05_二阶线性常微分方程的级数解法
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二阶次线性微分方程
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ″ ′ 的两个解， 的两个解， 所以有
* * y1 + y2 是方程 ① 的特解 的特解， 的特解. 的特解，则
②
③
分别是② 的特解， 证 因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1* = f 1(x)， ， 与 于是有 y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2* = f 2(x) .
之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
−p 2° 特征方程具有两个相等的实根，即 r1 = r2 = . ° 特征方程具有两个相等的实根， 2
e rx [u′′ + ( 2r + p )u′ + ( r 2 + pr + q )u] = 0.
−p 注意到 r = 2
是特征方程的重根， 是特征方程的重根， 所 以 有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 u(x) 满足
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′
二阶阶微分方程的解法及应用课件
分方程转化为关于参数 的常微分方程，从而求解。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
二阶常微分方程级数解法
ikat
+ De
−ikat
(k ≠ 0)
关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹 亥姆霍兹方程 方程以后讨论。 方程以后讨论。 13
3. 输运方程 三维输运方程为
ut − a2∆u = 0
和对三维波动方程的讨论一样， 和对三维波动方程的讨论一样，设 v v u(r , t ) = T (t )v(r ) 有 T ′ + k 2 a 2T = 0
utt − a ∆u = 0
2
12
分离变数得
v v u(r , t ) = T (t )v(r )
代入方程并分离得
′′ + k 2 a 2T = 0 T ∆v + k v = 0
2
关于T的方程的解为 关于T
T (t ) = C + Dt = 0) (k T = C coskat + D sin kat = Ce
Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) Φ′′ + λΦ = 0 d dΘ 2 sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin θ − λ ]Θ = 0 dθ dθ
第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题， 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征 值为 2
λ = m = 0,1, L) (m
∆v + k v = 0 与三维波动方程比较， 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方 不同的只是T的方程，这里， 的方程是一阶的， 程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的， 解为
2
T = Ce
−k 2a 2t
14
4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较， 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为
+ De
−ikat
(k ≠ 0)
关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹 亥姆霍兹方程 方程以后讨论。 方程以后讨论。 13
3. 输运方程 三维输运方程为
ut − a2∆u = 0
和对三维波动方程的讨论一样， 和对三维波动方程的讨论一样，设 v v u(r , t ) = T (t )v(r ) 有 T ′ + k 2 a 2T = 0
utt − a ∆u = 0
2
12
分离变数得
v v u(r , t ) = T (t )v(r )
代入方程并分离得
′′ + k 2 a 2T = 0 T ∆v + k v = 0
2
关于T的方程的解为 关于T
T (t ) = C + Dt = 0) (k T = C coskat + D sin kat = Ce
Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) Φ′′ + λΦ = 0 d dΘ 2 sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin θ − λ ]Θ = 0 dθ dθ
第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题， 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征 值为 2
λ = m = 0,1, L) (m
∆v + k v = 0 与三维波动方程比较， 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方 不同的只是T的方程，这里， 的方程是一阶的， 程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的， 解为
2
T = Ce
−k 2a 2t
14
4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较， 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
二阶线性常微分方程的级数解法
◼ 指标方程有重根：这时必有：ρ2 = ρ1 = (1 - g0)/ 2
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程必定有一个解可写成 ：
ζ
ζ
2 - a1
因为这时对应于 ：P(ζ) =
- a2 - a3 ζ + ⋯,
b2 b3 Q(ζ) = + + ⋯
在 ζ = 0 ，ζ P(ζ) 和 ζ2 Q(ζ) 均解析 。
ζ
ζ2 ζ
☺ 例： (1.7) 式的超几何方程 ： x (x - 1) y″ + [(1 + a + b) x - c] y′ + a b y = 0
正则奇点：在 z0 点， p(z) 或 q(z) 不解析，但 (z - z0) p(z) 和 (z - z0)2 q(z) 都解析。 非正则奇点：在 z0 点，连 (z - z0) p(z) 或 (z - z0)2 q(z) 也不解析。
◼ 无穷远点的判断：方程做自变量变换 z = 1 / ζ，则方程 (1.9) 化为
1
1
若 p 和 q 不具有 (1. 11) 形式，ζ = 0 (z = ∞) 就是微分方程的奇点 。
ζ
ζ
1
1
若 p 和 q 具有以下形式 ，则 ζ = 0 是 (1.10) 的正则奇点 ，对应地 ，z = ∞ 是 (1.9) 的正则奇点 。
ζ
ζ
1
1
p = a1 ζ + a2 ζ2 + a3 ζ3 + ⋯, q = b2 ζ2 + b3 ζ3 + ⋯,
通常人们并不需要在整个复平面内求解方程更感兴趣的是求解某点z0邻域的解邻域可大可小因此若要在某点z0的邻域求解微分方程系数函数pz和qz在z0的性质就显得特别重要为此做以下定义
第7章 线性常微分方程的级数解法
1 x 1 x
y x ck x k
k 0
比较xk项的系数： k 2 k 1 ck 2 k k 1 ck 2kck ck 0,
5
ck 2
k k 1 2k
k 2 k 1
2k
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数：
y x ck x xo
k 0 k
若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §7.1 常点邻域的级数解法
" 例1、在x0 = 0邻域上求解 y y 0.
