公开课直线的参数方程 2
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高中数学第二章参数方程2.2.1直线的参数方程课件新人教B版选修4_4
所以直线 l 的参数方程为xy＝＝11＋＋3545tt.， 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上．
由 1＋45t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
2，∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
直线的参数方程的应用(直线与圆) [例 2] 已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t，3t， 它与曲线(y－ 2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离． [思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应 用．解答本题需先求出直线 l 的参数方程，然后根据相关概念及性 质求解即可．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应 用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角 α，然后写 出直线 l 的参数方程．
[精解详析] 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为34. 设直线的倾斜角为 α， 则 tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点 P(1,1)在直线 l 上，
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化 简得 7t2＋6t－2＝0.
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝－67，t1t2＝－27.
所以，线段|AB|的长为
32＋－42|t1－t2|＝5
t1＋t22－4t1t2＝
10 7
23. (2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为t1＋2 t2＝－37.
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的 点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
由 1＋45t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
2，∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
直线的参数方程的应用(直线与圆) [例 2] 已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t，3t， 它与曲线(y－ 2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求点 P(－1,2)到线段 AB 中点 C 的距离． [思路点拨] 本题主要考查直线的参数方程与圆的综合应 用．解答本题需先求出直线 l 的参数方程，然后根据相关概念及性 质求解即可．
[思路点拨] 本题考查直线参数方程的求法及其简单应 用．解答本题需要根据直线方程确定直线的倾斜角 α，然后写 出直线 l 的参数方程．
[精解详析] 由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为34. 设直线的倾斜角为 α， 则 tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45. 又点 P(1,1)在直线 l 上，
[精解详析] (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化 简得 7t2＋6t－2＝0.
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝－67，t1t2＝－27.
所以，线段|AB|的长为
32＋－42|t1－t2|＝5
t1＋t22－4t1t2＝
10 7
23. (2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为t1＋2 t2＝－37.
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的 点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
《直线线的参数方程》课件
描述电磁场：参 数方程可以描述 电磁场的分布和 变化，如电场强 度、磁场强度等。
描述波函数：参 数方程可以描述 波函数的分布和 变化，如声波、 光波等。
直线线的参数方 程的推导
通过点斜式方程推导参数方程
点斜式方程： y=kx+b
引入参数t： x=x0+tcosθ，
y=y0+tsinθ
代入点斜式方 程：
y=k(x0+tcos θ)+b
化简得到参数 方程：
x=x0+tcosθ， y=y0+tsinθ
通过两点式方程推导参数方程
两点式方程：Ax+By+C=0 两点坐标：(x1,y1)和(x2,y2) 代入两点式方程：A(x1)+B(y1)+C=0和A(x2)+B(y2)+C=0 解方程组得到参数t：t=(x2-x1)/(y2-y1)
实例：求直线l：x+2y-3=0的参数 方程
添加标题
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参数方程：x=at+b，y=ct+d
添加标题
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解析几何：利用参数方程求解直线 的斜率、截距等几何性质
直线线的参数方程在物理学中的应用实例
描述运动轨迹：在物理学中，直线线 的参数方程可以用来描述物体的运动 轨迹，例如抛体运动、圆周运动等。
参数方程与直角坐标方程的转换
参数方程：x=f(t), y=g(t)
直角坐标方程： x=x, y=y
转换方法：将参数 方程中的t用x和y表 示，得到直角坐标 方程
转换公式：x=f(t), y=g(t) => x=f(t), y=g(t)
直线线的参数方 程的应用
参数方程在几何图形中的应用
直线的参数方程怎么求直线的参数方程及其推导过程直线的参数方程t的意义
直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
高二数学 《直线的参数方程2》(课件)
2 因此, 直线l的方程是y 1 1 ( x 2),
2 即 x 2 y 4 0.
***思考***
例1的解法对一般圆锥曲线适用 吗? 把"中点"改为"三等分点", 直线l 的方程怎样求?
