2.3.1直线与平面所成角
马承天--直线、平面垂直的判定及其性质
人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）直线、平面垂直的判定及其性质高三数学组：马承天教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定教学目标一、知识与技能1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；2.掌握直线和平面所成的角的求法；3.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；4.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用.二、过程与方法1.经历直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法；2.经历直观感知“二面角”概念的形成过程；用类比方法思考“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.三、情感、态度与价值观1.学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.2.通过经历概念的形成、发展和应有的过程，知道数学存在于现实生活周围，形成积极思维，发展观察、分析、解决问题的能力.教学重点、难点教学重点1.直线与平面垂直的定义和判定定理；2.直线和平面所成的角；3.平面与平面垂直的判定.教学难点1.直线与平面垂直判定定理的探究；2.如何度量二面角的大小.教学关键理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理，会应用两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题.教学突破方法通过学生观察大量的空间几何体的实例，先感性地认识两个定理，然后通过严格的证明来理解两个定理，利用针对性较强的习题来巩固两个定理．对于本节的线面角和二面角的概念，需首先掌握其定义，其次了解其求法.教法与学法导航教学方法问题教学法，讨论法，练习法．通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考可判定线面垂直、面面垂直的条件，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.学习方法自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结．在1教师备课系统──多媒体教案2学生观察大量空间几何体实例的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结得到线面垂直、面面垂直的条件，即两个判定定理. 教学准备教师准备多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片. 学生准备线线垂直的概念. 教学过程 教学过程教学内容师生互动设计 意图 新课导入问题：直线和平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答. 生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习 巩固探索新知 一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面、桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经过P 的直线垂直.师：那么旗杆所在直线与平面内不经过P 点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？…… 师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.续上表 探索新知 二、直线和平面垂直的判定师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）. 培养学生的几何直观人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）31．试验 如图，过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）.（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为“一条直线或两条平行直线”？学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直.师：此时与AD 垂直的是一条直线还是两条直线？生：AD 垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ．师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析 例1 如图，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α. 【证明】在平面α内作两条相交直线m 、n .因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a ⊥m ，a ⊥n . 又因为b ∥a ， 所以b ⊥m ，b ⊥n .又因为,m n αα⊂⊂，m 、n是两条相交直线，b ⊥α.师：要证b ⊥α，需证b 与α内任意一条直线的垂直，又a ∥b ，问题转化为a 与面α内任意直线m 垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所学知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.续上表 探索三、直线和平面所成的角教师借助多媒体直接讲借助多教师备课系统──多媒体教案4 新知如图，一条直线P A和一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.媒体讲授，提高上课效率.典例剖析例2如图，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.【分析】找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连接BC1即可.师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拨关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.典例剖析解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.续上表人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5又因为BC 1⊥B 1C ，所以B 1C⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中， 12A B a =，22BO a =， 所以112BO A B =， ∠BA 1O = 30°，因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.探索新知 四、二面角1．二面角 （1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle ）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验（折纸）思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O 在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O 的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模 型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.续上表教师备课系统──多媒体教案6 探索新知棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--.