集合的含义及表示1
高中数学 集合的含义及表示
集合的含义及表示•集合的概念：1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R•集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.•易错点:（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z•1、集合的含义：•“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
•所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
•2、集合的表示•通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作d A。
集合的含义及表示
日之前与我国建立外交关系的所有国家； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； ） 年 月 日之前与我国建立外交关系的所有国家 （5）所有的正方形； ）所有的正方形； 的距离等于定长d的所有的点 （6）到直线 的距离等于定长 的所有的点； ）到直线l的距离等于定长 的所有的点； （7）方程 x ）
2
的所有实数根； + 3x − 2 = 0的所有实数根；
月入学的高一学生的全体． （8）新华中学 ）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体． 年 月入学的高一学生的全体
上面的例（ ）到例（ ）也都能组成集合吗？ 上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗？ 它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子， 它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能 说出它们的共同特征吗？ 说出它们的共同特征吗？
B = {x ∈ Z | 10 < x < 20}
大于10小于 的整数有 ，，17， ， 大于 小于20的整数有 ，12，13，14，15，16，， ，18， 小于 的整数有11， ， ， ， ， ，， 19，因此，用列举法表示为 ，因此，
B = { ,12,13,14,15,16,17,18,19} 11
x 2 − 2 = 0 的所有实数根组成的集合； 的所有实数根组成的集合； （1）方程 ）
小于20的所有整数组成的集合 （2）由大于 小于 的所有整数组成的集合； ）由大于10小于 的所有整数组成的集合；
解： 1）设方程 x 2 （ ）
2
− 2 = 0的实数根为 x ，并且满足条件
2
因，集合的含义是什么呢？ 那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面 的例子： 的例子：
以内的所有质数； （1）1～20以内的所有质数； ） ～ 以内的所有质数 年的13年内所发射的所有人造卫 （2）我国从 ）我国从1991～2003年的 年内所发射的所有人造卫 ～ 年的 星； 年生产的所有汽车； （3）金星汽车厂 ）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； 年生产的所有汽车
集合的含义与表示
(2)在集合的书写形式上,要注意规范性. 如关于x的方程x-a=0的解集应写成{a},而不是a. (3)在没有指定集合的表示方法时,能明确表示集 合的要明确表示出来. 如所有小于20的既是奇数 又是素数的数组成的集合表示{3,5,7,11,13,17,19} 更为明确; 又如非负奇数组成的集合表示为 {x|x=2n+1,n∈N}更为恰当,这一点需要注意.
（2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数。 （4）我国的小河流 （5）大于３小于１１的偶数
3、元素与集合之间的关系：
集合常用大写字母A，B，C，D，……标记， 元素常用小写字母a，b，c，d，……标记。
若a是集合A的元素， 就说a属于集合A ， 记作 a∈A ； 若a不是集合A的元素， 则a不属于集合A ， 记作 aA。 例如:A={1，2，3，4，5}
问题探究：
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释 为:许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究 考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数；
（3）大兴八中高一、3班的所有男同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点. 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别 形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集 合中的元素分别是什么？
1 2
、 | - |、 0.5 组成的集合有3个元素。 (3)1
(4)集合{1,3,5,7}与集合{3,1,7,5}表示 同一个集合。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2.给出下列关系 (1) 0.5 R (2) 2 R
(3) | -3 | N
集合的含义与表示
称这两个集合相等
湖南省长沙市一中卫星远程学校
练习1.下列指定的对象，能构成一个集合 ( B ) 的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体 A. ②③④⑥⑦⑧ C. ②③⑥⑦ B. ②③⑥⑦⑧ D. ②③⑤⑥⑦⑧
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
课堂练习
1.教科书5面练习第1、2题
2.教科书11面习题1.1第1、2题
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示 5.集合的分类
解：当a＝0时，x＝－1.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2.
例4已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
2.集合的表示:
集合常用大写字母A,B,C,…表示，元素常用 小写字母a,b,c,…表示.
