高中数学选修2-1知识点+例题+习题(师)
(北师大版)数学高中选修2-1课时同步练习汇总(全书完整版)
（北师大版）高中数学选修2-1（全册）课时同步练习汇总[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2. 4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO，又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确； 由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． 所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． 得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ， 所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1， 即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q ，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2.所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β， α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得 Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数． 所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2. 答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， 所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.使不等式1a ＞1b 成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b ，故选D.2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D. 5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 解析：选B.6.a 为素数解析：由于a ＝2时不成立，∴a 为素数不是a 为奇数的充分条件． 答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________． 解析：由题意x ＝1是方程的根，∴12＋a ＋2＝0，∴a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要 充分9.(1)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，则只要{x |x ＜－m2}⊆{x |x ＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．(2)欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件，则只要{x |x ＜－m2}⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根． 解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β， sin α＝sin β/⇒ α＝β，由逆否命题的真假性相同，得 sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β/⇒ sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件． (2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1. A ．①② B ．①③ C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________． 解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数． ∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S . 由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . 由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． 4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x . (1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 014；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 014得|－x ＋3|≥2 014，即|x －3|≥2 014，所以x －3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x ≥2 017或x ≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D . 答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1.∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p⇒/ q，所以p是q的必要不充分条件．10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性． ∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q .∴a ＋b ＝0. (2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n＝S n－S n－1＝(aq n－a)－(aq n－1－a)＝a(q－1)q n－1(n＞1)，∴a n＋1a n＝a（q－1）q na（q－1）q n－1＝q(n＞1)．又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.[A.基础达标]1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2， 所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}． 由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}． 显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升]1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b22＋ac ＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC 解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2； (3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .。
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．例1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3 x的距离为3，则p等于()A．2B．4C．23D．43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－22)，则它的标准方程为________．例5已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．例6已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．例7 过抛物线y 2＝2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ，OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程； (2)求证：直线AB 过定点．一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(14，0) C ．(0，18)D ．(0，14)2．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．03．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．－18B ．18C ．8D ．－84．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5B ．10C ．20D.155．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．486．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2,2)7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －18．设抛物线C ：y 2＝16x ，斜率为m 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则直线l 恒过定点( ) A ．(8,0) B ．(4,0) C ．(16,0) D ．(6,0)二、填空题9．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是__________．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 11．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|P A|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(|P A|＋|PF|)min＝|AF|＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]例2B由抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p2，0)．F到直线y＝3x的距离为3，可得|3p2|(3)2＋(－1)2＝3，解得p＝4，故选B.]例32x＝－1例4y2＝2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．若方程为y 2＝2px (p >0)，则8＝2p ×4，得p ＝1，故方程为y 2＝2x ；若方程为y 2＝－2px (p >0)，则8＝－2p ×4，得p ＝－1，不符合条件，故不成立． 所以抛物线的标准方程为y 2＝2x . 例5 x 2＝－12y解析 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，根据题意可得⎩⎨⎧y <2，r ＝|y －2|，x 2＋(y ＋3)2＝1＋r ，解得x 2＝－12y .例6 解 方法一 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ， 则|AB |＝2p <52p ，∴直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)． 方法二如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ， ∴直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例7 (1)解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为(2k 2，2k )， 联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为(2k 2，－2k )，则AB 的中点M 的坐标为(1k 2＋k 2，1k －k )，故点M 的轨迹方程为x ＝y 2＋2.(2)证明 由(1)可知k AB ＝－k －1kk 2－1k 2＝－1k －1k＝－k k 2－1，则直线AB 的方程为y －(1k －k ) ＝－k k 2－1x －(1k 2＋k 2)]，整理，得y ＝－kk 2－1(x －2)．所以直线经过定点(2,0)． 考点专项训练1．C 抛物线y ＝2x 2的标准形式为x 2＝12y ， ∴p ＝14，则p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．]2．B 抛物线y ＝4x 2的标准形式为x 2＝14y ， ∴其准线方程为y ＝－116， 设点M 的纵坐标是y 0，由抛物线的定义，得y 0＋116＝1， ∴y 0＝1516.] 3．A4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线准线方程为x ＝－1， ∴x 0＝5－1＝4，∴|y 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积为12×5×4＝10.]5．C 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p2，0)， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6， 又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.]6．D 由题意得F (12，0)，准线方程为x ＝－12. 设点M 在准线x ＝－12上的射影为P ， 则M 到准线的距离为d ＝|PM |，则由抛物线的定义得|MA |＋|MF |＝|MA |＋|PM |，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值为|AP |＝3－(－12)＝72. 把y ＝2代入抛物线y 2＝2x ，得x ＝2，故点M 的坐标是(2,2)．] 7．A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1， ∴－p2＝－1，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.]8．C 设直线l ：x ＝my ＋b (b ≠0)，代入抛物线y 2＝16x ，可得y 2－16my －16b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16b ， ∴x 1x 2＝(my 1＋b )(my 2＋b )＝b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 可得b 2－16b ＝0，∵b ≠0，∴b ＝16，∴直线l ：x ＝my ＋16， ∴直线l 过定点(16,0)．] 9．y 2＝16x解析 点P 到点F 的距离与到x ＝－4的距离相等，由抛物线定义，知点P 轨迹为抛物线，设y 2＝2px ，由p2＝4，知p ＝8.10．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 11．(18，±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18， ∴此点坐标为(18，±24)． 12．8 解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8.13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
