2017北师大版高中数学必修2课件1.5.1,1.5.2：平行关系平行关系(2)
北师大版高中数学必修2课件：1.5.2 平行关系的性质(2)PPT课件
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
γ
a
b
α
β
例题讲解
例1、求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.
如 图 ,//,A B//C D , A
D
且A,C,
B ,D .
求 证 ： A B C D B
C
例题讲解
证 明 ： 因 为 AB//CD ，
所 以 过 A B ， C D 可 作 平 面 ，
且 平 面 与 平 面 和 分 别 相 交 于 A C 和 B D .
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N,
下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交
其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
例题讲解
例2、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、
在 B C A 中 ， N M //A C ， N M //平 面
平 面 //平 面
NM/
平 面 P N M //平 面 直 线 M P//平 面 .
课堂小结
1. 复习了平面与平面平行的 概念及判定;
2. 学习并掌握平面与平面平 行的性质.
1.5.2 平行关系（2）
问题引入 1、什么叫两平面平行？
2、两平面平行的判定定理？ 如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个 平面平行.
【高中课件】北师大版必修2高中数学1.5.2平行关系的性质配套课件ppt.ppt
【自主解答】 如图，连接DC， 设DC与平面β相交于点G， 则平面ACD与平面α、β分别相交于直线AD、BG.
平面DCF与平面β、γ分别相交于直线GE、CF. 因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF. 于是在△ADC内有BACB＝DGGC， 在△DCF内有DGGC＝DEFE. ∴BACB＝DEFE.
1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据， 可以用来证明线线平行．
2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行， 再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确 定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的 相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平 行”．
如图1－5－13所示，已知异面直线AB，CD都平行于平 面α，且AB，CD在α的两侧，若AC，BD与α分别交于M，N 两点，求证：MAMC＝NBND.
图1－5－14
【证明】 过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE， BE，
∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.
由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理) 取AE中点N，连接NP，MN， ∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP β，DE β，MN β，BE β， ∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP 平面MNP，∴MP∥β.
(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．
【自主解答】 (1)因为CD∥平面EFGH， 所以CD∥EF，CD∥GH，所以GH∥EF. 同理EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为AB⊥CD，所以HE⊥EF. 所以四边形EFGH是矩形．
高中数学北师大版必修2配套课件：1.5.1平行关系的判定
众所周知，沉积岩是地面的岩石在外力作用下，经过风 化、搬运、沉积固结等沉积而成，其主要特征是：层理构造显 著，即岩石是由一层一层近似平行的岩面叠加而成，外观上就 可发现这些平行的平面，因此沉积岩中常含古代生物遗迹，即
化石．所以科学家希望据此可以探讨火星35亿年的生命史．
1．直线与平面的位置关系 α α 直线a在平面α内(记作________) ， a∩α＝A ， 直线a与平面α相交(记作__________) a∥α 直线a与平面α平行(记作__________) ．
[ 规律总结 ]
1. 要全面、深刻地理解线面平行、面面平行
的判定定理，运用这两个定理证明问题或判定分析结论是否正 确时，一定要紧扣两个定理的条件，忽视条件，很容易导致判 断错误．
2 ．在判断一些命题的真假时，要善于列举反例来否定一
个命题，要充分考虑线线关系、线面关系、面面关系中的各种 情形，以对一个命题的真假作出合理的判断．
第一章
立体几何初步
第一章 §5 平行关系
5． 1 平行关系的判定
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课后强化作业
课前自主预习
日前有资深科学家说，高清晰度照片显示的迹象表明：火
星上可能存在沉积岩．这可能是人类关于火星的最重要的发
现．科学家说，“现在应该在这些沉积岩上寻找生命存在过的 痕迹”．
[解析]
①中直线l可能在平面α内；②中直线a可能与平面
α相交；③中直线a可能在平面α内；④正确，故选A.
直线与平面平行的判定
如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AB，SC 的中点．求证：EF∥平面 SAD.