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
4.常用数集及记法:
N：自然数集(含0)
-1 3
x | 0
x | x
x 2
集合的含义与表示
集合的含义与表示目录集合的含义与表示 (1)知识点： (1)一、集合的三性：确定性、互异性、无序性 (3)①确定性 (3)②互异性 (4)二、集合的表示方法 (7)①元素与集合的关系 (7)②列举法 (8)③描述法 (10)三、区别点集与数集 (11)知识点：1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}②描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4.集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5.元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A∉（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集N*或N+；整数集Z；有理数集Q；实数集R.一、集合的三性：确定性、互异性、无序性①确定性1.下列各组对象能够构成集合的是( )A. 我国所有的老人B. 我们班的高个子C. 长命万岁的人D. 我国的小河流答案：C。
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
集合含义及表示
集合的含义及其表示【知识要点】1、集合一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体所构成的就是一个集合。
2、元素集合中的每一个对象称为该集合的元素。
3、元素与集合的关系元素与集合有属于和不属于两种关系4、特定集合的表示非负整数集（或自然数集）——记作N正整数集——记作，或整数集——记作Z有理数集——记作Q实数集——记作R5、集合的分类按集合中元素的个数分为有限集和无限集。
有限集是指含有有限个元素的集合；无限集是指含有无限个元素的集合。
我们把不含任何元素的集合称为空集。
记作。
6、集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
Venn图示法（文氏图法）：用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形【方法与应用】1、集合的概念是一种描述性说明，用‘{}’表示，表示所有的、全部的，具有共同特征的研究对象都在花括号内，集合中的元素必须是确定的。
【J】例1、下列各组对象：1、接近于0的数的全体 2、比较小的正整数全体 3、平面上到点O的距离等于1的点的全体 4、正三角形的全体 5、的近似值的全体，其中能构成集合的组数是（ A ）A,2 B. 3 C. 4 D.5【L】例2、中国的直辖市是否是一个集合。
（）【C】例3、下列各种对象，可以构成集合的是（）A、某班身高超过1米8的女学生B、某班比较聪明的学生C、某书中的难题D、使||最小的x的值2、元素是指在集合中的每一个具体的对象。
（强行记忆）判定一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征。
【J】例1、下列各组中，（A D ）是集合{b，o，k}中的元素，（BC ）不是集合{b,o,k}的元素。
A、oB、cC、uD、 k【L】例2、已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，那么这个集合中有（）个元素【C】例3、由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合，最多含有元素（）个A、2B、3C、4D、53、当元素a属于集合A时，记作aA，读作a属于集合A；当元素a不属于集合A，记作aA，读作a不属于集合A.。
集合的含义与表示知识点
集合的含义与表示一集合与元素1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……；集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
2.集合中元素的属性（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”.4.集合相等如果构成两个集合的元素个数及元素相同，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关.二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A （“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写）2.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
集合的含义及其表示
1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
①我国的直辖市；②十四中高一③班全体学生；④较大的数⑤young 中的字母；⑥大于100的数； 2．关于集合的元素的特征： ①确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
③无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； ①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （不能把a ∈A 颠倒过来写） 4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
5. 集合的分类①有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； ②无限集：集合中元素的个数是不可数的； ③空集：不含有任何元素的集合，记做∅. 6．常用数集的记法：①非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N②正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{},3,2,1*=N③整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z ④有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q⑤实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：①自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0②非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *7．集合的表示方法：①自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
集合的含义及其表示
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。集合 论被誉为20世纪最伟大的数学创造，大大扩充了数学的研究领域，给数学结 构提供了一个基础，不仅影响了现代数学，而且深深影响了现代哲学和逻辑 。 1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为 20世纪集合论和数学基础研究的出发点。 集合论是数学上最具有革命性的理论，处理了数学上最棘手的对象---无 穷集合，发展道路很不平坦。康托尔抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论 来论证，所得出的结论既高度地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置 疑。数学史上没有比康托尔更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避 免地遭到了传统思想的反对。 希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。 ”特别自1901年之后，集合论得到了公认，康托尔获得崇高的评价。当第三 次国际数学大会于1904年召开时，“现代数学不能没有集合论”已成为大家 的看法。康托的声望已经得到举世公认。 集合论是现代数学中重要的基础理论。渗透到代数、拓扑和分析等许多 数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学，改变了这些学科的面貌。 几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解 。集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为最伟大的数学家之 一。
我们要了解集合的特征，先看看这些问题：
（1）A={1，3}，问3，5哪个是A的元素？