高中数学 解圆锥曲线问题常用方法知识点拨(二) 北师大版选修2-1
知识点拨：解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。
分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+-点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．在正四棱锥P ABCD -中，1PA PB PC PD AB =====，点Q ，R 分别在棱AB ，PC 上运动，当||QR 达到最小值时，||||PQ CQ 的值为（ ） A ．7010B ．355 C ．3510D ．7052．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313C 26D 2263．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（ ） A ．0B ．22C ．12-D ．124．若直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．12l l ⊥B ．12l l C ．1l 、2l 相交不垂直 D ．不能确定5．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．2π 6．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．127．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．08．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．105B ．1010C ．32D ．629．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)33310．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ）A ．14B ．34-C ．1D ．1211．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11AC 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为710时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A 15B 15C 5 D 512．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ）A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--二、填空题13．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2．点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B ，底面ABC 的动点，且1A P 平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ．则点Q的轨迹的长度为___________．14．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．15．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 22EF =，现有如下四个结论： ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______．16．把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A B 、两点间的球面距离______________．17．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．18．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围 是 ．19．已知P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱11A D 上的动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值为__________． 20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，在多面体ABCDEF 中，等腰梯形ABCD 所在平面垂直于正方形CDEF 所在平面，1,2DA AB BC CD ====．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BF 与平面ADE 所成角的正弦值．22．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ． （2）求二面角B AE C --的余弦值．23．如图，四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =（1）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值.24．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.25．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形且90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==，CD SD =，点M 是SA 的中点.（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 26．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △为等腰直角三角形，90APC ∠=︒，ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，2AC =.（1）证明：PB AC ⊥； （2）若三棱锥P ABC -3A PCB --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，利用三点共线的思想，分别求出点R ，Q ，利用两点距离公式求解，后利用导数求最值，进一步求出答案. 【详解】以P 在底面的投影O 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设1(,,0)2Q a ，(,,)R m n q 因为211(0(,0),22P C -，112(,22PC =-， 又因为R 在PC 上，PR PC λ= 所以2(,m m q =，112(,),22λλ-， 所以R 1122(,),2222λλ=--+， 所以222211122222QR a λλ⎛⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221324a a λλλ=+-++ 因为[]11,,0,122a λ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦设2213()24f a a a λλλ=+-++，2213()24g a a λλλλ=+-++ 对其求导()2f a a λ'=-，1()22g a λλ'=-+当二个导数同时为0时，取最小值，即20a λ-=，1202a λ-+= 所以11,36a λ==时取最小值， 所以1121,,,1,,02623PQ CQ ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以PQ CQ=10所以当||QR 达到最小值时，||||PQCQ 的值为10故选：A. 【点睛】空间直角坐标系距离公式的理解：（1）两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的对角线的长度．（2）两点间的距离公式与坐标原点的选取无关，经过适当转化也可以求异面直线间的距离，点到面以及平面与平面的距离等． 本题主要是R 的坐标利用三点共线的思想去求.2．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 11，2），A 0，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1AE =（0，12-），1AC=（1，2）， 设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ11111313A E AC A E AC ⋅===⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解． 【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=， 所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．A解析：A 【分析】求出直线1l 、2l 的方向向量数量积为0，由此得到1l 与2l 的位置关系． 【详解】由题意，直线1l 、2l 的方向向量分别为(1,2,2)a =-，(2,3,2)b =-，2640a b ⋅=-+-=，∴1l 与2l 的位置关系是12l l ⊥．故选A ． 【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的判断，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查运算求解能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==，所以，BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高为棱6，故662R ==因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(63R πππ=⨯=． 故选C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．6．B解析：B 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B ，)12B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()12B C =--， 11cos ,A B BC <>1111AB BC A B B C ⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM与1BC的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M B C所成角的余弦值.与1【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C所成角的余弦值为1111cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解． 9．D解析：D【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案. 【详解】 设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-. 故选：B .【点睛】 本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．B解析：B【分析】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为710，求出12t AA ==．由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角α的正弦值．【详解】设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则31,,(0,0,0),,22A E t B F t ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(2AE =-，12，)t ，3(2BF =12，)t ， AE ∵和BF 所成角的余弦值为710， 2221||||72|cos ,|10||||11t AE BF AE BF AE BF t -∴<>===+，解得2t =．∴(2AE =-，12，2)， 平面11BCC B 的法向量(1,0,0)n =， AE ∴与平面11BCC B 所成角α的正弦值为：3||2sin ||||5AE n AE n α===． 故选：B ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得AM xAB yAC=+，即(1)OM x y OA xOB yOC=--++，判断标准是验证OA，OB，OC三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M，A，B，C一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C三点不共线，点O是平面ABC外一点，对于A由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M在面ABC上；对于B，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,A B C一定共面对于C，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M与,,A B C一定共面对于D，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M与,,A B C一定共面综上知，能得到点M与,,A B C一定共面的一个条件为C.故选：C．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．二、填空题13．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心且与BC平行的线段进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2可得答案【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点且A1P∥平面BCM则P点的轨迹是过解析：4 3【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【详解】∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面ABC相交得到的的线段m，故线段m过△ABC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：23×2=43，故答案为4 3【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．