高中数学北师大版必修二 1.5.2平行关系的性质 课件(36张)
目标导航
预习引导
预习交流 3
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,那么 a 与 β 的位置关系是怎样的? 提示:a∥β.由于 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,而 a⫋α,所以 a 与 β 也没有公共点.故必有 a∥β.由此可得到证明线面平行的一种新方法,即 转化为面面平行.
预习交流 4
若平面 α∥平面 β,直线 a⫋α,直线 b⫋β,那么 a 与 b 的位置关系是怎 样的? 提示:直线 a 与 b 可能平行,也可能异面,但不可能相交.
问题导学
当堂检测
证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点, ∴ AP∥OM. 又 OM⫋平面 BMD,AP⊈ 平面 BMD,∴ AP∥平面 BMD. ∵ 平面 PAHG∩平面 BMD=GH,AP⫋平面 PAHG, ∴ AP∥GH.
(1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长.
问题导学
当堂检测
思路分析:由 PB 与 PD 相交于点 P 可知 PB,PD 确定一个平面,结合 α∥β,可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平 面问题.
问题导学
当堂检测
(1)证明:∵ PB∩PD=P, ∴ 直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又 α∥β,∴ AC∥BD. (2)解:由(1)得 AC∥BD,∴ ∴=
目标导航
预习引导
2.平面和平面平行的性质定理 (1)文字叙述: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)符号表示: ������ ∥ ������ ������⋂������ = a ⇒ a∥b. ������⋂������ = b (3)图形表示:
高一数学(北师大)必修2课件：1.5.2平行关系的性质
1•理解线面平行的性质定理2•理解面面平行的性质定理3•能够利用两个定理解决有关问题.HI首页X褊嚴E DWf 思维脉络首页1・直线与平面平行的性质定理文字语言:如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线符号语言:川％压0QCI0二图形语言:作用:证明两条—平行.首页做一做1如图所示，在四棱锥P-ABCD中,分别为A C,PC上的点,且MNII平面丹10，则（）A.MNWPDB.MNIIB4C.MNWADD.以上均有可能PBX名师点拨：;I正确理解线面平行的性质定理:(1)克线与平面平行的性质定理中有三个条件：①直线/和平面僅平行。
即/ //a；②平面a』相交亍即g Dp=b ；③直线I在平面0内，即库乩这三个条件缺一不可.(2)线面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一种方法.(3)在应用线面平行的性质定理时亍往往会出现这样的易错点fa. // 宰趴所以a //,所以在应用时要谨慎.; (4)线面平行的判定定理与性质定理常常交桥使周::先通过线线平行找出线面平行"再通过线面平行推出线线I平行，其关系可用以下关系链表示：i 「囊线］在平面内作您丽|经过直线作或找平翦|...... •平行…或找二篆直线八平行t面号平WT的交线"•平行..DWf D 鵜細ANC首页2 •平面与平面平行的性质定理文字语言:如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的•平行.符号语言:a II p.a^\y-a,p^\y-b^c图形语言:作用:证明直线与直线DWf D為絲狐观首页做一做2 平面a II平面0,平面y II平面5,且aC\y=a,ar\3=b,j3C\y=c^r\3=d,则交线a.b.c.d的位置关系是（）A.互相平行 B.交于一点C.相互异面D.不能确定解答，(名师点拨JIa正确理解面面平行的性质定理:(1)面面平行的性质定理可以作为证明线线平行的一1种方法；I] (2〉已知两个平面平行'虽然一个平面内的任何直线I〕椰平行于另一个平面’但是这两个平面内的所有直线并不II-定相互平行.[ (3)面面平行的其他性质：: II ①两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一： I个平面.简言之严面面平行，则线面平行「这可以作为证iII明銭面平行的一种方法. i I ②夹在两个平行平面间的平行践段相等. i I ③两个平面都与第三个平面平行.那么这两个平面互i 「相平行+i I: ④两条直线被三个平行平面所截.