2ˊ都是作用后同一时刻的瞬时速度。
只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。
在具体问题中，可根据任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。
相对性物体的动量与参考系的选择有关。
通常，取地面为参考系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。
普适性它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
适用性适用范围动量守恒定律是自然界最普遍、最基本的规律之一。
不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。
小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的。
适用条件1.系统不受外力或者所受合外力为零；2.系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动动能定理：（2）Δp=0即系统的总动量的变化为零数学推导根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别为：所以：m1a1=-m2a2碰撞时两球之间力的作用时间很短，用表示，这样加速度与碰撞前后速度的关系就是：，代入上式，整理后可得：或写成：即：这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的。
动量守恒定律
第 2讲
动量守恒守律
2-4 如图所示,在水平光滑直轨道上,静止着三个质量均为m=1 kg的小 球A、B、C。现让A球以vA=4 m/s的速度向右、B球以vB=2 m/s的速度向 左同时相向运动,A、B两球碰撞后粘合在一起继续向右运动,再跟C球 碰撞,C球的最终速度为vC=1 m/s。求:
(1)A、B两球跟C球相碰前的共同速度大小。 (2)A、B两球跟C球相碰后的速度大小。 答案 (1)1 m/s
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3.质量为m的炮弹沿水平方向飞行,其动能为Ek,突然在空中爆炸成质量
k 相同的两块,其中一块向后飞去,动能为 ,另一块向前飞去,则向前飞
E 2
去的那块的动能为 ( B )
k A.
E 2
B. Ek
9 2
C. Ek
9 4
D.
94 2 答案 B 设向前飞去的那块的动能为Ek',则其动量p=
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2.根据物理情景研究初、末动量,直接判断动量是否守恒。 【情景素材· 教师备用】 下列四幅图所反映的物理过程中,系统动量守恒的是哪个?
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1-1 (多选)木块a和b用一根轻弹簧连接起来,放在光滑水平面上,a紧靠 在墙壁上。在b上施加向左的水平力F使弹簧压缩,如图所示。当撤去 外力F后,下列说法中正确的是 ( BC )
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答案 B 设人的质量为m,两小车的质量均为M,人来回跳跃后人与A 车的速度为v1,B车的速度为v2,根据题意知,人车组成的系统水平方向动 量守恒。由题意有:p0=0,人来回跳跃后的总动量p=(M+m)v1+Mv2,由动量 守恒有p0=p,解得v1=-
M v2,其中负号表示v1、v2的方向相反,小车A的 M m
动量守恒定律
动量守恒定律动量守恒定律是物理学中的一项基本原则，它指出在孤立系统中，系统的总动量在时间方向上保持不变。
简而言之，物体在没有外力作用时，其动量保持恒定。
一、动量的定义动量是物体运动状态的量度，它用字母p表示。
动量的定义公式为：p = mv其中p代表动量，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
二、动量守恒定律的表达方式动量守恒定律可以用数学表达为：总动量的变化率等于所有受力的合力：ΣF = Δp/Δt其中ΣF代表所有受力的合力，Δp代表总动量的变化量，Δt代表时间的变化量。
三、动量守恒定律在碰撞中的应用动量守恒定律在碰撞过程中起着重要的作用。
碰撞可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞两种情况。
1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞是指碰撞前后物体之间没有能量损失的碰撞，即动能守恒和动量守恒同时成立。
在完全弹性碰撞中，碰撞前后物体的总动量和总动能保持不变。
2. 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞是指碰撞前后物体之间发生能量损失的碰撞。
在非完全弹性碰撞中，虽然动能损失，但动量守恒定律仍然成立，即碰撞前后物体的总动量保持不变。
四、动量守恒定律在实际生活中的应用1. 交通事故在交通事故中，当车辆发生碰撞时，根据动量守恒定律可以分析事故的原因和结果。
如果两辆车的质量和速度都已知，可以通过运用动量守恒定律计算事故发生前后的速度和动量的变化。
2. 运动比赛在各类运动比赛中，如篮球、足球等，通过运动员之间的碰撞和互动，可以运用动量守恒定律来解释运动员的动作和结果。
例如，足球门将在扑救时需要根据对方球员的速度和质量，利用动量守恒定律来选择合适的扑救策略。
3. 火箭发射火箭发射是一个典型的动量守恒定律应用的例子。
在火箭发射过程中，燃料的喷射产生一个反冲力，推动火箭向上运动。
根据动量守恒定律，当燃料质量减少时，火箭的速度将会增加，从而使总动量保持不变。
总结：动量守恒定律是物理学中的重要原理。
它在碰撞问题、运动比赛和火箭发射等实际场景中发挥着重要作用。
动量守恒
(1)从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中,挡板阻力对滑块的冲量.
