6.1常数项级数的概念和性质
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常数项级数的概念和性质
n uk 1 uk 2 uk n sk n sk
当 n 时， 部分和序列 n 与 sk n 必同时收敛， 或同时发散，即级数①和级数②有相同的敛散性。
同理可证，在级数前添 加有限项，不改变级数 的 敛散性。
#
性质 3 在收敛级数的相邻项间 任意加括号后 （不改变项的原来顺序 ）所得新级数仍然 收敛，且两个级数收敛 于同一个和。
k 1 k 1 k 1
n
n
n
故 lim l n lim As n lim B n
n n n
A s B ( Aun Bv n )
n 1
#
想一想： 1 若对
o
u
n 1
n
加括号后所得新级数发 散，
那么级数 un 是否可能收敛？
2 若对
o
u
n 1
n 1
n
加括号后所得新级数收 敛，
那么级数 un 是否一定收敛？
n 1
三、级数收敛的必要条件
定理： 若 un 收敛，则必有 lim un 0
n 1
n
1 （2 ）调和级数 发散 . n １n
返回
证：
设 sn uk ， n vk ，
k 1 k 1
n
n
据题示条件可知 l i msn s ， l i m n 均存在
n n
令 l n ( Ask B k ) A uk B vk Asn B n
n n n
n
当 q 1 时，limq ，此时 limsn 不存在，级数发散；
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
常数项级数的概念和性质
1、 0.3 0.03 0.003
3 1
n1 10n 3
2、 1 2 3 敛与发散:
• 举例
(1)n 1 1 (1)2
n0 2
22
2,收敛；
1 1 1 1
n1 n
23
, 发散；
1、常数项级数概念、性质及其审敛法； 2、幂级数的概念及其收敛性； 3、函数展开成幂级数及其幂级数展开式的应用； 4、傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）的概念及函
数展开成傅里叶级数（正弦级数、余弦级数）；
基本要求：
1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级 数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉 几何级数和P-级数的收敛性；
n1
有极限 s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数 un 收敛,这
n1
时极限s叫做级数 un 的和.并写成
n1
s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un 发散.
n1
• 对于级数我们关心的是级数是否收敛, • 即:和是否存在?
思考题
n0
2
2n 1+2 4 8 ;
n0
1 1 1 1
n0 n
23
。
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
1 n2
1
1 22
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
高等数学一节常数项级数的概念及其性质
ln 2ln 3ln 4.. .ln n 1
23
n
ln2(34...n1)lnn(1). 23 n
nl imsn
lim ln1 (n)
n
故原级数发散.
三、级数的基本性质
性质1 若 a0且n与 无,级 关 数 un与 an u 敛散.性
1 1 1(n ), n1
limsn1
n
故原级数收敛, 且和等于1.
例3 讨论级 n 1l数 n1(n 1)的收敛 . 性
解: s n l1 n 1 ) ( l1 n 1 2 ) ( l1 n 1 3 ) ( . .l.1 n n 1 )(
假设 (anbn)收敛 , 则由收敛级数的性,知 质:
n1
[(anbn)an] b n 收敛, 与bn发散矛盾 .
n1
n1
n1
故 （an bn)收敛 .
n1
五、小结
常数项级数的基本概念(部分和,收敛,发散); 收敛级数的性质； 级数收敛的必要条件; 级数的基本审敛法：定义法.
本节知识结构
常概 数念 项及 级其 数性 的质
常数项 级数的概念
级数的 基本性质
定义1 定义2 定义3
性质1 性质2 性质3
性质4 （收敛级数的必要条件）
n1
n i 1
n i 1 i 1
n
n
lim uilim vi ni1 ni1
sq
un
n1
vn.
n1
性质2
若级数 un与vn均收, 则 敛级 数(unvn)
常数项级数的基本概念和性质
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数 1 化为小数. 3
1 0.33 0.3 , 且 0.3 3
2
n n1
2n
2
n
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
n1
σn cSn
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n1
n1
性质2 设收敛级数 S un , σ vn，则 (un vn)
也收敛, 其和为 S σ . n1
n1
n1
注 1º收敛级数可逐项相加( 减 ).
