数学1(必修)第二章基本初等函数(1) [提高训练C组]

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高中数学必修一第二章基本初等函数单元测试题(含答案)

第二章综合测试题一、选择题1．有下列各式：①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是 ( )A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215D ．20.1<log 215<20.23．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝ ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x ＝3y ，则xy ＝ ( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是 ( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则 ( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，则m ＝ ( )A ．1B ．－3C ．－3或1D ．28．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是 ( ) A ．y ＝2－x 2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x +19．已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x－1；④y ＝x 12；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是 ( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝ ( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题三、13．已知a 12＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________.15．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.四、解答题17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．参考答案： 1.[答案] B[解析] ①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立．③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B. 2.[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2，∴log 215<20.1<20.2，选A.3.[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C. 4.[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3， ∴x y ＝lg3lg2. 5.[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e<0，从而排除B ，故选A.6.[答案] D[解析] 因为f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，故选D.7.[答案] B[解析] 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，所以m 2＋2m －2＝1且m ≠1，解得m ＝－3.8.[答案] A [解析] A ，y ＝2－x 2＝(22)x的值域为(0，＋∞)． B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x +1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．9.[答案] D[解析] 根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10.[答案] C[解析] f (－2)＝1＋log 2(2－(－2))＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6， ∴f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C. 11.[答案] B[解析] 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12.[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C. 13.[答案] 4[解析]∵a 12＝49(a ＞0)， ∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4，∴log 23 a ＝log 23 (23)4＝4.14.[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2.则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19.15.[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8. ∴a ∈(－8，－6]． 16.[答案] (12，14)[解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝x B 12，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝(22)x的图象上，所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为(12，14)．17.[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31.18.[解析] (1)由已知得(12)－a ＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝(12)x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，即[(12)x ]2－(12)x －2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1.19.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20.[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2，∴原不等式化为a 8－x 2>a－2x.当a >1时，函数y ＝a x 是增函数， ∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4；当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数， ∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4. 故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}；当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}． 21.[解析] (1)∵f (x )＝2x ， ∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}．(2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4；当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3. 22.[解析] (1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ， ∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )． ∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－a a 2－1(a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．当a ＞1时，y ＝a x为增函数，y ＝－a －x为增函数，且a 2a 2－1＞0，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数，y ＝－a －x为减函数，且a 2a 2－1＜0，∴f (x )为增函数． ∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f (2)－4≤0，即aa 2－1(a 2－a －2)≤4. ∴a a 2－1(a 4－1a2)≤4， ∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a ＋1≤0， ∴2－3≤a ≤2＋ 3.又a ≠1，∴a 的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)1.1指数与指数幂的运算基础训练(含解析)新人教A版必修1

指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练题组一根式的概念及其性质1.(2020福建三明第一中学高一月考)下列各式正确的是 ( )A.√(-3)2=3B.√a 44=a C.(√-23)3=2D.√(-2)33=22.若2<a <3,则√(2-a )2+√(3-a )44的化简结果是( )a a 53.已知xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,则有 ( )A .xy <0B .xy >0C .x >0,y >0D .x <0,y >04.若√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,则(x2019)y= .5.已知a 1,n ∈N *,化简√(a -a )aa+√(a +a )aa.题组二分数指数幂及其运算6.(2020广东佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是 ( )A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=aD.√(-π)55=π7.(2020广东佛山一中高一上第一次段考)√a ·√a 3的分数指数幂表示为 ( )A.a 12B.a 32C.a 34D.都不对8.(2020浙江高一月考)计算:π0+22×(94)12= ;化简:(√√a 963)4(√√a 936)4= .9.化简下列各式.(1)√23√56√34;(2)(a 23·a 14·z 1)·(x 1·a 34·z 3)-13; (3)(14)2+(6√6)-13+√3+√2√3-√2(1.03)0×(-√62). 题组三条件求值问题10.已知x =1+2b ,y =1+2b,若用x 表示y ,则y = ( )A.a +1a -1B.a +1aC.a -1a +1D.a a -111.(2020山东师范大学附属中学高一月考)已知a ,b ∈R,若8a=223b,则a +b = . 12.已知x =27,y =64,化简并计算:5a -23a 12(-14a -1a 12)·(-56a 13a 16).13.(2020浙江塘栖中学高一期末)若a 12+a -12=3,求下列代数式的值. (1)x 2x 2; (2)a 32a -32.能力提升练一、选择题1.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若a <14,则化简√(4a -1)24的结果是( )A.√4a -1B.√1-4a√4a -1 √1-4a2.(2020河北衡水安平中学高一月考,)设α,β是方程2x 2+3x +1=0的两根,则(14)a +a的值为 ( )B.18183.(2020河南鹤壁高中高三月考,)已知a +a 1=3,则下列各式中正确的个数是 ( )①a 2+a 2=7;②a 3+a 3=18; ③a 12+a -12=±√5;④a √a +a√a=2√5.4.(2020广东深圳中学高一月考,)若a +b =a 13,ab =16a 23(m >0),则a 3+b 3=( )B.a2a2D.3a 2二、填空题5.(2020湖南邵阳第十一中学高一期中,)设2x =8y +1,9y =3x 9,则x +y = .6.()已知a =3,则11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a 的值为 .7.()(√3+√2)2020×(√3√2)2021= .三、解答题8.(2020山西晋中平遥二中高一月考,)(1)(√8)-23×(√1023)92÷√105;(2)2×(√23×√3)6+(√2√2)434×(1649)-12√24×80.25+(2019)0.9.(2020甘肃兰州一中高一月考,)(1)计算:(0.0081)-143×7801×810.25+278-13-12;(2)已知a 12+a -12=3,求a 2+a 2的值.10.()已知x =12,y =23,求√a +√a √a -√a √a -√a√a +√a的值.11.(2020云南丽江高一月考,)已知方程x 28x +4=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2).(1)求a 1-2a 2-2的值;(2)求x 1-12x 2-12的值.答案全解全析第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练1.C 对于A 选项,√(-3)2=3,故A 选项错误;对于B 选项,√a 44=|a |,故B 选项错误;对于C 选项,(√-23)3=2,故C 选项正确;对于D 选项,√(-2)33=2,故D 选项错误.故选C .2.C 原式=|2a |+|3a |, ∵2<a <3,∴原式=a 2+3a =1.3.A 因为xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,所以xy <0.4.答案 1解析因为√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,所以√(a +1)2+√(a +3)2=|x +1|+|y +3|=0,所以x =1,y =3.所以(x2019)y=[(1)2019]3=(1)3=1.5.解析当n 是奇数时,原式=(ab )+(a +b )=2a ; 当n 是偶数时,因为a 1,n ∈N *). 6.A a 3a 4=a 3+4=a 7,故A 正确;(a 2)3=a 6,故B 不正确;√a 88=|a |,故C 不正确;√(-π)55=π,故D 不正确.故选A .7.A 原式=√a ·a 123=√a 323=(a 32)13=a 12,故选A . 8.答案118;a 4解析根据指数幂的运算,化简可得 π0+22×(94)12=1+14×32=118. 由根式与指数幂的转化,可得(√√a 9634(√√a 9364=(√a 963)4(√a 36)4=(a96×3)4(a 36)4=a9×46×3·a3×46=a 2·a 2=a 4. 方法点拨根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.9.解析 (1)原式=a 13a 23a 56a 34=a 13-56a 23-34=a -12a -112.(2)原式=(a 23a 14z 1)·(a 13a -14z 1)=a23+13a 14-14z 11=xz 2.(3)原式=116+√6+(√3+√2)21×(-√62)=116+√6+5+2√6+√62=81+56√616. 10.D 由x =1+2b,得2b=x 1, ∴y =1+2b=1+12a =1+1a -1=aa -1.11.答案 23解析 8a=223b⇒23a=223b⇒3a =23b ⇒a +b =23.12.解析原式=5a -23a 12524a -23a 23=24a -16.将y =64代入,得原式=24×64-16=24×(26)-16=24×21=12.13.解析 (1)因为a 12+a -12=3,所以(a 12+a -12)2=9,整理得x +x 1=7,令t =a 12a -12,则t 2=(a 12-a -12)2=x +x 12=5,所以a 12a -12=±√5, 所以x 2x 2=(x +x 1)·(xx 1)=(x +x 1)·(a 12+a -12)(a 12a -12) =7×3×(±√5)=±21√5.(2)a 32a -32=(a 12a -12)·(x +x 1+1)=±8√5.能力提升练一、选择题1.B ∵a <14,∴4a 1<0, ∴√(4a -1)24=√1-4a .故选B . 2.A 由题意可知α+β=32,则(14)a +a=(14)-32=432=√43=8,故选A .3.C ①a 2+a 2=(a +a -1)22=92=7,正确; ②a 3+a 3=(a +a 1)(a 21+a 2)=3×(71)=18,正确;③因为a +a 1=3,所以a >0,所以a 12+a -12>0,又(a 12+a -12)2=a +2+a 1=5,所以a 12+a -12=√5,故错误; ④a √a +a √a=a 32+a -32=(a 12+a -12)(a 1+a 1)=√5×(31)=2√5,正确.故选C .4.B a 3+b 3=(a +b )(a 2ab +b 2) =(a +b )[(a +b )23ab ] =a 13·(a 23-12a 23)=a2.故选B .二、填空题 5.答案 27解析由2x =8y +1得2x =23y +3,所以x =3y +3①. 由9y=3x 9得32y=3x 9, 所以2y =x 9②. 由①②,得x =21,y =6, 所以x +y =27.6.答案 1 解析11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a=2(1+a 14)(1-a 14)+21+a 12+41+a=21-a 12+21+a 12+41+a=4(1-a 12)(1+a 12)+41+a =41-a +41+a =8(1-a )(1+a )=81-a 2.因为a =3,所以原式=1. 7.答案 √3√2 解析 (√3+√2)2020×(√3√2)2021=[(√3+√2)(√3√2)]2020×(√3√2)=12020×(√3√2)=√3√2.三、解答题8.解析 (1)原式=(232)-23×(1023)92÷1052=21×103×10-52=21×1012=√102. (2)原式=2×(213×312)6+(212×214)434×74214×234+1=2×22×33+272+1=210. 9.解析 (1)原式=(34×104)-1431×[(34)-14+23]-12=31×1013×(13+23)-12=3.(2)由a 12+a -12=3,得(a 12+a -12)2=9,即a +a 1+2=9,∴a +a 1=7,∴(a +a 1)2=49,即a 2+a 2+2=49,∴a 2+a 2=47. 10.解析√a +√a √a -√a √a -√a √a +√a=(√a +√a )2a -a (√a -√a )2a -a =4√aaa -a.将x =12,y =23代入上式,则原式=4√12×2312-23=4√13-16=24√13=8√3.11.解析 ∵x 1,x 2是方程x 28x +4=0的两根,∴x 1+x 2=8,x 1·x 2=4.(1)a 1-2a 2-2=(a 1+a 2)(a 2-a 1)(a 1a 2)2=a 2-a 12=√(a 1+a 2)2-4a 1a 22=√64-4×42=2√3. (2)x 1 -12x 2-12=√a +a -2√a a √a a=√8-2×22=1.。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法优化训练苏教版必修1

