第2讲 均值、柯西、排序不等式及其应用S
2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)讲义新人教B版
2.3 平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理 平均值不等式1．(平均值不等式)设a 1，a 2，…，a n 为n n立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论1)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n ，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.当n ＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C 为常数，且a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n，且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .当n ＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n 个正数，先求它们倒数的平均 1a 1＋1a 2＋…＋1a nn ，然后再作这个平均值的倒数 n1a 1＋1a 2＋…＋1a na 1，a 2，…，a n 的调和平均．(定理2)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .3．(定理3)设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(推论3)设a 1，a 2，…，a n为n 个正数，则(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.1．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )A ．(－∞，lg 6]B ．(－∞，3lg 2]C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． [答案] B2．若a ，b ，c ，d 为正数，则b a ＋c b ＋d c ＋a d的最小值为_____________.[解析] 由平均值不等式可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥4 4b a ·c b ·d c ·a d ＝4，当且仅当a ＝b ＝c＝d 时，等号成立．[答案] 4[精彩点拨] 根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值． [自主解答] 根据平均值不等式x 2－172＋x 2－172＋(79－x 2)≥3 3(x 2－17)2(79－x 2)4＝33y 24，即y 2≤623×427.当且仅当x 2－172＝79－x 2，即x 2＝1753时等号成立． 这时y max ＝1241869.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x ，y ，z ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞且x ＋y ＋z ＝3，求y ＝3x －2＋3y －2＋3z －2的最大值．[解] 3x －2＋3y －2＋3z －2＝(3x －2)·1＋(3y －2)·1＋(3z －2)·1 ≤3x －2＋12＋3y －2＋12＋3z －2＋12＝3(x ＋y ＋z )－32. ∵x ＋y ＋z ＝3，∴3(x ＋y ＋z )－32＝3，∴3x －2＋3y －2＋3z －2≤3.故y max ＝3.【例2】 若x >0，求证：10＋x 9>92＋x .[精彩点拨] 由于不等式右边为92＋x ，故将左边拆项，利用不等式证明． [自主解答]10＋x 9＝1＋1＋x9即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.[证明] ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥3 31a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c，∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )×331a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c ， 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥9，∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.试比较n 个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系． [提示] 在课本中已讲过n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术平均和几何平均分别是A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n和G n ＝na 1a 2…a n .此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)H n ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Q n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn.这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 其中等号成立的充要条件都是a 1＝a 2＝…＝a n .【例3】 设x 1，x 2，x 3为正数，证明：x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．[自主解答]x 2x 1＝x 2x 3·x 3x 1·1 ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋1，①x 3x 2＝x 3x 1·x 1x 2·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋1， ②x 1x 3＝x 1x 2·x 2x 3·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋1， ③1＝x 3x 1·x 1x 2·x 2x 3≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33. ④上述不等式中，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3＋1≤13[3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋3]， ∴x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x 2x 1可变为x 2x 3·x 3x 1·1.3．已知a ，b ，c 为正整数，且b ＋c >a ，c ＋a >b ，a ＋b >c .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c≤1. [证明] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a …⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b …⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b · ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c …⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c ≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ·a ＋b －c a ＋b ·b ＋c －a b ＋c ·c ＋a －b c a ＋b ＋c a ＋b ＋c＝1.