(2)小球从释放到第一次到达最低点的过程中,绳的拉力对小球做功的大小.
图所示，质量为m的有孔物体A套在光滑的水平杆上，在A下面用细绳挂一质 量为M的物体B，若A固定不动，给B一水平冲量I，B恰能上升到使绳水平的位 置。当 A不固定时，要使 B物体上升到使绳水平的位置，则给它的水平冲量至 少多大?
球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连,轻绳长为l.开始时,轻绳处于 水平 拉直状态,小球和滑块均静止 .现将小球由静止释放 ,当小球到达最低点时 ,滑块刚 好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住 ,在极短的时间内速度减为零,小球继续 向左摆动,当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点.求:
如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相
等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、 B组成的系统 动能损失最大的时刻是( ) A.A开始运动时 B.A的速度等于v时 C.B的速度等于零时
D.A和B的速度相等时
甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p甲＝5
1.碰撞 很短 ，而物体 (1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间_____ 很大 的现象. 间相互作用力_____
远大于 外力，可认 (2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力_______
为相互碰撞的系统动量守恒.
碰撞类型 弹性碰撞 非完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 动量是否守恒 机械能是否守恒 守恒 守恒 守恒
B．若质点做匀加速直线运动，则每1 s内质点所受合外力做的功都相同
C．若质点做匀速圆周运动，则每1 s内质点所受合力的冲量都相同 D．若质点做平抛运动，则每1 s内质点的动量增量都相同
什么是动量守恒定律
什么是动量守恒定律动量守恒定律是物理学中的一条基本定律，用于描述质点或物体在相互作用过程中动量的守恒关系。
根据动量守恒定律，如果一个系统在没有外力作用下，系统内部相互作用过程中的总动量保持不变。
动量是描述物体运动状态的物理量，它的大小与物体的质量和速度相关。
动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，系统内部的相互作用引起的总动量变化为零，即系统总动量在相互作用的过程中保持不变。
动量的守恒可以通过以下公式来表示：对于一个系统，其总动量为初始时刻的总动量等于末时刻的总动量。
m1v1 + m2v2 + m3v3 + ... + mnvn = m1v1' + m2v2' + m3v3' + ... + mnvn'其中，m是物体的质量，v是物体的速度，'表示发生碰撞后的动量，初始时刻的动量是指在碰撞之前的动量，末时刻的动量是指在碰撞之后的动量。
公式中的每一项分别表示系统中不同物体的动量之和。
动量守恒定律的适用范围十分广泛。
从微观粒子到宏观物体，只要在一个封闭系统内，动量的总和在相互作用过程中保持不变。
例如，当两个物体发生碰撞时，动量守恒定律可以用来计算碰撞前后物体的速度变化。
在这个过程中，如果外力没有作用于该系统，则总动量守恒。
动量守恒定律在物理学的很多领域中都有应用。
例如，在机械运动中，刹车过程中车辆的速度变化和碰撞后撞击物体的相对运动速度变化都可以利用动量守恒定律来进行计算。