函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数；〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕，又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.1.2 对数的运算课后提升训练新人教A版必修1

对数的运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·大同高一检测)2log32-log3+log38的值为( )A. B.2 C.3 D.【解析】选B.原式=log322-log332+log39+log38=log34+log38- log332+2=log332-log332+2=2. 【补偿训练】(2017·杭州高一检测)2log510+log50.25= ( )A.0B.1C.2D.4【解析】选C.2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.2.下列各式中正确的个数是( )①log a(b2-c2)=2log a b-2log a c;②(log a3)2=2log a3;③=lg5.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.由对数的运算性质和换底公式知,它们均不正确.3.(2017·黑龙江高一检测)已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( )A. B. C. D.【解析】选B.log36===.4.若log5·log36·log6x=2,则x等于( )A.9B.C.25D.【解题指南】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数,再计算.【解析】选D.由换底公式,得··=2,所以-=2.所以lgx=-2lg5=lg.所以x=.5.声强级L I(单位:dB)由公式L I=10lg给出,其中I为声音强度(单位:W/m2).交响音乐会坐在铜管乐前的声音强度约为 5.01×10-2W/m2,则其声强级为(其中lg5.01≈0.7) ( )A.99dBB.100dBC.107dBD.109dB【解析】选 C.当I=5.01×10-2时,其声强级为L I=10lg=10lg(5.01×1010)=10(lg5.01+10)≈107(dB).6.(2017·大连高一检测)若lna,lnb是方程3x2-6x+2=0的两个根,则的值等于( )A. B. C.4 D.【解析】选 A.由根与系数的关系,得lna+lnb=2,lna·lnb=,所以=(lna-lnb)2=(lna+lnb)2-4lna·lnb=22-4×=.7.(2017·北京高一检测)函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),若f(x1x2…x n)=16,则f()+f()+…+f()的值等于( )A.2log216B.32C.16D.8【解析】选B.f(x)=log a x,f(x1x2…x n)=16,所以log a(x1x2…x n)=16,所以f()+f()+…+f()=log a+log a+…+log a=2(log a x1+log a x2+…+log a x n)=2log a(x1x2…x n)=32.8.(2017·武汉高一检测)已知2m=5n=10,则+= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为2m=5n=10,所以m=log210,n=log510,即=lg2,=lg5,故+=lg2+lg5=1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.【解析】因为f(ab)=1,所以lg(ab)=1,即lga+lgb=1,所以f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2(lga+lgb)=2.答案:210.若lg3=a,lg5=b,那么lg=________.【解析】lg=lg4.5=lg=lg=(lg5+lg9-1)=(2a+b-1). 答案:三、解答题11.(10分)(2017·兰州高一检测)计算下列各式的值:(1)log535+2lo-log5-log514.(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.【解析】(1)原式=log535+log550-log514+2lo=log 5+lo2=log553-1=2.(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64=÷log622=[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62=log62+log63=log6(2×3)=1.【能力挑战题】已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则log2=________.【解析】因为2lg(x+y)=lg2x+lg2y,所以lg(x+y)2=lg(4xy),所以(x+y)2=4xy,所以(x-y)2=0,所以x=y,所以=1,所以log2=log21=0. 答案:0。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)单元测试(二)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