有时为了方便，也可在,αβ内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.探索新知五、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.学生自学，教师点拨一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力，通过实验，培养学生观察能力．人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7续上表典例剖析两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.典例分析例 3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC .【证明】设⊙O 所在平面为α，由已知条件，P A ⊥α，BC 在α内，所以P A⊥BC .因为点C是圆周上不同于A 、B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径，所以，∠BCA 是直角，即BC ⊥AC . 又因为P A 与AC 是△P AC 所在平面内的两条直线.所以BC ⊥平面P AC .又因为BC 在平面PBC 内， 所以，平面P AC ⊥平面PBC . 师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B 的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找 （作）一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC 符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书．巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.小结 1．直线和平面垂直的定义判定． 2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直⇒线面垂直． 4．二面角的定义画法与记法. 5．面面垂直的判定方法.学生总结、教师补 充完善． 回顾、反思、归纳，提高自我整合知识的能力．教师备课系统──多媒体教案8课堂作业1．如图，在三棱锥V –ABC 中，VA = VC ，AB = BC ，求证：VB ⊥AC .2．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC . （1）若P A = PB = PC ，∠C =90°，则点O 是AB 边的 . （2）若P A = PB =PC ，则点O 是△ABC 的 心.（3）若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 心. 3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A ′B ′C ′D ′ – ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？5．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S – EFG 中必有（ ）．A ．SG ⊥EFG 所在平面B ．SD ⊥EFG 所在平面C ．GF ⊥SEF 所在平面D ．GD ⊥SEF 所在平面6．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？参考答案： 1．略2.（1）中点； （2）外； （3）垂．3. 不一定平行. 4．AC ⊥BD . 5. A6. 面ABC ⊥面BCD ，面ABD ⊥面BCD ，面ACD ⊥面ABC .人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）9第2课时教学内容：2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标一、知识与技能1. 掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；2. 能运用性质定理解决一些简单问题；3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 二、过程与方法在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．三、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，形成空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点、难点教学重点：两个性质定理的证明. 教学难点：两个性质定理的证明.教学关键：引导学生掌握两个性质定理的证明，并且能够应用两个性质定理来证明较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题.教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握两个性质定理的条件及结论，知道如何应用两个性质定理，在教师的示例引导下，在具体的解题过程中对两个定理进行巩固和提高. 教法与学法导航教学方法：问题教学法，练习法，启发式教学．通过提出问题，学生思考并体会在线面垂直、面面垂直的条件下，可以得到什么结论，与上节的判定定理相对照．在理解两个定理的基础上，进行有针对性的练习.学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结. 教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）. 学生准备：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 教学过程 教学过程教学内容 师生互动设计 意图 新课导入问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？问题2：若一条直线和一个平面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题．复习巩固，以旧带新.教师备课系统──多媒体教案10续上表探索新知一、直线与平面垂直的性质定理1．问题：已知直线a 、b 和平面α，如果,a b αα⊥⊥，那么直线a 、b 一定平行吗？ 已知 a ⊥a ，b ⊥a ， 求证：b ∥a .【证明】假定b 不平行于a ，设b α=O ，b ′是经过O 与直线a 平行的直线，∵ a ∥b ′，a ⊥a ， ∴ b ′⊥a ，即经过同一点O 的两线b 、b ′都与α垂直这是不可能的，因此b ∥a . 2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．简化为：线面垂直⇒线线平行．生：借助长方体模型AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a 、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在这种情况下，我们采用“反证法”．师生边分析边板书．借助模型教学，培养几何直观能力，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面垂直的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题．生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，面A ′ADD ′⊥面ABCD ，A ′A ⊥AD ，AB ⊥A ′A ，∵AD A A A '=， ∴A ′A ⊥面ABCD ． 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）11续上表探索新知2．例1 设αβ⊥，αβ=CD ，AB α⊂，AB ⊥CD ，AB ⊥CD = B ，求证AB ⊥β，【证明】在β内引直线BE ⊥CD ，垂足为B ，则∠ABE 是二面角CD αβ--的平面角.