第6章结构位移计算

（3）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
变形体系的虚功原理： 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所 做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单 地说，外力虚功等于变形虚功。
位移状态与 力状态无关
根据 实际状态 弯矩图， 判定杆件 变形后的 凸凹方向。
§6-5 图乘法
例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移△Cy，梁的EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。
将AB段的弯矩图分解为一个三角 形和一个标准二次抛物线图形。 由图乘法得
1 1 ql 2 l 3l 1 ql 2 l ΔCy [( ) ( l) EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( l) ] () 3 8 4 128 EI
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
FN FNP ds FN FNP l ΔKP EA EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP F F l MM P ds N NP EI EA
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相 同，截面的I、A均为常数。
（3）代入位移计算公式
5 ql 4 ql 2 kql2 5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy (1 ) 2 2 8 EI EA 2GA 8 EI 5 Al 5 GAl
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（4）讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy (1 ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy [1 ( ) 2 ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位 移△KP。位移计算公式为
ΔKP FN duP Md P FS P ds
虚拟状态如图b所示。由材料力学
M P ds d P EI kF ds P ds SP GA
FNP ds duP EA
k—剪切变形的 改正系数
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
FN FNP ds kFS FSP ds MM P ds ΔKP EI EA GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
MM P ds ΔKP EI
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变 化产生的K点的竖向位移△Kt。α 为材料的线膨胀系数。
ΔKt FN dut Mdt FS t ds
杆轴线处的温度变化为
t
h2 h t1 1 t 2 h h
dut tds
杆件截面对称于形心轴 t
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
图a为求A点水平位移时的虚拟状态
图b为求A截面转角时的虚拟状态
图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态
广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
§6-5 图乘法
例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay，并勾绘刚架的 变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy A yC 1 l l Fl 1 2l Fl ( ) (l ) EI EI 2 2 2 EI 3 4
Fl 3 () 16 EI
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
对整个结构有：
WV dWV FN du Md FSds
虚功方程为： W WV
W FN du Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
外力虚功为 W FK ΔK FR1c1 FR 2c2 FR 3c3 1 ΔK FR c
设 FK=1
变形虚功为
WV FN du Md FSds
由虚功原理 W WV
ΔK FR c FN du Md FSds
tanα为常数
§6-5 图乘法
MM P ds tan tan EI EI xM Pdx EI xdA
dA M P dx MP图中阴影的微分面积
xdA 微分面积对y轴的静矩
xdA A x
A yC MM P ds tan EI EI A xC EI
虚位移必须 是微小的
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
dWV FN du Md FSds
（3）Aω与yC若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。
§6-5 图乘法
常用简单图形的面积和形心
§6-5 图乘法
两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个 矩形和一个三角形）。
2 1 ya c d 3 3 1 2 yb c d 3 3
两个图的竖标a、b或c、d不在基线同 一测时：可分解为位于基线两侧的两 个三角形，在进行图乘。
杆件为变截面直杆时，应分 段图乘。如图所示。
A1 y1 A 2 y2 A 3 y3 Δ EI1 EI 2 EI 3
§6-5 图乘法
例6-4 试求图a所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态如图c所示。 由图乘法，可得
A yC 1 2 ql 2 ΔCD ( l )h EI EI 3 8 qhl3 () 12 EI
M P FR sin
虚拟状态如图b，截面弯矩为
M 1 ( R R cos ) R(1 cos )
代入位移计算公式，可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos ) 2 FR3 ΔBx () EI 2 EI
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
ΔC —C点水平线位移（向右）
AB
ΔD —D点水平线位移（向左）
ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
§6-1 概述
计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构的施工中，也需要结构的位移。
图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移 fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 ΔKP MM P ds EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线； 计算可以简化 （2）EI=常数； （3） M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。
M x tan
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形， 求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。 虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的 △K 上作虚功。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（×10-4m2）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的
FN FNP l ΔD 8mm( ) EA
§6-5 图乘法
t1 t2 2 t ds t1ds Δtds dt 2 h h
t t2 t1
对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，γt=0。
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得
C
Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。
yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标
图乘法
§6-5 图乘法
如结构上所有各杆段均可图乘，则位 EI EI
应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）竖标yC只能取自直线图形。
§6-1 概述
变形：结构形状的改变。
位移：结构各处位臵的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。 截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。 ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。