word1 / 7第二章基本初等函数（Ⅰ）注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()0a a >可以化简为（）A ．32aB ．18a C ．34aD ．38a2．三个数21log 5，0.12，0.22的大小关系是（）A ．0.10.221log <2<25B ．0.20.121log <225<C ．0.10.2212<2log 5< D ．0.10.2212<log 25< 3．设集合2R {|}x A y y x ∈＝＝，，21{|}0B x x <＝－，则A B ＝（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1-∞，+D ．(0)∞，+4．已知23xy＝，则xy=（）A ．lg 2lg 3B ．lg 3lg 2C ．2lg 3D ．3lg 25．函数()ln f x x x ＝的图象大致是（）6．若函数()33x x f x －＝＋与()33x x g x －＝－的定义域均为R ，则（） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 7．函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，则m ＝（）A ．1B ．3-C ．3-或1D ．28．下列各函数中，值域为(0)∞，+的是（） A ．22x y -=B ．12y x =-C ．21y x x =++D ．113x y +=9．已知函数：①2xy ＝；②2log y x ＝；③1y x －＝；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()22log ()12f f -＋＝（）A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数()22()1122xa xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有word2 / 7()()1212f x f x x x -<0-成立，则实数a 的取值X 围为（）A ．()2-∞，B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(2]-∞，-D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点()1,1M ，()1,2N ，()2,1P ，()2,2Q ，1G 2,2⎛⎫⎪⎝⎭中，可以是“好点”的个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知124(0)9a a =>，则23log a =________．14．已知函数2log 0()30xxx f x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．若函数212log (35)y x ax =-+在[)1-∞，+上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．16．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数22logy x =，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)()31320.5log 511lg3lg91lg 812730.25-⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭．18．(12分)已知函数1()=2axf x ⎛⎫⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．（1）求a 的值；（2）若()42x g x -－＝，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．word3 / 719．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1)．（1）设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值；（2）求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．20．(12分)求使不等式2821x x a a --⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1)．word4 / 721．(12分)已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，（1）求g (x )的解析式及定义域；（2）求函数g (x )的最大值和最小值．22．(12分)若函数f (x )满足21(log )1a a f x x x a ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭ (其中a ＞0且a ≠1)．（1）求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值X 围．word1 / 72018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为0a >，所以B ．2．【答案】A【解析】∵21log <05，0.10.2022<<，∴0.10.221log <2<25，故选A ．3．【答案】C【解析】{}2R {|}0|x A y y x y y ∈>＝＝，＝．2{|}{1011|}B x x x x <<<＝－＝－， ∴{}0111|{|}{|}AB x x x x x x ><<>＝－＝－，故选C ．4．【答案】B【解析】由23x y ＝得lg 2lg3x y ＝，∴lg2lg3x y ＝，∴lg3lg 2x y =，故选B ． 5．【答案】A【解析】由()ln l ()n ||f x x x x x f x --＝-＝-＝-知，函数()f x 是奇函数，故排除C ，D ，又110f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，从而排除B ，故选A ．6．【答案】D【解析】因为()()33x x f x f x --＝＋＝，()()33x x g x g x ---＝＝-，所以()f x 是偶函数， ()g x 为奇函数，故选D ．7．【答案】B【解析】因为函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，所以2221m m -+＝且1m ≠，解得3m ＝-．故选B ．8．【答案】A 【解析】A，22xy x -==⎝⎭的值域为(0)∞，+． B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y =(0],-∞，所以021x <≤，所以0121x ≤-<，所以y =[)0,1． C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ，因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以113x y +=的值域是()0,11()∞，+．故选A ．9．【答案】D【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D ． 10．【答案】C【解析】221log ()(())223f -+--=＝，()221216log log 2log 12226f －＝＝＝， ∴()22log (19)2f f -＋＝，故选C ．11．【答案】B【解析】由题意知函数()f x 是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩由此解得138a ≤，即实数a 的取值X 围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，选B ．12．【答案】C【解析】设指数函数为()01x y a a a >≠＝，，显然不过点M 、P ，若设对数函数为()log 01b y x b b >≠＝，，显然不过N 点，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）word2 / 713．【答案】4【解析】∵124(0)9a a =>，∴2221223a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴422332log log 4.3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．【答案】19【解析】∵14>0，∴211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴211349f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．【答案】(]86-，-【解析】令()235g x x ax ＝－＋，其对称轴为直线6a x =，依题意，有()1610ag ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩，即68a a ≤-⎧⎨>-⎩，∴86(]a ∈-，-． 16．【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图象可知，点(),2A A x在函数y x =的图象上，所以2A x =，212A x ==⎝⎭，点(),2B B x 在函数12y x =的图象上，所以122B x =，4B x ＝．点()4C C y ，在函数xy =⎝⎭的图象上，所以414C y ==⎝⎭．又12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析．【解析】原式3310.5log 5253log 1431(3)231lg3lg3lg3(3()03).5---++＝＋＋－＋＋325log 6362531＝＋＝＋＝．18．【答案】（1）1；（2）－1．【解析】（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a ＝1．（2）由（1）知1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又g (x )＝f (x )，则1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112=42xx⎛⎫⎛⎫--0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得x ＝－1．19．【答案】（1）最小值为2，最大值为6；（2）见解析．【解析】（1）当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2．当x ＝63时f (x )最大值为6．（2）f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x )当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x xx x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1}，0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．【答案】见解析．【解析】∵22881x x a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴原不等式化为282x x a a -->，当a >1时，函数y ＝a x是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4；当0<a <1时，函数y ＝a x是减函数，∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4．故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}；当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}．word3 / 721．【答案】（1）g (x )＝2222x x -＋，{x |0≤x ≤1}（2）－3，－4．【解析】（1）∵f (x )＝2x，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝2222x x -＋．因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3，0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1．于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}．（2）设g (x )＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4．∵x ∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4；当2x＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3． 22．【答案】（1）2()()1x x a f x a a a -=-- (x ∈R )，见解析；（2）)(21,23⎡+⎣．【解析】（1）令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t，∴2()()1t ta f t a a a -=--． ∴2()()1x xa f x a a a -=-- (x ∈R )． ∵()22()()()11x xx x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---，∴f (x )为奇函数．当a ＞1时，y ＝a x为增函数，x y a -=-为增函数，且201aa >-，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数x y a -=-为减函数，且201aa <-， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．（2）∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f (2)－4≤0，即2224()1a a a a --≤-，∴422141a a a a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a＋1≤0，∴22a ≤≤a ≠1， ∴a的取值X 围为)(21,23⎡+⎣．。

【成才之路】高中数学必修一新课标人教版第二章基本初等函数(Ⅰ)对数函数换底公式

教
C．3
D．－23
A 版数学
[答案] A
第二章基本初等函数（Ⅰ）
[解析] 因为lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278
＝lg2－1－(lg5－lg8)＋lg25－lg2－llgg98·llgg287
人教 A
版
＝－lg2－lg5＋3lg2＋2lg5－lg2－23llgg33
第二章基本初等函数（Ⅰ）
人教 A 版数学
第二章基本初等函数（Ⅰ）
人教 A 版数学
第二章基本初等函数（Ⅰ）
1．(1)计算log48，log42与log28的值，看它们之间有什么关系？
答案：32，12，3，log28＝lloogg4482.
人教
A
(2)计算log1000100的值，看它们与lg100，lg1000的值有
人教
A
＋1.2%)2
版数
学
3年后该城市人口总数为
y ＝ 100×(1 ＋ 1.2%)2 ＋ 100×(1 ＋ 1.2%)2×1.2% ＝
100×(1＋1.2%)3
x年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)x
第二章基本初等函数（Ⅰ）
(2)10年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)
＝logcax＝xlogca，所以 x＝llooggccba，即 logab＝llooggccba.
人教 A 版
数
它还可以用对数恒等式来证明：要证 logab＝llooggccba，
学
即证 logab·logca＝logcb.由对数的运算法则，即证 logcalogab

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质

12/13/2021
第十二页，共三十八页。
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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第十三页，共三十八页。
解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
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求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
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第十九页，共三十八页。
1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则它们的图象是( )
第二十一页，共三十八页。
2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
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人教A版数学必修一第二章基本初等函数(ⅰ)(一)a卷

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高中同步创优单元测评A 卷数学班级：________ 姓名：________ 得分：________第二章基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷](时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算[(－2)2]－ 12的结果是( )A.2 B ．－2 C.22D ．－222.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫278 23的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.733．若a >1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a )x 2的图象可能是下列四个选项中的()4．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2 23＝a 3；②na n ＝|a |(n ≥2，n ∈N )； ③函数y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④6(－2)2＝32.A ．1B ．2C ．3D ．45．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64 6．函数y ＝21x的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)7．函数y ＝|2x －2|的图象是( )8．a ，b 满足0<a 0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( )A ．a >1B ．a >1，且m <0C ．0<a <1，且m >0D ．0<a <111．函数f (x )＝2x ＋2－4x ，若x 2－x －6≤0，则f (x )的最大值和最小值分别是( )A ．4，－32B ．32，－4 C.23，0D.43，112．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ＝0有正数解，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，则f (x )的单调递增区间是________．16．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式a 2x ＋7<a 3x －2(a >0，a ≠1)．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a )＝2，g (x )＝3ax －4x . (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 为实数． (1)当a >0，b >0时，判断并证明函数f (x )的单调性； (2)当ab <0时，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．21．(本小题满分12分)设a ∈R ，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )．(1)证明：对任意实数a ，f (x )为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )≤0恒成立．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．详解答案第二章基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷]1．C 解析：[(－2)2]－ 12＝2－12＝12＝22.2．D 解析：原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．C 解析：a >1，∴y ＝a x 在R 上单调递增且过(0,1)点，排除B ，D ，又∵1－a <0，∴y ＝(1－a )x 2的开口向下．4．A 解析：在①中，a <0时，(a 2) 32>0，而a 3<0，∴①不成立．在②中，令a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不成立．在③中，定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，∴③不成立． ④式是正确的，∵6(－2)2＝622＝32，∴④正确． 5．D 解析：设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由已知得14＝a －2，a 2＝4，所以a ＝2，于是f (x )＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24·22＝64.解题技巧：已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法，即先把函数设出来，再利用方程或方程组解出系数．6．C 解析：∵1x ≠0，∴21x≠1， ∴函数y ＝21x 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．7．B 解析：找两个特殊点，当x ＝0时，y ＝1，排除A ，C.当x ＝1时，y ＝0，排除D.故选B.8．C 解析：∵0<a a b ，故A 不成立，同理B 不成立，若a a <b a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a <1，∵0<ab <1,0<a <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a<1成立，故选C. 9．D 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.解题技巧：函数图象的平移变换，要注意平移的方向和平移量．平移规律为：10．B 解析：由函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知，a >1.知函数在第四象限，∴a 0＋m －1<0，则有m <0.11．A 解析：f (x )＝2x ＋2－4x ＝－(2x )2＋4·2x ＝－(2x －2)2＋4，又∵x 2－x －6≤0，∴－2≤x ≤3，∴14≤2x ≤8.当2x ＝2时，f (x )max ＝4，当2x ＝8时，f (x )min ＝－32. 12．B 解析：因为f (－x )＝3－x ＋3－(－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )， g (－x )＝3－x －3－(－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．13．c >a >b 解析：由指数函数y ＝a x 当0<a <1时为减函数知， 0．80.7>0.80.9，又1.20.8>1,0.80.7<1， ∴1.20.8>0.80.7>0.80.9，即c >a >b .14．(－3,0) 解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，∵方程有正根，∴t ∈(0,1)．方程转化为t 2＋2t ＋a ＝0， ∴a ＝1－(t ＋1)2.∵t ∈(0,1)，∴a ∈(－3,0)．15．(－∞，1] 解析：解法一：由指数函数的性质可知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域上为减函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求y ＝|x －1|的单调递减区间．又y ＝|x －1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．解法二：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥1，2x －1，x <1.可画出f (x )的图象，并求其单调递增区间．解题技巧：既可以利用复合函数的“同增异减”法则求解，也可以去绝对值符号，转化为分段函数求解．16．1 解析：作出函数y ＝2|x |的图象(如图所示)．当x ＝0时，y ＝20＝1，当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2，当x ＝1时，y ＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.17．解：当a >1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7<3x －2， ∴x >9；当0<a <1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7>3x －2. ∴x <9.综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >9}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <9}．解题技巧：注意按照底数进行分类讨论． 18．解：(1)由f (a )＝2，得3a ＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x －4x ＝(3log 32)x －4x ＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x . ∴g (x )＝－(2x )2＋2x . (2)设2x ＝t ，∵x ∈[－2,1]， ∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14；当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．解：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0. 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1. 20．解：(1)函数f (x )在R 上是增函数．证明如下： a >0，b >0，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，(2)∵f (x ＋1)>f (x )，∴f (x ＋1)－f (x )＝(a ·2x ＋1＋b ·3x ＋1)－(a ·2x ＋b ·3x ) ＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .综上，当a <0，b >0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞；当a >0，b <0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 21．(1)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，故对于任意实数a ，f (x )为增函数．(2)解：f (x )＝a －22x ＋1≤0恒成立，只要a ≤22x ＋1恒成立，问题转化为只要a 不大于22x ＋1的最小值． ∵x ∈R,2x >0恒成立，∴2x ＋1>1.∴0<12x ＋1<1,0<22x ＋1<2，∴a ≤0. 故当a ∈(－∞，0]时，f (x )≤0恒成立．22．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －12＋2＝0，解得b ＝1.(3)因为f (x )是奇函数，f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，则f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得，t 2－2t >k －2t 2. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第二章基本初等函数 (Ⅰ) 2.1.1 Word版含解析