2º( un vn ) 的敛散性规律：
n
相当于求 无穷多项的和 1 a a2 an .
引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 3 2n 边形面积为
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数 1 化为小数. 3
1 0.33 0.3 , 且 0.3 3
2
n n1
2n
2
n
S2n Sn
(1 1 1 1 1 ) (1 1 1)
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
n1
σn cSn
推论1 若c 0, 则 un与 cun 敛散性相同 .
n1
n1
性质2 设收敛级数 S un , σ vn，则 (un vn)
也收敛, 其和为 S σ . n1
n1
n1
注 1º收敛级数可逐项相加( 减 ).
2º( un vn ) 的敛散性规律：
n
相当于求 无穷多项的和 1 a a2 an .
引例3 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 3 2n 边形面积为
常数项级数的概念和性质
的说法．从数学的角度上看，这就是
111 248
1 2n
1．
1.1 常数项级数的概念
再如，计算半径为 R 的圆面积 A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六 边形，算出这六边形的面积 a1 ，它是圆面积 A 的一个粗糙的近似值．为了比较准确 地计算出 A 的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为 a2 ，那么 a1 a2 （即内接正十二边形 的面积）就是 A 的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作 一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为 a3 ，那么 a1 a2 a3 （即内接正二十四边形的面积）是 A 的一个更好的近似值．如此继续下 去，内接正 n 边形的面积就逐步逼近圆的面积，即
高等数学
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以 及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、 工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷 级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋 时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世 纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．
a
；如果| q |
1，则级数 aqn
n0
1 q
n0
发散．
1.1 常数项级数的概念
例 2 证明级数
1 2 3 n 是发散的．
证明 此级数的部分和为
Sn 1 2 3
n n(n 1) ． 2
显然，
lim
n
Sn
，因此所给级数是发散的．
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
n1
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散
定义1：作级数
u
n
的前
n
项和
n 1
Sn u1 u2 un
称其为级数 un 的部分和。显然，可得到一个新数列
n 1
{S n }
，称为级数 un 的部分和数列。 n 1
分条件。可考察级数
n1
ln(1
1 n
)
例4 判断级数 ( n2 n n)的敛散性。
n1
解：因为
lim ( n2 n n) lim
n
n
所以级数 ( n2 n n)发散。 n1
n
1 0
n2 n n 2
1 n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
例3
判断级数 n1
ln(1
1 n
)
的敛散性。
解：级数的部分和为
Sn
ln
2 ln
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义
给定一个无穷数列u1, u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式
u1 u2 un
称为常数项无穷级数，简称级数，记作 un ，即
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
经济数学微积分常数项级数的概念
经济数学——微积分
6.1 常数项级数的概念
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、小结
引例. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如 果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒 长之和为：
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当
时， 的极限为1。
此时上式中
一、常数项级数的概念
1. 定义
数列 无穷级数
一般项
一般项
部分和 部分和数列
无穷级数 收敛
无穷级数
发散
收敛级数
的和
部分和数列收敛，极限 s 叫做级数 并写成
的和
例2 判别无穷级数 的收敛性.
解
故所给级数是发散的.
例4 讨论等比级数的敛散性
收敛 发散
综上
发散 发散
例5 例6
无穷级数的性质
发散
2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛， 也可能发散.
例10 证明调和级数 是发散的.
证明一
证明二 反证法
例11 判断下列级数 是否收敛. 解
三、小结
1、常数项级数的基本概念 2、基本审敛法
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后 所成的级数不一定收敛.
收敛
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 也发散.
3.正项级数
加括弧与去括弧均不
影响其敛散性.
解
证明
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 级数发散
性质2 若级数
分别收敛于u、v，
则
收敛于u±v.
