空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
-7-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【做一做 3】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若
������������=3i,������������=2j,������������1=5k,则������������1等于( )
A.i+j+k
B.13i+12j+15k
基底,则a的坐标为
.
答案(3,2,-1)
-8-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
探究一
探究二
探究三
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习 当堂检测
探究一基底的判断
例1 (1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出
下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以
解析只有不共面的三个向量才能作为一组基底,在三棱柱
中,������������, ������������, ������������1不共面,可作为基底. 答案C
-4-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
【思考2】平面向量的坐标是如何表示的? 答案在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可 知,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可 由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.
空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表示
思考：当
0
cos
r a
,
r b
1及1
cos
r a
,
r b
0
时，
的夹角在什么范围内？
练习:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
rr
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
rr
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
r
r8ar 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
练习：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
y
r r ur
以 i, j, k 为单位正交基底
z
z
建立空间直角坐标系O—xyz
upr P(x, y, z)
r r ur
i, j, k 为基底 ur r r ur
(x, y, z)
ur
urp xi y j zk
k
r O r
xi
j
y 记 upuur ( x, y, z)
y OP ( x, y, z)
r 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. 对空间任一向量 a ,由空间
z
r a
向量基本定理，存在唯一的有序实
数组
(a1
,
a2
,
a3
),使
r a
r a1 i
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
[精解详析] 连接 BO，则 BF ＝12 BP ＝12(BO＋OP )＝12 ( BA＋ AO＋OP )＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.
BE ＝ BC ＋CE ＝－a＋12CP ＝－a＋12(CO＋OP )＝－a－12b＋12c.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb ＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫
做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 三个有公共起点O的 两两垂直 的单位向量e1，e2， e3称为单位正交基底．
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，
e2，e3下的坐标，记作
p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
314空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)【课时目标］1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 .2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 .3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1. 空间向量基本定理 （1） 设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 0,那么，对于空间任一向量 P ,存在一个 ________________ ，使得 ____________ ，我们称 ______ , ______ , ______ 为 向量P 在i 、j 、k 上的分向量. （2） 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 有序实数组｛X, y, Z ｝，使得 ________________⑶如果三个向量a , b , c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 __________________ .这 个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的，我们把｛a , b , c ｝叫做空间的一个 __________ , a , b , c 都叫做 ___________ .空间中任何三个 __________ 的向量都可构成空间的一个基底. 2. 空间向量的坐标表示若e 1、62、e 3是有公共起点0的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为 ，以 61、62、63的公共起点 0 为原点，分别以 61、62、63的方向 为X 轴、y 轴、Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量P ,由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组｛X, y, Z ｝,使得p =x e 1+y 62+ Z 63,把x,y, Z 称作向量P 在单位正交基底 61, 62, 63下的坐标， 一、选择题 1. 在以下3个命题中，真命题的个数是 （ ） ① 三个非零向量 a , b , c 不能构成空间的一个基底，则 ② 若两个非零向量 a , b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a , b 共线； ③ 若a , b 是两个不共线向量，而 c =扫+收入吐R 且入哥0），则｛a , b , c ｝构成空间 的一个基底. A . 0 B . 1B. 设向量｛a , b , c ｝是空间一个基底，则｛a + b ,C. |（ab ）c |= a||b||c ・2. 已知0、A 、B 、C 为空间不共面的四点， —0C,则与a 、b 不能构成空间基底的是 A. 0AB . 3. 以下四个命题中，正确的是1 7 1 7A.若 0P = 20A + 30B ，贝y P 、且向量 a = 0A + 0B + 0C,向量 b = 0A + 0B0B（ ）A 、B 三点共线c.oCD.OA 或 OB，那么对空间任一向量 p,存在 记作a ,b ,c 共面; b + c , c + a ｝构成空间的另一个基底3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)D. △ ABC 是直角三角形的充要条件 AB AC = 04.设0 — ABC 是四面体，G i 是^ ABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且0G = 3G,G i 若 =xOA + yOB +Z 0C ,贝U （X, y, z ）为（ A.（4,4 4） c.（3 3,3）) (3, (2 =.(3' 3' 3 3 4, 2OG5.已知点 A在基底｛a, b, c｝下的坐标为（8,6,4），其中a = i + j, b= j+ k, c= k +i,则点A在基底｛i, j, k｝下的坐标是（A. （12,14,10）C. （14,12,10）6■已知空间四边形 OABC中OA = a,N为BC的中点，贝U MN等于（）A 1 2 1A.尹-3 b+ 2c1 1 1C.^a + 2b— 2 c二、填空题)B. (10,12,14)D. (4,3,2)OHB = b, O>C = c,点 M 在 OA 上，且 OM = 2MA,2 1 1—3 a+ 2 b+2c2 2 1D.3a+ 3b—2c7.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a= 3i+ 2j—k, b=— 2i+ 4j + 2k的坐标分别是______________ .8.已知空间四边形 ABCD中，A B= a — 2c, CD = 5a+ 6b— 8c,对角线 AC、BD的中点分别为E、F，则EF = ______________________ .9■已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，A O = xAB+ yBC +zCC i，贝y x+y+ z=三、解答题10.四棱锥P— OABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC设O A= a, OC = b, OP = c, E、 F分别是PC和PB的中点，用a, b, c表示BF、B E、AE、EF.11■已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD, 求MN'、DC的坐标.【能力提升】12•甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F i, F2, F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1= i+ 2j+ 3k, F2=-2i + 3j- k, F3= 3i-4j+ 5k,则这三名工人的合力 F = x i + y j + z k，求x、y、乙13.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F分别是BB i、D1B1的中点，求证：EF1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.2.0P = xoA = xoA + yoB + zoC，当且仅当 x+y+ z= 1 时，P、A、B、C 四点共面.3.对于基底｛a, b, c｝除了应知道a, b, c不共面，还应明确:(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的 所有向量均可由基底惟一表示.(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向 量不共面，就隐含着它们都不是0.假设存在实数 k 1, k 2,使 c + a = k 1(a + b ) + k 2(b + c ) = k 1 a + (k 1 + k 2)b + k 2c , jk1 =1; 则有*1 + k 2= 0; 方程组无解，lk2= 1.即向量a + b , b + c , c + a 不共面，故 B 正确. C 中，ab =a||b |cos 〈a , b 〉w ai I •，故 C 错.D 中，由A B A C > 0? △ ABC 是直角三角形，但^ ABC 是直角三角形，可能角B 等于90° 则有"BABC ^O .故D 错.]4. A [因为 0G= 4。
空间向量的正交分解及坐标表示
36
366
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- A中ⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuA、uDurF, uA、uAur¢G
为基(1底) uA，uEur表, uAu示Fur ,下uAuGu列r ；向量:
uuur uuur
(2)EF, EG
.