截得的对应线段成1II比仙i Ii ⑤经过平面外一点有JI只有一个平面与已知平面平行.=DWf D為絲狐观首页思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“V”,错误的打“X”.(1)如果三个平面a,0,y满足a\\p\\y,且平面5与这三个平面相交，交线分别为d上G则有a II b II c成立()(2)若直线"与平面a不平行，过直线“的平面”与平面a的交线为/，则" 与/不平行.()(3)若直线"与平面a平行，则直线“一定平行于平面a内所有的直线. ()首页X籀嚴E探究一直线与平面平行的性质及其应月【例1】如图所示，己知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和仲作平面交平面BDM于GE求证:APWGH.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析证明涟接A C交BD于点O，连接MO.:四边形ABCD是平行四边形，・：0是AC的中点.又M是PC的中点,・II OM.・・OMM平面BMDAPE平面BMD..9.AP\\平面BMD :•平面BAHGA平面BMD=GHAP圧平面PAHG./.APWGH.首页X籀嚴E探究一探究二探究二易错辨析c反恩感悟上: :: 如果已知亢线与平面平行，在利用直线与平面平行的；ti性质定理时■常作过此克线与已知平面相交的辅助平面.i: : I完成线面平行向线线平行的转化"再由线线平行向线面平II行转化•这种互相转化的思担方法的应用「在立体几何中；［十IANC 分常见. ii 「'■ta ■■ ■«*■ ■ * ■ ■・■・■■■■・■■心■ ■■■“■ ■ a：■ ■・■•■■!&■ ■■■■■■<!■ ■ is ■ ■■■■■■■】■■■■(■■■•■■•■ ■■■«■■ m ■首页X籀嚴E变式训练1如图所示亦n”二CD/zn尸EF0PI尸A5ABII久求证:CDWEF.探究二平面与平面平行的性质及其应用【例2】如图所示，已知刖風点P 是平面切外的一点(不在a 与”之 间)，直线P5"分别与a,0相交于点A,〃和CQ(1) 求证:ACIIBD;(2)若PA=4 cm,AB=5 cmfC二3 eg求PD的长.分析:由PB与PD相交于点P可知P5PD确定一个平面，结合a II几可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.I反思感悟)利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤: (1 ｝先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面.使这两条直线椰在这个平面内;(4)由定理得出结论.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC 探究一探究二探究二易错辨析变式训练2在正方体中，作截面EFGH(如图所示)交GDA1B/5CQ分别于点E,FGH,则四边形EFGH的形状为()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形首页X籀嚴E解析:由于正方体中平面ABB X A X\\平面DCCQi，又截面EFGH与平面ABB{A{.平面DCC X D X分别相交于由面面平行的性质定理知GFHEH;同理可得EFWGH,故四边形EFGH —定是平行四边形，故选A.首页X籀嚴E D嘉絲邀IANC探究三平行关系的综合问题【例3】如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE /ED=2 :1,在棱PC上是否存在一点F,使BFII平面AEC?并证明你的结论.i!l首页探究一探究二探究二易错辨析分析:可从“若两个平面平行，则一个平面内的任一直线都与另个平面平行”这一结论入手考虑，作过点B与平面AEC平行的平与PC的交点就是要找的点.首页X 籀嚴ED 嘉絲邀IANC探究一探究二探究二易错辨析解:存在•当F 是棱PC 的中点时,BFII 平面AEC ，证明如下: 取PE 的中点M,连接FMJBF,则FMII CE.因为FW 平面AECCE9平面AEC,所以FM11平面AEC.① 由EM 二 -PE 二ED,知E 是MD 的中点，连接2设BD n A C 二0则0为BD 的中点，连接OEMBMWOE.因为BMg 平 探究一 探究二 探究二易错辨析由FMHBM=M,得平面BFMW 平面AEC. 因为BFM 平面BFM,所以BF11平面AEC.P首页X籀嚴E匚反思感悟j 空间中三种平行关系的转化| L由面面平行的性质知，当a //P时，若/呈s则必有:1//P，因此可通过面面平行来证明线面平行.1 2.空间中三种平行关系的转化如下：线线平行i 3■在解决问题时▼论证平行关系亍用判定定理；已知平!