直线的一般式方程 公开课
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直线的一般式方程(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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[解析] (1)证明：法一：直线 l 的方程可化为 5y－3＝5ax－a， 即 5y－35＝5ax－15， 所以 y－35＝ax－15. 故直线 l 恒过定点15，35. 又点15，35在第一象限，故直线 l 总经过第一象限．
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A．5 C.354
B．6 D．7
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2.无论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝0恒过一定
点，则该定点坐标为( A )
A．(－2,1)
B．(－2，－1)
C．(2,1)
D．(2，－1)
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对称问题(1)
1．点关于点的对称问题
点 P 关于点 A 的对称点 Q 满足：点 A 是线段 PQ 的中点．此类问题利
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2．2.3 直线的一般式方程
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直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫 做直线的 一般式 方程，简称 一般式 ．
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[例1] 已知直线经过点(1，－1)，斜率为2，求直线的点斜式方程，并化成 一般式．
法二：(分离参数法)：直线 l 的方程整理为 a(5x－1)－5y＋3＝0.
因为 a 为任意实数，所以5－x－5y1＋＝30＝，0，
解得x＝15， y＝53，
故直线 l 恒过定点15，35. 又点15，35在第一象限，故直线 l 总经过第一象限．
直线的一般式方程公开课
点斜式yy0kxx0斜截式ykxb两点式截距式归纳小结名称已知条件标准方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式ky轴上截距bx轴上截距ay轴上截距b有斜率的直线有斜率的直线不垂直于xy轴的直线不垂直于xy轴不过原点数学家笛卡尔在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时碰到了这样一个问题
直线方程有几种形式？
第7页/共19页
直线方程
二元一次方程
二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)，
判断它是否表示一条直线？
（1）当B≠
0时，方程可变形为
y
A B
x
C B
它表示过点 (0, C ) ，斜率为 A 的直线。
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为
零, 于是方程可化为 或重合的直线。
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
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深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
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深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(5) C=0，A、B不同时为0;
0
x
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直线方程有几种形式？
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直线方程
二元一次方程
二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)，
判断它是否表示一条直线？
（1）当B≠
0时，方程可变形为
y
A B
x
C B
它表示过点 (0, C ) ，斜率为 A 的直线。
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为
零, 于是方程可化为 或重合的直线。
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
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深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
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深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(5) C=0，A、B不同时为0;
0
x
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2.2.3直线的一般式方程(教学课件(人教版))
解(1)若方程不能表示直线，则 m2＋5m＋6＝0 且 m2＋3m＝0.
解方程组
m 2＋5m＋6＝0，得 m 2＋3m＝0，
m＝－3
(2)由已知 m2m2－2＋mm≠－0，3＝－（m2－m），解由得已m知＝－24mm12－ .＋1m＝－2m3≠2＋ 0，m－3，
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
BB
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 x C . A
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表 示一条直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的 一般式方程, 简称一般式. 探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
两点式
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
直线方程 y y0 k( x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
应用范围
不含与x轴垂
直的直线
不含与x轴垂
直的直线
不含与x, y轴
垂直的直线
截距式
过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A 和直线l垂直的直线方程．
解 (1)将与直线 l 平行的方程设为 3x＋4y＋C1＝0，
又过点 A(2,2)，所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14.
2.2.3直线的一般式式方程课件(人教版)
学习新知 直线的一般式方程:
Ax By C （0 A, B不同时为0）
探究： 在方程Ax By C 0中，A, B,C为何值时，方程 表示的直线为：
(1)平行于x轴 _A____0_且__C___0_ (2)平行于y轴 _B____0_且__C___0_ (3)与x轴重合 _A____0且 __C____0_ (4)与y轴重合 _B____0_且__C___0_
截距式方程: x y 1 ab
不能表示过原点和与坐标轴平行或重合的直线
学习新知
直线方程的一般式
思考1:直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式
方程都是关于x，y的方程，这些方程所属的类型是
什么？
二元一次方程
思考2:二元一次方程的一般情势是什么？
Ax+By+C=0
思考3:平面直角坐标系中的任意一条直线方程都 可以写成Ax+By+C=0的情势吗？
方法小结 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在 的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要 注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的 系数间的关系得出结论.