由αβ⊥知，AB ⊥BE ，又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内的两条相交直线,所以AB ⊥β.3．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．简记为：面面垂直⇒线面垂直.师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB ⊥CD ，需找一条直线与AB 垂直，有条件αβ⊥还没有用，能否利用αβ⊥构造一条直线与AB 垂直呢？生：在面β内过B 作BE⊥CD 即可.师：为什么呢？学生分析，教师板书．典例 分析例 2 如图，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.【解析】在α内作垂直于α与β相交的直线b ，因为α⊥β，所以b ⊥β， 因为α⊥β，所以a ∥b . 又因为a α⊄，所以a ∥α. 即直线a 与平面α平行.师投影例2并读题． 生：平行．师：证明线面平行一般策略是什么？生：先证明线线平行． 师：假设α内一条直线b ∥a 则b 与α的位置关系如何？生：垂直．师：已知,b ααβ⊂⊥，怎样作直线b ？生：在α内作b 垂直于α、β的交线即可. 学生写出证明过程，教师投影.师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.教师备课系统──多媒体教案12续上表典例 分析例3 设平面α⊥平面β，过点P 作平面β的垂线a ，试判断直线a 与平面α的位置关系？【证明】如图，设αβ= c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，根据平面与平面垂直的性质定理有b β⊥.因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a 与直线b 重合，因此a α⊂.师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b 与直线a 重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.小结1．直线和平面垂直的性质． 2．平面和平面垂直的性质．3．面面垂直、线面垂直、线线垂直的关系．学生归纳总结，教师再补充完善.回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.课堂作业1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. a ．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（ ）b ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ ）c ．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（ ）d . 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α.（ ） 答案：a . √ b . √ c . √ d . ×2．（1）下列命题中错误．．的是（ ）． A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线垂直于平面β B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥（2）已知两个平面垂直，下列命题人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）13①一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：（1）A （2） B3．设直线a ，b 分别在正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中两个不同的面所在平面内，欲使a ∥b ，a ，b 应满足什么条件？答案：不相交，不异面．4．已知平面α，β，直线a ，且αβ⊥，AB αβ=，a ∥α，a ⊥AB ，试判断直线a 与直线β的位置关系.答案：平行、相交或在平面β内．5. 把直角三角板ABC 的直角边BC 放置桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？【解析】a AC AC a AB a AC AB A αα⊥⎫⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭a ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面ABC BC 平面ABC a BC ⇒⊥.6. 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ ，β⊥γ ，α∩β= l ，求证：l ⊥γ．【证明】解法一：如图，设α∩γ= a ，β∩γ= b ，在γ内任取一点P ．过点P 在γ内作直线m ⊥a ，n ⊥b ．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥β（面面垂直的性质）． 又α∩β= l ，∴l ⊥m ，l ⊥n ．又m ∩n = P ，m ，n ⊂γ ∴l ⊥γ．教师备课系统──多媒体教案14 解法二：如图，设α∩γ= a，β∩γ= b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n，又n⊂β，m⊄β，∴m∥β，又α∩β= l，m⊂α，∴m∥l，又m⊥γ，∴l⊥γ．教案 B第1课时教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定教学目标1.经历并体验线面垂直的定义和判定定理的探究过程，并能应用定理进行简单的线面垂直的判定；2.增强对立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的应用能力；3.领悟类比与转化的数学思想，亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，自主地思考问题、探究问题，增强学习数学的兴趣．教学重点、难点教学重点直线与平面垂直的定义、判定定理的探究教学难点1.体会“线面垂直”所包含的空间问题平面化；2.类比线面垂直的定义，分析“一条直线与平面内的任一直线垂直”所包含的一般性与特殊性的转化.教学过程一、从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”.问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例，直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义.二、提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．1.阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？2.随着太阳的移动，影子BC的位置也会移动，而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?3.旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何？依据是什么？设计意图：第1与2两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第3问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1）在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若l⊥α，a⊂α，则l⊥a）设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法.通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法.三、探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？15。
2.3.1线面垂直的判定
a
的射影,a ⊂ α ,a ⊥PO 的射影 求证： 求证：a ⊥AO
α
知识小结