14．【解析】【分析】取MC中点O连结AOBO推导出AC＝BM＝AM＝CM＝1AO＝BO＝AO⊥MCAO⊥平面BMCAO⊥BO由此能求出AB两点之间的距离【详解】取MC中点O连结AOBO∵△ABC中∠C＝10【解析】【分析】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝32，BO ＝72，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点， ∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AO 2131()2- BO 22011172cos120121422BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 10． 【点睛】 本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．①②③【分析】根据平面可判断①；根据可判断②；利用体积公式判断③；设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可得平面故②正确；三棱锥的体积为定值故③正确；建立解析：①②③【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.【详解】连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ，而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得//EF 平面ABCD ，故②正确；1132A BEF BEF V S AC -=⋅ 112211232=⨯=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；建立坐标系如图所示;设11202D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭, 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，22,1E ⎫⎪⎪⎝⎭， 2121,,12222F a ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 221,,122AE a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，2121,,12222BF a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ， 则22322cos 22a a AE BF AE BF a a θ-+⋅==⋅-+ 212122a a =--+2232222a a a ⎛-+=-+ ⎝⎭∴当0a =时，cos θ取得最大值2， θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误； 故答案为：①②③【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.16．【分析】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为且是等边三角形即中由余弦定理得的值利用弧长公式求得两点间的球面距离【详解】设球心为北纬纬线圈所在圆的圆心为半径为则根据点位于北纬30°东经20°点位于北解析：5arccos 8R 【分析】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，r =，且ABC 是等边三角形，即2AB R =，AOB 中，由余弦定理得AOB ∠的值，利用弧长公式求得,A B 两点间的球面距离.【详解】设球心为O ，北纬30纬线圈所在圆的圆心为1O ，半径为r ，130OAO ∠=， 则3cos302r R ==， 根据A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，可得160AO B ∠=，1AO B ∴是等边三角形，即AB r R ==， ABC 中，由余弦定理可得2222232cos 4AB R R R R AOB ==+-⋅∠，求得5cos 8AOB ∠= ,5arccos 8AOB ∴∠=， ,A B ∴两点间的球面距离5arccos 8AB R AOB R =⋅∠=⋅.故答案为：5arccos 8R ⋅ 【点睛】 本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型. 17．【解析】∵∴∴故答案为 解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，1 2OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63318．【详解】试题分析：以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则∴∵点在线段上运动∴且∴∴故答案为考点：空间向量数量积的运算解析：[]0,1【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴，故答案为[]0,1．考点：空间向量数量积的运算.19．【解析】试题分析：因为//所以即为异面直线与所成的角为因为是正方体所以因为所以所以当时考点：1异面直线所成的角；2线面垂直线线垂直 解析：33【解析】试题分析：因为AB //CD ，所以PCD ∠即为异面直线AB 与CP 所成的角为α．因为1111ABCD A BC D -是正方体，所以11CD ADD A ⊥面，因为11DP ADDA ⊂面，所以DC DP ⊥．所以cos CD CP α=，当1CP CA =时，min 13(cos )33CD CD CA CDα===． 考点：1、异面直线所成的角；2、线面垂直、线线垂直．20．【解析】试题分析：因为在平行六面体中所以则考点：本题考查的知识点是点线面间的距离计算考查空间两点之间的距离运算根据已知条件构造向量将空间两点之间的距离转化为向量模的运算是解答本题的关键 解析：【解析】试题分析：因为在平行六面体中，，所以,则．考点：本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1510【分析】（Ⅰ）由面面垂直的性质定理得到DE ⊥平面ABCD ，从而得到DE AC ⊥，再由勾股定理的逆定理证明CA AD ⊥，即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，四边形CDEF 为矩形，所以CD DE ⊥，又平面ABCD 平面CDEF CD =，所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，在底面ABCD 中，过,A B 作,AN BM DC ⊥，交CD 于,N M ，因为1,2DA AB BC CD ====，所以12DN CM ==，所以2213122AN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2233322AC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222AD AC CD +=，所以CA AD ⊥，又AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂面ADE ，所以AC ⊥面ADE ；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则31,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭，)3,0,2F ，所以31,222BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭由（1）可知AC ⊥面ADE ，则面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =，设BF 与平面ADE 所成角为θ，则2223152sin 1031222n BF n BFθ===⋅⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BF 与平面ADE 所成角的正弦值为1510；【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ． （2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD =由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =--设二面角B AE C --的平面角为θ，所以622cos cos ,11322AD m θAD m AD m⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，证明FO AC ⊥，FO BD ⊥，然后得到FO ⊥平面ABCD 即可；（2）以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面BFC 和平面ACF 的法向量，然后可算出答案.【详解】（1）证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，∵FA FC =，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO AC ⊥， ∵四边形BDEF 为菱形，60DBF ∠=︒， ∴FD FB =，∴FO BD ⊥， 又ACBD O =，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD （2）易知OA ，OB ，OF 两两垂直以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒ 则2BD =，∴1OB =，3OA OF ==故(0,0,0)O ，(0,1,0)B ，()3,0,0C -，()3F ∴(3,0,3CF =，3,1,0CB，()0,1,0OB =设平面BFC 的一个法向量为(,,)n x y z =则33030n CF x z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =-- 显然，()0,1,0OB =为平面ACF 的一个法向量 ∴15cos ,5OB n OB n OB n⋅<>==-⋅ 由图知，二面角A FC B --的平面角为锐角 ∴二面角A FC B --的余弦值为155【点睛】关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.24．（1）证明见解析；（2）63-. 【分析】（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN . 因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC . 所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ， 所以//ME 平面PAD ， 同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ， 所以平面//MNE 平面PAD . 因为MN ⊂平面MNE ， 所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ， 所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥. 因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥， 因为PB AB B ⋂=，PB 、AB平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥.又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =. 所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ， 所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,34n n n n n n⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】 方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可. 25．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）根据已知条件证明BD CD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得到BD ⊥平面SCD ；（2）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，设==AB AD a ，2BC a =，依题意，四边形ABED 为正方形， 且有BE DE CE a ===，BD CD ==， ∴222BD CD BC +=，则BD CD ⊥. 又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD底面ABCD CD =，∴BD ⊥平面SCD（2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ， ∵平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD底面ABCD CD =，SH CD ⊥，SH ⊂平面SCD ，SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒. 由（1）得，2SD a =，∴在Rt SHD 中，2SD a =，62SH a =， 在ADH 中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得222222cos 45222AH a a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作//DF SH ，∴DF ⊥底面ABCD ，∴DB 、DC 、DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则)2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,2S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,,022A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,,424M a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MBD 的法向量(),,n x y z =，由202022n DB ax n DM ax ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得30,,12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又0,,2SD a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴sin cos ,n SD θ=<>==， ∴SD 与平面MBD所成角的正弦值为14. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果. 26．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）根据PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，得到PDAC ⊥，再根据ABC 为正三角形，D 为中点，得到BD AC ⊥.然后利用线面垂直的判定定理证明.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，由 1132P ABC V AC BD h -=⨯⨯⨯⨯==， 求得h ，由以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设为平面PBC 的一个法向量(),,n x y z =，又DB 是平面PAC 的一个法向量，然后由cos ,DB n DB n DB n⋅=求解..【详解】（1）∵PAC △为等腰直角三角形，D 为中点，. ∴PD AC ⊥，又ABC 为正三角形，D 为中点， ∴BD AC ⊥.又PD BD D ⋂=，PD ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD . 又PB ⊂平面PBD ， ∴PB AC ⊥.（2）设三棱锥P ABC -的高为h ，sin60BD BC =︒=∴11333233P ABC V AC BD h h -=⨯⨯⨯⨯==， ∴1h =. 又112PD AC ==， ∴PD ⊥平面ABC .如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()0,0,1P∴()0,3,0=DB ，()1,0,1CP =，()1,3,0CB =. 设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，得31y z ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴31,1n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.又DB 是平面PAC 的一个法向量， ∴7cos ,7DB n DB n DB n⋅==-∴二面角A PC B --7【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；. 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若 ⌝p ，则 ⌝q ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若 ⌝q ，则 ⌝p ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若 p ，则 q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题（1）末位是 0 的整数能被 5 整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（△4）ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。
人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)
1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。
高中数学选修2-1同步习题（答案详解）
（数学选修（数学选修2-12-1）第一章）第一章）第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c f ++<¹”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个 C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +¹” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a Î<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p Ø是q Ø的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ×不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=¹的两实数根；12:b B x x a +=-,则A 是B 的 条件。
高中数学必修二 选修2-1 知识点归纳
必修二 知识点归纳： 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。
） 棱锥 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。
2. 三视图（会识别，会画图）3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径，l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ，S’为底面积，h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系：2R=√3a 注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。
２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（２）不共线三点确定一个平面。
推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。
３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
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A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
人教版高中数学理科选修2-1同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：34【基础】空间向量的直角坐标运算
空间向量的直角坐标运算【学习目标】1.理解空间向量的基本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的坐标运算、夹角公式、距离公式。
3.能通过坐标运算判断向量的共线与垂直. 【要点梳理】要点一、空间向量的基本定理 1. 空间向量的基本定理： 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p=xa+yb+zc ．2．基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc ，x 、y 、z ∈R}，这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a 、b 、c}称为空间的一个基底．a 、b 、c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示 （1）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示； （2）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a=a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a 1，a 2，a 3）． 在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量，若，则有序数1{,,}i j k O {,,}i j k O ,,i j k x y z O xyz -O ,,i j k xOy yOz zOx OA OA xi yj zk =++xyzOk ji组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定． 过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图． （2）空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(答案解析)
一、选择题1．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( )A ．2x 0-<<B ．3x 2-<<C ．2x 3-<<D ．2x 4-<< 2．“a b >”是“b a a b e e ->-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：若实数,x y 满足330x y +=，则,x y 互为相反数；命题q ：若0a b >>，则11a b<.下列命题p q ∧，p q ∨，p ⌝，q ⌝中，真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 5．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是( )A ．p ∧qB ．￢p ∨qC ．￢p ∧qD ．￢p ∨q ⌝6．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列说法中正确的是( )A ．命题“若x y =，则22x y =”的逆命题为真命题B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为真命题D ．命题“若两个平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题. 8．命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 9．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >10．下列命题中真命题的是（ ）A ．命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠B ．“22am bm <”是“a b <”的充要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的必要不充分条件 11．已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞-12．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞二、填空题13．给出如下四个命题：①把二进制数(2)110011化为十进制数，结果为51；②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变，方差不变；③从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立；④若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题.其中正确的命题的序号是________． 14．命题p ：（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）是命题q ：x 2+3x ﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____.15．若命题“存在,x R ∈220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 16．函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=.①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数也不是奇函数； ③函数()y f x =若是偶函数，则值域是(]1,0-或[)0,1；④函数()y f x =可以是奇函数；⑤函数()y f x =的值域是(1,1)-，则()y f x =一定是奇函数. 其中正确命题的序号是__________（填上所有正确的序号）17．若命题“存在实数x ，使得()222(2)40a x a x -+--≥成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________.18．设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的________条件19．已知集合{}|A x x a =>，{}|22,B x x x R =-<∈，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围_________. 20．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在中，“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是；其中正确的命题的是________．三、解答题21．已知命题p :实数x 满足27100,x x -+≤命题q :实数x 满足22430.x mx m -+≤其中m > 0.（1）若m =4且命题p ， q 都为真命题，求实数x 的取值范围; （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.22．已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.23．给定两个命题:p 对任意实数x 都有不等式210ax ax ++>恒成立；:q 关于x 的方程20x x a --=有实数根；若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．24．已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥． （1）当1a =时，求集合B ． （2）问：12a ≥是A B =∅的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．25．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；:q 实数x 满足260x x --≤，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<， 若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件， 则对应范围是()2,3-的一个真子集， 即20x -<<，满足条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．