在物理实验中，动量守恒定律也被广泛应用于诸如碰撞实验和反冲实验等等。
动量守恒定律与能量守恒定律密切相关，两者有着紧密的联系。
能量守恒定律是指在一个封闭系统中，系统内部相互转化的各种能量之和保持不变。
动量守恒定律可以看作是能量守恒定律在物体运动过程中的一种体现，因为运动物体的动能和势能是能量的两种主要形式，而动量则与动能直接相关。
总之，动量守恒定律是物理学中重要的基本定律之一，描述了物体在相互作用过程中动量守恒的关系。
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摘要：动量守恒定律是力学中的重要规律之一，是高考重点考查的内容。
本文对动量定恒定律从条件性、近似性、独立性、矢量性、整体性、阶段性、同系性、同时性、相对性和普适性等十个方面作了全面的剖析，对理解、掌握和应用动量守恒定律有一定的帮助。
关键词：规律动量守恒特性剖析动量守恒定律是力学中的重要规律之一，是高考重点考查的内容，可单独考查，也可以和各部分知识综合考查。
这部分内容的考题对能力要求高，综合性强，是学生学习时的难点，应用时经常出错，遇到难题往往无法入手。
弄清动量守恒定律的特性，是掌握好动量守恒定律的前提，是正确应用的保证，也能对求解综合性难题提供有益的帮助。
本文将对动量定恒定律的特性作全面的剖析：一、动量守恒定律的条件性系统动量守恒是有条件的，即系统不受外力或合外力等于零。
不注意条件性，就会导致乱用动量守恒定律。
例1、在轻的定滑轮上用线悬挂两个质量均为M的物体，A物体距地面有一高度，B物体着地，如图所示。
质量为m的圆环套在线上，从A的上方自由落下与A 粘合在一起，对m与A粘合瞬间下列说法中正确的是：( )A、m与A组成的系统动量守恒B、m与A、B组成的系统动量守恒C、m与A组成的系统动量不守恒D、m与A、B组成的系统动量不守恒解析：本题有许多人认为m与A粘合瞬间属于撞击，m与A的相互作用力远大于重力，所以误认为m与A组成的系统动量守恒或m与A、B组成的系统动量守恒。
误选A或B项。
m与A撞击，由于A、B两物体用线相连，实际上是m与A、B的撞击。
设线中的平均作用力为F，物体的重力可忽略不计，但在滑轮的轴处有方向向上的力2F，所以m与A组成的系统动量不守恒，m与A、B组成的系统动量也不守恒。
答案C、D正确。
二、动量守恒定律的近似性如果系统所受的合外力不等于零，严格地讲系统的动量不守恒。
但是，如果相互作用的时间极短，且外力远小于内力，系统内每一物体的动量改变主要来自内力的冲量，这时可认为系统的动量近似守恒。
如在爆炸、打击、碰撞等过程中，系统内物体的重力、外界对系统中物体的摩擦力等均可忽略，都可认为系统的动量近似守恒。
例2、(1997年全国高考题)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。
平衡时，弹簧的压缩量为X0，如图所示。
一物块从钢板正上方距离为3 X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。
它们到达最低点后又向上运动。
已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。
若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。
求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
解析：物块从A点自由下落与钢板碰前的速度为V0＝＝物块与钢板相碰并立即一起向下运动，说明碰撞时间极短，碰撞过程中可以不计重力，竖直方向动量近似守恒。
设碰后物块与钢板一起向下运动的速度为V1，则mV0＝(m＋m) V1在物块与钢板一起下降和上升过程中，系统的机械能守恒。
以钢板静止时的位置为重力势能的零位置，用E P表示弹簧被压缩X0时的弹性势能。