即原不等式成立．1．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . [答案] B2．已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1的最大值为( ) A ．9 B ．3 3 C ．16 D ．4 3[解析] 8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1＝13(8a ＋1)·9＋13(8b ＋1)·9＋13(8c ＋1)·9≤8a ＋1＋96＋8b ＋1＋96＋8c ＋1＋96＝8(a ＋b ＋c )＋306＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号． [答案] A3．当x >0时，y ＝3x ＋12x 2的最小值为( )A ．3239 B ．3C ．5235 D ．432[解析] y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥3 332x ·32x ·12x 2＝3398＝3239.当且仅当32x ＝12x 2，即x ＝313时，等号成立．[答案] A4．已知x ，y ，z 为正数，且2x ＋3y ＋5z ＝6，则xyz 的最大值为________．[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ＝130×2x ×3y ×5z ≤130×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋5z 33＝415.当且仅当2x ＝3y ＝5z ，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时等号成立．[答案]4155．证明：设n 为正整数，则n [(n ＋1)1n －1]<1＋12＋13＋…＋1n .[证明] 原不等式等价于：(n ＋1)1n <1＋12＋13＋…＋1n n＋1＝1＋12＋13＋ (1)＋n n.∵1＋12＋13＋ (1)＋n n＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2＋32＋43＋…＋n ＋1n n >n 2·32·43·…·n ＋1n＝nn ＋1 ＝(n ＋1)1n，∴原不等式成立．。
高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2
——教学资料参考参考范本——高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2______年______月______日____________________部门[读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋an≥ ，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(2)定理2：设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(3)定理3：设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋an≥≥，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2.2．最值问题设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[对应学生用书P34]利用基本不等式求最值[例1] 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．[精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(1)运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．(2)运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．1．求函数f(x)＝(x＞0)的最大值及此时x的值．解：f(x)＝1－.因为x＞0，所以2x＋≥2，得－≤－2，因此f(x)≤1－2，当且仅当2x＝，即x2＝时，式子中的等号成立．由于x＞0，因而x＝时，等号成立．因此f(x)max＝1－2，此时x＝.利用平均值不等式求最值[例2] 已知x为正实数，求函数y＝x(1－x2)的最大值．[思路点拨] 本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．[精解详析] ∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤3＝.当且仅当2x2＝1－x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．∴y≤.∴y的最大值为.(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．2．已知x为正实数，求函数y＝x2·(1－x)的最大值．解：y＝x2(1－x)＝x·x(1－x)＝x·x·(2－2x)×12≤3＝×＝.当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．此时，ymax＝.利用平均值不等式解应用题[例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．[思路点拨]本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．[精解详析]设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得H－h＝，H∴r＝(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0＜h＜H)．根据平均不等式可得V圆柱＝···h≤3＝πR2H.当且仅当＝h，即h＝H时，V圆柱最大＝πR2H.(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值．(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．3．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．解：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，如图可知2h＋x＝，即h＝(1－x)，所以V＝S底·h＝6×x2·h＝x2··(1－x)＝2××××(1－x)≤9×3＝.当且仅当＝1－x，即x＝时，等号成立．所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.[对应学生用书P35]一、选择题1．函数y＝3x＋(x>0)的最小值是( )A．6 B．6 6C．9 D．12解析：y＝3x＋＝＋＋≥3＝9，当且仅当＝，即x＝2时取等号．答案：C2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )A．3 B．2 2C．12 D．1235解析：∵2x>0,4y>0,8z>0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝3＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号．答案：C3．设x，y为正实数，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )A．40 B．10C．4 D．2解析：因为x ，y 为正实数，∴≤. ∴≤＝10.∴xy ≤100.∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg100＝2. 