直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0
巩固练习
3.当a为何值时,直线l1 : (a 2)x (1-a) y-1=0与直线
l2 : (a-1)x (2a 3) y 2=0互相垂直？
解 :方法一由题意知，直线l1 l2. (1)若1 a 0,即a 1时,直线l1 : 3x 1 0与直线l2 : 5 y 2 0垂直.
l1 / /l2 A1B2 A2B1 0且C1 A2 C2 A1 0或C1B2 C2B1 0
《直线方程的一般形式》教案(公开课)
《直线方程的一般形式》教案一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比．(二)能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力．(三)学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点．二、教材分析1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系．2．难点：与重点相同．3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。
它们都是二元一次方程．我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？(二)直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式．由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程．反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0．(1)其中A、B不同时为零．(1)当B≠0时，方程(1)可化为这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云．(2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为它表示一条与y轴平行的直线．这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程．(三)例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0．把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)．本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线．例3 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．证法一直线AB的方程是：化简得 y=x+2．将点C的坐标代入上面的方程，等式成立．∴A、B、C三点共线．∴A、B、C三点共线．∵|AB|+|BC|=|AC|，∴A、C、C三点共线．讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力．例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C 的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多．代入x+2y-10=0有：解之得λ=-3．(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点．(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得．五、布置作业1．(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°．解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=0．3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0．证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=0．6．过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，六、板书设计。
直线方程的一般式3课件
[答案] A
[解析] 由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的 斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即 3x＋2y－1＝0.
探索延拓创新
命题方向 一般式的综合应用
关于直线平行(垂直)的参数的求解： 解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系 时，若分类讨论，情况较多、较复杂，可尝试如下判定方 法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
面直角坐标系中的直线是一一对应的．
[破疑点]AB>0时，k<0，倾斜角α为钝角；AB<0时，k>0， 倾斜角α为锐角；A＝0时，k＝0，倾斜角α＝0°；B＝0时，k不 存在，倾斜角α＝90°.
若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为
()
A．A≠0
B．B≠0
C．A·B≠0
D．A2＋B2≠0
(2)解法1：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－34. 过A(2,2)与l平行的直线方程为
y－2＝－34(x－2)．即3x＋4y－14＝0. 过A与l垂直的直线的斜率k1＝－1k＝43
方程为y－2＝43(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求．
解法2： 设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0， 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0， ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0.
若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1 ∥l2或l1与l2重合．
(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直 线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
[解析] 由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的 斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即 3x＋2y－1＝0.
探索延拓创新
命题方向 一般式的综合应用
关于直线平行(垂直)的参数的求解： 解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系 时，若分类讨论，情况较多、较复杂，可尝试如下判定方 法： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
面直角坐标系中的直线是一一对应的．
[破疑点]AB>0时，k<0，倾斜角α为钝角；AB<0时，k>0， 倾斜角α为锐角；A＝0时，k＝0，倾斜角α＝0°；B＝0时，k不 存在，倾斜角α＝90°.
若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为
()
A．A≠0
B．B≠0
C．A·B≠0
D．A2＋B2≠0
(2)解法1：已知直线l：3x＋4y－20＝0的斜率k＝－34. 过A(2,2)与l平行的直线方程为
y－2＝－34(x－2)．即3x＋4y－14＝0. 过A与l垂直的直线的斜率k1＝－1k＝43
方程为y－2＝43(x－2)．即4x－3y－2＝0为所求．
解法2： 设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0， 由(2,2)点在直线上，∴3×2＋4×2＋c＝0， ∴c＝－14.∴所求直线为3x＋4y－14＝0.