[例2] 当前台风中心P在某海滨城市 O向东300km处生成,并以40km / h的速度 向西偏北45方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方都属于台风侵袭的范 围, 那 么 经 过 多 长 时 间 后该城市开始受到台 风侵袭?
直线的参数方程(2)
一、复习回顾
1. 经过点M0( x0 , y0 ), 倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
t cos
(t为参数)
y y0 t sin
(1) 直线的参数方程中参数t的几 何意义是: t 表示参数t对应的点M到 定点M0的距离.当M0 M与e同向时, t取 正数;当M0M与e异向时, t取负数;当点 M与M0重合时, t 0.
(2)若与曲线y f ( x)交于M1, M2 两点, 对应的参数分别为t1, t2 .
1)曲线的弦M1M2的长是 ______; 2) 线段M1M2的中点M对应的参数 t的值是__________ .
2. 直线l的参数方程的其他形式
x
x0
at (t为参数)
y y0 bt
二、例题分析 [例1] 经过点M (2,1)作直线l,交椭
成的直线l的方程为
x
300
40t
cos 135 (t为参
数,
t
0)
y 40t sin135
即 x 300 20
2t (t为参数, t 0)
y 20 2t
当点M (300 20 2t,20 2t)在圆O内或
2 即 x 2 y 4 0.
***思考***
例1的解法对一般圆锥曲线适用 吗? 把"中点"改为"三等分点", 直线l 的方程怎样求?
[例2] 当前台风中心P在某海滨城市 O向东300km处生成,并以40km / h的速度 向西偏北45方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方都属于台风侵袭的范 围, 那 么 经 过 多 长 时 间 后该城市开始受到台 风侵袭?
直线的参数方程(2)
一、复习回顾
1. 经过点M0( x0 , y0 ), 倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
t cos
(t为参数)
y y0 t sin
(1) 直线的参数方程中参数t的几 何意义是: t 表示参数t对应的点M到 定点M0的距离.当M0 M与e同向时, t取 正数;当M0M与e异向时, t取负数;当点 M与M0重合时, t 0.
(2)若与曲线y f ( x)交于M1, M2 两点, 对应的参数分别为t1, t2 .
1)曲线的弦M1M2的长是 ______; 2) 线段M1M2的中点M对应的参数 t的值是__________ .
2. 直线l的参数方程的其他形式
x
x0
at (t为参数)
y y0 bt
二、例题分析 [例1] 经过点M (2,1)作直线l,交椭
成的直线l的方程为
x
300
40t
cos 135 (t为参
数,
t
0)
y 40t sin135
即 x 300 20
2t (t为参数, t 0)
y 20 2t
当点M (300 20 2t,20 2t)在圆O内或
直线的参数方程(课件PPT)
x 1
（2）直线 x y10的一个参数方程y 是22
2 2
t
t （t为参数）
。
13
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
求这条直线的方程. 解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
M(x,y)
y
e
因为M0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M0M te,即
( x(x xx 00 ,,y y y 0 y)0 )(tc o ts ( co,tss in , s) in )
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
15
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.直线参数方程的一般式
当a2xyb2xy1时00 ，abt有tt (明t为确参的几数何）意义，即 t M0M
当a 2b2 1时，t没有明确的几何意义。
注意向量工具的使用.
此时,若t>0,则 M 0 M 的方向向上;
若t<0,则 M 0 M 的点方向向下;
若t=0,则M与点M0重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
|t|=|M0M|
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
直线的参数方程 课件
在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.直线的
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
参数方程和普通方程可以进行互化.特别是要求直线上某一定点到直线与曲线的
交点的距离和直线与曲线相交的弦长时,通常要使用参数的几何意义,宜用参数方
程形式.
典例提升2
已知直线的参数方程为ቊ
= 1 + 2,
(t为参数),求该直线被圆x2+y2=9截得的弦
5 1 2
64
12 5
+
16
=
.