则对物块和钢板在开始下降和回到O点的两位置有E P＋(2m) V12/2＝2mg X0当物块质量为2m时，相碰时同理有2mV0＝(2m＋m) V2设它们回到O点时具有的向上速度为V，同理由机械能守恒得E P＋(3m) V22/2＝3mg X0＋(3m) V2/2物块和钢板越过O点后两者开始分离，物块向上作初速为V的竖直上抛运动，它到达的最高点与O点的距离为h＝V2/2g联立解得：h＝X0/2三、动量守恒定律的独立性如果系统所受的合外力不等于零，外力也不远小于内力（或作用时间不是极短），这时系统动量不守恒，也不能认为近似守恒。
但是只要在某一方向上不受外力或合外力的分量等于零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统动量近似守恒，这就是动量守恒定律的近似性。
系统的动量是否守恒与参照系的选择无关，这是动量守恒定律独立性的又一表现。
例3、放在光滑水平面上的质量为M的滑块，其上表面是光滑曲面。
质量为m 的物体以水平速度V0进入滑块的上表面，如图所示。
物体并未从滑块上端飞出，求：（1）物体上升的最大高度。
（2）物体滑下与滑块脱离时的速度。
解析：物体冲上曲面后，在竖直方向上先加速后减速，滑块对物体弹力的竖直分量先大于重力，到等于重力，再到小于重力，在物体上升的过程中系统竖直方向的动量不守恒。
由类似分析知，物体返回过程中系统竖直方向的动量也不守恒。
在相互间弹力的水平分量的作用下，当它们具有相同的水平速度时，物体上升到最高位置。
系统在水平方向不受外力，根据动量守恒的独立性可知，整个过程中系统的水平方向动量守恒。
系统的机械能守恒。
（1）设物体上升的最大高度为H，两者的共同速度为V，则有mV0 =（M+m）VmV02/2＝(M+m)V2/2 ＋mgH联立解得：H＝MV02/2(M+m)g（2）设物体脱离滑块时，两者的速度分别为V1、V2，则有mV0＝mV1＋MV2mV02/2＝mV12/2＋ＭV22/2联立解得：V1＝(m－Ｍ)V0／(ｍ＋Ｍ)四、动量守恒定律的矢量性由于速度和动量都是矢量，因此，系统的动量是指系统内所有物体动量的矢量和。
系统的动量守恒，是指系统内各物体动量矢量和的大小和方向保持不变。
动量守恒定律的表达式是一个矢量式，动量守恒定律具有矢量性。
当动量方向都在一条直线上时，规定正方向后可用正、负号来表示动量的矢量性，动量守恒方程的矢量式就简化为代数式。
对各矢量前的正、负号的选取，通常有两种方法：一是字母本身带正、负号，该字母既表示大小又表示方向，动量守恒定律文字方程中的运算符号一律取“＋”号；二是字母本身不带正、负号，该字母只表示大小不表示方向，动量的矢量性则通过方程中运算符号的“＋”或“—”来表示。
解题时应做到“明确矢量性，坐标方向明”。
例4、有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长度L=0.4m的绳相连接。
开始时两板水平放置并叠合在一起，静止于固定支架C上方h=0.2m处，如图(a)所示。
然后自由下落到支架上，支架上有一半径为R′【r＜R′＜R】的圆孔，两薄板中心均在圆孔中心轴线上。
大板与支架发生没有机械能损失的碰撞，碰撞后两板分离，直到绳绷紧，如图(b)所示。
在绳绷紧的瞬间，求两板的共同速度V。
解析：开始时两板自由下落，与固定支架碰撞前的速度为V0＝＝2m/s，方向竖直向下。
发生没有机械能损失的碰撞后，M以V0作竖直上抛运动。
两者的相对速度为2 V0，从M与支架碰撞到绳绷紧经历的时间为t＝L/2V0＝0.1s。
绳绷紧前m的速度V1＝V0＋gt＝3m/s，方向竖直向下。
M的速度V2＝V0－gt ＝１m/s，方向竖直向上。
在绳绷紧的瞬间，绳的拉力远大于Ｍ和m的重力，两板和绳组成的系统动量近似定恒。