第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．2．式子na叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．3．(1)n∈N*时，(na)n＝____.(2)n为正奇数时，na n＝____；n为正偶数时，na n＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna ＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．5．有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s＝______(a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝______(a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是() A．①③④B．②③④C．②③D．③④2．若2<a<3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是()A．5－2a B．2a－5 C．1D．－13．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是()A．(－12)－1B．122-C．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D．2－14．化简3a a的结果是()A．a B．1 2 aC．a2D．1 3 a5．下列各式成立的是()A.3m2＋n2＝()23m n+B．(ba)2＝12a12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．下列结论中，正确的个数是() ①当a<0时，()322a＝a3；②na n＝|a|(n>0)；③函数y＝()122x-－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0B ．1 C ．2D ．3二、填空题 7.614－3338＋30.125的值为________．8．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________. 三、解答题 10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)；(2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238-.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升 12．化简：4133223384a a b b a-+÷(1－23b a )×3a .13．若x >0，y >0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．1.n a n 与(na )n 的区别(1)na n 是实数a n 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R ，但这个式子的值受n 的奇偶性限制：当n 为大于1的奇数时，na n ＝a ；当n 为大于1的偶数时，na n ＝|a |.(2)(na )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定：当n 为大于1的奇数时，(n a )n ＝a ，a ∈R ；当n 为大于1的偶数时，(n a )n ＝a ，a ≥0，由此看只要(n a )n 有意义，其值恒等于a ，即(na )n ＝a . 2．有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程． 3．有关指数幂的几个结论 (1)a >0时，a b >0； (2)a ≠0时，a 0＝1； (3)若a r ＝a s ，则r ＝s ；(4)a ±212a 12b ＋b ＝(12a ±12b )2(a >0，b >0)； (5)(12a ＋12b )(12a －12b )＝a －b (a >0，b >0)．第二章基本初等函数(Ⅰ)§2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算知识梳理1．x n ＝a(n>1，且n ∈N *) 2.根式根指数被开方数 3．(1)a (2)a |a | 4.(1)na m (2)1a m n (3)0 没有意义5．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 作业设计1．D [①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2.] 2．C [原式＝|2－a |＋|3－a |， ∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.]3．C [∵(－12)－1＝－2,122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，∵2>22>12>－2，∴1212-⎛⎫⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.] 4．B [12a =.]5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2a 2，B 选项错；6(－3)2>0，()133-<0，C 选项错．故选D.]6．B [①中，当a <0时，()()3312222a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确； ③中，有⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确； ④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10.∴2a ＋b ＝1.④正确．] 7.32解析原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a+＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5. 9．－23解析原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()()11132122xy xyxy -⎡⎤⎢⎥⎣⎦·(xy )－1＝13x ·2111136622y x yxy---＝13x ·13x-＝⎩⎨⎧1， x >0－1，x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎨⎧－2x－2(－3<x<1)－4(1≤x<3).12．解原式＝()111333212133338242a ab a bb a a a--÷++×13a13．解∵x－xy－2y＝0，x>0，y>0，∴(x)2－xy－2(y)2＝0，∴(x＋y)(x－2y)＝0，由x>0，y>0得x＋y>0，∴x－2y＝0，∴x＝4y，∴2x－xyy＋2xy＝8y－2yy＋4y＝65.。