5
5
2
1
+ 2 + ′ =9,
5
探究三错辨析
易错点:错用参数的几何意义而致误
典例提升3
= 2− 2 ,
2+y2=4交于A,B两点,求
已知过点M(2,-1)的直线l:൞
(t为参数),l与圆x
= −1 + 2
|AB|及|AM|·|BM|.
错解:把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为
其中t'是点M(2,-1)到直线l上的一点P(x,y)的有向线段的数量,将其代入圆的方程
x2+y2=4,化简得t'2-3 2t'+1=0.因为Δ>0,可设t1',t2'是方程的两个根,由根与系数的
关系,得t1'+t2'=3 2,t1't2'=1.由参数t'的几何意义得|MA|=|t1'|,|MB|=|t2'|,
数).
1
= 3− 2 ,
(2)把൞
代入x-y+1=0,
高中数学 第二章 第三节 直线的参数方程 2.3.2直线的参数方程2课件 新人教版选修4-4
知识运用
例1. ①已知直线l: x+y-1=0与抛物 线y=x2交于A, B两点, 求线段AB的长和 点M(-1, 2)到A, B两点距离之积。
知识运用
例1. ①已知直线l: x+y-1=0与抛物 线y=x2交于A, B两点, 求线段AB的长和 点M(-1, 2)到A, B两点距离之积。
②教材P36探究部分分析。
2.直 线 x y 1 5 0 34 tt(t为参 )的数 斜_率 __.是 ___
课堂练习
1.直 线 xy3tcots2si0n020（ 0 t为 参 数 ） 的 倾 ( B斜) 角
A.200 B.700 C.1100 D.1600
2.直 线 x y 1 5 0 34 tt(t为参 )的数 斜_率 __.是 ___
例2. ①经过点M(2, 1)作直线l,线段AB的中点, 求直线l的方程。
②教材P37思考部分分析。
***思考***
由M0Mte,你 能 得 到 l的直 参线 数 方 程 中t的 参几 数何 意 ? 义 吗
直 线 的 参 数 方 程 中t参 的数 几 何 意 义:是 t 表 示 参 数 t对 应 的 点 M到 定 点M0的 距 离. 当M0M与e同 向 时,t取 正 数; 当M0M与e异 向 时,t取 负 数; 当 点M与M0重 合 时,t 0.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦 长时，不必求出交点坐标，根据直线参 数方程中参数t的几何意义即可求得结 果，与常规方法相比较，较为简捷。
知识运用
例2. ①经过点M(2, 1)作直线l, 交椭 圆 x2 y2 1于A、B两点, 如果点M恰
16 4 好为线段AB的中点, 求直线l的方程。
知识运用
普通方程
人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 x＝3－ 2 t， (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 y＝ 5＋ 2t 2 同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴) 中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ .
预习导学 课堂讲义 当堂检测
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
α α
π ≠ 2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，其中参数 t 的几何意义是：|t|是直线 → l 上任一点 M(x，y)到点 M (x ，y )的距离，即|t|＝|M M|.
1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数)， y＝5＋ 3t 2 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2 t＝－6( 3＋1).根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
答案 6( 3＋1)
直线参数方程的形式不同，参数 t 的几何意义也不同，过定点
x＝x0＋at， b M0(x0，y0)，斜率为a的直线的参数方程是 (a、b 为 y ＝ y ＋ bt 0
常数，t 为参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
π 跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
同一条直线，则 λ 与 t 的关系是(
)
A.λ＝5t C.t＝5λ
B.λ＝－5t D.t＝－5λ
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消
高中数学 第二讲 参数方程 23 直线的参数方程课件 a选修44a高二选修44数学课件
12/12/2021
第二十八页，共四十七页。
【解析】
(1)设l：xy＝＝135＋t 45t，(t为参数)，
代入x2＋9y2－9＝0整理，得
97t2＋40t－200＝0.