答案：D4．已知x∈R＋，有不等式：x ＋≥2＝2，x ＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可以推广结论为：x ＋≥n＋1(n∈N＋)，则a 的值为( )A ．nnB ．2nC ．n2D ．2n ＋1 解析：x ＋＝···n xn nx x x a ++++n n n x相乘个 ≥(n＋1)+1···n n xn nx x x a n n n x∙∙∙∙相乘个 ＝(n ＋1)，由推广结论知＝1，∴a＝nn. 答案：A 二、填空题5．设x ，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为______．解析：＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2·＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．答案：96．若x ，y∈R＋且xy ＝1，则的最小值是________． 解析：∵x>0，y>0，xy ＝1， ∴＝1＋＋＋xy≥1＋3＝4，当且仅当＝＝xy，即x＝y＝1时取等号．答案：47．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.又x∈，∴t∈(0,1)．不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，而y＝(1－t)＝17－≤17－2 ＝9，当＝16t，即t＝时取等号，因此原不等式恒成立，只需p≥9.答案： [9，＋∞)8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.则S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S＝×3×4＝6.∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.∴3≤3x＋4y＋5z＝12.∴(xyz)max＝.当且仅当x ＝，y ＝1，z ＝时等号成立． 答案：1615三、解答题9．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，＋＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b.解：∵x＋y ＝(x ＋y)＝a ＋b ＋＋≥a＋b ＋2＝(＋)2， 当且仅当＝时取等号． 又(x ＋y)min ＝(＋)2＝18， 即a ＋b ＋2＝18① 又a ＋b ＝10②由①②可得或⎩⎨⎧a＝8b＝2.10．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有 A ＝k·V3，且有30＝k·103，∴k＝.∴A ＝V3.设每千米的航行费用为R ，需时间为小时， ∴R ＝＝V2＋＝V2＋＋≥3＝36.当且仅当V2＝，即V＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．11.如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比．即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：∵r＝，∴E＝k·(0<θ<)，∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ即tan2θ＝，tan θ＝时取等号，∴h＝2tan θ＝，即h＝米时，E最大．。
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
2������
2
24
=
3������
+
1
=
3
+
1 ������
≥
3
+
1 2
=
7,
5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
+
1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
1
1
1
<
( 12 + 12 + … + 12 )
������ 个
(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
������1
+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
2020高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2
2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型学习目标：1.理解最值概念,并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2。
能利用不等式解决有关的实际问题．教材整理 最值问题,优化的数学模型 1．最值设D 为f (x ）的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f （x )≤f （x 0)(f （x ）≥f （x 0))，x ∈D ,则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小）值,x 0称为f (x )在D 上的最大（小）值点．寻求函数的最大(小）值及最大（小）值问题统称为最值问题,它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况． 2．分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分．这在求含有分式的最值问题时经常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件．1．已知0＜x ＜1，则x (1－x ）取最大值时x 的值为( ) A.13B.12C 。
错误!D.错误!［解析］ ∵0＜x ＜1,∴x （1－x )≤错误!错误!＝错误!, 当且仅当x ＝12时取等号．[答案］ B2．已知t ＞0，则函数y ＝错误!的最小值为________． [解析] ∵t ＞0，∴y ＝错误! ＝t ＋错误!－4≥2－4＝－2。
[答案］ －2利用柯西不等式求最值【例1】 设x ≥0，y ≥0，z ≥0，a ，b ，c ，l ，m ,n 是给定的正数，并且ax ＋by ＋cz ＝δ为常数,求ω＝错误!＋错误!＋错误!的最小值．[精彩点拨］ 题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．［自主解答］ 由柯西不等式得ω·δ＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!·[（错误!)2＋(错误!）2＋(错误!)2］≥(错误!＋错误!＋错误!）2，所以ω≥错误!。
由柯西不等式成立的条件得x ＝k 错误!,y ＝k 错误!，z ＝k 错误!.其中，k＝错误!.它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝错误!,所以ω的最小值为错误!.利用柯西不等式求最值时,必须验证等号成立的条件是否满足．1．设x，y，z∈R，且错误!＋错误!＋错误!＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．[解] 根据柯西不等式，知[42＋(错误!)2＋22]·错误!≥错误!错误!，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝－1,z＝错误!或x＝－错误!，y ＝－3，z＝错误!时等号成立．∴25×1≥（x＋y＋z－2)2。
2019_2020学年高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)课件新人教B版选修4_5
在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如 xx21可变为xx23·xx31·1.
3．已知 a，b，c 为正整数，且 b＋c>a，c＋a>b，a＋b>c. 求证：1＋b－a ca·1＋c－b ab·1＋a－c bc≤1.