行关系，则用性质定理.变式训练3如图所示屮为平行四边形ABCD所在平面外一点，点M,N 分别为AB,PC的中点，平面PADH平面PBC=l.(1)求证:BCIIZ;⑵MN与平面是否平行?证明你的结论.探究一探究二探究二易错辨析证明:如图所示，取PD的中点£连接ENAE，又因为N为PC的中点，所以EN |DC.在平行四边形ABCD ^.CD AB,又M为AB的中点，所以EN AM.所以四边形A MNE为平行四边形，所以AE〃MN. 又AE仝平面PAD,MN工平面PAD,所以MW〃平面PAD.在立体证明中错套平面几何定理而致误典例如图所示，已知EF分别是正方^ABCD-A X B X C{D X的棱AA^CC,的中点•求证四边形BEDpF是平行四边形.错解:在正方^ABCD-A X B X C X D^,平面A X ADD X\\平面B X BCC{, 由面面平行的性质定理得D{E\\FB.同理QiFHEB，故四边形EEFD、为平行四边形.正解:取DiD的中点G，连接EG,GC,:K是AiA的中点,G是DiD的中点，• ••EG AD.由正方体性质知AD BC. /.EG BC.•:四边形EGCB是平行四边形，•：EB GC.又：GF分别是DiACiC的中点，•:D1G FC.•:四边形DiGCF为平行四边形，•:D\F GC. ② 由①參口EB DiF,•:四边形BEDiF是平行四边形.工纠错心得」III L立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能I直接使•用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几「何问题转化为平面几何问题再证明.: 2•错解中就是担当然认为四边形EEDiF一是平面图I［形，而没有必要的说理••■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■—■■■■■■■■■■■■■■■■■■0■■■■■■■■■■■■■■■■■首页X初虢弟E D煮腦t®1 •如果直线t/平行于平面％则下列说法正确的是（）A.平面a内有且只有一条直线与“平行B.平面a内有无数条直线与“平行C.平面a内不存在与“平行的直线5 D.平面a内任一条直线都与d平行首页X初虢弟E D煮腦t®20 3 4 52•若平面a II平面堆禹则a与b~定是（）A.平行直线B.异面直线c・相交直线 D.无公共点的直线53•如图所示，在正四棱柱ABCDTBGD中,E，F，G,H分别是棱CCiCmDDC的中点、,N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足条件 ______________ 时，有MNII平面B、BDD\・INA B5解析:连接F&由题意知，HNII平面B、BDD「FH\\平面B、BDD「且HNOFH二H、所以平面NHFW平面B X BDD X.所以当M在线段HF上运动时，有MNII平面B X BDD{.5 A B矗X麴競E DSM?2 23 ④4•已知三棱锥缶BCD中二/截面EFGH与AB.CD都平行，则截面EFGH的周长是_____________ .首页1 2 3 [J] 5解析:截面肯定是平行四边形，且篇=务,所以EF=—a, R理空=—.AC AB AC所以FG=W@所以EF+FG=a. 所以截面EFGH的周长为2么N(5•在正方WABCD-A X B X C{D X中,分别为棱A/】与BC的中点，求证:EFII平面AiACC]・首页X褊嚴E DWf12 3 41-22345证明:取B[C]的中点G,连接EG ，GF因为EG 分别是A]Bi ，BiC\的中点，所以EGIIAG 因为 EG0 平面 A {ACC V A X C X ^ 平面 A X ACC X , 所以EG II 平面A X ACC V同理個为G ，F 分别是B^C^BC 的中点，所以GF\\C X C. 因为GFg 平面A]ACG ，C]C2平面A X ACC 所以GFW首页X 褊嚴E DWf1，平面A l ACC l・因为EGRGF=G,所以平面EFGW平面A X ACC X.又EF9平EFG,所以EFII平面A{ACC1-。
北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(数学北师大必修二)
⑹ 若 a ∥ ， a ∥ ，则 ∥ .
二、知识应用： 题型二 线面平行的性质应用
例 2. 一木块如图所示，棱 BC 平行于面 A' C' .⑴ 要经过面 A' C' 内的 一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平 面 AC 是什么位置关系？
D’
解：⑴ 过 p 画一条直线与 B C 平行，即可； (2) l∥ B C ， B C ∥面 AC，则 l 平行于面 AC.