（2）A={我国的小河流}能否表示集合？ （3）AБайду номын сангаас{2，2，4}表示是否正确？
（4）A={太平洋，大西洋}，
B={大西洋, 太平洋} 是否表示同一集合？
二、集合的表示
1、字母表示
通常用大写拉丁字母A、B、C、……表示 集合，用小写拉丁字母a、b、c、……表示 元素。 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就 说a不属于集合A，记作a∈A。
集合的含义与表示
1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示Q情景引入ing jing yin ru一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”问题1：数学家说的集合是指什么？问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？X新知导学in zhi dao xue1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的__元素__是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系[合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． (2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A ，B ，C 等，用小写拉丁字母表示元素，如a ，b ，c 等．常用数集的表示：(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．Y 预习自测u xi zi ce1．下列给出的对象中，能组成集合的是 ( D ) A ．著名的数学家 B ．很大的数 C ．较胖的人D ．小于3的整数[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D 能组成一个集合．2．下列关系：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N .其中正确的个数是 ( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①是正确的，②中105＝2∈N *，③中－4∉N *，④是正确的，故有①④正确． 3．集合{x ∈N *|x －2＜3}用列举法表示为 ( B ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}． 4．下列集合： ①{1,2,2}； ②R ＝{全体实数}； ③{3,5}；④不等式x －5＞0的解集为{x －5＞0}． 其中，集合表示方法正确的是__③__.[解析] ①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为{x |x －5＞0}．5．(1)用列举法表示集合{x ∈N |x ＜5}为__{0,1,2,3,4}__．(2)方程x2－6x＋9＝0的解集用列举法可表示为__{3}__．(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为__{x|3＜x≤8}__.[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3){x|3<x≤8，x∈R}H互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨集合的基本概念典题1 下列各组对象：①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；④2的所有近似值．其中能够组成集合的是__②③__.[思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．〔跟踪练习1〕下列每组对象能否构成一个集合：(1)我国的小城市；(2)某校2016年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．命题方向2 ⇨元素和集合的关系典题2 已知N是自然数集，给出下列命题：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2. 其中所有正确命题的个数是( A ) A ．0B ．1C ．2D ．3[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N 的意义和集合与元素间的关系．[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a ∈N ，即a 是自然数，当a ＝0时，－a 仍为自然数，所以②也不正确．故选A ．『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N ＋，N ，Z ，Q ，R 来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征． 〔跟踪练习2〕(1)给出下列几个关系式：2∈R ；0.3∈Q ；0∈N ；0∈{0}；0∈N ＋；12∈N ＋；－π∈Z ；－5∈Z .其中正确的关系式的个数是( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 运用常用数集的概念可作出判断：2∈R ，0.3∈Q,0∈N,0∈{0}，－5∈Z 正确．其余均错误，故选B ．(2)已知集合M ＝{大于－2且小于1的实数}，则下列关系式正确的是( D ) A ．5∈M B ．0∉M C ．1∈MD ．－π2∈M[解析]5>1，故5∉M ，A 选项错；－2<0<1，故0∈M ，B 选项错；显然1不小于本身，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确． 命题方向3 ⇨用列举法表示集合典题3 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路分析] (1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．[解析] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为{(75，25)}．『规律方法』 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 〔跟踪练习3〕用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； (3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解析] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}． 命题方向4 ⇨用描述法表示集合典题4 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； (3)所有正奇数组成的集合．[思路分析] 找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合 [解析] (1){x |3x ＋2>2x ＋1}或{x |x >－1}； (2){(x ，y )|x >0，y >0，且x ，y ∈R }； (3){x |x ＝2k －1，k ∈N ＋}．『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x ∈R . 〔跟踪练习4〕把(1)，(2)，(3)分别更换条件如下，试分别求相应问题． (1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的有理数组成的集合； (2)在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合； (3)所有偶数组成的集合．[解析] (1){x ∈Q |3x ＋2>2x ＋1}或{x ∈Q |x >－1}． (2){(x ，y )|xy ＝0，x ，y ∈R }．(3){x |x ＝2n ，n ∈Z }．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略集合中元素的互异性(本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用)典题5 设集合A ＝{x 2，x ，xy }、B ＝{1，x ，y }，若集合A 、B 所含元素相同，求实数x 、y 的值.[错解] 由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1xy ＝y ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.[错因分析] 当x ＝1，y ∈0时，A ＝B ＝{1,1，y }，不满足集合元素的互异性，当x ＝1，y ＝1时，A ＝B ＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x ＝－1，y ＝0，A ＝B ＝{1，－1,0}，满足题意．