1．直线与平面垂直的概念 直线与平面垂直的判定、 2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
直线与平面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 则该直线与此平面垂直．
l⊥a l ⊥b a ⊂α b ⊂α aIb = A
⇒ l ⊥α
判定定理
l
b
α
A
a
线线垂直
线面垂直
典型例题
一旗杆高8m 在它的顶点出系两条长10m的绳子， 8m， 10m的绳子 例1 一旗杆高8m，在它的顶点出系两条长10m的绳子，拉紧绳子 并把它们的下端固定是地面上的两点（两点与旗杆脚不共线）， 并把它们的下端固定是地面上的两点（两点与旗杆脚不共线）， 若这两点与旗杆的距离都是6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么？ 6m,那么旗杆就与地面垂直 若这两点与旗杆的距离都是6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么？
直线与平面垂直 那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？ 那平面内的两条直线相交时又是什么情况呢？
A A 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： A
l
C
A
D
α
B B
D D
P
C
C
α C α
B B
D
边上的高时， 所在直 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 的顶点A翻折纸片 得到折痕AD， 翻折纸片， 过 ∆ABC 的顶点 翻折纸片，得到折痕 ，将翻 α 垂直． 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（ ， 于桌面接触 于桌面接触） 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
2.3.1直线与平面垂直的判定(经典)
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
A
B
O
D
α
C
这条直线垂直于梯形所在的平面。（√ ）
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
四：典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作两条相交
直线m，n．
a
b
m n
巩固练习
例2 如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
A
A
B
D
CB
C D
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻
折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接
触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
人教版高中数学必修二 第2章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。
2.3.3直线与平面所成的角及性质
1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定
m n m n B l lm ln
a
b
， a
b
斜线
Ｐ
一、直线和平面所成的角：
垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
平面外的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角,称为该直线与平面所 成的角。
直线和平面所成的角：
1) 2)
3)
[0 ,90 ] l 或l // 0 l 90 l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
l 与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
斜线
Ｐ 垂线
Ａ
Ｏ
a
斜线在平面上的射影
D1 A1
1
C1 B1 C
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
O
C B
A
练习题
2.平行四边形ABCD所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交 点O的连线PO垂直于平面ABCD. P
找垂线 得射影
分别指出对角线A1C 与六个面所成的角. A
D
B
1
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1 C1 B1
O
D C B
A
2.3.1_直线与平面垂直的判定_课件3(新人教版A必修2)
数学思想方法： 3．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
P M N A C
B
第２个 垂线 空间角 平面的一条斜线和它在平 Ａ θ Ｏ 面内的射影所成的锐角， 面内的射影所成的锐角，叫做 α 这条直线和这个平面所成的角
斜线在平面上的射影
斜线
Ｐ
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角
(1)四面体P ABC中有几个直角三角形 (1)四面体P-ABC中有几个直角三角形 四面体 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 (2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 指出PB,PC与平面ABC AC,PC与平面PAB所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 与平面PAB P
A
C B
知识小结
直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°，90°] 两条异面直线所成的角,(0,900] 两条异面直线所成的角
例２ 分别指出对角线 1C 分别指出对角线A
与六个面所成的角. 与六个面所成的角
D1 A1
1
C1 B1 C
1
D A B
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 Rt△ABC中,∠B=90°,P为 ABC所在平面外一点,PA⊥平面 所在平面外一点,PA⊥平面ABC △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
⊥ α ，求证 b ⊥ α .
b
n
证明： 证明：在平面 α 内作 a 两条相交直线m， ． 两条相交直线 ，n． 因为直线 a ⊥ α， 根据直线与平面垂直的定义知 α m a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n. 是两条相交直线， 又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围
摘要：
一、引言
二、空间直线与平面所成角的定义
三、空间直线与平面所成角的范围
1.直线在平面内的情况
2.直线与平面相交的情况
3.直线与平面平行的情况
四、结论
正文：
【引言】
在几何学中，空间直线与平面所成角的研究是一个重要课题。
本文将讨论空间中直线与平面所成角的范围。
【空间直线与平面所成角的定义】
空间中直线与平面所成角指的是空间中一条直线与一个平面之间的最大角和最小角之差。
通常用符号θ表示，其中0 ≤ θ ≤ π。
【空间直线与平面所成角的范围】
【直线在平面内的情况】
当一条直线完全在平面内时，直线与平面所成角θ为0。
这是因为直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是0，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为0。
【直线与平面相交的情况】
当一条直线与平面相交时，直线与平面所成角θ的范围为0 < θ ≤ π。
这是因为直线与平面相交时，直线与平面内的射线之间存在夹角，夹角的最大值和最小值之差即为所成角的最大值和最小值之差。