第五节·平行关系
5.2 平行关系的性质
一、新课讲授：
1．直线和平面平行的性质
文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言：
符号语言： a / / , a ，
= b a / /b .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
c ，∴a∥c．
∵ a∥b，∴b∥c．∵ b ， c ，∴ b ∥ .
二、知识应用： 题型三 面面平行的性质应用
C
例 4. 已知两条异面直线 AB ， CD 与三个平行平面 , , 分别相交于 A, E , B 及 C , F , D .又 AD , BC 与平面的交点为 H , G . A EHFG 求证：四边形 为平行四边形.
⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都 平行于另一平面.
图形语言：
a
符号语言：若 // ， a ，则 a // .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
⑵ 文字语言：平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：
【高中课件】北师大版必修2高中数学1.5.2平行关系的性质课件ppt.ppt
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:由于正方体中平面ABB1A1∥平面DCC1D1,又截面EFGH与 平面ABB1A1、平面DCC1D1分别相交于GF,EH,由面面平行的性质 定理知GF∥EH;同理可得EF∥GH,故四边形EFGH一定是平行四边 形,故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三平行关系的综合问题 【例3】 如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E
解:存在.当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下: 取PE的中点M,连接FM,BF,则FM∥CE.
因为FM⊈平面AEC,CE⫋平面AEC,所以FM∥平面AEC.①
由EM= 1 PE=ED,知E是MD的中点,连接BM,BD, 设BD∩AC2=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE,因为BM⊈平
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系,这样就转化为平面 问题.
(1)证明:∵PB∩PD=P,
∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ,
则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.又 α∥β,∴AC∥BD.
(2)解:由(1)得 AC∥BD,∴������������������������ = ������������������������.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
证明:如图所示,取 PD 的中点 E,连接 EN,AE, 又因为 N 为 PC 的中点,
面AEC,OE⫋平面AEC,所以BM∥平面AEC.②
由FM∩BM=M,得平面BFM∥平面AEC. 因为BF⫋平面BFM,所以BF∥平面AEC.
2017-2018学年高中数学北师大版必修2课件：1.5.2平行关系的性质
【做一做】 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,若过A,C,B1三点的平 面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的关系是 .
答案:平行
2.平面与平面平行的性质定理
题型一
题型二
题型三
题型一
线面平行性质的应用
【例1】 已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:先利用线面平行的性质将线面平行转化为线线平行,再利 用平行公理证明. 证明:如图所示,过a作平面γ交平面α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面δ交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又b⊈β,c⫋β,∴b∥β. 又b⫋α,α∩β=l,∴b∥l,∴a∥l.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 例2中若点P在α与β之间,在第(2)问的条件下,求 PD的长.
解:仿照例 2 易证得 AC∥BD, ∴ ������������ = ������������ , ������������ + ������������ ������������ + ������������ 即 = . ������������ ������������ 5 ������������ +3 3 ∴ = , 解得PD= .
1
2
3
4
5
2.如图所示是长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为 截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线a∥平面α,点A和直线a分别在α的两侧,点B,C,D∈a. 线段AB,AC,AD分别交α于点E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则 EG= .
(1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. 分析:由PB与PD相交于点P可知PB,PD确定一个平面,结合α∥β, 可使用面面平行的性质定理推出线线平行的关系,这样就转化为平 面问题.
1.5.2 平行关系的性质 课件(北师大必修2)
PM PE QN BQ 又∵PM∥AB∥QN，∴ AB ＝AE，DC ＝BD， ∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形． ∴PQ∥MN. 又MN平面BCE，PQ ∴PQ∥平面BCE. 平面BCE，
法二：如图，连接AQ，并延长交BC于 K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， AP DQ ∴PE＝BQ，∴PE＝ BQ. DQ AQ 又∵AD∥BK，∴BQ＝QK. AP AQ 由①②得PE＝QK，∴PQ∥EK. 又PQ 平面BEC，EK平面BEC，∴PQ∥平面BEC. ① ②
写出已知和求证，利用直线和平面平行的性质定理来证 明．
[精解详析] 已知a∥α，a∥β，α∩β＝b.