[正解] 由错解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，经检验当取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ∈R 与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，时不满足集合中元素的互异性，所以x ＝－1，y ＝0.[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．〔跟踪练习〕若将上式中的集合A 改为{a ，ba，1}，B 改为{a 2，a ＋b,0}，其他条件不改变，怎样求a 2 015＋b2 015的值．[解析] 方法一：∵{a ，ba，1}＝{a 2，a ＋b,0}， 又∵a ≠0,1≠0，∴b a＝0，∴b ＝0，∴{a,0,1}＝{a 2，a,0}，∴a 2＝1，即a ＝±1，又当a ＝1时，A ＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，∴a ＝－1，即集合A ＝{－1,0,1}， 此时a ＝－1，b ＝0， 故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1＋0＝－1.方法二：∵{a ，b a，1}＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0a ·ba ·1＝a 2(a ＋b )·0解得a ＝±1，b ＝0，由集合中元素的互异性知a ≠1， ∴a ＝－1，b ＝0.∴a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＋02 015＝－1＋0＝－1.X学科核心素养ue ke he xin su yang数学抽象能力数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验．学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题．本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念，领悟集合的本质属性是学习的首要任务，在此基础上，明确集合元素的属性及集合的表示方法．典题6 选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合.[解析] 描述法：{x|x＝2n－1，n∈N*}．列举法{1,3,5,7，…，2n－1，…}．『规律方法』用列举法表示无限集时，一是列出的前几项体现的规律，要和一般项统一起来，二是要加省略号．K课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列各组对象，能构成集合的有 ( C )①对环境污染不太大的塑料；②中国古典文学中的四大名著；③所有的正方形；④方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根．A．①B．①②C．②③④D．①②③④[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则必有 ( B )A．－1∈A B．0∈A C．3∈A D．2∈A[解析] 集合A中元素有两个特征：x∈N且－3≤x≤3，观察四个选项，只有B正确．3．下列各组集合中，表示同一集合的是 ( B )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}[解析] A项中M＝{(3,2)}中的元素是(3,2)，N＝{(2,3)}中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B 项中M ＝{3,2}中的元素是3,2，N ＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C 项中集合M 中的代表元素是(x ，y )，是直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 中的代表元素是y ，是直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D 项中两集合M 的元素分别是3、2，而N 中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合．4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3，所组成的集合最多含有元素的个数为 ( A ) A ．2 B ．3C ．4D ．5[解析]x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，集合中的元素最多含有两个．5．用适当的方法表示下列集合.(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为__{－2,0,2,4,6,8,10}__； (2)不等式3x －6≤0的解集可表示为__{x |x ≤2}__； (3)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集可表示为__{－3,0,1}__；(4)函数y ＝x 2－x －1图象上的点组成的集合可表示为__{(x ，y )|y ＝x 2－x －1}__．A 级 基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 ( C )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C ．2．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为 ( B ) A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}[解析] ∵x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.故集合为单元素集合．故选B ． 3．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是 ( A ) A ．a ∈AB ．a ∉AC ．a ＝AD ．{a }∈A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是 ( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D ． 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是 ( D ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 [解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D ． 二、填空题6．用符号∈与∉填空： (1)0__∉__N *；3__∉__Z ； 0__∈__N ；(－1)0__∈__N *； 3＋2__∉__Q ；43__∈__Q .(2)3__∈__{2,3}；3__∉__{(2,3)}； (2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__∉__{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a __∈__R ，若a 2＝－1，则a __∉__R .[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．7．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝__2__. [解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题8．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.导学号 69174028 (1)不超过10的非负质数的集合； (2)大于10的所有自然数的集合．[解析] (1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集． (2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x |x >10，x ∈N }，是无限集．B 级 素养提升一、选择题1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( B ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B ．2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是 ( C )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C ．