【直线与平面平行的情况】
当一条直线与平面平行时，直线与平面所成角θ为π。
这是因为直线与平面平行时，直线与平面内的任何一条射线之间的夹角都是π，所以直线与平面所成角的最大值和最小值之差为π。
【结论】
综上所述，空间中直线与平面所成角的范围为0 ≤ θ ≤ π。
第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定
末 页
结
束
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥SABC的所有棱长都相等且为a，求SA与 底面ABC所成角的余弦值． [解] 如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO.则 SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O为△ABC的外心． ∵△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心． ∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角． 2 3 3 在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝ × a＝ a， 3 2 3 AO 3 3 ∴cos∠SAO＝ SA ＝ ，∴SA与底面ABC所成角的余弦值为 . 3 3
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结
束
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则 在△ABC，△PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有______________； (2)与AP垂直的直线有_______________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC. ∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC. (2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
上任意一点，AN⊥PM，N为垂足． (1)求证：AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
2：2.3.1 直线与平面所成的角(课件)
例题示范,巩固新知
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
直线A1B和平面A1B1CD所成的角。 分析:找出直线A1B在平面平面 A1B1CD内的射影,就可以求出 A1B和平面A1B1CD所成的角。 A
D1 C1 B1
1
O
D C B
阅读教科书P67上的解答过程
A
巩固练习
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
斜线 P A
斜足
斜线
射影：过垂足O和斜足A的直线 AO叫做直线AP在平面 的 射影。
直线和平面 所成的角：一条直线 和它在平面内上的射影所成的锐 射影 角。
斜足
垂足 垂线
规定:
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0，90]
（1）A1C1与面ABCD所成的角
o 90 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角 （2）∵ DD1⊥面BB1D1D
D1 A1 B1 C1
A1C1
面BB1D1D
∴DD1⊥A1C1
又A1C1⊥B1D1, DD1∩B1D1=D1
A1
D A B
C
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E
C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
30o
D A B
直线和平面所成角的取值范围
C
O
B
练习2：教材P.69探究 (1) 四个面的形状怎样？ (2) 有哪些直线与平面垂直？ (3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？ A
B
C
D
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点，
ABCD
是正方形，
求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
寻找二面角的平面角 寻找二面角的 平面角
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
两直线所成角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围： 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围：
1
O
A
B
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]． 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
A B
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
A B E
C
练习1：如图，已知三棱锥D-ABC的三
个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
2.3.1 直线与平面垂直的判定的评课记录
2.3.1 直线与平面垂直的判定的评课记录（本课选自人民教育出版社A版教材必修2第二章2.3.1节）戴志强：本节课教学设计自然、流畅，浑然一体。
陈老师先从实际背景中让学生感知直线与平面垂直的形象，进而通过设计“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”三个系列问题来引导学生思考、分析，从中抽象概括出直线与平面垂直的概念，紧接着通过折纸实验探究直线与平面垂直的判定定理，然后是直线与平面垂直判定定理的初步应用。
整个设计浑然一体。
下面，我重点谈谈直线与平面垂直的概念教学。
本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，是直线与平面相交位置关系学习的起始课。
陈老师首先让学生再现直线与平面的几种位置关系，然后让学生举出日常生活中所见的直线与平面相交的实例，再展示图片，提供现实原型让学生直观感知直线与平面相交的特殊情形（直线与平面垂直）这种位置关系。
言语简练、设计贴切。
这种联系现实世界引入概念的方式有助于学生将客观现实材料和数学知识融为一体，实现“概念的数学化”。
在直线与平面垂直的概念教学中，陈老师十分重视概念的辨析。
在学生概括出直线与平面垂直的概念后，为使学生牢牢把握住这个概念的核心词：“任意一条”，陈老师提出了一个问题让学生辨析：定义中的“任意一条”四个字能否用“无数条”来替换？为什么？通过反例，学生领悟了：尽管直线l与平面α内的无数条直线都垂直，但直线l不一定与平面α垂直，定义中的“任意一条”四个字不能用“无数条”来替换。
进一步，陈老师又不适时机提问：“任意一条”四个字可用什么词来替换？（学生回答：“所有”或“每一条”），从而深化对“任意一条”的理解，凸现定义中的核心词。
这个细节处的设计很“出彩”。
同时，陈老师通过设问：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？，以此来说明定义既是判定方法，同时又是一个性质，还是线线垂直的一种判定方法。
【人教A版】高中数学必修二第2章：2.3.1直线与平面垂直的判定(盐池高中)
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在 垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③
等价于对任意的直线
，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时 也得到了线面垂直的最基本的性质.