求证：a∥b. 证明：过a作平面δ，δ∩β＝c， ∵a∥β，∴a∥c. 过a作平面γ，
γ∩α＝d，∵a∥α，∴a∥d.
由公理4得c∥d.
∵dα，c
α，∴c∥α.
又∵cβ，α∩β＝b， ∴c∥b，又c∥a，∴a∥b.
则得BC∥l.
②利用线面平行，面面平行得MN∥平面PAD.
[精解详析]
法一：(1)证明：因为
BC∥AD，
BC
平面PAD，AD平面PAD，
所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝
l，所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以 证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE，MN 平面APD，AE平面
4．若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过 点B的所有直线中 ( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：利用面面平行的性质可知，a和B确定一个平面，
北师大版高中数学必修二1.5.2 平行关系的性质
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A
B
AB
AB//CD
AC//BD
AB//平面α
C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？
a
a
b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ （1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //
A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC
B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？ 为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题 是否正确： （1）若m//α, n//α, 则m//n;
北师大版高中数学必修2课件：1.5.2平行关系的性质(公开课,共16张ppt)
于直线m,则m与A1C1关系为_____ D1
A1
C1 B1
D A
C B
1.5.2 平行关系的性质
永丰中学 陈保进
前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么， 已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？
探究1:如果直线a∥平面α ，那么直线a与平面 α 内的直线有哪些位置关系？
a
α
平行或异面
探究2:如果直线a∥平面α ，经过直线a的平面与
平面α 相交于直线b，那么直线a、b的位置关系
探究3:若两个平面平行，两个平面内的直线位置 关系如何？
平行或异面
探究4:若α ∥β ，平面α 、β 分别与平面γ 相交 于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？
γ b β
α
a
平行.
由于两条交线a,b分别 在两个平行平面α ，β 内，所以a与b不相交. 又因为a,b都在同一平 面γ 内，由平行线的定 义可知a∥b.
C
又因为AC∥BD,
α
所以2.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点, 过直线EF作平面α,分别交BD、CD于M、N,求证： EF∥MN.
A
E
F
BM
D
N C
前面学习了如何判定平面与平面平行，反之，在已 知平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
S
若S在α,β之间?
AC
α
AC
α
S
βB
D
βD
B
例4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过 C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是_等__腰__梯_．形
D1 A1
C1 B1
M
D
北师大版必修2高中数学1.5.1《平行关系的判定》ppt配套课件
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，点D是 AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E， 连接D∴ED. 是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1. ∵DE 平面CDB1， AC1 平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1.
【提示】 门上竖直的一边与门轴所在边平行，与墙 面也平行．
平面与平面平行的判定定理
【问题导思】 三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在 平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面 平行，情况又如何呢？ 【提示】 三角板的一条边所在直线与桌面平行时， 三角板所在平面与桌面可能平行，也可能相交．三角板的 两条边所在直线分别与桌面平行时，三角板所在平面与桌 面平行．
因为AB∥CD，所以MAMG＝MBMD. 所以MGA＋MAM＝MDB＋MBM， 即AAMG＝BBMD.
又因为BD＝AE且AN＝BM， 所以AAMG＝AANE.所以MN∥GE.
又GE 平面CED，MN 平面CED， 所以MN∥平面CED.
1．本题也可通过过M、N分别作AD的平行线构造平行 四边形来寻找平行线证明．
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定 定理的含义，会判断线面、面面平行(重点)． 课标解读 2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描 述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定 理，并知道其地位和作用(难点).