若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1 ∥l2或l1与l2重合．
(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直 线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2.2.3 直线的一般式方程(课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
解得
，所以a＞1.
a
≤
−2或a＞1
≥ 0，
综上可知a≥1.
归纳总结
求直线过定点的2种方法
【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，
直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
D．－
4
3
4
3
4
解析：直线方程的斜截式为：y＝－ x－3，斜率为－ .
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( D )
x y
所以直线为 1 ，即 x y 5 0 .
5 5
错因分析
求经过点 P 2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
解：(1) 当截距为 0 时，即直线经过原点，方程为 3x 2 y 0 ；
(2) 当截距不为 0 时，设截距为,则直线为 + = 1，
即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By
＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
问题2
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
C
，所以a＞1.
a
≤
−2或a＞1
≥ 0，
综上可知a≥1.
归纳总结
求直线过定点的2种方法
【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，
直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
D．－
4
3
4
3
4
解析：直线方程的斜截式为：y＝－ x－3，斜率为－ .
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( D )
x y
所以直线为 1 ，即 x y 5 0 .
5 5
错因分析
求经过点 P 2,3 ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
解：(1) 当截距为 0 时，即直线经过原点，方程为 3x 2 y 0 ；
(2) 当截距不为 0 时，设截距为,则直线为 + = 1，
即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By
＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
问题2
每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
C
最新人教版高中数学必修二直线的一般式方程公开课优质教案
.
④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特 殊位置的直线） ，由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截
距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式
.各种
形式互化的实质是方程的同解变形（如图
x 3 y 11 0, x 2,
解方程组
,得
.
2 x y 1 0,
y3
∴直线恒过 (2,3) 点 .
（六）课堂小结
通过本节学习，要求大家：
（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于
x 和 y 的一次方程的对应关系；
（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；
（3）通过学习，培养相互合作意识 ,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练
§3.2.3 直线的一般式方程
一、教材分析
直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一 步学习作好知识上的必要准备， 又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形 式 .掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础
2
答案： -
3
例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式，求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图
形.
解： 由方程一般式 x－ 2y＋ 6=0 ，
①
移项，去系数得斜截式 y= x ＋ 3.
②
直线的一般式方程 公开课一等奖课件
－2y＋6＝0 中，令 y＝0，得 x＝－6，即直线 l 在 x 轴上的截距是－6. 由上面可得直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A(－6,0)， B(0,3)， 过点 A， B 作直线，就得直线 l 的图形． 如下图．
l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形．
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的一般式方程
问题 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示吗？为什么？ 答 都可以，原因如下：
本 课 时 栏 目 开 关
π (1)直线和 y 轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角 α≠2，直线的 斜率 k 存在； 直线可表示成 y＝kx＋b，可转化为 kx＋(－1)y＋b＝0，这是 关于 x，y 的二元一次方程． π (2)直线和 y 轴平行(包括重合)时：此时倾斜角 α＝ ，直线的 2
填一填·知识要点、记下疑难点
本 课 时 栏 目 开 关
1．关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (其中 A， B不同时为 0 )叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．比较直线方程的五种形式 形式 点斜式 斜截式 方程
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
Hale Waihona Puke 局限 不能表示 k 不存在的直线 不能表示 k 不存在 的直线
又过点 A(2,2)， 所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14. 所求直线方程为 3x＋4y－14＝0. (2)将与 l 垂直的直线方程设为 4x－3y＋C2＝0， 又过点 A(2,2)， 所以 4×2－3×2＋C2＝0，所以 C2＝－2， 所以直线方程为 4x－3y－2＝0.