3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为 ( B ) A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B ．4．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 ( D )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[解析] 当x >0时，x |x |＝1，当x <0时，x|x |＝－1，故当x ，y ，z 全为正时，原式＝4； 当x ，y ，z 两正一负时，xyz <0，原式＝0； 当x ，y ，z 两负一正时，xyz >0，原式＝0；当x ，y ，z 全为负时，xyz <0，原式＝－4，故M 的元素有4,0，－4，∴4∈M .故选D ． 二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是__{k |5＜k ≤6}__. [解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝__{－3，－1,1,3}__.[解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意．C 级 能力拔高1．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为 ( B )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．.. 2．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}.(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意． 综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}． (2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意； 当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0. 综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98. [点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．3．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集． (2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等。
集合的含义与表示
集合的含义与表示☆知识点☆★1、集合的概念：一般地, 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合， 集合中每一个对象叫做这个集合的元素★2、集合元素的特征：确定性，互异性，无序性（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的顺序书写即时练习：判断下列各组对象能否构成一个集合？ ① 2，3，4②（2，3），（3，4） ③ 三角形④ 2，4，6，8，…⑤ 1，2，（1，2），{1，2} ⑥ 我国的小河流⑦ 方程042=+x 的所有实数解 ⑧ 好心的人 ⑨ 著名的数学家 ⑩ 方程0122=++x x 的解★3、集合相等： 一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素.我们就说集合A 等于集合B.记作A ＝B.如：{a ，b ，c ，d}与{b ，c ，d ，a}相等； {2，3，4}与{3，4，2}相等； {2，3}与{3，2}相等.“与2相差3的所有整数所组成的集合”，即{}{}5,132-==-∈x N x 思考：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}相等吗？ ★4、集合元素与集合的关系:集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示： （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作A a ∈ （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ ★5、常用数集及其记法:N 表示：非负整数集（或自然数集） N*或N+表示：除0的非负整数集 Z 表示：整数集 Q 表示：有理数集R 表示：实数集 ★6、集合的分类：2、无限集：含有无限个元素的集合。
1.1.1 集合的含义与表示
C={x | x=2n，n N }
四、集合的表示
(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的 方法称为描述法。
A={x R | x<10 } B={x R | x2 -2=0 } C={x Z | 10<x<20 }
(4)若C { x N | 1 x 10}, 8 ____ C, 9.1____C
五、巩固练习
(1)所有偶数组成的集合：
{x | x 2k,k Z }
数集
(2)不等式2 x 3 0的解集： { x | 2 x-3<0}
不等式的解集
(3)函数y x 1的自变量的值组成的集合：
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能 ③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？ 否
②互异性：集合中的元素是互异的。即集合元素是没 有重复现象的。 (互不相同)
二、集合中元素的特征
① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?
否
② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能
常见的数集及其记法：
自然数集 N 整数集 Z
正整数集 N*或N 有理数集 Q
实数集 R
一、集合的含义
一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些 元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.
问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做 集合”，这些集合里的元素必须具备什么特征？
高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班 的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之 间各自有什么关系？
1、集合的含义及表示
集合的含义及表示一、集合1. 集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集. （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它；（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象.2. 集合中元素的3个特征：(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.3. 元素与集合间的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A∉.4. 集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作∅；(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集；(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.5. 常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.二、集合的表示方法1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，….3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例1：集合的概念及元素的性质集合A 由形如(,)m m Z n Z +∈∈A 中的元素？ 例2：元素与集合的关系下列六个关系中，正确的关系是 .（1）0∈N * （2）0∉{－1，1} （3）∅∈{0}例3：集合中元素的性质 6M={a Z,|N}5-a∈∈，则M=( ) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}例4：集合的表示方法分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程230x -=的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.