弦长＝|t2－t1|＝ （t2＋t1）2－4t1t2＝609722.
12/12/2021
第二十九页，共四十七页。
(2)设l的倾斜角为θ，则xy＝＝1ts＋inθtcosθ，(θ为参数)， 代入x2＋9y2－9＝0，整理，得
上，且焦半径的长分别为m和n，则m1 ＋1n为定值(焦半径是指抛物 线上的点到焦点的线段)．
12/12/2021
第三十三页，共四十七页。
【解析】 过抛物线焦点P的直线的参数方程为 x＝p2＋tcosα，代入抛物线方程，得 y＝tsinα， sin2α·t2－2pcosα·t－p2＝0. 设方程的两根为t1和t2，则mn＝|t1·t2|＝sinp22α， m＋n＝|t2－t1|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝sin22pα. ∴m1 ＋1n＝mm＋nn＝2p为定值．
23t，
(t为参数)为普通方
程为y－2＝ 33(x＋ 3)，其中k＝tanα＝ 33，0≤α<π.
∴直线l的倾斜角α＝π6 .
12/12/2021
第六页，共四十七页。
方法二：由于直线l：xy＝ ＝－ 2＋t3si＋nπt6cosπ6 ，(t为参数)，
π
π
这是过点M0(－ 3 ，2)，且倾斜角α＝ 6 的直线，故 6 为所
12/12/2021
第二十四页，共四十七页。
【解析】 方法一：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，设直 线AB的方程为x＝my＋2，m∈R，
代入y2＝8x，整理，得y2－8my－16＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16， 由|AB|＝16，得
《2.2.1 直线的参数方程》课件1-优质公开课-人教B版选修4-4精品
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【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的
几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也
正是直线参数方程标准式的优越性所在．
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π 1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为3，且交直线 x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
【反思感悟】 本题P到A，B两点的距离就是参数方程中t的两
x＝1＋9t， 可以直接写为 y＝1＋12t
(t 为参数)．
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x＝－4＋ 2t 2 【例 1】 设直线的参数方程为 y＝ 2t 2
(t 为参数)，
点 P 在直线上，且与点 M0(－4,0)的距离为 2，若该直线的参数
(θ为参数)
．
的圆的参数方程为
其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时 针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度． (3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R则圆的参数方程为
x＝x0＋Rcos θ y＝y0＋Rsin θ
0≤θ≤2π
.
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→ 当 M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 → ；当Байду номын сангаас0M
与e反向时，t取 负数 ；当点M与点M0重合时，t为 零 ．
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(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行或称直 线与a共线(其中l，m都不为0)，在直线上任取一点M(x，y)，则 → → 向量 M0M 与 a 共线，即 M0M∥ a．由向量共线的充分必要 x－x0 y－y0 → 条件以及 M0M ＝(x－x0，y－y0)，可得 ＝ .记上式的比 l m 值为t，整理后得：
【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的
几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也
正是直线参数方程标准式的优越性所在．
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π 1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为3，且交直线 x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
【反思感悟】 本题P到A，B两点的距离就是参数方程中t的两
x＝1＋9t， 可以直接写为 y＝1＋12t
(t 为参数)．
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x＝－4＋ 2t 2 【例 1】 设直线的参数方程为 y＝ 2t 2
(t 为参数)，
点 P 在直线上，且与点 M0(－4,0)的距离为 2，若该直线的参数
(θ为参数)
．
的圆的参数方程为
其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时 针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度． (3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R则圆的参数方程为
x＝x0＋Rcos θ y＝y0＋Rsin θ
0≤θ≤2π
.