2022版数学人教A版必修1基础训练：第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升含解析

第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练易错点1 利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误 1.()下列结论中正确的个数为( )①当a <0时,(a2)32=a3;②√a n n=|a |(n >0);③函数y =(x-2)12-(3x -7)0的定义域是(2,+∞);④若100a =5,10b =2,则2a +b =1. A.0 B.1 C.2 D.3 2.()计算:(1)5log 25(1-√3)2+3log 9(1+√3)2;(2)√(-8)33+√(√3-2)44-√(2-√3)33.易错点2 研究指数、对数函数时忽视对底数分0<a <1和a >1两种情况讨论导致错误 3.(2019湖北武昌实验中学高一上期中,)若log a 12<2,则a 的取值范围是( )A.(√22,+∞)B.(0,√22) C.(√22,1) D.(0,√22)∪(1,+∞)4.()若函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为 . 5.()已知log a (2a +1)<log a (3a -1),其中a >0且a ≠1,求实数a 的取值范围.6.()已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,且a ≠1).(1)若f (x )<2,求实数x 的取值范围;(2)若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a 的取值范围.易错点3 研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导致错误 7.()已知f (x )是定义在R 上的奇函数,若f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (lo g 18x )<0的解集为 ( ) A.(0,12)B.(12,+∞) C.(12,1)∪(2,+∞) D.(0,12)∪(2,+∞) 8.()若函数f (x )=log a (6-ax )在[0,2]上为减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[3,+∞) 9.()若函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +3a )在区间(2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A.(-∞,4]B.(-4,4]C.[-4,4)D.[-4,4]10.(2020山东枣庄高一上期末,)已知f (x )={3x -4,x >1,3x ,x ≤1,若a 0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1]C.(-∞,18) D.(0,18)2.(2020江苏镇江高一期中,)已知函数y=f(x)是二次函数,且满足f(0)=3,f(1)=f(3)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(log2x),x∈[2,8]的最小值;(3)若x∈[1,t](t>1),试将y=f(x)的最小值表示成关于t的函数g(t).二、数形结合思想在解决函数问题中的应用3.()如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}4.()若实数a,b满足a+lg a=8,b+10b=8,则a+b=.5.()已知函数f (x )={|log 2x |,0<x ≤8,x 2-20x +99,x >8,若a ,b ,c ,d 互不相同,且a 1,若f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(2,3]D.(2,+∞)7.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)设函数f (x )=e |ln x |(e 为自然对数的底数),若x 1≠x 2且f (x 1)=f (x 2),则下列结论一定不成立的是 ( ) A.x 2 f (x 1)>1 B.x 2 f (x 1)<1C.x 2 f (x 1)=1D.x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2)8.()设函数f (x )={21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f (x )≤2的x 的取值范围是 .四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用 9.(2019吉林省实验中学高一上期中,)定义域为R 的函数f (x ),对任意实数x 均有f (-x )=-f (x ),f (2-x )=f (2+x )成立,若当2<x <4时,f (x )=2x -3+log 2(x -1),则f (-1)= .10.(2020山东菏泽高一上期末联考,)设函数f (x )=1ex +a e x (a 为常数),若对任意x ∈R ,f (x )≥3恒成立,则实数a 的取值范围是 . 11.()若3x =4y =36,则2x +1y= .五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用 12.()设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时, f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)= ( ) A.1 B.-1 C.-3 D.313. ()已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b2x+1+a是奇函数,求a ,b 的值.答案全解全析第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习提升易混易错练1.B 3.D 7.C 8.B9.D1.B ①中,当a <0时,(a 2)32=[(a 2)12]3=(-a )3=-a 3,∴①不正确;②中,若a =-2,n =3,则√(-2)33=-2≠|-2|,∴②不正确;③中,由{x -2≥0,3x -7≠0,得x ≥2且x ≠73,故其定义域为[2,73)∪(73,+∞),∴③不正确;④中,∵100a=5,即102a =5,10b =2,∴102a ×10b =102a +b =10,∴2a +b =1,∴④正确. 2.解析 (1)原式=25log 25(√3-1)+9log 9(1+√3)=√3-1+1+√3=2√3. (2)原式=-8+|√3-2|-(2-√3)=-8+2-√3-2+√3=-8.3.D 当a >1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此a 2>12,解得a >√22或a <-√22,又a >1,所以a >1;当0<a <1时,由log a 12<2,得log a 12<log a a 2,因此0<a 2<12,解得-√22<a <√22,且a ≠0,又0<a <1,所以0<a <√22.综上,a 的取值范围是0,√22∪(1,+∞).故选D . 易错警示由于对数函数的图象、单调性等受底数a 的影响,所以在底数未知的情况下应先讨论底数与1的大小关系,一般分0<a <1,a >1两种情况. 4.答案12解析当a >1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是增函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是增函数,∴f (x )max =f (1)=a +log a 2,f (x )min =f (0)=a 0+log a 1=1,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12(舍去); 当0<a <1时,y =a x 与y =log a (x +1)在[0,1]上都是减函数,因此f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上是减函数,∴f (x )max =f (0)=a 0+log a (0+1)=1, f (x )min =f (1)=a +log a 2,∴a +log a 2+1=a ,∴log a 2=-1=log a 1a ,解得a =12. 综上所述,a =12. 易错警示解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数自身(如真数、底数的取值)要满足的条件,特别是在研究复合函数的单调性时,除了按照“同增异减”的规律讨论之外,还要特别注意真数大于零. 5.解析当a >1时,原不等式等价于{2a +1<3a -1,2a +1>0,3a -1>0,所以a >2;当0<a <1时,原不等式等价于{2a +1>3a -1,3a -1>0,2a +1>0,所以13<a <1. 综上所述,a 的取值范围是13,1∪(2,+∞). 6.解析 (1)当a >1时,由f (x )<2,即log a (8-ax )<log a a 2,得0<8-ax <a 2,所以8a -a <x <8a; 当0<a <1时,由f (x )<2=log a a 2,得8-ax >a 2,所以x <8a-a. 因此当a >1时,x 的取值范围是{x|8a -a <x <8a}; 当0<a <1时,x 的取值范围是{x|x <8a-a}. (2)当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-2a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-2a )>log a a ,且8-2a >0,解得1<a <83. 当0<a <1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是增函数,由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,得f (x )min =log a (8-a )>1,且在x ∈[1,2]上8-ax >0,即log a (8-a )>log a a ,且8-2a >0,所以a >4,且a <4,故a 不存在. 综上可知,实数a 的取值范围是1,83.7.C ∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f (13)=0,∴f (x )在(-∞,0)上也为增函数,f (-13)=0.画出f (x )的大致图象如图所示.结合图象,由f (lo g 18x )<0,可得0<lo g 18x <13或lo g 18x <-13,解得12<x <1或x >2,即不等式f (lo g 18x )<0的解集为(12,1)∪(2,+∞).8.B 设u =6-ax ,则函数f (x )由y =log a u ,u =6-ax 复合而成.因为a >0,所以u =6-ax 是减函数,那么函数y =log a u 就是增函数,所以a >1.因为[0,2]为定义域的子集,且u =6-ax 是减函数,所以当x =2时,u =6-ax 取得最小值,所以6-2a >0,解得a <3. 综上,得1<a <3,故选B . 9.D 设u =x 2-ax +3a ,则函数f (x )由y =lo g 12u ,u =x 2-ax +3a 复合而成.因为y =lo g 12u 是减函数,所以u =x 2-ax +3a 在(2,+∞)上单调递增, 从而a 2≤2,解得a ≤4. 又当x ∈(2,+∞)时,u =x 2-ax +3a >0, 所以当x =2时,u =4-2a +3a ≥0, 解得a ≥-4.所以-4≤a ≤4.故选D . 易错警示f (x )在(2,+∞)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f (x )在(2,+∞)上有意义,解题时注意对数的真数大于0. 10.答案 (-∞,8]解析依题意,得a ≤1<b ,由f (a )=f (b ),得3a =3b -4,即3b =3a +4. 设S =a +3b =a +3a +4.∵函数S =a +3a +4在(-∞,1]上单调递增, ∴S ≤1+31+4=8,∴S 的取值范围是(-∞,8].思想方法练1.D 3.C 6.C 7.B 12.C1.D 显然f (x )是定义域上的单调递增函数,因此,若f (x )是“减半函数”,则{f (a )=a2,f (b )=b 2,即f (x )=x2有两个不等实根.故根据函数的性质构建关于a ,b 的方程组. log c (2c x+t )=x2,即2c x+t =c x2.令c x2=u ,则u >0,且2u 2-u +t =0.依题意知方程有两个不等正根,换元后构造关于u 的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解. ∴{Δ=1-4×2×t >0,t 2>0,解得0<t <18,故选D . 2.解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),设出函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),根据题意,用待定系数法求出函数的解析式. 因为f (0)=c =3,所以f (x )=ax 2+bx +3, 又f (1)=f (3)=0,所以{a +b +3=0,9a +3b +3=0,解得{a =1,b =-4.所以f (x )=x 2-4x +3.(2)令t =log 2x ,∵x ∈[2,8],∴t ∈[1,3]. 则y =t 2-4t +3=(t -2)2-1,t ∈[1,3],用换元法,令t =log 2x ,构造二次函数求最值. 所以当t =2,即x =4时,y min =-1.所以函数y =f (log 2x ),x ∈[2,8]的最小值为-1. (3)f (x )=x 2-4x +3,x ∈[1,t ](t >1),定轴动区间问题,讨论区间端点t 与对称轴的相对位置. ①当1<t ≤2时,f (x )在[1,t ]上单调递减, 所以当x =t 时,f (x )有最小值t 2-4t +3;②当t >2时,f (x )在[1,2]上单调递减,在[2,t ]上单调递增, 所以当x =2时,f (x )有最小值-1,即此时g (t )=-1.综上,g (t )={t 2-4t +3,1<t ≤2,-1,t >2.3.C 作出函数y =log 2(x +1)的图象,如图所示.借助函数的图象求解不等式.在已有折线图中画出函数y =log 2(x +1)的图象,求出交点,以交点为分界点分析不等式的解集.结合图象得,BC 所在直线的解析式为y =-x +2,由{y =-x +2,y =log2(x +1),得{x =1,y =1, ∴不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集为{x |-1<x ≤1}.4.答案 8解析依题意得lg a =8-a ,10b =8-b ,在同一平面直角坐标系内作出函数y =lg x ,y =10x ,y =8-x ,y =x 的图象,如图所示.由图可知,A ,B 的横坐标即为a ,b.由y =lg x 与y =10x 互为反函数知,交点A ,B 关于直线y =x 对称,故a +b =8.作出函数图象,把满足等式的a ,b 转化为函数图象交点的横坐标,结合互为反函数的图象的对称性分析坐标之间的关系. 5.答案 (96,99)解析画出函数y =f (x )和y =t 的图象,如图所示.设a ,b ,c ,d 分别为y =f (x )的图象与直线y =t 交点的横坐标.画出函数y =f (x )与y =t 的图象,问题转化为有四个交点时,横坐标乘积的范围,结合图象利用函数的性质解决该问题.由图可知,|log 2a |=-log 2a =log 2b ,即a ·b =1,c+d 2=10,且8<c <9,所以abcd =cd =c (20-c ).令g (c )=c (20-c ),8<c <9,因为函数g (c )的图象开口向下,对称轴方程为c =10,所以g (c )在(8,9)上单调递增,g (8)<g (c )<g (9),所以g (c )∈(96,99),即abcd 的取值范围是(96,99). 6.C 因为f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,所以{a -2>0,a >1,a -2-1≤0,故2<a ≤3.所以a 的取值范围为(2,3].根据参数a 的不同,分析各段函数的单调性,根据整个函数的单调性,分析各段函数端点处函数值之间的关系. 7.B 由题知, f (x )=e |ln x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1.按照自变量x 的不同取值范围把f (x )化为分段函数.由x ≥1时, f (x )=x 是增函数,0<x <1时,f (x )=1x 是减函数知,0<x 1<1≤x 2或0<x 2<1≤x 1. 分析分段函数的单调性,从而确定x 1,x 2分别在两个区间内. 当0<x 1<1≤x 2时, f (x 1)=1x 1, f (x 2)=x 2, ∴x 1x 2=1,∴x 2·f (x 1)=x 2x 1>1,x 1·f (x 2)=x 1·x 2=1,从而x 2 f (x 1)>x 1 f (x 2).此时A 成立. 当0<x 2<1≤x 1时, f (x 2)=1x 2, f (x 1)=x 1, ∴x 1x 2=1,∴x 2 f (x 1)=x 2·x 1=1,x 1·f (x 2)=x 1x 2>1, 从而x 2 f (x 1)<x 1 f (x 2).此时C 、D 成立. 因此无论何种情况,B 一定不成立,故选B . 8.答案 [0,+∞)解析当x ≤1时,令f (x )≤2,即21-x ≤2,解得x ≥0,所以0≤x ≤1; 当x >1时,令f (x )≤2,即1-log 2x ≤2,解得x ≥12,所以x >1. 综上,x 的取值范围是[0,+∞). 9.答案 -2解析由题意得,f (-1)=-f (1)=-f (2-1)=-f (2+1)=-f (3)=-[23-3+log 2(3-1)]=-(20+log 22)=-2.要想利用已知式求值,必须把自变量转化为区间(2,4)内的数. 10.答案94,+∞解析 f (x )≥3⇔1e x +a e x ≥3⇔a ≥3e x -1(e x )2.将含参的恒成立问题通过变形转化为有关参数的不等式问题.令t =1e x ,则t >0,则a ≥3t -t 2,①设g (t )=-t 2+3t =-t -322+94,t >0, 则当t =32时,g (t )max =94. 又不等式①恒成立,∴a ≥94, 把参数满足的不等式转化为函数最值问题.故a 的取值范围是94,+∞. 11.答案 1解析已知3x =4y =36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式,得x log 63=y log 64=2, 应用指数与对数关系将指数式转化为对数式.∴2x =log 63,2y=log 64, 即1y =log 62,故2x +1y=log 63+log 62=1. 12.C 由f (x )是定义在R 上的奇函数知, f (0)=20+0+b =0,解得b =-1, 应用定义在R 上的奇函数的性质:f (0)=0,求b. ∴f (-1)=-f (1)=-(21+2-1)=-3,故选C .13.解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b2+a =0,解得b =1,所以f (x )=-2x +12x+1+a .由-f (x )=f (-x ),知--2x +12x+1+a =-2-x+12-x+1+a ,化简,得2x +1+a =2+a ·2x ,即(a -2)(2x -1)=0.由(a -2)(2x -1)=0对任意x ∈R 都成立,得a =2.故a =2,b =1.思维升华在处理函数奇偶性问题时,遇到定义域为R 的奇函数,应用性质f (0)=0,可以快速找到解决问题的突破口,使复杂的问题简单化.。

