第六章 方差分析

三、多因素方差分析
(二)基本思路
结论

依次查看各F值的相伴概率p值。如果其相伴概率p值 大于a，则不能拒绝H0，可以认为相应不同水平的控 制变量或交互影响没有造成均值的显著差异； 相反

三、多因素方差分析
(三)说明
多因素方差分析中因素的划分 固定效应因素：人为能够准确控制其各个不同的水平 值；如：施肥量、品种、温度。 ----固定效应模型 随机效应因素：人为无法对其水平值进行准确控制， 只是能够直观观测到。如：城市规模、教育水平等。 ---随机效应模型 ---混合效应模型 固定效应和随机效应通常较难区分
三、多因素方差分析
(一)目的 测试若干个控制因素的不同水平的交叉变化是否给观 察变量带来了显著影响。 例如：
小城市 小型广告 XX,XX, XX,XX 中型广告 XX,XX, XX,XX 大型广告 XX,XX 中等城市 XX,XX, XX,XX XX,XX, XX,XX XX,XX, XX,XX 大城市 XX,XX XX,XX, XX,XX XX,XX, XX 特大城市 XX,XX XX,XX XX,XX XX,XX, XX,XX
一、方差分析概述
观测变量 控制因素
亩产量 Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx
施肥量 10 公斤 15 公斤 20 公斤
三个水平
一、方差分析概述
三、核心问题
从数据差异角度看： 观测变量的数据差异=控制因素造成+随机因素造成
xijk ai bi (ab)ij ijk
H0： ai=0；bi=0；(ab)ij=0
三、多因素方差分析
(四)基本操作步骤
A.菜单选项：analyze->General Linear model->Univariate B.选择观察变量到dependent框
C.选择固定效应因素fix factor框
q
SSA qr ( x x )
i 1 j 1 k 1 p A i i 1
2
SSAB SST SSA SSB SSE
三、多因素方差分析
(二)基本思路 检验方法统计量（F检验）
固定效应模型：
SSB /(q 1) SSA/( p 1) SSAB /( p 1)( q 1) FB FA FAB SSE / pq( r 1) SSE / pq( r 1) SSE / pq( r 1)
案例6-2 p149广告地区与销售额
二、单因素方差分析—多重比较
(一)目的
如果各总体均值存在差异，F检验不能说 明哪个水平造成了观察变量的显著差异。 多重比较将对每个水平的均值逐对进行比 较检验。
(二)几种常用的多重比较方法 p146

LSD(Least significant Difference)最小显著性差异法 T(Tukey)方法
(3) 原假设H0：不同水平下，各总体均值无显著差异。
即：不同水平下控制因素的影响不显著。
二、单因素方差分析
(二)基本思路 (4) 构造F统计量

因为：总变差=组间差异+组内差异 可证明：SST= SSA+SSE(设：k个水平，每个水平有 ni个数据)
nj 2
SST ( xij x )

特点： 利用了全部样本数据，而不仅是所比较的两 组的数据，且认为各水平均是等方差的 q分布平缓些，克服了扩大犯错的可能性， 但不如LSD方法敏感 适合各水平下样本数均相同的情况
二、单因素方差分析—多重比较
(三)实现方式
post hoc选项
(四)案例6-2 p152
广告地区与销售额
二、单因素方差分析—趋势检验
三、多因素方差分析
(三)说明
交互作用，即：两个或多个控制变量各水平之间搭配时对观 察变量的影响。 交互作用的理解举例：饮食习惯、适量运动对减肥的作用； 排球对的二传手和主攻手对赢球的作用 交互作用的图形观察：
A1 A2 B1 2 5 B2 7 10 当A从A1变化到A2时， 观测变量值均增加且幅度相同， 与B1或B2无关；同理B A1 A2 B1 2 5 B2 7 3 A对观测变量值的影响与B取什么 水平有关
三、多因素方差分析
(二)基本思路 SST=SSA+SSB+SSAB+SSE
A有p个水平，B有q个水平，每组有r个样本
SST ( xijk x )
p
q
r
2
SSB pr ( x jB x ) 2 SSE ( xijk xij ) 2
i 1 j 1 k 1 p q j 1 r
i为水平Ai下的理论指标值，ij为误差，服从正态分布(0，σ2)
xij=i+ij
1 K

i 1
k
i
ai i , i 1,2,...k
xij ai ij 且 ai 0
i 1
k
ˆ x作为的无偏估计, xi x作为 i的无偏估计
一、方差分析概述
四、方差分析的类型
单因素方差分析