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→ 当 M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 正数 → ；当Байду номын сангаас0M
与e反向时，t取 负数 ；当点M与点M0重合时，t为 零 ．
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(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行或称直 线与a共线(其中l，m都不为0)，在直线上任取一点M(x，y)，则 → → 向量 M0M 与 a 共线，即 M0M∥ a．由向量共线的充分必要 x－x0 y－y0 → 条件以及 M0M ＝(x－x0，y－y0)，可得 ＝ .记上式的比 l m 值为t，整理后得：
直线和圆的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即x x0 , y y0 tcos,sin ,
所以 x x0 t cos , y y0 t sin ,
即 x x0 t cos , y y0 t sin ,
所以,经过点 M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线
l 的参数 方程是为
x x0 t cos , y y0 t sin .
t2 2
0, 即
cos 2sin 0,于是直线l的斜率为
1
k tan 2 .
因此,
直线l的方程是y
1
1 2
x
2,
即 x 2 y 4 0.
思考 例2的解法对一般圆锥曲线 适用吗?把 "中点"改为"三等分点",直线l的方程怎样求 ?
例5 当前台风中心 P 在某海滨
城市O向东 300km处生成, 并以40
到A，B两点旳距离之积．
解：(1)直线旳参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
方向向量 e 的方向总是向上.此时,若 t 0, 则 M 0M 的方向向上;若t 0,则 M 0M 的方 向向下;若 t 0,则点M与点M 0重合.
【基本题型】
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
∴cos
α＝21，sin
α＝
3 2.
x＝1＋21t，
∴直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．①
∵直线 l 和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理，得 5t2＋2t－4＝0.
∴Δ＝4＋4×5×4＞0.
设这个二次方程的两个实根为 t1，t2. 由根与系数的关系，得 t1＋t2＝－25，t1t2＝－54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜
角θ＝120°.
(1)写出直线l的参数方程．
(解2)：求(直1)线直l线与直l 的线参x－数y方＋程1＝为0的xy＝＝交34＋＋点tt．csions
120°， 120°，
x＝3－21t，
即
y＝4＋
3 2 t.
x＝3－12t，
(2)把 y＝4＋
3 2t
由 M 为 AB 的中点，根据参数 t 的几何意义，
得|PM|＝t1＋2 t2＝51.
(2)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝
8245＝2
21 5.
1．过定点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)，|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x－y＋1＝0，得
3－21t－4－ 23t＋1＝0.解得 t＝0.
x＝3－21t，
把
t＝0
代入 y＝4＋
23t，
得两直线的交点为(3,4)．
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角，求参
数方程可利用xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α，
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
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t1t24(3 cs oi2 n s2 s1in) t1t2 3sin28 1
因为M 点为线A段B的三等分点，
t1 2t2 t1t24 (3 c sio 2 n 2 s1 in ) t2(1 )
t1t23si 2n 812t2 2(2)
(1)平方 （2）得
ktan2，因此 l的 直方 线程为
) 被双曲线
y
3t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
x2 y2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆16 4 1 于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程.
弦的中点对应的参数为 t1 t 2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
例例 11.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
解 ： x y y x 21 由 0 得 x 2 ： x 10
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
2
2
2
2
35 3542
（ 1 ） 如 何 写 出 直 线 l的 参 数 方 程 ？
①
（ 2 ） 如 何 求 出 交 点 A ， B 所 对 应 的 参 数 t 1 ， t 2 ? ① （ 3 ） A B 、 M A M B 与 t1 ， t2 有 什 么 关 系 ？