2．C解析：C 【分析】构造函数()x f x e x =+利用单调性判断. 【详解】设()x f x e x =+，()e 10x f x '=+>，所以()f x 为增函数， 由于a b >，所以()()f a f b >，所以b a a b e e ->-； 反之b a a b e e ->-成立，则有()()f a f b >，所以a b >. 所以是充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.3．B解析：B 【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系，进行判断，即可判定. 【详解】由题意，例如0x y ==时，此时330x y +=，所以命题p 为假命题；命题q ：中当0a b >>时，110b a a b ab --=<成立，所以11a b<，所以命题q 为真命题，所以命题p q ∧假命题；p q ∨为真命题；p ⌝为真命题；q ⌝为假命题，真命题的个数是2个，故选B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．B解析：B【解析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴根据逆否命题与原命题的等价性可知，q 是p 的充分不必要条件，故选B.5．D解析：D 【分析】根据命题q 是假命题，命题p 是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案． 【详解】∵命题q 是假命题，命题p 是真命题， ∴“p ∧q”是假命题，即A 错误； “￢p ∨q”是假命题，即B 误； “￢p ∧q”是假命题，即C 错误； “p q ⌝∨⌝ ”是真命题，故D 正确错； 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键．6．A解析：A 【分析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112xm ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-. 故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．D解析：D 【分析】A 中，利用四种命题的的真假判断即可；B 、C 中，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题；D 中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性． 【详解】对于A ，命题“若x y =，则22x y =”的逆命题是：若22x y =，则x y =；因为y x =-也成立.所以A 不正确；对于B ，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，所以B 错误；C 错误； 对于D ，“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅”，则,a b 不共线的否命题是，若“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅”，则,a b 共线； 由||||cos a b a b θ⋅=⋅⨯知：||||||a b a b ⋅≥⋅，一定有||||||a b a b ⋅=⋅，cos 1θ=±， 所以,a b 共线，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．8．B解析：B 【分析】利用导数法求出()cos f x ax x =+为R 上的增函数等价命题，进而根据集合的包含关系即可判断. 【详解】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，若函数()y f x =在R 上单调递增，则()0f x '≥在R 上恒成立，即()max sin 1a x ≥=. 由于{}1a a > {}1a a ≥，故命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的充分不必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用函数的单调性求参数，一般转化为导数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解． 【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．10．A解析：A 【分析】A. 根据四种命题的结构形式及转化来判断.B.利用特殊值法，当 0m =时，逆命题不成立.C. 若p q ∧为假命题，由结论“一假则假”来判断. D 用等价命题来判断. 【详解】命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠， 故A 正确；若22am bm <，则0m ≠，可得a b <，反之a b <，0m =，22am bm <不成立，故B 错误；若p q ∧为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 错误；对于实数x ，y ，p ：8x y +≠，q ：2x ≠或6y ≠，由2x =且6y =，可得8x y +=，即p 可得q ，反之由q 推不到p ，则p 是q 的充分不必要条件，故D 错误.故选：A 【点睛】本题主要考查命题的转化及关系以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【详解】解：由2230x x --<得13x ，q 的一个充分不必要条件是p ，3a ∴，故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．12．A解析：A 【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案． 【详解】 解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件； 当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件； 当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<， 综上：1a ≥， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．①③【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断②利用均值与方差的计算公式可判断③根据事件的关系判断④根据且的真假判断【详解】对于①正确;对于②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后平均值解析：①③ 【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断，②利用均值与方差的计算公式可判断，③根据事件的关系判断，④根据“且”的真假判断． 【详解】对于①543210(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=正确;对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，均值改变，方差不变，错误；对于③，从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，“至多一个红球”为“一红一白或两白”，“都是红球”为“两红”，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，正确;对于④，若“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，则④不正确；答案:①③. 【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，解题时需对每个命题进行判断，要求掌握相应的知识，考查的知识点较多，属于中档题．14．m≥1或m ≤﹣7【分析】先求出命题p 和命题q 中不等式的解再根据必要不充分条件列不等式求解【详解】解：由x2+3x ﹣4＜0得﹣4＜x ＜1由（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）得（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m ）＞0即x ＞解析：m ≥1或m ≤﹣7【分析】先求出命题p 和命题q 中不等式的解，再根据必要不充分条件列不等式求解. 【详解】解：由x 2+3x ﹣4＜0得﹣4＜x ＜1，由（x ﹣m ）2＞3（x ﹣m ）得（x ﹣m ﹣3）（x ﹣m ）＞0， 即x ＞m +3或x ＜m ， 若p 是q 的必要不充分条件， 则1≤m 或m +3≤﹣4， 即m ≥1或m ≤﹣7， 故答案为：m ≥1或m ≤﹣7. 【点睛】本题考查二次不等式的求解，考查充分性，必要性的应用，是中档题.15．【分析】根据所给的特称命题的否定：任意实数是真命题得到判别式小于0解不等式即可【详解】命题存在的否定任意实数是真命题解得：故答案为：【点睛】本题考查命题的否定写出正确的全称命题并且根据这个命题是一个 解析：1a >【分析】根据所给的特称命题的否定：任意实数x ，220x x a ++>是真命题，得到判别式小于0，解不等式即可． 【详解】命题“存在x ∈R ， 220x x a ++≤”的否定 “任意实数x ， 220x x a ++>”是真命题，∴440a ∆=-<，解得：1a >，故答案为：1a >． 【点睛】本题考查命题的否定，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况，属于容易题．16．②④⑤【分析】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图象为圆上的一部分故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果【详解】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图解析：②④⑤ 【分析】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果. 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.命题①：可举出反例如图，则可知函数()y f x =不一定是偶函数，故命题①错误； 命题②：举出存在的例子，由图可知函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数，故命题②正确； 命题③：举出反例如图，则可知函数()y f x =如果是偶函数，则值域不一定是(]1,0-或[)0,1，故命题③错误； 命题④：由命题①中图象可知，函数()y f x =可以是奇函数，故命题④正确； 命题⑤：由函数图象性质可知，若函数()y f x =值域是(1,1)-，则函数一定是奇函数，故命题⑤正确.故其中正确的命题的序号是②④⑤. 故答案为：②④⑤. 【点睛】本题主要考查函数的性质，以及圆的方程的性质，通过举反例排除是判断命题正确与否的常用手段，属中档题.17．（﹣22【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x 使得（a ﹣2）x2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立然后分二次项系数为0和不为0讨论当二次项系数不为0时需要二次项系数小于0且判别式小于0求解【详解】命题解析：（﹣2，2]． 【分析】由原命题的否定为真命题得到∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立，然后分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，需要二次项系数小于0，且判别式小于0求解． 【详解】命题“存在实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4≥0成立”是假命题， 则其否定为“∀实数x ，使得（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0成立”是真命题， 当a ＝2时，原不等式化为﹣4＜0恒成立； 当a ≠2时，则()2204(2)1620a a a -⎧⎨=-+-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2． 综上，实数a 的取值范围是（﹣2，2]． 故答案为：（﹣2，2]． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，训练了不等式恒成立的解法，是中档题．18．充分不必要【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【详解】由解得即因为所以是成立的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了充分条件必要条件的判定属于中档题解析：充分不必要 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由21x >解得0x >，即:0q x >， 因为120x x <<⇒>，012x x ><<，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于中档题.19．【分析】根据必要不充分条件得到集合之间的关系从而求解出参数的取值范围【详解】因为是的必要不充分条件所以又因为所以因为所以即的取值范围是：【点睛】集合：若是的必要不充分条件则有：；若是的充分不必要条件 解析：0a ≤【分析】根据必要不充分条件得到集合,A B 之间的关系，从而求解出参数的取值范围.【详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以BA ，又因为{}|22,B x x x R =-<∈，所以()0,4B =，因为(),A a =+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围是：0a ≤. 【点睛】集合()(){|},{|}A x x p x B x x q x =∈=∈： 若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则有：B A ；若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则有：AB .20．④【解析】试题分析：若或为真命题则pq 至少有一真所以命题 错误；命题若且则的否命题为若或则故命题‚错误；三角形ABC 中角A 时故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件由因p:所以由一解析：④ 【解析】试题分析：若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题•错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题 错误；三角形ABC 中，角A时，，故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件．