直线与平面垂直 除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
解析：(1)如图 23，∵PO⊥平面 ABC， ∴PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又∵PA ＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC. ∴O 是△ ABC 的外心．
图 23
图 24
(2)如图 24，∵PO⊥平面 ABC，
∴PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_外__心__； (2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_垂__心__； (3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则 O 是△ABC 的_内__心___； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的垂__心___．
斜线与平面所成的角θ的取值范围 是：______________
线面所成的角 关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线
斜足
A α
射影
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
O
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
2.3.1-2.2.3线面垂直的判定性质和线面角
例 ：BO C 在平面 内 ，O A是的 斜 线 ， AOB AOC 60 , OA OB OC a, BC 2a, 求OA与所 成 的 角
OA OB OC a, AOB AOC 60
AOC , AOB都 为 正 三 角 形 AC AB a
A1
45o
D1 C1
B1
D
A B
C
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2）A1C1与面BB1D1D所成的角 （3）A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
D1 B1
E
C1
30o
A1
D A B
C
思考、异面直线a,b所成的角为500，P为
线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面．
简记： “线线垂直
m n m n B lm l n
线面垂直”
l
线面垂直的性质定理：
1、直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α中 的任意一条直线
线面垂直
a 线线垂直 a b b
2.3.1 直线与平面垂直的 判定和性质
学习目标 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理和 性质定理。
重、难点
能运用判定定理和性质定理解决一些简单 问题
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
问题：（1）如图，在阳光下观察直立于地面 旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线 与影子所在直线位置关系是什么？ （2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线a的位置关系又是什么？
2.3.1 直线与平面垂直的判定
③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线垂 直 （ ） ④过平面外一点可作无数条直线和这个平面垂 直 （ ） 2、如图，在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD 的中点， 是 EF 的中点.现在沿 AE、AF及EF G 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为 H ，那么，在这个 空间图形中必有 A D （ ） H AD △ EFH所在平面 A. HF G F B. △ AEF所在平面 F A C. HD AEF所在平面 △ G C B E D. AH EFH所在平面 △ E
训练： （1）两条平行直线在平面内的射影可能是： ①两条平行直线；②两条相交直线；③一条直 线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的 个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2）已知△ ABC，点 P 是平面 ABC 外一点，点 在平面 ABC 上的射影，①若 PA PB PC O是点 P ，则点 O是△ ABC 的____心；②若点 P 到△ ABC 的三边所在直线的距离相等，且 O在△ ABC 内， 那么 O点一定是△ ABC 的____心；③若 PA 、PB 、 点是△ ABC 的____心. PC两两垂直，则 O
以前哪里 出现过？一Fra bibliotek直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直. 化无限为有限 l
l m, l n m ,n l mn P
P
m n
线线垂直 线面垂直
1、判断： ①若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则 这条直线和这个平面垂直 （ ） ②若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 则这条直线和这个平面垂直 （ ）
例1、如图，已知 a // b, a ，求证： b . b a 这也可以作 为线面垂直 的判定定理
2.3.1直线与平面垂直的判定
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
90 范围：0，
（2）利用判定定理．
线线垂直 线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
α
三点说明:
①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的 无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？） ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. ③ a⊥α等价于对任意的直线mα，都有a⊥m.
利用定义，我们得到了判定线面 垂直的最基本方法，同时也得到 了线面垂直的最基本的性质.
大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例:
2.3.1-直线与平面垂直的判定
2．3.1直线与平面垂直的判定教学过程直线与平面的垂直[提出问题木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能．问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？提示：不一定．[导入新知]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[化解疑难]1．关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式。
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法。
(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直。
2.3.1直线与平面垂直的判定
解析:(1)梯形的两腰所在直线相交,由线面垂直 的判定定理知,垂直于梯形两腰的直线与梯形所 在平面垂直,故选 A. (2)取 BC 的中点 E,连接 AE,DE, ∵AB=AC,BD=DC, ∴AE⊥BC,DE⊥BC, 又∵AE 平面 ADE,DE 平面 ADE, AE DE=E, ∴BC⊥平面 ADE, 又∵AD 平面 ADE,∴BC⊥AD. 答案:(1)A (2)垂直
【例 1】 下列说法中正确的个数是(
) ①若直线 l 与平面α 内一条直线垂直,则 l⊥α ; ②若直线 l 与平面α 内两条直线垂直,则 l⊥α ; ③若直线 l 与平面α 内两条相交直线垂直,则 l⊥α ;
④若直线 l 与平面α 内任意一条直线垂直,则 l⊥α ; ⑤若直线 l 与平面α 内无数条直线垂直,则 l⊥α . (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:对①②⑤,由于缺少 “相交” 二字,不能断定 该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能 斜交,也可能在平面内,所以是错误的,正确的是 ③④,故线与平面 垂直吗? (直线与平面垂直的图形语言表示:画直线和 水平平面垂直时,要把直线画成和表示平面 的平行四边形的横边垂直,如图所示.直线与 平面垂直的符号语言表述是 l ⊥α)
直线与平面垂直的判定定理
2:通过实例(2),你有什么发现,怎样折 叠才能使 AD 与桌面垂直? (当 AD 是高时,即 AD⊥BD,AD⊥CD)
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 直角;一条直线在平面内或一条直线和平面平行, 称它们所成的角是 0°的角,于是,直线与平面 所成的角的范围是[0°,90°].
