高考数学 一轮复习 第3讲函数的奇偶性与周期性(学生版)

第3讲函数的奇偶性与周期性

【2013年高考会这样考】

1．判断函数的奇偶性．

2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．

3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．

【复习指导】

本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 两个性质

(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.

(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论

(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．

(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1

f (x )

，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；

(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.

(上述结论中的T 为函数的周期，但不一定是最小正周期。）

双基自测

1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪

⎫－52＝( )．

A.－12

B.－14

C.14

D.12

2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1

x －x 的图象关于( )．

A．y轴对称B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称D．直线y＝x对称

3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数

4．(2011·福建)对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()．

A．4和6 B．3和1

C．2和4 D．1和2

5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

考向一判断函数的奇偶性

【例1】►下列函数：

①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝

3x－3－x

2；⑤f(x)＝lg 1－x

1＋x

.其中奇函数的个数是()．

A．2 B．3 C．4 D．5 【训练1】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝

4－x2

|x＋3|－3

；

(2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.

考向二 函数奇偶性的应用

【例2】►已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2x －1＋12(x ≠0)．

(1)判断f (x )的奇偶性；(2)证明：f (x )＞0.

【训练2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．

考向三函数的奇偶性与周期性

【例3】►已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．

【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为()．

A．－1 B．1 C．0 D．无法计算