解：p x 0, q x 1, x 0 z 0 是方程的解析点.
2 1
4 3
k
c0
22 3 1 4!
c0 ,
21 3 3 1 1 c6 c4 2 c0 , 65 6!
3 1 1 3 2k 5 c2 k 2 c0 , 2k !
ck
k 2 k 1
k k 1
ck
y1 c2 k x ,
k 0
y2 c2 k 1 x 2 k 1
k 0
y x y1 x y2 x .
可以证明y1(x)、y2(x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题：
y x ck x k
k 0
比较xk项的系数： k 2 k 1 ck 2 k k 1 ck 2kck ck 0,
5
ck 2
k k 1 2k
k 2 k 1
2k
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
若z0点是p (z)、q (z)的常点（解析点），解可表成泰勒级数：
y x ck x xo
k 0 k
若z0点是p (z)、q (z)的奇点，解可表成罗朗级数： §7.1 常点邻域的级数解法
" 例1、在x0 = 0邻域上求解 y y 0.
解：p x 0, q x 1, x 0 z 0 是方程的解析点.
2 1
4 3
k
c0
22 3 1 4!
c0 ,
21 3 3 1 1 c6 c4 2 c0 , 65 6!
3 1 1 3 2k 5 c2 k 2 c0 , 2k !
ck
k 2 k 1
k k 1
ck
y1 c2 k x ,
k 0
y2 c2 k 1 x 2 k 1
k 0
y x y1 x y2 x .
可以证明y1(x)、y2(x)在x = 1时，级数发散. （证明从略） 对于本征值问题：
第二章 常微分方程
a0 a2
a1 a0 0 3 a3 a 2 a1 a5 a 4 a 3
a1 a n 3 a2 n 1, a0 a2
,
a1 a3 4 a5 a7
a0 0 0 a 2 a1 a0 a4 a3 a2 a 6 a5 a 4
a2 n 2 ,
0 0 an n 1 an
通解
n nt
yt c1 x e
或
1 1t
c2 x e
2 2t
cn x e
y=Yc
常数 c 由初始条件确定
第二章常微分方程——线性稳定性分析
四、线性稳定性分析方法
稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常 状态后能否自动返回该定常态的性质 ,系统抗干扰能力的
y e (c1 cos x c2 sin x)
x
重根
y e1x (c1 c2 x)
2。非其次方程特解：比较系数法
第二章常微分方程——二阶变系数方程
二、 二阶变系数方程的解法
1、级数解法
2 d y dy x 2 2 xF ( x ) G ( x ) y 0 dx dx
an 2 an ( n c k )( n c k )
(1) a0 (k 1) 1 a2n 2n 2 n!(n k )( n k 1)()(1 k ) 4 n! (n k 1)
n n
第一解
x ( 1) 2 y1 2k (k 1)a0 n 0 n! ( n k 1)
第二章常微分方程——线性稳定性分析
Routh指出，若采用如下的判定函数R i
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
定义 设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区 间 I 上的两个函数，如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，使 k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 在 I 上恒成立。则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区 间上是线性相关的，否则称为线性无关。 定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次 方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的两个线性无关 的解，则 y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数。
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
eix = cos x + i sin x
y1 = eαx (cos βx + i sin βx ), y2 = eαx (cos βx − i sin βx )
于是有
1 ( y1 + y2 ) = eαx cos βx , 2
1 ( y1 − y2 ) = eαx sin βx . 2i
由定理 1 知，以上两个函数 eαx cosβx 与 eαx sinβx 均为 ④ 式的解，且它们线性无 关。因此，这时方程的通解为
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
本章首先在柱坐标和球坐标系对二维和三维泛定方程分离变 量，导出著名的变系数常微分方程：贝塞尔方程和勒让德方程。
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
08 二阶线性常微分方程的级数解法
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
(2l )! 通常约定：用适当的常数乘多项式，使最高羃次项系数 al l 2 (l !) 2 (k 2)(k 1) 反用系数递推公式 ak ak 2 可得 (k l )(k l 1) (2l 2k )! al 2 k (1) k l 2 k !(l k )!(l 2k )!