规定竖直向下的方向为正方向，因V1、V2只表示速度的大小，动量的矢量性则通过运算符号的“＋”或“－”来体现，假设共同速度Ｖ的方向与正方向相同，由动量守恒定律得mV1－M V2＝(M＋m)V代入V1、V2值，解得V＝(3m－M)/(M＋m)由上式可知，在绳绷紧瞬间两板共同速度Ｖ的大小和方向取决于Ｍ和m的值。
若M＜3m，V＞0，表示绳绷紧瞬间两板向下运动；若M＝3m，V＝0，表示绳绷紧瞬间两板静止；若M＞3 m，V＜0，表示绳绷紧瞬间两板向上运动。
五、动量守恒定律的整体性动量守恒定律是对相互作用的物体系统整体而言的，具有系统的整体性。
动量守恒是指系统内所有物体的总动量守恒，并非指系统中每个物体的动量都不变。
动量守恒定律的整体性表现在两个方面：一是对象的整体性；二是过程的整体性。
例5、（2001年全国高考题）质量为M的小船以速度V0行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾。
现小孩a沿水平方向以速率u （相对于静止水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率u（相对于静止水面）向后跃入水中，求小孩b跃出后小船的速度。
解析：在解本题时，若先求小孩a跃出后小船的速度，再求小孩b跃出后小船的速度，采用分步求解，则比较繁杂，会出现一些不需求解的未知量，而这些未知量必然在方程的求解过程中消去。
在参考解答给出的解法中充分体现了动量守恒的对象整体性和过程整体性。
设小孩b跃出后小船向前行驶的速度为V，根据动量守恒定律，有(M＋2m) V0＝MＶ＋mu — mu解得：V＝[1＋(2m/M)] V0六、动量守恒定律的阶段性如果系统与外界存在间断的相互作用，则整个过程系统的动量不守恒。
这样的复杂过程可分为几个阶段，如果在某些阶段满足动量守恒的条件，则系统在对应的这些阶段的动量分别守恒或近似守恒，对这些阶段可根据动量守恒定律求解，这就是动量守恒定律的阶段性。
例6、如图所示，质量M=1㎏的平板车左端放有质量为m=2㎏的铁块，铁块与车之间的动摩擦因数μ=0.5，开始时车和铁块同以V0=6m/s的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰。
设碰撞时间极短，且碰后车的速率与碰前相等，车身足够长，使铁块不能与墙相碰，求：(1)铁块相对小车的总位移。
(2)小车和墙第一次相碰后所走总路程。
解析：(1)因小车与墙发生多次正碰，系统与外界存在间断性相互作用，整个过程系统的动量不守恒，但每次小车与墙碰后到下一次碰前小车与铁块组成的系统动量守恒。
由于m＞M，且每次碰墙前它们均获得了相同的速度，所以系统的总动量方向始终向右，因此小车最后一定紧靠着墙角停下。
由于碰后车的速率与碰前相等，所以车与墙的碰撞无能量损失。
整个系统的初动能全部转化为内能，根据功能关系有μmgs＝(M＋m)V02/2解得：s＝5.4m，故铁块相对小车的总位移为5.4m。
(2)设小车每次与墙相碰后向左运动的最大距离分别为S1、S2、S3、……，第一次相碰后对小车，根据动能定理有μmg S1＝MV02/2解得：S1＝MV02/2μmg＝1.8m。
第一次碰后，设铁块与小车获得的共同向可速度为V1，取水平向右方向为正方向，根据动量守恒定律得mV0－M V0＝(M＋m)V1解得：V1＝(m－M) V0/(m＋M)第二次碰后对小车，根据动能定理有μmg S2＝M V12/2解得：S2＝M V12/2μmg＝［(m－M)/(m＋M)］2 S1同理得：S3＝M V22/2μmg＝［(m－M)/(m＋M)］2 S2＝［(m－M)/(m＋M)］4S1……所以，小车与墙相碰反弹后向左运动的最大距离均以q＝［(m－M) 0/(m＋M)］2＝1/9的比例减小。
小车与墙发生多次碰撞，所走的路程是一个无穷等比数列的和，公比为q。
又小车每次碰撞后向左行的路程与向右行的路程相等，故小车与墙第一次相碰后所走的总路程为S＝2 S1(1＋q＋q2＋……) ＝2 S1/ (1－q)＝4.05m。