直线和平面平行的判定定理
【问题导思】 教室的门通过门轴可以自由的开关，在开关的过程 中，门上竖直的一边与门轴所在边什么关系？与门轴所在 墙面又是什么关系？
“l α，b α”这一条件，致使定理不完整．
【防范措施】 判定定理中的各个条件都不能忽视不 能遗漏．
北师大版高中数学必修二 5.2平行关系的性质(16张ppt)
证明： a//
a与 没 有 公 共 点
a
又 因 为 b在 内
b
a与 b没 有 公 共 点
又 a与b都在平面内
且没有公共点
a // b
北 师 大 版 高 中数学 必修二 5 .2平 行关系 的性质 (16张p pt)【精 品】
直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,那么过该直线的任意一 个平面与已知平面的交线与该直线平行。
b
北 师 大 版 高 中数学 必修二 5 .2平 行关系 的性质 (16张p pt)【精 品】
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识应用知识应用
【例2】三棱锥A-BCD被一平面所截，截面 为平行四边形EFGH，求证：CD//平面EFGH
线面平行
北 师 大 版 高 中数学 必修二 5 .2平 行关系 的性质 (16张p pt)【精 品】
知识应用知识应用
【例1】已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面, 求证：另一条也平行于这个平面。
如 图 ： 已 知 直 线 a ， b ， a//b ， a//。 求 证 ： b / /
a
b
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2.5.2 直线和平面平行的性质
复习
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行．
a
a
b
a
//
b
a // b
判定定理可概括为:线线平行
线面平行.
直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件 问题，反之，如果已知直线与平面平行，可以得到什么结论呢 ？
(北师大版)高中数学必修2课件：1.5.1平行关系的判定
[规律方法]
对于探索型问题的认识
探索型问题是具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备， 需要自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括得出结论．常见 的有以下两类： (1)条件探索型：条件探索型问题是针对一个结论，条件未知需探索，或条件 增删需确定，或条件正误需判断． (2)结论探索型：结论探索型是先探索结论然后再去证明，在探索过程中常先 从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳，进行猜测，得出结论，再就一般情况 去验证结论．
◎设 P 是异面直线 a，b 外的一点，则过 P 且与 a，b 都平行的平面( A．有且只有一个 C．没有或只有一个 B．恰有两个 D．有无数个
)
【错解】
如图，过 P 作 a1∥a，b1∥b.
∵a1∩b1＝P，∴过 a1，b1 有且只有一个平面与 a，b 都平行．故选 A.
【错因】
错解是对空间概念理解不透彻，对 P 点位置没有作全面的分析，
探索性问题 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中 P 是 DD1 的中点， 心， 设 Q 是 CC1 上的点， 问： 当点 Q 在什么位置时， 平面 D1BQ ∥平面 PAO?
[思路探究]
1.当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
2．怎样证明平面D1BQ∥平面PAO
解析：
∵CD∥C1D1 且 C1D1 平面 C1D1E，
故 CD∥平面 C1D1E，同理 A1B1∥平面 C1D1E， 而 AB 虽然与 C1D1 平行，但 AB 平面 C1D1E.
答案：
CD和A1B1
4．如图所示，M 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点． 求证：直线 A1C1∥平面 MAC.
北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的判定课件(北师大版)
作业
课本 32 页练习 3、4 题
证明：如图： ABCD A1 B1C1 D1 是正方体 所以BD//B1D1,又B1D1在平面AB1D1内 所以 BD//平面AB1D1 同理 BC1//平面AB1D1 又BD交BC1于B 所以 平面C1 BD / / 平面AB1 D1
巩固练习
已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段,E、F、G分别是AB、
例 2 如图所示 , 空间四边形 ABCD 中, E, F, G, H 分别是 AB, BC, CD, AD 的中点。 试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况。
解：由 EF / / AC / / HG得 （1）EF / / 平面ACD（2）AC//GH（3） HG//ABC 由 BD / / EH / / FG得 （4）AC//EFGH（5）EH//BCD（6）FG//ABD
例题解析
例1 求证：空间四边形相邻两边的中点的连线 ,平行于经过另外两边的平面。
已知：空间四边形ABCD中,E、F 分别是AB、AD的中点。 求证：EF//平面BCD。
证明：连结BD,
AE EB ，EF 平面BCD ，BD 平面BCD EF / / BD AF FD EF / / 平面BCD
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
平行关系的判定
新课导入
a 1. 空间直线与平面的位置关系有3种 : a A a ||
|| 2. 空间平面与平面的位置关系有2种 : BC
探索新知
一、直线与平面平行的判定
1.问题提出：如何判定一条直线和一个平面平行？
2.直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。
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b a
2.抽象概括: 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们 的交线平行.