研一研·问题探究、课堂更高效
l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形．
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研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的一般式方程
问题 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示吗？为什么？ 答 都可以，原因如下：
本 课 时 栏 目 开 关
π (1)直线和 y 轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角 α≠2，直线的 斜率 k 存在； 直线可表示成 y＝kx＋b，可转化为 kx＋(－1)y＋b＝0，这是 关于 x，y 的二元一次方程． π (2)直线和 y 轴平行(包括重合)时：此时倾斜角 α＝ ，直线的 2
填一填·知识要点、记下疑难点
本 课 时 栏 目 开 关
1．关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (其中 A， B不同时为 0 )叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．比较直线方程的五种形式 形式 点斜式 斜截式 方程
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
Hale Waihona Puke 局限 不能表示 k 不存在的直线 不能表示 k 不存在 的直线
又过点 A(2,2)， 所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14. 所求直线方程为 3x＋4y－14＝0. (2)将与 l 垂直的直线方程设为 4x－3y＋C2＝0， 又过点 A(2,2)， 所以 4×2－3×2＋C2＝0，所以 C2＝－2， 所以直线方程为 4x－3y－2＝0.
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直线的一般式方程公开课PPT
垂直： 斜率存在
条件 关系 方程
l1 l 2 1 2
2
斜率不存在
垂直
k1 k2 1
垂直
k1 0, k2不存 在或 k2 0, k1不存 在
l1 : y k1 x b1 l 2 : y k2 x b2
l1 : A1 x B1 y C1 0
问题 7、任何一个一般式方程 Ax+By+C=0 都可以转化为斜截式或截距式方程吗？否 则，满足什么条件的一般式方程可以？
例 1、根据下列条件,选择适当的直线 l 方程表示 并将其转化为一般式方程. (1)已知直线 l 经过点 (2)已知直线 l 经过点 A(2,-3)，A(-1,-5)； (2) 已知直线 l 在 x、y 轴上的截距分别是 2、-4.
l 2 : A2 x B2 y C 2 0
XX分校
A1 A2 B1 B2 0
A1 , B2 0, 或A2 , B1 0
变式、已知直线 a1x+b1y+1=0,和 a2x+b2y+1=0 都过 A(2,3)点，则过 P(a1,b1),Q(a2,b2)两点的直 线方程为 .
名称 已知条件 方程 适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线
点斜式 斜率k与点(x0，y0) y－y0＝k(x－x0) 斜截式 斜率k与纵截距b 两点式 两点(x1,y1)，(x2,y2) y＝kx＋b
XX分校
y y1 x x1 不含垂直于坐标轴 y2 y1 x2 x1 的直线
直线的一般式方程
课时目标
1、知道直线一般式方程的形式及特点；
2、知道关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，
直线的一般式方程-课件全
法二：令 2×3＝m(m＋1)， 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. ∴m 的值为 2 或－3.
即 x＋y－1＝0.
[规律方法] 求直线的一般式方程的策略
1当
A≠0
时，方程可化为
x＋
B A
y＋
C A
＝0，只需求
B A
，
C A
的值；
若 B≠0，则方程化为
A B
x＋y＋
C B
＝0，只需确定
A B
，
C B
的值.因此，只要
给出两个条件，就可以求出直线方程.
2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定
直线的一般式方程
直线的一般式方程 (1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直 线的关于 x二，元y 一的次__方__程_________；任何关于 x，y 的二元一次一方条程直都线表示 _____A_x_＋_ ．By方＋程C＝__0_(_其__中__A_、__B__不__同__时__为___0_) ______________ 叫做直线方程的 一般式．
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，－3； 2
(4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式得 y－(－2)＝－12(x－8)， 即 x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0.
