中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第23课时 等腰三角形

腰三角形

第23课时 等腰三角形

(60分)

一、选择题(每题6分，共30分)

1．[xx·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是 (B) A ．80°

B ．80°或20°

C ．80°或50°

D ．20°

2．[xx·内江]如图23－1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为 (A) A ．40° B ．45° C ．60° D ．70° 【解析】 ∵AE ∥BD ， ∴∠CBD ＝∠E ＝35°， ∴∠CBA ＝70°，

∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠CBA ＝70°， ∴∠BAC ＝180°－70°×2＝40°.

3．[xx·黄石]如图23－2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝72°，则∠ABD ＝

(B)

A ．36°

B ．54°

C ．18°

D ．64°

【解析】 ∵AB ＝AC ，∠ABC ＝72°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°， ∴∠A ＝36°， ∵BD ⊥AC ，

∴∠ABD ＝90°－36°＝54°.

图23－1

图23－2

腰三角形4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)

A．6 B．7

C．8 D．9

【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.

∵MN∥BC，

∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，

∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，

∴BM＝ME，EN＝CN.

∵MN＝ME＋EN，

∴MN＝BM＋CN.

∵BM＋CN＝9，

∴MN＝9，故选D.

5．[xx·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为

(C)

A．1 cm B．2 cm

C．3 cm D．4 cm

【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AN＝BN，

∵△BCN的周长是7 cm，

∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，

∴AN＋NC＋BC＝7(cm)，

∵AN＋NC＝AC，∴AC＋BC＝7(cm)，

又∵AC＝4 cm，∴BC＝7－4＝3(cm)．图23－3

图23－4

腰三角形

二、填空题(每题6分，共30分)

6．[xx·丽水]如图23－5，在△A BC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点

D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是

__20__.

7．[xx·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18

cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.

图23－6

【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.

8．[xx·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°， ∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，

∴∠A ＝90°－40°＝50°， ∴∠ABD ＝∠A ＝50°，

∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝1

2

(180°－∠A )＝65°，

图23－5

图23－7

腰三角形

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.

9．[xx·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是

__60°__.

图23－8 图23－9

10．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.

三、解答题(共8分)

11．(8分)[xx·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，

DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC.

又∵BD＝CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)．

(20分)

12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结

AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等

式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构

成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.

(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)

图23－10

图23－11

腰三角形

__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；

(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明) 解：(2)选择①③⇒②， ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ， 又∵BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△ACE ， ∴AD ＝AE .

13．(12分)[xx·南充]如图23－12，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，

CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AE ＝CE .

求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD .

证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，

∴∠BCE ＋∠CFD ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°， ∴∠CFD ＝∠B ， ∵∠CFD ＝∠AFE ， ∴∠AFE ＝∠B ， 在△AEF 与△CEB 中，

⎩⎨⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，

∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ，

图23－12