数列的综合应用

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数列与等差数列的综合运用(四)

数列与等差数列的综合运用（四）数列和等差数列是数学中常见的概念，其在不同领域中的运用广泛而深入。

本文将介绍数列与等差数列在金融、物理、计算机科学和生物学中的应用，通过这些实际问题的探讨，我们可以更好地理解和应用数列与等差数列的知识。

一、金融领域的应用在金融领域中，数列与等差数列经常被用于计算利息、投资回报以及指数增长等问题。

一个常见的例子是贷款利息的计算。

假设某人向银行借了一笔钱，银行规定每月按照固定的利率计算利息。

此时，借款人每月的还款金额可以看作是一个等差数列，等差为本金加上利息。

通过计算等差数列的和，我们可以得到借款人在还完所有款项之前需要支付的总利息。

另外，等差数列还可以用于计算投资回报。

假设某人每年向某基金公司投资一定金额，并且该基金有一个固定的年回报率。

如果我们用等差数列来表示每年的投资额，并根据年回报率得到等差数列的公差，那么通过计算数列的和，我们可以得到多年后投资的总回报。

二、物理领域的应用在物理学中，等差数列用于描述运动的速度、距离和时间之间的关系。

例如，当一个物体做匀速直线运动时，其速度是恒定的，可以用等差数列来表示。

等差数列的项数即为运动所经过的时间，公差表示单位时间内所运动的距离。

通过计算等差数列的和，我们可以得到物体在特定时间内所运动的总距离。

类似地，如果我们已知物体在一段时间内的总距离和总时间，可以应用等差数列公式来推算出物体的平均速度。

三、计算机科学领域的应用在计算机科学中，数列与等差数列的运用几乎无处不在。

比如，在编写代码时，我们常常需要利用等差数列和数列的知识来解决问题。

例如，假设我们需要编写一个程序，计算从1到n的所有整数的和。

我们可以使用等差数列的和公式来快速计算这个和，避免使用循环结构逐个相加的方法。

此外，在算法设计中，我们经常需要对数据进行排序。

其中一种常见的排序算法是冒泡排序，如果我们将排序的过程中的中间结果作为数列，那么这个数列就是一个等差数列。

通过分析等差数列的特点，我们可以更好地理解和优化排序算法。

第五节数列的综合应用课件(共24张PPT)

所以3an＝3n，即an＝n.又因为函数f（x）＝2x，所以f （an）＝2n，
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数，所以F（－x）＝－F（x），故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*）令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R），（*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1，所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋

数列的综合应用

高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈

高中数学-数列综合应用

数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。

2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。

二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。

数列的综合应用

数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

数列的综合运用新

A．若{an}>M，则数列{an}的各项均大于等于M B．若{an}>M，{bn}>M，则{an＋bn}>2M C．若{an}>M，则{a}>M2 D．若{an}>M，则{2an＋1}>2M＋1
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润，工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应选B.
答案：B
2 ．数列 {an} 的通项公式是关于 x 的不等式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)，因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．

数列的综合应用

数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。

数列的综合是数列中各个数值的求和运算，可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将探讨数列的综合应用，从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。

一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前，我们首先需要了解数列的基本定义和性质。

数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

根据数列的性质，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。

1. 等差数列：等差数列中的任意两个相邻项之差都相等，这个固定的差值称为公差。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 等比数列：等比数列中的任意两个相邻项之比都相等，这个固定的比值称为公比。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中，下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。

1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发，每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里，我们可以使用等差数列的综合公式来计算。

首先确定首项a1=12，公差d=3（每小时增加3公里），然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=5进行计算得出结果为75公里。

因此，这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。

2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......，如果想知道前10次考试的总分，我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。

首先确定首项a1=80，公差d=5（每次考试分数增加5分），然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d]，代入n=10进行计算得出结果为875分。

因此，这名学生前10次数学考试的总分为875分。

数列的综合应用专题ppt课件

训
点核
(3)设 bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应
练高
心
效
突破
的 n.
提能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分专题三数列
基础要
解题规
点
范
整合
[自主解答] (1)设 f(x)＝a(x－1)2(a＞0)，
流程
则直线 g(x)＝4(x－1)与 y＝f(x)图象的两个交点为
(1,0)，4a＋1，1a6.
考
∵ 4a2＋1a62＝4 17(a＞0)，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.
合
范流程
[考情一点通]
题型
解答题
难度中档或偏上
高考试题的重点是应用裂项法、分组法
考
考查与错位相减法求数列的和，同时考查考
训
点核
内容生应用转化与化归的数学思想方法解决
练高
心突
数学问题的能力.
效提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分专题三数列
基础要
解
【例 1】 (2013·济南一模)正项等比数列{an}的前 n 项
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分专题三数列
基二、梳理基础知识
础要
解题规
点
数列求和的四种常用方法
范
整
合
(1)公式法
流程
适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列
利用公式法求和时，一定注意公比q是否能取1.
(2)错位相减法
这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主