只考虑一个控制因素的影响 考虑两个以上的控制因素和它们的交互作用对观测 变量的影响
多因素方差分析

协方差分析

在尽量排除其他因素的影响下，分析单个或多个控 制因素对观测变量的影响。(引入协变量)
二、单因素方差分析
(一)目的 检验某一个控制因素的改变是否会给观察变量
二、单因素方差分析—多重比较
(二)几种常用的多重比较方法

LSD(Least significant Difference)最小显著性差异法
t xi x j 1 1 MSE( ) ni n j ~ t ( n k )其中n为总样本数
t
xi x j 2MSE r
~ t (n k )其中r为各水平下的样本数
1/3 (k1+k2+k3)=1/2 (k4+k5)
H0：两组均值的线性组合无显著差异。
(二)实现方式
Contrasts选项，在Coefficients框中输入每个水平均值的 系数值和正负符号。 注意：

输入系数的顺序与控制变量水平值的升序一一对应 系数的和为0
(三)案例6-2 p156
广告地区与销售额
i 1 j 1

k
SSA ni ( xi x )
i 1
kLeabharlann 2SSE ( xij xi ) 2
i i j 1
k
nj
考察平均的组间差异与平均的组内差异的比值，于 是： SSA/(k 1) MSA F ~F(k-1，n-k)
SSE /(n k ) MSE
二、单因素方差分析

当控制因素对实验结果有显著影响时，和随机因素共同作 用必然使观测变量产生显著变动；反之，观测变量的变动
较小，将归结为随机性造成的(这里指抽样误差造成的)。
一、方差分析概述
观察以下三组数据： 500 500 500 10公斤 600 600 600 15公斤 700 700 700 20公斤 501 502 503 10公斤 503 501 502 15公斤 502 503 501 20公斤 • 方差分析正是要分析观测变量 的变动主要是由控制因素造成的 还是由随机因素造成的，以及控 制变量的各个水平是如何对观测 变量造成影响的。 608 510 521 10公斤 510 601 524 15公斤 604 501 530 20公斤
(4) option中的statistics项：

descriptive：输出观察变量不同水平下的描述统计量
（5）案例6-1 p143广告地区与销售额
二、单因素方差分析—方差齐性检验
前提的检验：各水平下方差齐性检验，即各水平下方差 是否相等的检验。 实现方法：

H0：各水平下各总体方差无显著差异。 option中的statistics：Homogeneity-of-variance，检验各水平 下各总体方差是否齐性。
(二)基本思路 (5)结论：


F值较大，F值的相伴概率p值小于或等于用户给定的 显著性水平a，则拒绝H0，认为不同水平下各总体均 值有显著差异； F值较小，F值的相伴概率p值大于用户给定的显著性 水平a，则不能拒绝H0，可以认为不同水平下各总体 均值无显著差异。
二、单因素方差分析
(三)数学模型
设控制变量A有k个水平，每个水平均有ni个数据，在 水平Ai下第j个数据xij可以分解为：
三、多因素方差分析
(三)说明 多因素方差分析的核心内容：

检验在不同控制变量的不同交叉水平下，各交叉分组下样本数据 所来自的总体均值，有无显著差异。 进而判断多个因素是否对观 测变量产生了显著影响，但等方差一般不再非常强调
H0：各交叉水平下的总体均值均无显著差异。 数学模型：以双因素为例
(一)目的
将组间平方和分解成线性、二次、三次或更高 次的多项式，检验观测变量是否随控制变量呈 不同次幂变化。
(二)实现方式
Contrasts选项， polynomial框
(三)案例6-2 p155 广告地区与销售额
二、单因素方差分析—先验对比
(一)目的
先凭经验确定各水平均值之间的对比系数，然后判定这两 组均值的线性组合是否存在显著差异。如：
D.选择随机效应因素random factor框 E.模型的定义Model选项(饱和模型和非饱和模型)
(五)案例6-3 p162 广告地区与销售额
三、多因素方差分析