第2章函数与基本初等函数练习(苏教版必修1)

第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1.与函数f(x)=|x|是相同函数的有（写出一个你认为正确的即可）. 答案2x y =2.设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 .(填序号).答案 ②③3.若对应关系f:A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法正确的是（填序号）. ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同③B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同④B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案 ①③④4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是（填序号）.答案 ②③ 5.已知f （x 1）=x 2+5x,则f(x)= .答案 251xx +(x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x ;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 解（1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2. ∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3.例2（1）求函数f(x)=229)2(1xx x g --的定义域；（2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.解（1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3<x <0或2<x <3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2.∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000×(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ), 5分整理得y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). 7分（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y -(1.2-1)×1 000>0, 10分即-60x 2+20x +200-200>0,即3x 2-x <0. 12分解得0<x <31，适合0<x <1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <31. 13分答（1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 14分例4 已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1),f(-1),f ［f(-1)］的值.解（1）分别作出f (x )在x >0,x =0, x <0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lgx ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞).（2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7.（3）2f （x ）+f （x 1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1.2. 求下列函数的定义域：（1）y=2)3(log 2+-x x +(2x-3)0;(2)y=log (2x+1)(32-4x).解（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-021,251120120432x ，x x ，x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ，BC=a ，∠BAD=45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM=x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1）当M 位于点H 的左侧时, N ∈AB ，由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x . ∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG 之间时，由于AM =x ，∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB=2·21a ［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G 的右侧时，由于AM =x ，MN =MD =2a -x .∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象（如下图所示）大致是 (填序号).答案④一、填空题1.设函数f 1(x)=x 21,f 2(x)=x -1,f 3(x)=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案007212.（2008·安徽文，13）函数f(x)=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案[)+∞,33.若f(x)=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f(-1)的值为 .答案 34.已知f(2211)11x x x x +-=+-，则f(x)的解析式为 .答案 f(x)=212x x +5.函数f(x)=xx -132 +lg(3x+1)的定义域是 .答案（-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R ),f(1)=2,则f(-3)= . 答案 67.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出x 1 2 3 f(x) 131则f ［g(1)］的值为，满足f ［g(x)］>g ［f(x)］的x 的值是 . 答案 1 2x1 2 3 g(x)3218.已知函数ϕ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x)= .答案 3x+x5二、解答题 9.求函数f(x)=21)|lg(|xx x --的定义域.解由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1<x <0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x); （2）函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解（1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ① 又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1<x <1).11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙O 的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =Rx 22，∴CD =AB -2AE =2R -R x 2，所以y =2R +2x +（2R -Rx 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R x x ,解得0<x <2R .所以y =-Rx 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）.12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050.所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是（填序号）. ①有且只有一个 ②有2个 ③至多有一个 ④没有根答案 ①②2.已知f （x ）是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的函数（用“增”、“减”填空）. 答案减3.若函数f(x)=x 2+(a 2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为 . 答案（0，2）5.已知函数f(x)=x 2-2x+3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 . 答案［1，2］例1 已知函数f(x)=a x+12+-x x (a>1). 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,12x x a ->1且a1x >0,∴a,0)1(12112>-=--x x x x x a a a 又∵x 1+1>0,x 2+1>0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0,于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x >0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x+1-13+x (a >1),求导数得f ′(x )=a xln a +2)1(3+x ,∵a >1,∴当x >-1时，a xln a >0,2)1(3+x >0,f ′(x )>0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵a >1,∴y =a x为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y =a x+12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数.例2 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.解函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )=12-x ,可分解成两个简单函数. f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.例3 求下列函数的最值与值域：（1）y=4-223x x -+;(2)y=2x-x 21-;(3)y=x+x4;(4)y=4)2(122+-++x x .解（1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2，当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］.（2）方法一令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45是减函数，故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y=-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数，故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.(3)方法一函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x >0时,即可知x <0时的最值.∴当x >0时,y =x +x4≥2x x 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得.当x <0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二任取x 1,x 2,且x 1<x 2, 因为f (x 1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2<x <0或0<x <2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4）将函数式变形为y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点. y min =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min=13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (14分)函数f(x)对任意的a 、b ∈R ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.（1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)<3. 解（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2, 则x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)>1. 2分 f(x 2)-f(x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1>0. 5分∴f （x 2）>f(x 1).即f (x )是R 上的增函数. 7分（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3， 10分∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)<f(2),∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2<2, 12分解得-1<m<34,故解集为（-1, 34）. 14分1.讨论函数f （x ）=x+xa（a>0）的单调性.解方法一显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1>x 2>0,则f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a）.∴当0<x 2<x 1≤a 时，21x x a >1,则f （x 1）-f （x 2）<0，即f (x 1)<f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数.当x 1>x 2≥a 时，0<21x x a <1，则f （x 1）-f （x 2）>0,即f (x 1)>f (x 2),故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+∞）上为增函数；f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数.方法二由f ′(x )=1-2x a =0可得x =±a当x >a 时或x <-a 时，f ′(x )>0，∴f （x ）分别在［a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数.同理0<x <a 或-a <x <0时，f ′(x )<0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数.2.求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.解由4x -x 2>0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y = 21log t .∵t =4x -x 2=-（x -2）2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x>0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2(单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000） =-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ）.MP （x ）=P （x +1）-P （x ）=-20（x +1）2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P （x ）=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）.因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解（1）令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1>x 2,则21x x >1,由于当x >1时，f (x )<0, 所以f )(21x x <0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f (21x x )=f (x 1)-f (x 2)得f ()39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.由于函数f (x )在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9),得|x |>9,∴x >9或x <-9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <-9}.一、填空题1.函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调递减区间是 .答案［23，4） 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是（填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根 ③没有实根 ④必有惟一的实根答案 ①②③3.函数y=lg(x 2+2x+m)的值域是R ,则m 的取值范围是 . 答案 m ≤14.函数f(x)(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g(x)=f(log a x) (0<a<1)的单调减区间是 . 答案［a ,1］5.已知f(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x x x ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案［71，31） 6.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 . 答案［0，+∞）7.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则m 的取值范围是 . 答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间（a,b ）上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则)()(x g x f 在（a,b)上是递增函数.其中命题正确的是（填序号）答案 ① 二、解答题9.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f(x)对任意的实数m 、n 有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0. （1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f(1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x-2)］<2. （1）证明设x 2>x 1,则x 2-x 1>0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)>0, ∴f (x 2)>f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］<2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］<f (2).∴log 2(x 2-x -2)<2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2<x <-1或2<x <3.∴原不等式的解集为{x |-2<x <-1或2<x <3}. 11.已知f(x)=ax x-(x ≠a).（1）若a=-2,试证f(x)在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f(x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x x x∵(x 1+2）(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f(x 1)<f(x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.12.已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-32.(1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；（2）求f(x)在［-3，3］上的最值. 解（1）f (x )在R 上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1<x 2,则x 2-x 1>0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x >0时，f (x )<0,∴f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)<f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数， ∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 .答案02.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 . 答案03.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1) f (b +2)(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空).答案＞4.已知f （x ）=122)12(+-+xx a 是奇函数，则实数a 的值为 . 答案15.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a >0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+ g (0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例1判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2211x x -⋅-;(2)f(x)=log 2(x+12+x ) (x ∈R );(3)f(x)=lg|x-2|.解（1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数.（2）方法一易知f (x )的定义域为R ，又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数. （3）由|x -2|>0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数.