11/2/2015
DENG S.H
5/26
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
2k 2 k 1 y a x a x 通解： 2k 2k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
其中特解：
y0 b2 k x ,
2k k 0
(2k 2 l ) ( l )( l 1) ( l 2k 1) b2 k (2k )! (2k 1 l ) (1 l )( l 2) ( l 2k ) , b2 k 1 (2k 1)!
y1 b2 k 1 x
k 0
2 k 1
性质：
( 1)
k
1 2k 2
k 0
( 1)
k
k !(2k 1)(2k 1)
1 5 31 π 2
k
2
x
1 2k 2
2x ( 1)k y1 J1 2 ( x ) k 0 2k (2k 2) 4 2 (2k 1)(2k 1) π
y k 0 ak x s k
令各幂次项系数为零，并取 a0≠0，则得
k 0 ( s 2 2 )a0 0 判定方程：s 2 2 0， s k 1 [( s 1)2 2 ]a1 0 a1 0
第九章 二阶常微分方程的级数解法
递推关系为 : ak + 2 =
∞
(k l )(k + l + 1) a , (3) (k + 1)(k + 2 ) k (l + 1)(l + 3) (l + 2k 1)( l )(2 l ) (2k 2 l ) a a2 k = 0 (2k )! (l + 2 )(l + 4 ) (l + 2k )(1 l )(3 l ) (2k 1 l ) a a2 k +1 = 1 (2k + 1)!
[(
)
]
9.2 二阶常微分方程的级数解法
二阶常微分方程的形式
W
''
(z ) + p (z )W ' + q (z )W (z ) = 0 .(1) W ( z 0 ) = c1 , W ' ( z 0 ) = c 2 .
当z0是p(z)与q(z)的解析点时, z0称为方程(1)的常点,若 z0为p(z)与q(z)的奇点时, z0称为方程(1)的奇点. (一)常点邻域上的级数解法 令:
W(z) = ∑ak (z z0 ) , p(z) = ∑pk (z z0 ) , q(z) = ∑qk (z z0 ) .(2)
k k k k=0 k=0 k=0
∞
∞
∞
代入(1)式可确定系数ak,得出方程的解.
例题1 在x0=0的邻域上用级数解法求解常微分方程
y '' + ω
∞ k
2
y = 0
得出 : Φ '' + λΦ = 0, (3) 对周期性的自然边界条件 : Φ( + 2πn ) = Φ( )(4) .
∞
(k l )(k + l + 1) a , (3) (k + 1)(k + 2 ) k (l + 1)(l + 3) (l + 2k 1)( l )(2 l ) (2k 2 l ) a a2 k = 0 (2k )! (l + 2 )(l + 4 ) (l + 2k )(1 l )(3 l ) (2k 1 l ) a a2 k +1 = 1 (2k + 1)!
[(
)
]
9.2 二阶常微分方程的级数解法
二阶常微分方程的形式
W
''
(z ) + p (z )W ' + q (z )W (z ) = 0 .(1) W ( z 0 ) = c1 , W ' ( z 0 ) = c 2 .