[证明] 1＋b－a ca·1＋c－b ab·1＋a－c bc ＝a＋ab－ca·b＋bc－ab·c＋ac－bc ＝a＋ab－c…a＋ab－c·
________．
[解析]
∵x ， y ， z
为
正
数
，
∴xyz
＝
1 30
×2x×3y×5z≤
1 30
×2x＋33y＋5z3＝145.当且仅当 2x＝3y＝5z，即 x＝1，y＝23，z＝25时等
号成立．
[答案]
4 15
5．证明：设 n 为正整数，则 n[(n＋1)1n－1]<1＋12＋13＋…＋1n.
[提示] 在课本中已讲过 n 个正数 a1，a2，…，an 的算术平均和 几何平均分别是 An＝a1＋a2＋n …＋an和 Gn＝n a1a2…an.
此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到) Hn＝a11＋a12＋n …＋a1n.
平方平均(在统计学及误差分析中用到) Qn＝ a21＋a22＋n …＋a2n. 这四个平均值有以下关系：Hn≤Gn≤An≤Qn. 其中等号成立的充要条件都是 a1＝a2＝…＝an.
【例 3】 设 x1，x2，x3 为正数，证明：xx21＋xx32＋xx13≤xx123＋xx233＋ xx313.
[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等 式证明，必须对一边式子进行变形．
[自主解答] xx21＝xx23·xx31·1
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课讲义新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。
2020高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2
2.1。
1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2。
1。
2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明学习目标：1。
认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a错误!＋a错误!）（b错误!＋b错误!）≥（a1b1＋a2b2)2。
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α|｜β|≥｜α·β｜。
3．柯西不等式的三角不等式:|α｜＋｜β|≥｜α＋β|。
4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1,b2，…，b n为实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)错误!(b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)错误!≥|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|，其中等号成立⇔错误!＝错误!＝…＝错误!（当某b j＝0时，认为a j＝0，j＝1，2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意的正实数x,y恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．2 B．4C．6 D．8[解析］由柯西不等式可求出(x＋y)错误!≥错误!错误!＝（1＋错误!)2，当x＝1，y＝错误!时，(x＋y）错误!的最小值是(错误!＋1）2，故只需(1＋错误!）2≥9，即a≥4即可．［答案］B利用柯西不等式证明不等式a b x y a b ax1bx2（bx1＋ax2)≥x1x2。
［精彩点拨］如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a,b，x，y大于0，∴（ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝（ax1＋bx2)(ax2＋bx1）≥（a错误!＋b错误!）2＝（a＋b)2x1x2.又因为a＋b＝1，所以（a＋b)2x1x2＝x1x2，其中等号当且仅当x1＝x2时成立．所以(ax1＋bx2)（bx1＋ax2）≥x1x2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x1，x2,…,x n为正数，求证:（x1＋x2＋…＋x n)错误!≥n2。
2016_2017学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式课件
∴|α-β| = (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 ,
|β-γ|= |γ-α|= (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 , (������1 -������1 )2 + (������2 -������2 )2 + (������3 -������3 )2 ,
题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点:应用柯西不等式时,因不注重等号是否成立,从而导致结果 错误.
【例 4】 已知函数 f(x)=x+ ,x∈[2,4],求 f(x)的最小值.
1 ������
错解:∵ ������
1 ∴x+ ������≥2.∴f(x)的最小值为
1 + ������
1 + ������ ������
∴|α-β|+|β-γ|≥|γ-α|,且等号成立⇔存在非负常数λ,使得α-β=λ(β-γ).