6.1 常数项级数的概念
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、小结
引例. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如 果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒 长之和为：
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当
时， 的极限为1。
此时上式中
一、常数项级数的概念
1. 定义
数列 无穷级数
一般项
一般项
部分和 部分和数列
无穷级数 收敛
无穷级数
发散
收敛级数
的和
部分和数列收敛，极限 s 叫做级数 并写成
的和
例2 判别无穷级数 的收敛性.
解
故所给级数是发散的.
例4 讨论等比级数的敛散性
收敛 发散
综上
发散 发散
例5 例6
无穷级数的性质
发散
2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛， 也可能发散.
例10 证明调和级数 是发散的.
证明一
证明二 反证法
例11 判断下列级数 是否收敛. 解
三、小结
1、常数项级数的基本概念 2、基本审敛法
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后 所成的级数不一定收敛.
收敛
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 也发散.
3.正项级数
加括弧与去括弧均不
影响其敛散性.
解
证明
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 级数发散
性质2 若级数
分别收敛于u、v，
则
收敛于u±v.
高等数学同济六版第一节常数项级数的概念和性质
1 , 4
=3 .
作业 P254
3 (2) (3) 4 (1)
(3) (5)
例2. 判别下列级数的敛散性: 拆项相消
(1) , (2) 1, (3) ln 2
放缩法
例3. 判断级数的敛散性:
发散 .
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 乘以常数 k 所得级数 收敛于 s , 即 s un , 则各项
n 1
也收敛 , 其和为 ks .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 傅里叶级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
一、常数项级数的概念
引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
给定数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依次相加， 定义： 简记为
n 1
un ,
即
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
sn 穷级数 收敛 , 称 s 为级数的和,
n
记作 s
u .
n 1
称差值 余项的绝对值称为误差.
为级数的余项. 显然
则称无穷级数发散 .
例1. 讨论下述等比级数 (又称几何级数)的敛散性:
例4. 判断级数的敛散性:
调和级数
发散 .
三、级数收敛的必要条件
性质5. 设收敛级数
则必有
推论: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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1 1 1 1 ； 2、 3 6 9 3n
1 1 1 1 1 1 1 1 3、 ( ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) ( n n ) ； 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 n . 4、 2 10 4 20 10n 2
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注意
此条件仅是级数收敛的必要条件，不是充分条件.
1 1 例3. 调和级数 1 2 3
n
1 n
有 lim un 0 , 但级数是否收敛 ?
目录
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退 出
symsum（1/k,1,n） symsum(1/k,1,1000)
n1 1000 105 106 n2 2000 2 Χ105 2 Χ106 前n1项的和 7.485471 12.090146 14.3927267
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk s sk . n n n
类似地可以证明在级数前面加上、或修改 有限项不影响级数的敛散性.
目录
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退 出
二、基本性质
性质 1 如果级数
un 收敛,则 ku n 1
n 1
n
亦收敛.
推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s
un , v n , n 1 n 1
则级数
( un v n ) 收敛,其和为s . n 1
lim sn不存在
n
发散
当q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当q 1时, 发散
n
目录
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退 出
1 例2. 判别无穷级数 的收敛性. n 1 n(n 1)
解
1 1 1 ( ), un n(n 1) n n 1
1 1 sn 1 2 2 3
பைடு நூலகம்
n 1 1 , 2n 2 2n
lim s2 n sn 0
n
显然，出现了矛盾，假设不成立。
级数发散 .