当z0是p(z)与q(z)的解析点时, z0称为方程(1)的常点,若 z0为p(z)与q(z)的奇点时, z0称为方程(1)的奇点. (一)常点邻域上的级数解法 令:
W(z) = ∑ak (z z0 ) , p(z) = ∑pk (z z0 ) , q(z) = ∑qk (z z0 ) .(2)
k k k k=0 k=0 k=0
∞
∞
∞
代入(1)式可确定系数ak,得出方程的解.
例题1 在x0=0的邻域上用级数解法求解常微分方程
y '' + ω
∞ k
2
y = 0
得出 : Φ '' + λΦ = 0, (3) 对周期性的自然边界条件 : Φ( + 2πn ) = Φ( )(4) .
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
二阶常微分方程级数解法
( d ) E ( d )[( d ) d dz]
( d ) ( ) [E ( d ) ( d ) E ( ) ] d dz
( E ) d d dz ( E ) d d dz ( E ) dV
同理
( d ) ( ) 1 E d d dz 1 E dV
2u
2u
2
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
推导
空间中某一点电场的散 度代表该点附近单位体 积
中电通量的净流出量 .
E
1
(E )
1
E
E z z
E
u
eˆ
u
eˆ
1
u
eˆz
u z
(I) (推导见下页 ） (II)
(II)代入(I)式得
u
u
1
( u ) 1
(1
u
)
2u z 2
1
(
u )
(r2 Er ) sin dr d d
r
1 r2
(r2 Er ) r
r 2sin
dr d
d
1 r2
(r2 Er ) r
dV
5
同理
( d ) ( ) 1 E r2 sin dr d d r sin
1 E dV
r sin
( d ) ( ) 1 (E sin ) r2 sin dr d d r sin
0
D2 D l(l 1) 0
[D (l 1)][D l] 0
R(r) C el t D e(l1)t
C el ln r D e(l1) ln r
C rl D r(l1)
14
ii）球函 数方程：
第九章二阶线性常微分方程级数解法
a1
得到l 阶勒让德方程解：
y
a2k x2k
a x2k1 2k 1
a0y0 ( x) Nhomakorabeaa1 y1( x)
y0
(x)
1
(l)(l 1) 2!
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
...
(2k 2 l)(2k 4 l)
(l)(l 1)(l 3) (2k )！
程在点 z0的邻域 z z0 R 内的解可以表示成泰勒级数的
形式:
w(z) an (z z0 )n，
n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。
初始条件： w(z0 ) C0, w '(z0 ) C1.（C0 , C1为任意复常数）
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
1° 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次常微分方程为 y″ + py′ + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式。因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的特解为 * k
考虑到 p，q 均为常数，我们可以猜想该方 程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数。 将 y′ = rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤
y * = Bx k eαx
y *′ = Bkx k −1eα x + Bα x k eα x
y*′′ = Bk (k − 1) x k − 2 eα x + 2 Bα kx k −1eα x + Bα 2 x k eα x
第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
2n
二者的任意线性组合即为通解。
求解过程中，ck+2 只与ck 有关，而与ck+1 无关，
w1(z) 是偶函数，w2(z)是奇函数。
对于 z → -z 变换， 1 ( z )
2
d w d ( z )
2
2
2( z )
dw d ( z )
l ( l 1)w 0
勒让德方程的形式不变，故 w(-z) 也是方程的解，
2 t 1 t21Fra bibliotekp t和
1 t
4
1 q t
不含 t 负幂项
1 4 5 q b4 t b5 t t
1 2 3 p 2t a 2 t a 3 t t
p z q z
2 z
a2 z
2
( 2n 1 l )( 2n 3 l )(1 l )( 2n l )( 2n 2 l ) ( 2 l )
l 1 l 1 c1 ( 2n 1)! 2 n 2 n
∴勒让德方程在
z 1
内的解就是
2
2n
w( z ) c0
w 0
p( z )
(1 ) z
z (1 z )
q( z )
z (1 z )
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 0 和 z = 1 。
所以，z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点，有限远处 的其它点为方程的常点。
举例
且 w(z)+w(-z) 是偶函数，w(z)-w(-z) 是奇函数。
w( z ) w( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) 2c0 w1 ( z )
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Legendre方程在自然边界条件下的解：
系数的一般表达式为 a l 2 k ( 1)
k l
(2 l 2k )! 2 k !( l k ) !( l 2 k ) !