例2已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）<0,并且f(1)=-21,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.（1）证明∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解方法一设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.∵x ∈R +，f （x ）<0, ∴f (x +y )-f (x )<0,∴f (x +y )<f (x ).∵x +y >x ,∴f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0，∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值. ∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1, f(6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二设x 1<x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21，∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f(x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（16分）已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)=21x,求使f(x)=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x ），∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分 ∴f （x ）是以4为周期的周期函数， 4分（2）解当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x .∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7分故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 8分又设1<x <3,则-1<x -2<1, ∴f (x -2)=21(x -2), 10分又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ），∴-f （x ）=21（x -2）， ∴f （x ）=-21（x -2）（1<x <3）. 11分∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x 12分由f (x )=-21,解得x =-1.∵f （x ）是以4为周期的周期函数.∴f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 14分令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分1.判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x-2）xx -+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ；（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解（1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数.（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f xx x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x <-1时，f （x ）=x +2，-x >1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x >1时，f （x ）=-x +2，-x <-1，f (-x )=x +2=f (x ).-1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1， f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y=f(x)的定义域为R ，且对任意a,b ∈R ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)=-3. (1)证明：函数y=f(x)是R 上的减函数；（2）证明：函数y=f(x)是奇函数；（3）试求函数y=f(x)在［m,n ］（m,n ∈Z ）上的值域.（1）证明设∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)<f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.（2）证明 ∵f （a +b ）=f （a ）+f （b ）恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f （x ）+f （-x ）=f （0），又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而∀x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0，∴f （-x ）=-f （x ）.故y =f (x )是奇函数. （3）解由于y =f (x )是R 上的单调递减函数，∴y =f （x ）在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)=…=nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m ,f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f （x 1+x 2） =f （x 1）·f （x 2），且f(1)=a>0. （1）求f(21)及f(41) （2）证明：f （x ）是周期函数；（3）记a n =f(2n+)21n，求a n.（1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2），∴f （x ）=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］.∴f （1）=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .∵f (1)=a ＞0, ∴f (.)41(,)214121a f a ==（2）证明 ∵y =f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴f （x ）=f （1+1-x ），即f （x ）=f （2-x ），x ∈R .又由f （x ）是偶函数知，f （-x ）=f （x ），x ∈R ，∴f （-x ）=f （2-x ），x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R . 这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解由（1）知f （x ）≥0，x ∈［0，1］. ∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n nf nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21n f n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f （x ）的一个周期是2，∴a n=f (2n +n 21)=f (n21),∴a n=a n 21.一、填空题1.f(x),g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的条件.答案充分不必要2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= . 答案 -13.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x-1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 .答案 24.已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（填序号）. ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x. 答案 ②④5.(2009·徐州六县一区联考)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)= .答案 -16.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则在R 上f(x)的表达式为 .答案 f(x)=x(|x|-2)7.已知函数f(x)=g(x)+2,x ∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M 、N ，则M+N= . 答案 48.f(x)、g(x)都是定义在R 上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= . 答案 -b+4二、解答题9.已知f(x)是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证：f(x)是周期函数. (2)已知f(3)=2，求f(2 004).（1）证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),则f(x+2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x∴f(x+3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f(x+6)=f[]).()3(3)3(x f x f x =+-=++∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.10.已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x >0时，-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ）（x >0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ). 11.已知函数f(x)=x 2+|x-a|+1,a ∈R . (1)试判断f(x)的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f(x)的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. （2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43,∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1.12.设函数f(x)在（-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0. （1）试判断函数y=f （x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解（1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f （x )是非奇非偶函数. （2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005， 0］上有400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4指数与指数函数基础自测 1.已知a<41,则化简42)14(-a 的结果是 .答案a 41-2.设指数函数f(x)=a x(a>0且a ≠1)，则下列等式正确的有（填序号）. ①f(x+y)=f(x)·f(y) ②f((xy)n)=f n(x)·f n(y) ③f(x-y)=)()(y f x f ④f(nx)=f n(x) 答案 ①③④3.函数f(x)=a x-b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论不正确的有（填序号）. ①a>1,b<0 ②a>1,b>0 ③0<a<1,b>0 ④0<a<1,b<0 答案①②③4.关于函数f(x)=2x-2-x(x ∈R )，有下列三个结论：①f(x)的值域为R ； ②f(x)是R 上的增函数；③对任意x ∈R ,有f(-x)+f(x)=0成立. 其中正确结论的序号是 .答案 ①②③ 5.已知集合M={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=-+Z x x N x ,4221|,1,11，则M N = . 答案 {}1-例1已知a=91,b=9.求：（1）;315383327a a a a⋅÷--（2）111)(---+ab b a .数学试卷及试题71 31(8 )1151解（1）原式= a 2 3 . a 2 3 ÷［a 3 2 · a 3 2 ］7 1 (4 5 ) 1= a 6 2 3 2 =a 2 .1∵a= ，∴原式=3.9（2）方法一化去负指数后解.a 1 b1 (ab) 11 a 11 babab 1a b. ∵a=1 ,b 9 9, ∴a+b= 82 . 9ab ab方法二利用运算性质解.a 1 b1 (ab) 1a 1 a 1b1b 1 a 1b11 b 11 a 1 b a.∵a= 1 ,b 9, ∴a+b= 82 .99例 2 函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)答案 ≤例 3 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：f(cx).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空)（1）f(x)= 3 x2 5x 4 ;(2)g(x)=-( 1 ) x 4( 1 ) x 5 .42解（1）依题意 x2-5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1,∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.令 u= x 2 5x 4 (x 5 )2 9 , ∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， 24∴u≥0，即 x2 5x 4 ≥0，而 f(x)= 3 x2 5x 4 ≥30=1,∴函数 f(x)的值域是［1，+∞）.∵u= (x 5 )2 9 ,∴当 x∈（-∞，1］时，u 是减函数， 24当 x∈［4，+∞）时，u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知，f（x）= 3 x2 5x 4 在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.故 f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.（2）由 g(x)=-( 1)x 4(1)x 5 (1)2x 4(1)x 5,4222∴函数的定义域为 R，令 t=( 1 ) x (t>0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9, 2数学试卷及试题21数学试卷及试题∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是 t=2,即 g(x)≤9,等号成立条件是( 1 ) x =2，即 x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. 2由 g(t)=-(t-2)2+9 (t>0),而 t=( 1 ) x 是减函数，∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间， 2求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，由 0<t=( 1 ) x ≤2,可得 x≥-1, 由 t=( 1 ) x ≥2,可得 x≤-1.22∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，故 g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.ex例 4（14 分）设 a>0,f(x)=aa ex是 R 上的偶函数.（1）求 a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.（1）解 ∵f（x）是 R 上的偶函数，∴f（-x）=f（x），2分e x∴aa exex aa ex,∴（a-1 )(ex a1 ex)=0对一切x均成立，∴a- 1 =0，而 a>0,∴a=1. a（2）证明在（0，+∞)上任取 x1、x2，且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= e x11+e x1- e x2-1 e x2= (ex2 e x1 )1(e x1 x2 1).e ∵x1<x2,∴ x1 e x2 , 有 ex2 ex1 0.4分 6分 8分10 分∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e x1x2 >1,12 分1 e x1x2 -1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在（0,+∞）上是增函数.14 分1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）2(a 3b1)1 21a21b3;6 a b5数学试卷及试题22（2）51a3 b 2(3a1 2b1)2(4a 31 b3 ) 2.6解1 1 1 1a 3b2 a2b3（1）原式=15111 115 a 3 2 6 b2 3 6 a0 b0 1.a6b6（2）原式=-5a1 6b32 (4a 31 b3 ) 25a1 6b31 3 (a3b 2 )2451a23b 25441 ab35 ab 4ab2.2.已知实数 a、b 满足等式 ( 1 )a (1)b ，下列五个关系式： 23①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的有（填序号）.答案 ③④3.求下列函数的单调递增区间：（1）y=( 1 )6x2 x2 ;(2)y=2 x2 x6 . 2解（1）函数的定义域为 R.令 u=6+x-2x2,则 y=( 1 )u . 2∵二次函数 u=6+x-2x2 的对称轴为 x= 1 , 4在区间［ 1 ，+∞）上，u=6+x-2x2 是减函数， 4又函数 y=( 1 ) u 是减函数， 2∴函数 y=( 1 )6x2x2 在［ 1 ，+∞）上是增函数.24故 y=( 1 )6x2x2 的单调递增区间为［ 1 ，+∞）.24（2）令 u=x2-x-6,则 y=2u,∵二次函数 u=x2-x-6 的对称轴是 x= 1 , 2在区间［ 1 ，+∞）上 u=x2-x-6 是增函数. 2又函数 y=2u 为增函数，∴函数 y=2 x2 x6 在区间［ 1 ，+∞）上是增函数. 2故函数 y=2 x2 x6 的单调递增区间是［ 1 ，+∞）. 2数学试卷及试题23数学试卷及试题数学试卷及试题2x4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x∈(0,1)时，f(x)=.4x 1（1）求 f（x)在［-1，1］上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解当 x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2x 4x 12x 4x . 1由 f(0)=f(-0)=-f(0)，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2) =-f(1),得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有 2x 4x1f（x）= 2x 4x 10x (0,1)x (1,0)x 1,0,1(2)证明当x∈(0,1)时，f(x)=42x x. 1设 0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=2 x1 4x1 12 x2 4x2 1(2x2 (4 x12x1 )(2 x1x2 1) 1)(4x2 1),2 2 ∵0<x1<x2<1,∴2 x2 - x1 >0， x1x2 -1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在（0，1）上单调递减.一、填空题1.21 2,(2)1,31 3的大小顺序为.3答案21 2313(2) 132.若 a<0,则 2a, ( 1 )a , (0.2)a 的大小顺序为.2答案 (0.2)a> ( 1 )a >2a 23.若函数 y=4x-3·2x+3 的定义域为集合 A，值域为［1，7］，集合 B=（-∞，0］∪［1，2］，则集合 A 与集合 B 的关系为.答案 A=B数学试卷及试题24数学试卷及试题4.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间［1，2］上都是减函数，则 a 的取值范围是.答案（0，1］5.(2009·常州二中期中)当函数 f(x)=2-|x-1|-m 的图象与 x 轴有公共点时，实数 m 的取值范围是.答案（0，1］6.当 x>0 时，函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1，则实数 a 的取值范围是.答案 a> 2 或 a<- 27.若函数 f(x)=ax-1 (a>0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数 a 等于.答案 38.函数 y=ax（a>0,且 a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大 a ，则 a 的值是.213答案或22二、解答题9.要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈（-∞，1］上 y>0 恒成立，求 a 的取值范围.1 2x解由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈（-∞,1］上恒成立，即 a>-在 x∈（-∞，1］上恒成立.4x1 2x又∵-4x=-(1)2x 2(1)x 2(1 2)x12 2 1 4,∵x,1,∴(1)x 21 2, .令t=(1)x 2,则f(t)(t1)2 21 4,t1 2,. 1则 f(t)在［ ,+∞）上为减函数，2 f(t)≤f( 1 ) =-( 1 1 )2 1 3 ,2 22 4 4即f(t)∈ ,3 4 .3∵a>f(t),∴a∈（- ，+∞）.411310.已知函数 f(x)=( )x .2x 1 2（1）求 f(x)的定义域；（2）判断 f(x)的奇偶性；（3）证明：f(x)>0.（1）解由 2x-1≠0 x≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).（2）解f(x)=(1 2x 11)x3 2可化为 f(x)= 2 x 1 x3 , 2 (2x 1)数学试卷及试题25。