由因p:，所以由一元二次方程根的分布可得，解得，．故正确的命题是④．考点：命题的真假性判断．三、解答题21．（1）[]4,5 ；（2）5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先解一元二次不等式得到p 、q ，再根据命题p 、q 均为真命题，取交集即可得解；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，则[][]()2,5,30m m m >，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为27100x x -+≤，解得25x ≤≤，22430x mx m -+≤()0m >，解得3m x m ≤≤所以:25p x ≤≤，():30q m x m m ≤≤> （1）当4m =时，:412q x ≤≤ 因为命题p 、q 均为真命题，所以25412x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得45x ≤≤，即[]4,5x ∈（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[][]()2,5,30m m m >所以3520m m m ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩解得523m ≤≤，即5,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】考查解一元二次不等式的解得以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于中档题．22．（1）412m -≤≤；（1）存在，08m ≤≤ 【分析】（1）根据题意转化为集合A 、B 存在公共元素，求出A 、B 无公共元素时，实数m 的取值范围，取补集即可.（2）由题意转化为B A ⊆，再根据集合的包含关系可得22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可.【详解】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， {}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，则B A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤， 所以m 的取值范围为08m ≤≤. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的集合思想，考查了转化与化归的思想，属于中档题.23．1,0[4,)4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可知，应满足p ，q 一真一假，将命题p ，q 化简求出其参数取值范围，分类讨论分为p 真q 假和p 假q 真求解即可 【详解】若命题p 为真命题，则对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，所以有0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a ≤<；若q 为真命题，则关于x 的方程20x x a --=有实数根，所以有140a ∆=+≥，解得14a ≥-；因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以p ，q 一真一假，若p 真q 假，则有0414a a ≤<⎧⎪⎨<-⎪⎩，此不等式组无解；若p 假q 真，则有4014a a a ≥<⎧⎪⎨≥-⎪⎩或，解得104a -≤<或4a ≥． 所以a 的取值范围为1,0[4,)4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查由命题的真假求解参数取值范围，分类讨论法的应用，属于中档题 24．（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件． 【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ； （2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-； （2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+， 若A B =∅，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅的充分非必要条件． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．25．203a -≤<【分析】p 是q 的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的子集，运用区间端点值之间的关系可求a 的取值范围． 【详解】 解：0a <，由22430x ax a -+<得3a x a <<，设{}3A x a x a =<<，由260x x --≤得23x -≤≤，设{}23B x x =-≤≤，p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，323a a ≥-⎧∴⎨≤⎩0a <203a ∴-≤<. 【点睛】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，属于中档题．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)
课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。
高中数学 选修2-1 北师大版 抛物线及其标准方程 课后作业(含答案)
2.1 抛物线及其标准方程1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.答案:B2.某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶6 m时,水面宽10 m,则抛物线的方程可能是( )A.x2=-yB.x2=-yC.x2=-yD.x2=-y答案:A3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是( )A. B. C.1 D.解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,∴点M到x轴的距离等于1-.答案:D4.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20x解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.答案:A5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )A.x1,x2,x3成等差数列B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2,即2x2=x1+x3.故选A.答案:A6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,令x=0得y=-,故点A的坐标为.由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.答案:B7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设点A的坐标为(x,y).因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,所以x=1.所以A(1,±2).又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.答案:x=-9.若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是.解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,∴=|x+2|-1=x+1.两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.答案:y2=4x10.如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离. 解:设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).由抛物线的定义,得|AF|=|AA'|=y1+=y1+,|BF|=|BB'|=y3+=y3+,∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.又M是线段AB的中点,∴y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.11.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;(2)焦点是(-2,0);(3)准线是y=-;(4)焦点到准线的距离是2;(5)焦点到直线x=-5的距离是8.解:(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,∴方程为y2=16x;焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,∴方程为x2=12y.故所求方程为y2=16x或x2=12y.(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,∴方程为y2=-8x.(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,∴x0=3或x0=-13,∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,∴p=6或-26.∴方程为y2=12x或y2=-52x.12.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4≤x≤4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.备选习题1.抛物线y2=8x的准线方程是( )A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4解析:由2p=8,得p=4,故准线方程为x=-2,故选A.答案:A2.设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程是.解析:当m>0时,由2p=m,得.这时抛物线的准线方程是x=-.∵抛物线的准线与直线x=1的距离为3,∴1-=3,解得m=8.这时抛物线的方程是y2=8x.同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|的值最小.解:如图所示,设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|.由抛物线的定义,知|PF|=|PQ|,∴|PF|+|PM|=|PQ|+|PM|.∴当P,Q,M三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.由M(-2,4),可设P(-2,y0),代入y=x2,得y0=,故P点的坐标为.4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明:设线段P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,∴|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆的半径,且P0Q0⊥l,因此,该圆与准线相切.5.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:将l和C的方程联立,得消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（ ）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程； （2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-， 故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论． 【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =， 又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛 解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=， 则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=， 所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=， 所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--， 而12BFOSbc =， 因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--， 整理可得：[(21)]c a c =--， 整理可得2a c =，解得22e =， 故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞． 【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程； （2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10． 抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线． 【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=， 解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。
人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。
A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)
