第3章 边值问题及静电场的求解

r r

Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ

r r

R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a

2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1

r r

Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
3.1.2 唯一性定理
在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或 拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯 一性定理。
求解边值问题的方法，都基于唯一性定理，一般 可以分为解析法和数值法两大类。解析法中的镜 像法和分离变量法。 3.2.1. 镜像法 镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧 妙地应用唯 一性定理， 使某些看来难解的边值 问题容易地得到解决。 使用镜像法时要注意以下三点： （1）镜像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。
若kx=0， 则微分方程的解为 f(x)=C1x+C2 g(x)和h(z)的情况类似。

2) 球坐标系中的分离变量法
1 r
2
r
(r
2
r
)
1
2

r sin
(sin

)
1
2

2 2
r sin
0
( r , , ) R ( r ) ( ) ( )

2
x
2


2
y
2


2
z
2
0
• 将待求的电位函数φ用三个单变量函数的乘积来表示， 即


φ(x, y, z)=f(x)g(y)h(z)
整理 得
1 d f f dx
2 2
2
kx ky k
2 z 2
2
1 d g g dy
2 2
1 d h h dz
2 2 2
kx ky kz 0
3.1静电场边值问题
在以上各节中，主要讨论了电荷分布已知的情况 下求无界空间的静电场问题。然而，实际中还会 遇到在给定边界条件下求有界空间的静电场和电 源外恒定电场的问题，这类问题通称为边界值问 题(Boundary Value Problem)。 边值问题可以归结为三类： （1）已知场域边界面S上各点电位值即给定 φ|S=f1(S)称为第一类边界条件或“狄利克莱”条 件。 返回 （2）已知场域边界面S上各点电位法向导数的值， 即给定
2 2

2 2 a R b 2 Rb cos R 0Q
3.2.2 分离变量法
分离变量法是把一个多变量的函数表示成几 个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定 边界与一个适当坐标系的坐标面相合；其次 要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表 示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅 是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐 标系中都可以应用分离变量法。 1).如果待求问题的边界面形状适合用直 角坐标系表示， 则用直角坐标系中的分离变 量法求解。在直角坐标系中，电位函数的拉 普拉斯方程为：
sin d
2
(r
2
dR dr
)
sin d
R 1 d
2
dr
2

d
(sin
d d
)
1 d
2
d
2
0
d
1 d R dr
1
2
m
dR dr
d
该方程只讨论电位与方位角无关的情况 该方程的解有两种情况
m
2 2
(r
2
) n ( n 1)
d d ) n ( n 1)
(2) n 2 0 时， R ( r ) An r n B n r ( n 1 )
2 n 0 的情况不存在。
■
1
d
sin d
(sin
1 d
d d
) n ( n 1)
d d
m
2 2
sin
0
的解 ——勒让德方程
sin d
(sin
) n ( n 1) 0
(1) n 2 0 时， ( ) A0 P0 (cos ) B 0 Q 0 (cos ) (2) n 2 0 时， ( ) An Pn (cos ) B n Q n (cos ) 当
0
或
π
时，Q n 是发散的。而电位应为有限值，所以
Φ的解中不含有 Q n 项。 通过以上分析，电位 ( r , ) 的通解为
( r , )
An
n


[ An r B n r
n
( n 1 )
]Pn (c os )
n0
和 B 根据给定的边界条件来确定。
Pn cos
为Legendre函数。
P0 (cos ) 1 1 P (cos ) cos 1 2 P2 (cos ) (3 cos 1) 2 1 2 P3 (cos ) (5 cos 3 cos ) 2 ...........................
2
以f(x)为例。若kx为实数，则微分方程的解为 f(x)=A1 sinkxx+A2 coskxx 若kx为虚数，令kx=jαx（αx为实数），则微分方 程的解为 f (x)=B1 sinhαxx+B2 coshαxx 或
f ( x ) B1 exp( x x ) B 2 exp( x x )
3.2 静电场边界值问题的求解
用镜像法求解电场，应遵循的原则：
在考察空间（无自由电荷分布），电势满足Laplace方程； 电势在边界面满足边界条件。
用镜像法求解电场的理论根据是唯一性定理。
考察空间：导体板上部空间（导体板接地，
所以电场仅存在于导体板上部空间。 镜像电荷：用等效电荷代替导体板上的 感应电荷。 Q Q 且分布在对称位置。 在导体板上部空间，电势为
如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓 无限远处的边界条件。对于电荷分布在有 限区域的情况，则在无限远处电位为有限 值，即
lim r 有限值
r
称之为自然边界条件。
3.1.1 泊松方程和拉普拉斯方程
在线性、 各向同性、 均匀的电介质 中，

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称之为静电场的泊松方程(Poisson‘s Equation)，它表示求解区 域的电位分布取决于当地的电荷分布。 电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点 的体电荷密度等于零， 即ρV=0，因而有 ▽2φ=0 称为拉普拉斯 方程(Laplace's Equation)。