// a a // b b
（面面平行证线线平行）
b a
于点A、B、C和 例3.如图, // // , 直线a和b分别交 、 、 点D、E、F. AB DE . 求证： BC EF a b
a
b
a
b
若a∥，a , b，则a∥b
已知： a∥，a 求证： a∥b
, =b,
a
证明： ∵直线a∥平面α，∴ a与平面α没有公共点. 又∵b在平面α内，∴ a与b也没有公共点. 而a和b都在平面β内，又没有公共点， ∴ a∥ b
b
2.抽象概括: 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行, 那么过该直线的任意一个平面 与已知平面的交线与该直线平行.
1
F P E B1 C B C1
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α，AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD. 证明：
A
B
连接CD, A, B, C, D在同一平面内,
∵AB∥平面α，∴ AB∥CD.
又∵ AC∥BD
∴四边形ABCD是平行四边形
C
D
∴AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？
a
a
b
b
// a a // b b
已知：a∥β, α∩γ=a,且 β∩γ=b . 求证：a∥b 证明：
∵直线a,b分别在两个 平行α，β平面内， ∴ a与b不相交， 又a,b都在同一平面γ内， ∴ a∥ b
四、课堂小结 1.直线与平面 平行的性质：
定义
a // a
a a // b. b
//
a //
性质定理
2.两个平面平 行的性质：
（线面平行证线线平行） 定义
性质定理
// a a // b b
复习回顾
1.直线与平面
平行的判定方法：
定义法
判定定理
（线线平行证线面平行）
2.两个平面平 行的判定方法：
定义法
判定定理
（线面平行证面面平行）
线面平行的判定定理解决了线面平行的条 件；反之，在直线与平面平行的条件下， 能得到哪些结论？
§5 平行关系(2)------性质 一、直线与平面平行的性质 1.问题提出: 一条直线和一个平面平行，具有什么性质？
C. 在平面内
D. 平行或在平面内
5.如果3个平面把空间分成4个部分，那么这个平面有怎样的位
置关系？如果3个平面把空间分成6个部分，那么这3个平面有
怎样的位置关系？
5.如果3个平面把空间分成4个部分，那么这个平面有怎样的位
置关系？如果3个平面把空间分成6个部分，那么这3个平面有 怎样的位置关系？ 解： 1.这3个平面互相平行 2.（1）这3个平面有一条公共线 （2）3个平面中的两个互相平行，第三个平面与它 们相交
证明：当直线a与b共面，该平面与α，β， γ分别交于AD,BE,CF.又∵α，β，γ两两 A 平行, ∴AD∥BE∥CF.
故 AB DE .
BC EF
D
当直线a，b不共面时， 连接AF，交平面 于点G. 平面ADF与α，β分别相交于直线 AD,GE.平面AFC与β，γ分别相交于 C BG,CF.又∵α，β，γ两两平 行.∴GE∥AD,BG∥CF. AB DE AB DE AG AG . ∴ 因此， , BC BC EF EF GF GF 思考： 若DE=6, EF=2, BC=3. 则AB=________.
（1）若m//α, n//α, 则m//n;
（2）若m//α, m//n, 则n//α; （3）若m//α, 则m平行α内所有直线; （4）若m平行于α内无数条直线, 则m//α .
第(4) 题：m可能பைடு நூலகம்平面α内
4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线
与另一个平面的位置关系是（ D ） A. 平行 B. 相交
（面面平行证线线平行）
• 作业：P34 例题5 • P35 A组 第6题
a b
若a∥，a , b，则a∥b
线面平行则线线平行
3.应 用: 例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ 解：（1）在面A1C内,过点P画直线EF, D 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1于点E、 F, 连结BE、CF. A1 （2） EF // BC EF // 面AC . EF 面AC D BC 面AC BE、CF显然都和面AC相交. A
B
G
E F
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？为什么？ 2.如果直线a//直线 b , 且a//α , 那么b与α的位置关系是（ D ）
A. 相交
B. b//a
C. b
D. b//a 或 b
3.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题是否正确：