(3)由截距式得3x＋－y3＝1， 2
即 2x－y－3＝0. (4)由两点式得－y－4－－－22＝5x－－33，
《直线的一般方程》课件
科学研究：利用直线方程进行 数据分析和建模
PART FIVE
向量：直线的一般方程可以通过向量表示，例如向量的线性组合 矩阵：直线的一般方程可以通过矩阵表示，例如矩阵的线性变换 线性代数：直线的一般方程是线性代数的基础，可以应用于求解线性方程组 几何学：直线的一般方程可以应用于几何学中，例如求解直线的斜率、截距等
线性方程组： 直线的一般 方程可以用 于求解线性 方程组，得 到解集
向量空间：直 线的一般方程 可以表示向量 空间中的向量， 用于求解向量 问题
矩阵运算： 直线的一般 方程可以用 于矩阵运算， 求解矩阵问 题
几何图形： 直线的一般 方程可以用 于描述几何 图形，求解 几何问题
直线方程与平面方程的关系：直线方程是平面方程的特殊形式，可以相互转化
一般方程：适用于任意直 线，但计算复杂
特殊方程：适用于特定直 线，计算简单
斜截式方程：适用于斜率 存在的直线，计算简单
点斜式方程：适用于已知 直线上一点及斜率的直线， 计算简单
截距式方程：适用于已知 直线上两点的直线，计算 简单
两点式方程：适用于已知 直线上两点的直线，计算 简单
PART FOUR
代入直线方程，得到 A(kx0+b)+B(kx0+b)+C=
0
添加标题
得到一般方程为 Akx+Bky+C=0
添加标题
添加标题 设直线上任意一点为(x0,y0)
添加标题
设直线的斜率为k，则 y=kx+b
添加标题 化简得到Akx0+Bkx0+C=0
工程制图：用于绘制直线和曲线 物理计算：用于计算直线运动和曲线运动的轨迹 计算机图形学：用于生成直线和曲线的图形 数学建模：用于建立直线和曲线的数学模型
02教学课件_2.2.3 直线的一般式方程(共34张PPT)
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方
程,利用待定系数法求解.
3
解:(方法 1)由题设 l 的方程可化为 y=- x+3,
4
3
∴l 的斜率为-4.
3
(1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为- .
4
3
又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=- (x+1),即 3x+4y-9=0.
化为截距式为
2
;
.
1
解析:方程化为 3y=-2x-1,则 y=-3x-3;
x
y
-
-
方程化为 2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即 1 + 1=1.
2
2
1
答案:y=-3x-3;
x
y
-
-
1 + 1=1
2
3
3
3.两条直线的位置关系
3.判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.
求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂
直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
(1)求实数 m 的范围；
(2)若该直线的斜率 k＝1，求实数 m 的值．
直线的一般式方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
把下列方程化为ax by c 0的形式：
（1）x x0 y y0
u
v
vx uy uy0 vx0 0
(2)a( x x0 ) b( y y0 ) 0 ax by ax0 by0 0
(3) y y0 k( x x0 )
kx y y0 kx0 0
(4) y kx b
2． 已知点P(2,1)及直线l:3x+2y5=0，求： （1）过点P且与l平行旳直线方程； （2）过点P且与l垂直旳直线方程。
解：（1）设直线l方程为3x+2y+c=0，点P(2,1) 代入，得c=4，直线方程为3x+2y4=0。
（2）设直线l方程为2x3y+c=0，点P(2,1) 代入，得c=7，直线l旳方程为2x3y7=0。
2. 直线ax+by+c=0(a2+b20)旳 一种法向量：(a,b)；方向向量：(b,a)； 若b 0，则k a . b
例1. 已知直线l：2x+3y6=0，求直线l旳点方向 式方程和点法向式方程。
解： 在2x+3y6=0中，令x=0，得y=2，
直线过点(0,2).
直线l旳方向向量为 (3,2) ,
直线l旳点方向向式方程为
x 3
y2. 2
直线l旳法向量为 (2,3) ,
直线l旳点法向式方程为2x+3(y2)=0.
由一般式方程化为点法向式方程和点方 向式方程时，取旳点是不唯一旳，一般取与 坐标轴旳交点较简便。
例2 （1）求过点A(2,5)且平行于直线 l:4x3y9=0 旳直线方程；
解法一： 直线旳方向向量为(3,4)，
解法一： 直线旳方向向量为(4,3)， 直线旳点方向式方程为 x 2 y 5 .