一、选择题1．长方体1111ABCD A BC D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1AC 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形2．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．6⎛ ⎝⎦C ．(0,1]D ．(2 3．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ）A ．313B ．95C ．18D ．214．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π 6．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26 B ．36 C ．56 D ．137．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．138．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等；②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③ 9．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．223C ．324D ．1210．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD11．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6- 12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．13C 3D 23 二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．15．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．16．已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点()1,3,0A --在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.17．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1BC 上一点，且12BD DC =设1,,,AB a AC b AA c ===用a ,b ,c 表示向量AD ，则AD =_____________.19．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11AC 和底面ABCD 的距离是________20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．已知直角梯形SBCD 中，//SD BC .BC CD ⊥，336SD BC CD ===，过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1)，沿AB 把SAB 折起，使得二面角S AB C --为直二面角，连接SC ，E 为棱SC 上任意一点(如图2).（1）求证：平面EBD ⊥平面SAC ；（2）在棱SC 上是否存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为223？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ； （Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.23．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是一个菱形，3ABC π∠=，2AB =，23PA =（1）若Q 是线段PC 上的任意一点，证明：平面PAC ⊥平面QBD ；（2）求直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.24．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.25．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．（2）点A 到平面BDM 的距离．26．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状.【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-， ()12520500Q A C PQ x ∴⋅=---=，解得18Q x =，即()18,0,10Q ，设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5Ny =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--，则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1AC 垂直的长方体截面为五边形QMNEF .故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.2．C解析：C【分析】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围.【详解】如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅， 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得22λ-≤≤， 01,0λλ<≤∴<≤， 可得||||2(0,1]PA AP λ===∈.故选：C.【点睛】利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．C解析：C【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩. 故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则18EF ==.故选：C【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.4．C解析：C【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确.综上所述，正确的命题个数为3个.故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.5．B解析：B 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小． 【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ， 设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||cos6||||1m n m n a b π∴==++， 解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， ()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．A解析：A 【详解】试题分析：设1AB =112,5BD BC DC ∴===， 1BDC ∆面积为3211C BDC C BCD V V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==考点：线面角8．D解析：D 【解析】 【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④． 【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确； 直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为2②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．9．B解析：B 【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB与1AA 所成角的余弦值． 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 18MB AA MB AA θ⋅===⋅ ∴异面直线MB 与1AA B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.10． D解析：D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：63【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633n BA d n⋅===. 故答案为：63．【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析：452【解析】 【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DH SB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积． 【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DHEF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DE AC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．15．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)- 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．16．【分析】由题意算出根据向量是平面的一个法向量算出向量在上的投影的绝对值即可得到到的距离【详解】解：根据题意可得又平面的一个法向量点A 在内到的距离等于向量在上的投影的绝对值即故答案为:【点睛】本题给出解析：23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-，根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量，算出向量AP 在n 上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离. 【详解】解：根据题意，可得()()1,3,0,1,4,2A P ---， ()1,4,4AP =-，又平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点A 在α内，()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值， ()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+即(232AP n d n ===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.17．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值. 【解析】如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，1EC ===． 18．【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理解析：122333a b c ++【解析】 试题分析：()()111222333AD AB BD AB BC AB BC CC AB AC AB CC =+=+=++=+-+ ()21223333a b a c a b c =+-+=++ 考点：平面向量基本定理19．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析： 【解析】分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论． 详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角，∴A 1A=22tan60°=26 故答案为26．点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为： 解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++1421462 2.CA BD =+⋅=-=故答案为：22三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，点E 为棱SC 的中点. 【分析】（1）由翻折的性质结合二面角的定义可得SA AD ⊥，再由线面垂直的判定与性质可得SA BD ⊥，再结合平面几何的知识可得BD AC ⊥，进而可得BD ⊥平面SAC ，结合面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示点()2,2,44E λλλ-，由线面垂直的性质结合二面角的定义可得SOE ∠为二面角E BD S --的平面角，再由22cos 3OS OE SOE OS OE⋅∠==⋅可得解. 【详解】（1）证明：由翻折的性质可知：SA AB ⊥，AD AB ⊥， 所以SAD ∠为二面角S AB C --的平面角， 又因为二面角S AB C --为直二面角， 所以90SAD ∠=︒，即SA AD ⊥，又AB AD A ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD ，所以SA BD ⊥，由题意可知四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，又因为AC SA A ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面SAC ；（2）存在；连接,OS OE ，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间坐标系，如图，则()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,4S ，又知点E 在线段SC 上， 设()2,2,4SE λSC λλλ==-(01λ≤≤)，因此()2,2,44E λλλ-，又因为()1,1,0O ，所以()1,1,4OS =--，()21,21,44OE λλλ=---，由BD ⊥平面SAC 可得OE BD ⊥，OS BD ⊥，所以SOE ∠为二面角E BD S --的平面角， 所以()()22121244422cos 33222144λλλOS OESOE OS OE λλ-+-+-⋅∠===⋅⋅-+- 即29102244018λλλ-=-+，解得12λ=或92λ=， 因为01λ≤≤，所以12λ=， 即棱SC 上存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为23， 此时点E 为棱SC 的中点.【点睛】关键点点睛：（1）利用空间位置关系的判定与性质判定面面垂直； （2）由二面角的定义找到二面角的平面角，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量解决夹角问题.