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2项
2项
4项
8项
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ( m m m 1 ) 2 1 2 2 2
令 vk u nk 1 1
S 是S 的子列，所以 lim S
nk
k v1 v2 则其前 k 项部分和：
n
k nk
S
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注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
引例2 求极限： 1 I lim 2 ( n 2 1 n 2 22 n n 解: I lim 1 n n 2
n 1 i 1 2 2
n 2 (n 1) 2 )
n 1 i 1
lim ( n i ) n
i 2 1 1 ( ) n n
（ c 0） ； u 与 cu 敛散性相同
n 1 n n 1 n
(2) 收敛级数可以逐项相加；
(3) 级数加 （去或改）有限项,不影响其敛散性； (4) 收敛级数加括弧后 仍收敛于原级数的和； (5) 级数收敛的必要条件: 一般项的极限为零。
练习题
一、 判断下列级数的敛散性
n 1 ln 1、 n n 1
s n u1 u2 un ui
i 1
部分和数列
s1 u1 ,
s 2 u1 u 2 , s 3 u 1 u 2 u 3 , ,
sn u1 u2
un
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2. 级数的收敛（convergent）与发散（divergent）:
1 n(n 1)
1 1 ( ) n n 1
拆项相消
1 1 1 (1 ) ( ) 2 2 3
1 1 n 1
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1 lim sn lim(1 ) 1 n n n 1
级数收敛, 和为 1.
思考：判断无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
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例1.许多药物在体内的代谢服从指数规律，假设某人 长期服用一种补钙的药品，该药物服用一次服用1个 单位的药物。n天后，体内剩余药量为0.7n。如果病 人每天坚持服用1个单位的该种药品，根据医学测试 ，这种补钙药品在体内的含量如果达到5个单位就会 出现明显的副作用，问长时间一直服用这种药品是 否安全？
n
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a sn 当q 1时, lim q 0 lim n 1 q 收敛 n
n n lim q lim sn 当q 1时, n n
发散
如果 q 1时
当q 1时,
sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
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性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
设 S un 收敛，任意加括弧,
n 1
(u1
un1 ) (un1 1 (unk 1 1
u nk
un2 ) unk )
( k 1, 2, )
vk S n k
如果 sn 没有极限,则称无穷级数
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即 常数项级数收敛(发散) lim s n 存在 ( 不存在)
n
余项（reminder）
rn s sn un1 un 2 un i
i 1
即
sn s
误差为 rn ( lim rn 0)
n
当 n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
数列 sn 有极限 s , 即 lim sn s 则称无穷级
n
数
un 收敛 ,这时极限 s 叫做级数 un 的和 . n 1 n 1
un 发散. n 1
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并写成 s u1 u2 u3
n
i 2 1 1 ( ) n n
O
y
y 1 x2
A
0 f ( x )dx
1 0
1
1 x dx
2
4
1
x
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返回
一、(常数项)级数的概念
1. 级数的定义:
u
n 1
一般项
n
u1 u2 u3 un
(常数项)无穷级数 级数的部分和（partial sum ） n
第六章 无穷级数 （Infinite Series）
数项级数 无穷级数 幂级数 傅立叶级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
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问题的提出
1.无限循环小数的表示
3 1 0.33 0.3 , 且 0.3 10 3 3 3 0.33 0.3 0.03 2 10 10 3 3 3 0.333 0.3 0.03 0.003 2 3 10 10 10
17.38845852
40.41430942
0.6931471555
0.6931471805599
symsum(1/k,1,inf)
Inf
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解：（方法一）
假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n sn ) s s 0,
n
1 1 另一方面 s2 n sn n 1 n 2
1 2 3 4 （2） 2 3 4 5
故所给级数发散.
收敛 小结:
un 0
发散
小结
一、常数项级数的基本概念 二、基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
拆项相消
2.当lim un 0 ,则级数发散;
n
3.按基本性质.
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三、 级数性质： (1)
1 k 1 k
7.4854708606
前n2项的和 8.1783681036 12.783290 15.08587365 n1至n2项的和 0.6928972430599 0.693144 0.69314695
n
107
1017
2 Χ107
2 Χ1017
16.69531136
39.7211622458
lim
n i 1
n
i 2 1 1 ( ) n n
i 1 f ( ) n n
f ( x) 1 x2
i i ( i 1, 2, , n) n ba 1 b a 1, n n x [0,1]
lim
n i 1
n
lim
n i 1
收敛 发散