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- 中AⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuAu、Dur ,FuA、uAur¢G 为基底u，uur表uu示ur 下uuur列向量: uuur uuur z
空间向量的坐标表示
设er1，er2，er3为有公共起点O的三个两两垂直
( ) 的单位向量 我们称它们为单位正交基底 ，
以er1，er2，er3的公共起点O为原点，分别以er1，er2， er3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直 角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量pr，
一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，
(1) AE, AF, AG (2) EF, EG
思考：如果在图形中以A为原点建立空
间直角坐标系, 此时,正方体中的
各个顶点和点E、F、G坐标是多
少？问题中的坐标又是多少?
y
注:在空间直角坐标u系r 中,
x
（(21）) 若若得将到A(向xO1u,u量Puyr1,=z1uppr)平,，B(移则x2,，yupr2使的, z2它坐)，的标则起恰uA点是uBur与终= (原点x2 点-Px的1O, y坐重2 -标合y1,；，z2 - z1)
,
r j
,
r k是空间三个两两垂直的向量，
那么，对空间任一个向量pr，存在一个有序
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
������������
=
������������
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������ )=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.
������������
=
1 2
������������
=
1 2
������������
=
12a.
延伸探究若本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量������������.
xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课前篇自主预习
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基 底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 ������������ =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数 组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).
设������������=xi+yj,则向量������������的坐标(x,y)就是点 A 的坐标,即若 ������������=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
第3章3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 用基底表示向量应注意哪些问题？ 【解析】 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量， 要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算； (3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
(2)由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零 向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一 个向量，二者是相关连的不同概念．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∵O→G＝O→A＋A→G， 而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A. 又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23·12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。
其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。
对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分 别是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求向量M→N、D→C
的坐标． 解 如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，
且 PA⊥平面 ABCD，AD⊥AB，所以可 设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3， 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c_不___共__面__，那么对于空间 任一向量 p，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝ __x_a_＋__y_b_＋__z_c_. 其中_{_a_，__b_，__c_}_叫做空间的一个基底，__a_，__b_，__c__都叫 做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底
又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， ∴D→O＝(－2，－1，－4)，
∵A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， ∴A→1B＝(－4,2，－4)．
作业 练习册3.1.4
晚自习下课前，科代表完成检查登记
跟踪训练 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a：①{a，b，x}，②{x，
y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为
空间的基底的向量组有
( C)
A．1 个 B．2 个
空间向量的正交分解及其坐标表示
中点，求异面直线
SM
与
BN
所成角的余弦值 新疆 王新敞
奎屯
解：设 SA a ，SB b ，SC c ，则 a b b c a c 1 ，
∵ SM BN 1 (SA SB) (SN SB) 1 (a b) ( 1 c b) 2
2
2
2
11
1
2
( acab bcb )
22
略解:⑴ MN MO ON
1 OA 1 (OB OC )= 1 (a b c)
2
2
2
MP OP OM = 1 (c a) 2
⑵易知 a b
bc
ca
1
,
2
a
2
b
2
c
1 ,∴ MN MP
1
2
4
练习 2.在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中, AB 2 , BC 2 ,
显然这种正交分解更有利于我们的问题解决, 因为关于这些分向量的数量积运算非常简单.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BO 的长都等于1 ,点 M 、N 、P 分别是 OA、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、b、c 表示 MN, MP ; ⑵求 MN MP .
AA1 6 ,且记 AB a , AD b , AA1a 、b 、c 表示 BD1, B1C ;
A1
B1
⑵求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值.
D
C
解:⑴ BD1 BA AD DD1 = a b c A
B
B1C B1B BC c b
⑵∵ a b b c c a 0 , a 2 4, b 2 4, c 2 36 ,
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算PPT优秀课件
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
五、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
a b(a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a, b,c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
四、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b(a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
3空间向量的正交分解及其坐标表示
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
所以a b (a1 i a2 j a3 k ) (b 1 i b2 j b 3 k)
利用向量数量积的分配律及
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k
(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内
点P的位置
坐标形式
(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
z
(1)坐标平面内的点: •
1 E
•
F
C
•
x
1
O
•
•
D
B y
xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0
设M=（x，y，z），若M是线段AB的中点， x1 x 2 +x 3 y1 y 2 y3 z1 z 2 x ,y ,z 2 2 2
z3
2.平面向量的数量积、距离与夹角
设a (a1, a2 ), b (b1, b2 ), A ( x1, y1), B ( x2 , y2 )则
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，