2k
l
当 l 为 偶 数 时 ， L e g e n d re 方 程 满 足 自 然 边 界 的 解 为
k
和 Q ( z ) ( z z 0 ) q ( z )均 在 点 z 0 解 析 ， 因 此 在 z 0 邻 域 上 设
2
P(z)
k 0
Pk ( z z 0 ) , Q ( z )
k
Q
k 0
k
( z z0 ) , 代 入 比 较 得
k
f0 (s)a0 0 f 0 ( s 1) a 1 f 1 ( s ) a 0 0 f 0 ( s k ) a k f 1 ( s k 1) a k 1 f k ( s ) a 0 0， k 1
s2
b
k 0
( z z 0 ) ， w1 ( z ) 和 w 2 ( z ) 线 性 无 关 . k
k
2 当 s1 s 2
n 整 数 ， f 0 ( s 2 ) 0， f 0 ( s 2 n ) 0， 递 推 到 第 n 步
令 a 0 a 1 a n 1 0， a n 0， 可 唯 一 确 定 a k ( k n )， 从 而 得 到 另 一 个 解 w2 ( z ) ( z z0 )
在 x 0 0的 邻 域 内 求 解 L eg en d re 方 程 (1 x )
2
d y dx
2
2
2x
dy dx
l ( l 1) y 0
其 中 l为 已 知 参 数 .
由 于 L egend方 程 的 系 数 p ( x )
2x 1 x
2
和 q(x)
l ( l 1) 1 x
l 2 l 2
a0 y0 ( x )
k 0
al2k x
l2k
k 0
( 1)
k l
(2 l 2 k )! 2 k !( l k ) !( l 2 k ) !
x
l2k
当 l 为 奇 数 时 ， L e g e n d re 方 程 解 为
( l 1 ) 2 ( l 1 ) 2
定义2
若 p ( z )和 q z 中 至 少 有 一 个 在 点 z 0不 解 析 则 称 z 0为 方 程 的 奇 点 , 若 ( z z 0 ) p ( z ) 和 ( z z 0 ) q ( z )都 在 方 程 的 奇 点 z 0 解 析 ， 则 称
2
z 0为 方 程 的 正 则 奇 点 ， 否 则 称 z 0为 方 程 的 非正则奇点.
第五章 二阶线性常微分方程的级数解法
本章主要限于讨论方程常点和 奇点邻域内的级数解法。
本章结构
5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 5.2 方程常点邻域内的解 5.3 方程正则奇点邻域内的解
5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点
二阶线性齐次常微分方程的一般形式为
d w dz
2 2
p(z)
s1
k 0
ak ( z z0 )
k
和
w 2 ( z ) A w 1 ( z ) ln ( z z 0 ) ( z z 0 ) 其 中 a 0 0， b 0 0 .
s2
k 0
bk ( z z 0 )
上述只含有限个负幂项的解称为正则解
在 方 程 正 则 奇 点 处 ， 总 可 将 w1 ( z ) w 2 ( z ) 代 入 方 程 ， 通 过 比 较 系 数 可 求出系数递推关系式并求出其普遍表达式，从而得到方程正则解.
dw dz
q(z)w 0
其 中 p ( z )和 q ( z ) 称 为 方 程 的 系 数
方程系数的重要性： 1.方程的解和完全由方程的系数来决定 2.方程的解的解析性完全是由方程的系数的解析性决定
定义1
若 系 数 p ( z )和 q ( z )都 在 点 z 0 及 其 邻 域 内 解 析 则 称 z 0为 方 程 的 常 点
y1 ( x )
k 0
al2k x
l2k
k 0
( 1)
k l
(2 l 2 k )! 2 k !( l k ) !( l 2 k ) !
x
l2k
将以上俩式综合起来为
l 2
Pl ( x )
( 1)
k 0
k l
(2 l 2k )! 2 k !( l k ) !( l 2 k ) !