【质疑探究 3】 直线与平面所成的角的定义反 映了什么数学思想? (反映了求线面角的基本思想——平面化思想, 即把空间角等价转化为平面角,并放在三角形 (如直角三角形)内求解)
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A
l
（3）计算:
O
B
（2）证明: 说明某平面角就是线面角。 通常在直角三角形中计算，或用公式计算 。
B1
D A B
解： （1）∵A1 A ⊥AB, A1 A ⊥AD C1 ∴ A1 A ⊥平面ABCD ∴A B为直线A1B在平面ABCD 内的射影， ∴ ∠ A BA1 为直线A1B与 平面ABCD所成的角， C ∵ ∠ ABA1=45 o ∴直线A1B与平面ABCD所成的角 为45 o
例2.在正方体ABCD—A1 B 1C1 D1中,求: (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
A1 D1 B1 C1
D A B
C
例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
2.3.1 直线和平面所成的角
一.复习引入：
1.直线与平面垂直的定义与判定 2.直线与平面的位置关系 （1）直线在平面内 （2）直线与平面平行 （3）直线与平面相交
二.直线和平面所成角 1.直线和平面所成的角
（1）斜线 与平面相交但不垂直的直线； （2）斜足 斜线与平面的交点； （3）斜线在平面内的射影 过斜线上斜足 以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足 的直线； （4）直线和平面所成的角 斜线和它在平面 内的射影所成的锐角； P A
关键: 是过斜线上一点作平面的垂线， 再连结垂足和斜足。
A
l
（3）计算:
O
B
（2）证明: 说明某平面角就是线面角。 通常在直角三角形中计算，或用公式计算 。
例2.在正方体ABCD—A1 B 1C1 D1中,求:
(1)直线A1B和平面ABCD所成的角；
(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1
D1 A1
B1
D A B
（2）连接B C1 交B 1C 于O,连接A1 O 设正方体的棱长为a ∵A1 B 1 ⊥B 1 C1, A1 B 1 ⊥B B1 , C1 ∴ A1 B 1 ⊥平面BB 1 C1C, ∴ A1 B 1 ⊥B C1 , ∵ B 1 C⊥B C1 , ∴ B C1⊥平面A1B1CD , O ∴ A1 O为直线A1B在平面A1B1CD内的射影， C ∴ ∠ BA1 O为直线A1B与平面A1B1CD所成 的角， ∵ 在RtΔA1B O中，A1B=√2a,B O= √2a∕2 ∴ ∠ BA1 O=30 o ∴直线A1B与平面ABCD所成的角为30o
O
2.线面角的定义
平面的一条斜线和 它在平面内的射影所成 的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角。
o 90 (1)直线和平面垂直,则直线和平面所成的角是_____； o 0 (2)直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是___； o ,90o] （3）直线和平面所成角的范围是_[0 ＿＿＿＿ 。
例3.在正方体ABCD—A1 B 1C1 D1 中，E、F分别是 A1A、AB的中点，求EF与面A1 C1 CA所成的角. D1 A1 B1 D F B C C1
E A M
三.小结：线面角的求法
(1)作(找)射影，将空间角(线面角)转 化为平面角。
关键: 是过斜线上一点作平面的垂线， 再连结垂足和斜足。
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
A1 D1 B1 C1
D A B
C
例1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
A1 D1 B1 C1
D Aபைடு நூலகம்B
C
线面角的求法:
(1)作(找)射影，将空间角(线面角)转 化为平面角。