（1）x x0 y y0
u
v
vx uy uy0 vx0 0
(2)a( x x0 ) b( y y0 ) 0 ax by ax0 by0 0
(3) y y0 k( x x0 )
kx y y0 kx0 0
(4) y kx b
2． 已知点P(2,1)及直线l:3x+2y5=0，求： （1）过点P且与l平行旳直线方程； （2）过点P且与l垂直旳直线方程。
解：（1）设直线l方程为3x+2y+c=0，点P(2,1) 代入，得c=4，直线方程为3x+2y4=0。
（2）设直线l方程为2x3y+c=0，点P(2,1) 代入，得c=7，直线l旳方程为2x3y7=0。
2. 直线ax+by+c=0(a2+b20)旳 一种法向量：(a,b)；方向向量：(b,a)； 若b 0，则k a . b
例1. 已知直线l：2x+3y6=0，求直线l旳点方向 式方程和点法向式方程。
解： 在2x+3y6=0中，令x=0，得y=2，
直线过点(0,2).
直线l旳方向向量为 (3,2) ,
直线l旳点方向向式方程为
x 3
y2. 2
直线l旳法向量为 (2,3) ,
直线l旳点法向式方程为2x+3(y2)=0.
由一般式方程化为点法向式方程和点方 向式方程时，取旳点是不唯一旳，一般取与 坐标轴旳交点较简便。
例2 （1）求过点A(2,5)且平行于直线 l:4x3y9=0 旳直线方程；
解法一： 直线旳方向向量为(3,4)，
解法一： 直线旳方向向量为(4,3)， 直线旳点方向式方程为 x 2 y 5 .
《直线的一般式方程》示范公开课教学课件【高中数学人教】
引入新课
问题1
四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？
点斜式方程
斜截式方程
两点式方程
截距式方程
直线上任意点的几何特征
直线的代数表示直线上点的横纵坐标x，y的关系
联系：
区别：应用条件不同，表达形式不同
引入新课
追问
以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性？
两点式方程
截距式方程
点斜式方程
斜截式方程
直线的方程
不同时为0
A、B
探究新知
问题4
不同时为0
A、B
斜率不存在在x轴截距为0
与y轴重合
探究新知
问题5
能否由直线的一般式方程的系数特征直接判断两条直线的位置关系？
化为一般式，得：
解：经过点 ，斜率为 的直线的点斜式方程为
知识应用
例2
直线与两坐标轴的交点
经过两点绘制直线
直线的斜率
直线在y轴上截距
时x的值
直线在x轴上截距
直线与x轴交点横坐标
直线的一般式方程
直线的斜截式方程
知识应用
例2
平行于y轴
不同时为0
A、B
探究新知
问题4
斜率为0在y轴截距为0
与x轴重合
引入新课
问题2
根据下列条件分别求出直线 l 的方程，并说说它们都是几元几次方程？
（3）过 A(－2，1)，B(3，－3)两点；（4）在x轴上、y轴上截距分别为2和3．
（1）可将直线 l 的点斜式方程 y－3＝2x，整理为 2x－y+3＝0．
探究新知
问题3
能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线 l ？
平行于x轴
问题1
四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？
点斜式方程
斜截式方程
两点式方程
截距式方程
直线上任意点的几何特征
直线的代数表示直线上点的横纵坐标x，y的关系
联系：
区别：应用条件不同，表达形式不同
引入新课
追问
以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性？
两点式方程
截距式方程
点斜式方程
斜截式方程
直线的方程
不同时为0
A、B
探究新知
问题4
不同时为0
A、B
斜率不存在在x轴截距为0
与y轴重合
探究新知
问题5
能否由直线的一般式方程的系数特征直接判断两条直线的位置关系？
化为一般式，得：
解：经过点 ，斜率为 的直线的点斜式方程为
知识应用
例2
直线与两坐标轴的交点
经过两点绘制直线
直线的斜率
直线在y轴上截距
时x的值
直线在x轴上截距
直线与x轴交点横坐标
直线的一般式方程
直线的斜截式方程
知识应用
例2
平行于y轴
不同时为0
A、B
探究新知
问题4
斜率为0在y轴截距为0
与x轴重合
引入新课
问题2
根据下列条件分别求出直线 l 的方程，并说说它们都是几元几次方程？
（3）过 A(－2，1)，B(3，－3)两点；（4）在x轴上、y轴上截距分别为2和3．
（1）可将直线 l 的点斜式方程 y－3＝2x，整理为 2x－y+3＝0．
探究新知
问题3
能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线 l ？
平行于x轴
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
A1A2+B1B2=0
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
理论迁移 3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例1 已知直线经过点A（6，-4），
斜率为 4 ，求直线的点斜式和一般式方
程.