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7【分析】 （Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，BD ，222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥，又AD GD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ，所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，E ，(0G ，0，1)，(1AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·20·0n AE x z n AG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得3y =，1z =， ∴3(1,3n =-， 设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ， ∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==，所以直线GB 与平面AEFG ．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.23．（1）证明见解析；（25. 【分析】（1）通过证明,PA BD AC BD ⊥⊥证得BD ⊥平面PAC ，由此证得平面PAC ⊥平面QBD .（2）建立空间直角坐标系，利用直线DB 的方向向量和平面PBC 的法向量，计算出直线DB 与平面PBC 所成角θ的正弦值.【详解】（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，PA BD ∴⊥，底面ABCD 是一个菱形，AC BD ∴⊥，又AC PA A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂平面QBD ，∴平面PAC ⊥平面QBD .（2）设AC BD O =，取PC 中点E ，连结OE ，则//OE PA ，故OE AC ⊥， 如图，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D -，(0,1,23)P -，(3,1,0)CB ∴=-，(0,2,23)CP =-，(23,0,0)DB =，设(,,)m x y z =为平面PBC 的一个法向量，则302230m CB x y m CP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 取3y =(1,3,1)m =，5cos ,5m m n nDB m ⋅∴<>==⋅,5sin |cos ,|5m DB θ∴=<>=.【点睛】在利用向量法计算线面角时，要注意利用公式计算所得为线面角的正弦值，而不是余弦值. 24．（1）证明见解析；（210 【分析】（1）取CD 的中点G ，连接FG ，BG ，证明四边形FGBE 是平行四边形得出//EF BG 即可证明；（2）以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出1DC 和平面EAD 的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】 解：（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG ，BG .因为F 是1DC 的中点，所以1FG//CC ，112FG CC =. 因为E 是1BB 的中点，所以1//EB CC ，112EB CC =. 所以//FG EB ，FG EB =.所以四边形FGBE 是平行四边形.所以//EF BG .因为EF ⊄平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，所以DA DC ⊥，1DD DA ⊥，1DD DC ⊥.以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .因为1DA =，12DC DD ==，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,1E ，()10,2,2C .所以()1,0,0DA =，()1,2,1DE =，()10,2,2DC =.设平面EAD 的法向量为(),,n x y z =，所以00n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x x y z =⎧⎨++=⎩， 令1y =，则2z =-.所以()0,1,2n =-. 所以1210cos ,225DC n -==⨯ 所以直线1DC 与平面EAD 10 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.25．（1）225；（2）22 【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n n AM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离.（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=， 422cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅， ∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25； （2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |22||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为22【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PB n PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解； （2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.26．（1）证明见解析；（2）63-.（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN .因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC .所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ，所以平面//MNE 平面PAD .因为MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ，所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥.因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥，因为PB AB B ⋂=，PB 、AB 平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥. 又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =.所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ，所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 令21y =，得2(1,1,2)n =.所以1212212cos ,4n n n n nn ⋅<>===. 因为二面角B PC D --是钝角，所以二面角B PC D --的余弦值是 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.。
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高中数学选修2－1复习 第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系 典型例题：★1．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >★2．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为A ．∀n ∈N ，2n ≤1000B ．∀n ∈N ，2n ＞1000C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜1000 ★３．"1""||1"x x >>是的A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【基础训练A 组】 一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？ 解析：B 可以判断真假的陈述句2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 解析：D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：A ①220a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 ②0a b >>⇒ba 11< ，仅仅是充分条件； ③330a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：A :,120A a R a a ∈<⇒-<，充分，反之不行6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，22:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或 p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
解析：若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零2．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:bB x x a+=-,则A 是B 的 条件。
解析: 充分条件 A B ⇒3．用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。
解析：必要条件；充分条件；充分条件，:15,:22A x B x A B -<<<<+⊆ 4．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。
解析：[3,0]- 2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时， 24120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤5．“a b Z +∈”是“20x ax b ++=有且仅有整数解”的__________条件。
解析：必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来” 三、解答题1．对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：（1） :p 91()AB ∈（其中全集*U N =，{}|A x x =是质数，{}|B x x =是正奇数）.（2） :p 有一个素数是偶数；. （3） :p 任意正整数都是质数或合数； （4） :p 三角形有且仅有一个外接圆.解：解：（1） :91,91p A B ⌝∉∉或；p 真，p ⌝假；（2） :p ⌝每一个素数都不是偶数；p 真，p ⌝假；（3） :p ⌝存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，p ⌝真；（4） :p ⌝存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。
2．已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。
解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或而,p q A⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩。
3．若222a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数。
证明：假设,,a b c 都是奇数，则222,,a b c 都是奇数得22a b +为偶数，而2c 为奇数，即222a b c +≠，与222a b c +=矛盾 所以假设不成立，原命题成立4．求证：关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<证明：210(0)ax ax a -+>≠恒成立240a a a >⎧⇔⎨∆=-<⎩ 04a ⇔<<【综合训练B 组】 一、选择题1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假解析：B “p ⌝”为假，则p 为真，而p q ∧（且）为假，得q 为假 2．下列命题中的真命题是（ ） A ．3是有理数 B ．22是实数 C ．e 是有理数 D ．{}|x x 是小数R解析：B 223e 都是无理数；{}|x x R =是小数3．有下列四个命题：①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 解析：C 若0x y += , 则,x y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题； 若1440,q q ≤⇒-≥ 即440q ∆=-≥,则220x x q ++=有实根，为真命题4．设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A 1a >⇒11a<，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件 5．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠ 解析：D 0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为06．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )A ．1a b +≥B ．1a ≥C ．0.5,0.5a b ≥≥且D ．1b <-解析：D 当1,0a b ==时，都满足选项,A B ，但是不能得出1a b +> 当0.5,0.5a b ==时，都满足选项C ，但是不能得出1a b +>二、填空题1．有下列四个命题：①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③、命题“若1m ≤，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④、命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题。