6.5 数列的综合应用

n( n 1) ×50=25n2+225n≥4 750. 2 (2)an＞0.85bn,bn=400×1.08n-1.
问题:Sn=250n+ 解
（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，
由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250,d=50, 则an=250+(n-1)·50=50n+200
是等比数列，其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an＞0.85bn,
即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5,
当n=6时，a6＞0.85b6,
因此满足上述不等式的最小正整数n为6. 因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,
n( n 1) ∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2
探究提高
对等差、等比数列的综合问题的分析，
应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析
等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归
的思想方法. 知能迁移1 （2009·全国Ⅰ文，17）设等差数列{an}
题型二
数列与函数的综合应用Fra bibliotek【例2】（12分）已知f(x)=logax(a＞0且a≠1)，设 f(a1),f(a2),„,f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为
2的等差数列.
（1）设a为常数，求证：{an}是等比数列；（2）若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时, 求Sn. 思维启迪利用函数的有关知识得出an 的表达式，

第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)

第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论数列求和的方法以及数列在各个领域中的综合应用。

一、数列求和方法介绍1.1 等差数列求和公式等差数列是数列中最常见的一种类型，它的每一项与前一项之差都相等。

对于一个等差数列a，其中首项为a1，公差为d，一共有n项。

那么等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中Sn表示等差数列的前n项和。

1.2 等比数列求和公式等比数列是另一种常见的数列类型，它的每一项与前一项的比值都相等。

对于一个等比数列b，其中首项为b1，公比为q，一共有n项。

那么等比数列的求和公式为：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中Sn表示等比数列的前n项和。

1.3 平方数列求和公式平方数列是指数列中每一项都是前一项的平方。

对于平方数列c，其中首项为c1，一共有n项。

那么平方数列的求和公式为：Sn = (2^(n+1) - 1) * c1其中Sn表示平方数列的前n项和。

二、数列的综合应用2.1 数列在几何问题中的应用数列在几何问题中有着广泛的应用。

比如，在计算几何中，我们经常需要计算等差数列的前n项和来求解某些图形的周长或面积。

在解答这类问题时，我们可以先通过观察找到数列的公差和首项，然后利用等差数列的求和公式求解。

2.2 数列在金融问题中的应用数列在金融问题中也有着重要的应用。

比如，在投资领域，我们经常需要计算等比数列的前n项和来求解复利问题或者计算某种投资的总收益。

同样地，我们可以通过观察数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式来进行计算。

2.3 数列在自然科学中的应用数列在自然科学中也扮演着重要的角色。

在物理学中，等差数列的前n项和可以用来计算运动物体的位移和速度。

在化学中，平方数列可以用来计算物质的化学计量位移。

三、总结数列求和方法为我们解决各类实际问题提供了有效的工具。

第五章第五节数列的综合应用

一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮
袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，
设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 {ak}(k＝1,2,3，„，n)．试求：(1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？
解：(1)由题意得 a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1＝2n－4， a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2＝3n－9. (2)在第 k 站出发时，放上的邮袋共(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－ k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共 1＋2＋3＋„＋(k－ 1)个， ak＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 故 1 1 ＝kn－ k(k＋1)－ k(k－1)＝kn－k2(k＝1,2，„，n)， 2 2 即邮政车从第 k 站出发时，车内共有邮袋个数为 kn－k2(k＝ 1,2，„，n)．
(2)由(1)知an＝2n 1，∴Sn＝2n－1， 2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 －1 2 －1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
n
－
2an＋1 ∴当n＝1时， S 的最大值为3. n
[归纳领悟]
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件
[究疑点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期

2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解

专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．【答案】2n n 1-+ 【解析】【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-，所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2，当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规．题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22nn c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ．【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误，设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++，银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+，即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->，所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ，即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤，即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤，即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤，即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立，因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立，因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合；当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合；当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合；综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52，因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-，所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭，则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++，因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+，又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ，所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤；第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤，以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤，所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =，又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。