3
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
*
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考1:设A，B不同时为0，那么集合
M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何？
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐 标轴上的截距？
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
思考3:当A，B，C分别为何值时，直
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0
和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，
求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和 l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
理论迁移 3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例1 已知直线经过点A（6，-4），
斜率为 4 ，求直线的点斜式和一般式方
程.
3
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
*
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考1:设A，B不同时为0，那么集合
M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何？
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐 标轴上的截距？
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
思考3:当A，B，C分别为何值时，直
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0
和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，
求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和 l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
_2.2.3 直线的一般式方程 优秀公开课获奖课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.
当 ≠ 0时，方程 + + = 0可变形为 =
−
−
，它表示过点(0, − )，
斜率为− 的直线.
当 = 0时， ≠ 0，方程 + + = 0可变形为 =
(− , 0)，且垂直于轴的直线.
一般式方程为2 − − 3 = 0，
3
2
直线在轴上的截距为 ，在轴上的截距为−3.
练习
题型二：一般式下的平行与垂直问题
例2.(1)已知直线1 ：2 + ( + 1) + 4 = 0与直线2 ： + 3 − 2 = 0平行，
求的值；
解：(1)由1 ：2 + ( + 1) + 4 = 0，2 ： + 3 − 2 = 0知：
的一般式方程，简称一般式.
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
【注】系数的几何意义：
(1)当 ≠ 0时，则− = (斜率)，− = (轴上的截距)；
(2)当 = 0， ≠
0时，则−
= (轴上的截距)，此时斜率不存在.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P66的练习1、2、3题；
(3)课本P67习题2.2第8、9、10、14题.
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟
大贡献.在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定
的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程
相关主题
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y
(Байду номын сангаас) C=0，A、B不同时为0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
今日作业
1、作业本：课本P101习题B组第1题； 2、书本：课本P101习题B组第2题；
•谢谢
•3.2.3 直线的一般式方程
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
yy1k(xx1) ykxb
k x ( 1 )yy1 k1 x 0
k x(1)yb0
y y1 xx1
y2 y1 x2 x1 ( y 2 y 1 ) x ( x 1 x 2 ) y x 1 ( y 1 y 2 ) y 1 ( x 2 x 1 ) 0
（1）当斜率存在时直线 l 可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程。 （看2作）y当的斜系率数不为存0的在二时元l 可一表次示方为程。x (-x+x00y=-0x,亦0=0可)
结论：平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示。
x y 1 ab
b xa y(a)b 0
上述四式都可以写成二元一次方程的形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0.