从而可写出所有的系数，可得方程解为 y(x) 其中 y0 ( x) 1 y1 ( z ) x
k 0
a2k x
2k
k 0
Legendre方程 通解形式
a 2 k 1 x
2 k 1
a 0 y 0 ( x ) a1 y1 ( x )
k 1
( 2 k 2 l )( 2 k 4 l ) ( 2 l )( l )( l 1) ( l 2 k 1) (2 k )! ( 2 k 1 l )( 2 k 3 l ) (1 l )( l 2 ) ( l 2 k ) ( 2 k 1) ! x
例1
L eg en d ( 勒 让 德 ) 方 程
2
(1 z )
2
d w dz
2
2z
dw dz
l ( l 1) w 0
2z l ( l 1) 1 z
2
解 ： 方 程 的 系 数 为 p(z)
1 z
2
， q(z)
p ( z ) 和 q ( z ) 在 复 平 面 上 有 两 个 奇 点 z 0 1， 所 以 z 0 1是 L e g e n d re 方 程 的 奇 点 外 ， 有 限 远 处 的 其 他点都是方程的常点.
其中 f 0 ( s ) s ( s 1) sP0 Q 0 , ， 由 于 a 0 0， 必 有 ( n 1, 2 , ) f n ( s ) sPn Q n . f 0 ( s ) s ( s 1) sP0 Q 0 0 上 式 为 指 标 方 程 ， 其 根 s1 和 s 2 称 为 正 则 奇 点 的 指 标 数 .
2
在 x0 0
及 其 邻 域 内 解 析 ， 所 以 x 0 0 是 L e g e n d re 方 程 的 常 点 ， 根 据 定 理1， 此 方 程 有 如 下 形 式 解 y(x) y ( x ) y ( x ) 将 以 上 三 式 代 入 L e g e n d re 方 程 ， 得
定理
若 z 0为 方 程 奇 点 ， 则 在 p ( z ) 和 q ( z )都 解 析 的 环 行 域 0 | z z 0 | R内 ， 方 程 存 在 两 个 线 性 无 关 解 ： w1 ( z ) ( z z 0 )
s1
k
ak ( z z0 )
k
和
2 k 1
x
2k
k 1
L eg en d re 方 程 通 解 在 | x | 1总 收 敛 ， 在 | x | 1收 敛 与 否 不 考 虑 ， 在 | x | 1时 级 数 解 的 收 敛 性 为 ： 当 l 不 是 整 数 时 ， y 0 ( x ) 和 y 1 ( x ) 在 x 0 1均 发 散 ； 当 l 为 偶 数 时 y 1 ( x ) 在 x 0 1发 散 ； 当 l 为 奇 数 时 ， y 0 ( x ) 在 x 0 1发 散 .
步 骤 ： 先 将 w1 ( z ) 代 入 ， 如 能 得 到 俩 个 线 性 无 关 解 ， 即 得 所 求 , 如 只 能 求 出 一 个 解 ， 则 再 将 w2 ( z )代 入 求 解 ， 具 体 解 法 如 下 ：
设 w ( z ) ( z z0 )
s
k 0
a k ( z z 0 ) ， z 0是 正 则 奇 点 ， P ( z ) ( z z 0 ) p ( z )
k 0
ak x
k
于是
k 0
kak x
k 1
k 0
k ( k 1) a k x
k2
(k
k 0
1)( k 2 ) a k 2 [ k ( k 1) l ( l 1)] a k x 0
k
由 于 上 式 恒 等 ， 所 以 x的 各 次 幂 系 数 都 等 于 零 ， 即 ( k 1)( k 2 ) a k 2 [ k ( k 1) l ( l 1)] a k 0 于是，得到系数之间递推关系 ak2 k ( k 1) l ( l 1) ( k 1)( k 2 ) ak ( k l )( k l 1) ( k 1)( k 2 ) ak
w 2 ( z ) A w 1 ( z ) ln ( z z 0 ) ( z z 0 ) 其 中 s1， s1 和 A 都 是 常 数 .
s2
k
bk ( z z 0 )
k
2.正则奇点邻域内的级数解法