数列综合应用

数列求和求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式(ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解选择题：数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17 D ．16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100解析 ∵S nn ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N ＋)，则S 2 016＝( )A ．22 016－1B ．3·21 008－3C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2 解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2015＋a 2016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2016)＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21008－3已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2017等于( )A ．31009－2B ．2×31007C.32014－12D.32014＋12解析由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，∴S 2017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2016)＝1－310091－3＋3(1－31008)1－3＝31009－2设函数()f x ＝x m＋ax 的导函数为()f x '＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1 D.n ＋1n 解析 ()f x '＝mx m －1＋a ，∴a ＝1，m ＝2，∴()f x ＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为( )A ．1－n ＋22n ＋1 B ．2－n ＋42n ＋1 C ．2－n ＋42n D ．2－n ＋22n ＋1解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S 3＝6，S 5＝252，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝12，∴a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，∴T n ＝2－n ＋42n ＋1.数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82解析由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10200解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100填空题：若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为S n ＝________ 解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________解析由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2017＝________解析因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4. 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，∴S 2017＝S 2016＋a 2017＝20164×2＋2017·cos 20172π＝1008数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________ 解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________解析由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3(1－4n )1－4＝4n－1已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2017＝________.解析 f (4)＝2可得4a＝2，得a ＝12，则()12f x x =，∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2017－2016)＋(2018－2017)＝2018－1在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 4＝1，a 12＝3，a 95＝5，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析由题意可得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，则a n ＝a n ＋3，∴a 4＝1＝a 1，a 12＝3＝a 3，a 95＝5＝a 2，∴数列{a n }的前100项和S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋1＝198解答题：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋ (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝na 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，①；当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.② ①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③；2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1＝(2n －1)2n ＋1＋2.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.(1)解由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，∴S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)． ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n 又a 1＝2＝2×1，∴a n ＝2n (3)证明当n ＝1时，1a 1(a 1＋1)＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a n (a n ＋1)＝12n (2n ＋1)＜1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13 ∴对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12 (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1(2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值（二次函数性质），即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n (2)∵9－2a n 2n ＝n2n －1， ∴T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1，①；2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1，故T n ＝4－n ＋22n －1已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2n a ，求数列{b n }的前n 项和T n 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，∴a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，∴a 2a 3＝15解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，经检验，符合题意 (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， ∴T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ， ∴4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43∴T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.专项能力提升已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1 B.4n n ＋1 C.3n n ＋1 D.5n n ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4n n ＋1已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，∴此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0，又∵16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和S 2016等于( ) A ．2008 B ．2010 C ．1 D ．0 解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2008，2009，1，－2008，－2009，－1，2008，2009 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0 ∵2016＝6×336，∴S 2016＝0在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________解析由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1(n ∈N ＋)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2016中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45解析 a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1[(n ＋1)n ＋n n ＋1][(n ＋1)n －n n ＋1]＝nn －n ＋1n ＋1∴S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫n n －n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， ∵S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)，∴n 2－1≤2016，且n ≥2， ∴2≤n ≤44，∴有理项的项数为43设()f x ＝4x4x ＋2，若S ＝122014201520152015f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则S ＝________ 解析 ∵()f x ＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，①S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，②①＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝2 014，∴S ＝2 0142＝1007整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________解析由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，即3n n a a +=-，则该数列是周期为6，又a n11＋2＋a n －1＝0，即30n n a a ++=，1234560a a a a a a +++++=，那么S 800＝a 1＋a 2＝2013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2000，∴⎩⎨⎧ a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2013，∴⎩⎨⎧a 1＝1013，a 2＝1000，由此可得：S 2015＝S 5＝12345313a a a a a a ++++==-已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1的值等于________ 解析由a n ＋1＝a 2n ＋a n ，得1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，∴11n a +＝1n a －1a n ＋1，∴1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2015－1a 2016＝2－1a 2016，又a n ＋1＝a 2n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a 2n >0， ∴{a n }是正项递增的数列．又∵a 3＝2116>1，∴a 2016>1，即0<1a 2016<1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1a 2016＝1。

等比数列及数列的综合应用

等比数列及数列的综合应用等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

数列的综合应用是指将数列的概念和性质应用到实际问题中，解决具体的实际问题。

下面我会详细介绍等比数列的性质以及数列的综合应用。

首先，我们先来了解等比数列的性质。

等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，记作：a，ar，ar²，ar³，...，其中a为首项，r为公比。

等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an为数列的第n项。

一般来说，等比数列的公比r可以是正数、负数或零。

如果公比r大于1，则数列是递增的，每一项大于前一项；如果公比r介于0到1之间，则数列是递减的，每一项小于前一项；如果公比r小于-1，则数列交替增减；如果公比r介于-1到0之间，则数列也是交替增减的。

在数列的综合应用中，等比数列可以帮助我们求解一些与实际生活相关的问题。

下面我将通过几个例子来说明等比数列的应用。

例1：小明每个月养鱼，第一个月养了2条鱼，从第二个月起，每个月的鱼的数量是前一个月的2倍。

问第n个月养了多少条鱼？这个问题可以用等比数列来解决。

首先，我们知道第一个月养了2条鱼，所以首项a=2，公比r=2。

根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得第n个月养的鱼的数量。

例如，求解第5个月养的鱼的数量，我们可以代入n=5得到an = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32，所以第5个月养了32条鱼。