高中数学第二章基本初等函数(1) 2.2.1 对数与对数运算第二课时对数的运算学案(含解析)

第二课时对数的运算对数的运算性质[提出问题]问题1：我们知道a m＋n＝a m·a n，那么log a（M·N)＝log a M·log a N正确吗？举例说明．提示：不正确．例如log24＝log2（2×2）＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2. 问题2:你能推出log a（MN)(M>0，N>0)的表达式吗?提示：能．令a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m＋n.由对数的定义知log a M＝m，log a N＝n，log a(MN)＝m＋n，∴log a(MN）＝log a M＋log a N.[导入新知］对数的运算性质若a>0,且a≠1，M〉0，N>0,那么:(1)log a（M·N）＝log a M＋log a N,(2)log a错误!＝log a M－log a N，（3）log a M n＝n log a M(n∈R）．[化解疑难]巧记对数的运算性质（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．(2）两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式［提出问题]问题1:(1）log28；(2）log232;(3）log832各为何值？提示：（1)log28＝3；(2)log232＝5；(3）log832＝log8853＝错误!。

问题2：log832＝错误!成立吗? 提示:成立．［导入新知］换底公式若c〉0且c≠1,则log a b＝错误!(a>0，且a≠1，b〉0）．［化解疑难］1．换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a ＝log c b，所以x＝错误!，即log a b＝错误!。

2．换底公式常用推论log an b n＝log a b(a〉0,a≠1，b>0，n≠0)；log am b n＝错误!log a b(a〉0,a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；log a b·log b a＝1（a〉0,b〉0，a≠1，b≠1);log a b·log b c·log c d＝log a d（a〉0，a≠1,b>0，b≠1，c〉0,c≠1，d>0)．对数运算性质的应用［例1］(1＊①log a x·log a y＝log a（x＋y）；②log a x－log a y＝log a(x－y）；③log a(xy)＝log a x·log a y；④错误!＝log a错误!；⑤(log a x）n＝log a x n;⑥log a x＝－log a错误!；⑦错误!＝log a错误!;⑧log a错误!＝－log a错误!.其中式子成立的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2）计算下列各式的值：①4lg 2＋3lg 5－lg错误!；②错误!；log3；③2log32－log3错误!＋log38－55④log2错误!＋log2错误!.[解] (1）选A 对于①，取x＝4，y＝2,a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴log a x·log a y＝log a(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴log a x－log a y＝log a（x－y）不成立；对于③，取x ＝4，y ＝2,a ＝2，则log 2(4×2）＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3, ∴log a (xy ）＝log a x ·log a y 不成立；对于④,取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则错误!＝2≠log 2错误!＝1， ∴错误!＝log a 错误!不成立;对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，∴(log a x )n ＝log a x n不成立; ⑥成立,由于－log a 错误!＝－log a x －1＝log a (x －1）－1＝log a x ； ⑦成立，由于log a 错误!＝log a x 1n＝错误!log a x ； ⑧成立，由于log a 错误!＝log a 错误!－1＝－log a 错误!。