巩固练习一、选择题1．下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-2．集合{}|(31)(4)0x Z x x ∈--=可化简为（ ）A ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}4C ．1,43⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,43⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．集合{}1,3,5,7,A =⋅⋅⋅ 用描述法可表示为（ ）A ．{}|,x x n n N =∈B ．{}|21,x x n n N =-∈C ．{}|21,x x n n N =+∈D ．{}|2,x x n n N =+∈4．若以集合{},,S a b c =中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形二、填空题5．若集合A ＝{x |x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是6．用列举法表示集合7．设215|022x x ax ⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭，则集合219|02x x x a ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素之积为 ． 8. 设a ，b ∈R ，集合{}10b ,a b ,b ,,b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b －a = ． 三、解答题9． 已知集合A ＝{a +2，2a 2+a }，若3∈A ，求a 的值．10．设集合A ＝{x |kx 2﹣4x +2＝0}，若集合A 中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．11．已知方程ax 2+x +b ＝0．（1）若方程的解集为{1}，求实数a ，b 的值；（2）若方程的解集为{1，3}，求实数a ，b 的值．12．已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值．13．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2﹣3x +2＝0，a ∈R }．（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合A ．14．试分别用列举法和描述法表示下列集合．（1）由方程x （x 2﹣2x ﹣3）＝0的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数．15．已知集合A ＝{x |x 2+x +p ＝0}．（1）若A ＝∅，求实数p 的取值范围；（2）若A 中的元素均为负数，求实数p 的取值范围．16．设集合{}22|,,M a a x y x y z ==-∈．求证：（1）一切奇数属于集合M ；（2）偶数42()k k z -∈不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其乘积仍属于M ．。
集合的含义及其表示
1.我国古代的四大发明 A={我国古代的四大发明}
2.我国的直辖市 B=｛我国的直辖市｝ 3.book中的字母 C=｛ book中的字母｝
概念理解
1、是一定范围内的确定的对象
2、是不同的对象
3、是这些对象的全体
集合元素的特征
1.确定性
2.互异性
3.无序性
集合与元素的关系
若一个元素a在集合A中，则称a∈A, 读作“元素a属于集合A” 如： R 2 否则，称为aA,读作“元素a不属于集合A。 如： 2 Q 注：两个集合之间不能用属于的关系，只能是元 素与集合之间。 如：N∈Z （×） 即这种写法是错误的
集合的表示方法
1.列举法 将集合的元素一一列举出来，并置 于花括号“｛｝”内。 注：元素间要用逗号隔开，元素的次序无关 （习惯上按字母或数字的次序写）。 2.描述法 将集合的所有元素具有的性质（满 足的条件）表示出来，写成 { x | p(x) }
有时用Venn图表示集合，更加形象直观。 如：
火药，印刷术， 指南针，造纸术 b, o, k
数集的分类
根据元素个数的多少来分 含有有限个元素的集合称为有限集 特别地，不含任何元素的集合称为空集,记为 注意：不能表示为{}。 含有无限个元素的集合称为无限集
小结
1.集合的定义、表示 2.常用数集及表示 3.属于、不属于 4.集合相等 作业：P7 1，2，4
定义
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象 的全体构成一个集合（set），简称集。 其中，集合中的每一个对象称为该集合的元素 （element)，简称元。 规定：集合用大括号“{ }” 表示且常用大写 字母表示。如集合A，集合B等。 元素用小写字母表示，如元素a,元素b等
集合的含义及表示
集合的含义及表示一． 知识卡片1. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.2. 集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.3. 集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ； 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a A .4. 常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .5. 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a }不同.6. 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x 代表元素，P 是确定条件.7. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.∉{|}x A P ∈2{(,)|1}x y y x =-2{|1}y y x =-{|1}x x >{|3,}x x k k Z =∈二． 高考预测本部分内容为高考中频考点，多见于选择题、填空题。
集合的含义和表示
1.1集合的含义及表示内容分析：集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集课外知识补充，康托尔-集合创始人，由于集合导致的数学危机。
（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A|满足条件}含义：在集合A中满足条件的x的集合注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图，也叫作韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作Φ女神助教刘亚楠。
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合中元素的特征集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能说明它是不是某个集合中的元素，俩种情况必居其一且仅居其一，不能模棱俩可。
（2）互异性：同一集合中不能有重复的元素（3）无序性：集合中与元素的排序无关例题1：下列各组对象中，能构成集合的是： ①接近2的数的全体②比较大的无理数的全体 ③平面上到点A 的距离是2的所有点的集合 ④方程0122=++x x 的在实数范围内所有的解 ⑤所有的正三角形⑥2018年所有的高考难题 ⑦所有的有理数⑧所有的好学生⑨所有的成绩高于600分的学生⑩人教版高中数学第一章的所有习题二、集合与元素的关系集合用大写拉丁字母A.B.C 来表示，元素用小写的字母a.b.c 来表示。
元素与集合只有俩种关系：属于与不属于。
属于记作A a ∈,不属于记作A a ∉.例题1、实数1是下面哪个集合中的元素（）A 整数集Z B{x |x x =} C{N x ∈|11<<-x } D{R x ∈|011≤+-x x } 例题2、下列关系中，正确的个数为（ ） ①R ∈21.②Q ∉2③N *3∈-④Q ∈-3A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 例题3、设集合M={R x ∈|33≤X },62=a ,则（ ）A M a ∈B M a ∈ C{a}∈M D{a|62=a }M ∈例题4、下面有四个语句①自然数集中最小的元素是1②若N a ∉-,则N a ∈③若N b N a ∈∈,,则b a +的最小值为2④由x x 442=+的实数解构成的集合中含有俩个元素。
其中正确的个数有（ ）个三、常用的数集及其表示方法例题1、已知，若Z x N x M x ∈+∈∈1,,且则,求集合M 中的元素例题2、集合M 中元素m 满足N m +∈,且N m +∈-8,则集合M 中元素的个数最多为几个？。