例2：某商场的招待所有100个房间，第一个房间的价格是200元，从第二个房间起，每个房间的价格都是前一个房间的80%。

问最后一个房间的价格是多少？这个问题也可以用等比数列来解决。

首先，我们知道第一个房间的价格是200元，所以首项a=200，公比r=0.8。

根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得最后一个房间的价格。

例如，求解最后一个房间的价格，我们可以代入n=100得到an = 200 * 0.8^(100-1) ≈0.00029元，所以最后一个房间的价格约为0.00029元。

《数列综合应用举例》教案

《数列综合应用举例》教案第一章：数列的概念与性质1.1 数列的定义引导学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数。

通过实例让学生了解数列的基本形式，如等差数列、等比数列等。

1.2 数列的性质引导学生学习数列的基本性质，如数列的项数、首项、末项、公差、公比等。

通过实例让学生掌握数列的性质，并能够运用性质解决实际问题。

第二章：数列的求和2.1 等差数列的求和引导学生学习等差数列的求和公式，理解公差、首项、末项与求和的关系。

通过实例让学生掌握等差数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。

2.2 等比数列的求和引导学生学习等比数列的求和公式，理解公比、首项、末项与求和的关系。

通过实例让学生掌握等比数列的求和方法，并能够运用求和公式解决实际问题。

第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生理解数列极限的概念，理解数列极限与数列收敛的关系。

通过实例让学生了解数列极限的性质，如保号性、单调性等。

3.2 数列极限的计算引导学生学习数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

通过实例让学生掌握数列极限的计算方法，并能够运用极限的概念解决实际问题。

第四章：数列的应用4.1 数列在数学分析中的应用引导学生学习数列在数学分析中的应用，如级数、积分等。

通过实例让学生了解数列在数学分析中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。

4.2 数列在其他学科中的应用引导学生学习数列在其他学科中的应用，如物理学、经济学等。

通过实例让学生了解数列在不同学科中的作用，并能够运用数列解决实际问题。

第五章：数列的综合应用5.1 数列在经济管理中的应用引导学生学习数列在经济管理中的应用，如库存管理、成本分析等。

通过实例让学生了解数列在经济管理中的重要性，并能够运用数列解决实际问题。

5.2 数列在工程科技中的应用引导学生学习数列在工程科技中的应用，如信号处理、结构分析等。

通过实例让学生了解数列在工程科技中的作用，并能够运用数列解决实际问题。

专题三第二讲数列的综合应用

解析：两点坐标代入f(x)得解析：将A、B两点坐标代入得、两点坐标代入 1 1 ＝ab2 a＝＝ 2 ，解得 8 ， 1＝ab3 b＝2 ＝＝ 1 1 － ∴f(x)＝ ·2x，∴f(n)＝ ·2n＝2n 3，＝＝ 8 8 ∴an＝log2f(n)＝n－3. ＝－，－ ≤ ， ≤ 令an≤0，即n－3≤0，n≤3. 项小于或等于零， ∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小．数列前项小于或等于零最小． S3＝a1＋a2＋a3＝－＋(－1)＋0＝－＝－2＋－＋＝－＝－3.
＋
nban－1 an－1＋n－1 －
[解] 解
nban－1 (1)∵a1＝b＞0，an＝ ∵ ＞，， an－1＋n－1 －
－ n 1 1 n－1 ∴ a ＝ b＋ b· ， an－1 n n 1 1 令cn＝a ，则cn＝b＋bcn－1， n 1 1 ①当b＝1时，cn＝1＋cn－1，且c1＝a ＝b＝1 ＝时＋
解答题
数列的实际数列的实际应用问题一般是等差数列或等比解答题为应用数列通项、求和问题，题目难度一般较大数列通项、求和问题，题目难度一般较大. 主
[联知识串点成面联知识串点成面] 数列求和的方法技巧：数列求和的方法技巧： (1)转化法：转化法：转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)Tn＝1×2＋4×5＋42×8＋…＋4n－1(3n－1)，① × ＋ × ＋＋－，
－

数列的综合应用

数列与等差数列的综合运用(四)

第五节 数列的综合应用 课件(共24张PPT)

数列的综合应用

高中数学-数列综合应用

数列的综合应用

数列的综合运用新

数列的综合应用

数列的综合应用专题ppt课件

6.5 数列的综合应用

第26讲-数列求和及数列的综合应用(解析版)

第五章 第五节 数列的综合应用

2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解

数列综合应用

等比数列及数列的综合应用

《数列综合应用举例》教案

专题三 第二讲 数列的综合应用

第五节数列的综合应用课件(共24张PPT)

第五章第五节数列的综合应用

专题三第二讲数列的综合应用