例 2 .经 过 点 M2,1作 直 线 L,交 椭 圆 x2y21 于 A ,B 两 点 。
16 4 如 果 点 M 恰 好 为 线 段 A B 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 。
解 ： 设 过 点 M 2,1的 直 线 L的 参 数 方 程 为
l
y B
O
x y 1 2 ttscio ns ,t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为
预备知识： 1.向量共线的条件
b//a(a0) ba
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
普通方程是_y __ __y __0_ ___t__a___n (__x_ ___x_0_);
如何建立直线l的参数方程呢？
M0M(x,y)(x0,y0) y
其它情况不能用。
((21)若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数，
则直线的斜率为 （ D）
A、2 B、- 2
3
3
C、3 D、- 3
2
2
((32)) 若
直
线
L的
参
数
方
程
为
x y
a b
t t
t为
参
数
，
L上
的
点
P对 1
应
的
参
数
是
t， 1
则
点
P与 1
P
a
,
b
之
间
的
距
离
是 （ C）
若t
0,则点M与M
重合
0
e
M0(x0, y0)
0
x
3.弦长公式 ：
（ 1 ） M 1M 2t1t2
（2）t t1 t2
2
x
1
1 2
t
(t是参数
)
y
1
3t 2
x 1t
(t是参数 )
y 1 3t
若直线的参数方程为：
x y
x0 y0
at bt
(t为参数)
则直线经过点M0(x0 , y0),斜率为k
lB y
O Ax
解：设M 过 (2,1点 )的直l的 线参数方程为
{xy21ttcsions(t为参)代 数入椭圆方程得
( 3 s2 i n 1 ) t2 4 (c 2 o si s ) t n 8 0
由 t 的 几 何 意 义 知 M A t 1 ,M B t 2 , 因 为 点
M在椭圆内，这个有方两程个必实根，所
(*)
由韦达 x1 定 x2 1 理 ， x1x 得 2 1：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 10
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25 y1325， y2325
记直线与坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
A 、t1
B 、2 t1
C 、 2 t1
D、 2 2
t1
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程；
5
6
(2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求
线段yAB的x长y.10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
l
l
| t | M(x, y)
O
B| t |
x
A
M0(x0, y0)
0
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
b a
|MM0||t| a2b2
1.直线参数方程
探究:直线的
xy=x0y0 tctossin(t是参参式数 数 是一） 方 不的程 是形 唯
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 b离2 . 1时，
xx0 at y y0 bt
(t为 t才参 具数 有|此） t|几=|何M意0M义|
3 y12(x2)
例2：已知直线 l:xy10与抛物线
y x2 交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上，
（1）求线段AB的长；
（2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积；
（3）求AB的中点P的坐标。
弦长|AB|= |t1 t2 |
中点P
t t1 t2
2
练习： 求直线
x
2
1t 2 (t为参数
3sin2 1 t24co s2sint 80
则 A M t1,M Bt2.M 在 椭 圆 内 所 以
A
x 4cos2sin
t1t2 3sin21
因为M为AB的中点
所以t1t2 0,cos2sin0,ktan1
2
2
直线l的方程是：y-1=1x2即x2y40
2
思考： 例2还有别的解方法吗？ 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中 点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？
(xx0, yy0)
e(cos,sin)
0
l
M(x, y)
e
M0(x0, y0)
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程： xyxy00ttcsoins (t为参)数
参数t的几何意义是什么？
y
| t || M0M|
l
M(x, y)
若t 0,则M0M方向向上
若t 0,则M0M方向向下
因为M 点为线A段B的三等分点，
t1 2t2 t1t24 (3 c sio 2 n 2 s1 in ) t2(1 )
t1t23si 2n 812t2 2(2)
(1)平方 （2）得
ktan2，因此 l的 直方 线程为
) 被双曲线
y
3t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
x2 y2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆16 4 1 于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程.