思考：
（1）平面直角坐标系中的每一条 直线都可以用一个关于x , y的二元 一次方程表示吗？
（2）每一个关于x , y的二元一次 方程都表示直线吗？
分析：直线方程 二元一次方程
，它表示一条与 y 轴平行
结论：关于 x , y 的二元一次方程，它都表示 一条直线。
直线方程的一般式
定义：我们把关于 x , y 的二元一 次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同 时为0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式。
规定：
1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
直线方程
二元一次方程
二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)，
判断它是否表示一条直线？
（1）当B≠
0时，方程可变形为
y AxC BB
它表示过点 ( 0 ,
C B
)
，斜率为
A B
的直线。
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为
零, 于是方程可化为 或重合的直线。
x
C A
例题讲解
例1. 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 4 ，求直线
3
的方程。
例2. 已知直线的方程为x-2y+6=0，求直线的斜 率以及它在坐标轴上的截距。
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
不垂直于x,y 轴的直线
x轴上截距a y轴上截距b
x y 1 ab
不垂直于x,y轴， 不过原点
数学家笛卡尔在平面直 角坐标系中研究两直线间的 位置关系时，碰到了这样一 个问题：平面直角坐标系中 的任何一条直线l能不能用 一种自然优美的“万能”形 式的方程来表示？
直线方程有几种形式？
点斜式 y－y0 = k（x－x0）
斜截式 y = kx + b
两点式 y y2 y y11x x2 x x11(1x x2,y1y2)
截距式
xy1a,b0
ab
归纳小结
(x0,y0),k y-y0k(,x0)有斜率的直线
k,y轴上截距b ykxb 有斜率的直线
(x1y, 1)(x2,y2)
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
(Байду номын сангаас) C=0，A、B不同时为0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(6)A≠0，B≠0;
0
x
今日作业
1、作业本：课本P101习题B组第1题； 2、书本：课本P101习题B组第2题；
•谢谢
•3.2.3 直线的一般式方程
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
? x+ ? y+ ? =0
yy1k(xx1) ykxb
k x ( 1 )yy1 k1 x 0
k x(1)yb0
y y1 xx1
y2 y1 x2 x1 ( y 2 y 1 ) x ( x 1 x 2 ) y x 1 ( y 1 y 2 ) y 1 ( x 2 x 1 ) 0
（1）当斜率存在时直线 l 可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程。 （看2作）y当的斜系率数不为存0的在二时元l 可一表次示方为程。x (-x+x00y=-0x,亦0=0可)
结论：平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示。
x y 1 ab
b xa y(a)b 0
上述四式都可以写成二元一次方程的形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0.
思考：
（1）平面直角坐标系中的每一条 直线都可以用一个关于x , y的二元 一次方程表示吗？
（2）每一个关于x , y的二元一次 方程都表示直线吗？
分析：直线方程 二元一次方程
，它表示一条与 y 轴平行
结论：关于 x , y 的二元一次方程，它都表示 一条直线。
直线方程的一般式
定义：我们把关于 x , y 的二元一 次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同 时为0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式。
规定：
1)x的系数为正; 2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; 3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
直线方程
二元一次方程
二元一次方程 Ax+By+C=0 (A、B不同时为0)，
判断它是否表示一条直线？
（1）当B≠
0时，方程可变形为
y AxC BB
它表示过点 ( 0 ,
C B
)
，斜率为
A B
的直线。
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为
零, 于是方程可化为 或重合的直线。
x
C A
例题讲解
例1. 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 4 ，求直线
3
的方程。
例2. 已知直线的方程为x-2y+6=0，求直线的斜 率以及它在坐标轴上的截距。
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
不垂直于x,y 轴的直线
x轴上截距a y轴上截距b
x y 1 ab
不垂直于x,y轴， 不过原点
数学家笛卡尔在平面直 角坐标系中研究两直线间的 位置关系时，碰到了这样一 个问题：平面直角坐标系中 的任何一条直线l能不能用 一种自然优美的“万能”形 式的方程来表示？
直线方程有几种形式？
点斜式 y－y0 = k（x－x0）
斜截式 y = kx + b
两点式 y y2 y y11x x2 x x11(1x x2,y1y2)
截距式
xy1a,b0
ab
归纳小结
(x0,y0),k y-y0k(,x0)有斜率的直线
k,y轴上截距b ykxb 有斜率的直线
(x1y, 1)(x2,y2)
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(4) B=0 , A≠0, C=0;
0
x
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;