弦的中点对应的参数为 t1 t 2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
例例 11.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
解 ： x y y x 21 由 0 得 x 2 ： x 10
22
22
则 M M A ( 1 B 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2 ( 1 1 5 ) 2 ( 2 3 5 ) 2
2
2
2
2
35 3542
（ 1 ） 如 何 写 出 直 线 l的 参 数 方 程 ？
①
（ 2 ） 如 何 求 出 交 点 A ， B 所 对 应 的 参 数 t 1 ， t 2 ? ① （ 3 ） A B 、 M A M B 与 t1 ， t2 有 什 么 关 系 ？
例 2 .经 过 点 M2,1作 直 线 L,交 椭 圆 x2y21 于 A ,B 两 点 。
16 4 如 果 点 M 恰 好 为 线 段 A B 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 。
解 ： 设 过 点 M 2,1的 直 线 L的 参 数 方 程 为
l
y B
O
x y 1 2 ttscio ns ,t为 参 数 代 入 椭 圆 方 程 为
预备知识： 1.向量共线的条件
b//a(a0) ba
2.直线l的方向向量是指： 与直线l平行的非零向量
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
普通方程是_y __ __y __0_ ___t__a___n (__x_ ___x_0_);
如何建立直线l的参数方程呢？
M0M(x,y)(x0,y0) y
其它情况不能用。
((21)若直线的参数方程为
x y
1 2t 2 3t
t为参数，
则直线的斜率为 （ D）
A、2 B、- 2
3
3
C、3 D、- 3
2
2
((32)) 若
直
线
L的
参
数
方
程
为
x y
a b
t t
t为
参
数
，
L上
的
点
P对 1
应
的
参
数
是
t， 1
则
点
P与 1
P
a
,
b
之
间
的
距
离
是 （ C）
若t
0,则点M与M
重合
0
e
M0(x0, y0)
0
x
3.弦长公式 ：
（ 1 ） M 1M 2t1t2
（2）t t1 t2
2
x
1
1 2
t
(t是参数
)
y
1
3t 2
x 1t
(t是参数 )
y 1 3t
若直线的参数方程为：
x y
x0 y0
at bt
(t为参数)
则直线经过点M0(x0 , y0),斜率为k
lB y
O Ax
解：设M 过 (2,1点 )的直l的 线参数方程为
{xy21ttcsions(t为参)代 数入椭圆方程得
( 3 s2 i n 1 ) t2 4 (c 2 o si s ) t n 8 0
由 t 的 几 何 意 义 知 M A t 1 ,M B t 2 , 因 为 点
M在椭圆内，这个有方两程个必实根，所
(*)
由韦达 x1 定 x2 1 理 ， x1x 得 2 1：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 10
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25 y1325， y2325
记直线与坐 抛 A (标 1 物 5,线 35 的 )， B ( 交 15 点 ,35)
A 、t1
B 、2 t1
C 、 2 t1
D、 2 2
t1
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程；
5
6
(2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求
线段yAB的x长y.10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
l
l
| t | M(x, y)
O
B| t |
x
A
M0(x0, y0)
0
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的
b a
|MM0||t| a2b2
1.直线参数方程
探究:直线的
xy=x0y0 tctossin(t是参参式数 数 是一） 方 不的程 是形 唯
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 b离2 . 1时，
xx0 at y y0 bt
(t为 t才参 具数 有|此） t|几=|何M意0M义|
3 y12(x2)
例2：已知直线 l:xy10与抛物线
y x2 交于A,B两点， 点M(-1,2)在直线AB上，
（1）求线段AB的长；
（2）求点M(-1,2)到A , B两点的距离之积；
（3）求AB的中点P的坐标。
弦长|AB|= |t1 t2 |
中点P
t t1 t2
2
练习： 求直线
x
2
1t 2 (t为参数
3sin2 1 t24co s2sint 80
则 A M t1,M Bt2.M 在 椭 圆 内 所 以
A
x 4cos2sin
t1t2 3sin21
因为M为AB的中点
所以t1t2 0,cos2sin0,ktan1
2
2
直线l的方程是：y-1=1x2即x2y40
2
思考： 例2还有别的解方法吗？ 思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中 点”改为“三等分点”，直线的方程怎样求？
(xx0, yy0)
e(cos,sin)
0
l
M(x, y)
e
M0(x0, y0)
x
经过点M(x0,y0),倾斜角为 的直线l的
参数方程： xyxy00ttcsoins (t为参)数
参数t的几何意义是什么？
y
| t || M0M|
l
M(x, y)
若t 0,则M0M方向向上
若t 0,则M0M方向向下