如何理解柯西不等式? 剖析:柯西不等式的几种形式都需要对其结构进行理解与记忆, 因此,柯西不等式可以理解为有四个顺序的数来对应的一种不等关 系或构造成一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造,但怎样 构造要仔细体会.例如:
答案:A
【做一做1-2】 已知p,q∈(0,+∞),且p3+q3=2,则p+q的最大值为 ( ) A.2 B.8
1 C. 2
D. 4
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2
解析 :设 m=(������ , ������ ),n=(������ , ������ ), 则 p +q2 = ������ ������ + ������ ������ = |m· n|≤|m||n| = ������3 + ������ 3 ������ + ������ = 2 ������ + ������ , 当且仅当存在实数 λ≠0,使得 m=λn 时等号成立 . 又 ∵(p+q)2≤2(p2+q2),
第2讲 均值、柯西不等式及其应用 学案
第二讲 均值、柯西不等式及其应用 学案【考点简介】1．不等式在自主招生中的考点主要有：各类均值不等式、柯西不等式；构造、凑定、消元、化“1”、放缩等技巧的用法。
2．在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大（“华约”）试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
【知识拓展】 1．均值不等式 设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记2n n a Q +=，12nn a a aA n+++=，n G =，12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2．柯西不等式①柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。
②柯西不等式的一般形式：设123123,,,...,,,,,...,n n a a a a b b b b 是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当()01,2,...,i b i n ==或存在一个数k ，使得()1,2,...,i i a kb in ==时，等号成立。
3．二维柯西不等式的变式①ac bd +（,,,a b c d R∈，当且仅当ad bc=时，等号成立）； ②ac bd ≥+（,,,a b c dR ∈，当且仅当ad bc=时，等号成立）； ③2()()a b c d ++≥（,,,0a b c d ≥，当且仅当ad bc =时，等号成立）；④二维柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤（当且仅当0β=或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立）。
2016_2017学年高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式课件
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要 排列出大小顺序,因此比较出数组中各数间的大小关系是解题的关 键.
题型一
题型二
题型三
题型四
对所证不等式中字母的大小顺序需要加以讨论 【例3】 若x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 分析:题目中只给出了x>0,但对于x≥1,x<1没有明确,因而需要进行 分类讨论. 证明:(1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn,由排序原理:顺序和≥反序和, 得1· 1+x· x+x2· x2+…+xn· xn≥1· xn+x· xn-1+…+xn-1· x+xn· 1, 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.① 因为x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,所以再次由排序原理: 乱序和≥反序和,得 1· x+x· x2+…+xn-1· xn+xn· 1 ≥1· xn+x· xn-1+…+xn-1· x+xn· 1, 得x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.② 将①和②相加,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.③
������1 a'1,a'2,a'3,则 ������' 1
【做一做1-2】 设a1,a2,a3∈(0,+∞),且a1,a2,a3的任一排列为
������2 + ������' 2 ������3 + 的最小值为( ������' 3
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
7
知识建构 专题一 专题二 专题三 专题四
综合应用
真题放送
专题三 最值问题 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定.其中含有 多变量限制条件的最值问题往往难以处理,在这类问题中,利用柯 西不等式或排序不等式求解较容易.但在求最值时,无论是应用柯 西不等式,还是排序不等式,还是平均值不等式,都应该注意等号成 立的条件.
本章整合
-1-
向量形式 柯西不等式 代数形式 三角不等式 柯西不等式与排序不等式 乱序和 排序不等式 反序和 顺序和 平均值不等式 最大值与最小值问题
2
知识建构 专题一 专题二 专题三 专题四
综合应用
真题放送
专题一 柯西不等式的应用 利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数, 并向着柯西不等式的形式进行转化. 应用若n是不小于2的正整数,试证: 4 1 1 1 1 1 2 < 1 − + − +⋯+ − < . 7 2 3 4 2������-1 2������ 2 提示:注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可 进行恒等变形予以化简.
求证: ������1 1 ·������2 2 · …· ������������������ ≥ ������11 ·������22 · …· ������������������ ≥ ������1 ������ ·������2 ������ -1· …· ������������1 .
证明:∵0<a1≤a2≤…≤an, ∴lna1≤lna2≤…≤lnan. 又∵0≤b1≤b2≤…≤bn, ∴由排序不等式可知b1lna1+b2lna2+…+bnlnan ≥c1lna1+c2lna2+…+cnlnan ≥bnlna1+bn-1lna2+…+b1lnan.
排序、均值、柯西不等式
1 / 1排序、均值、柯西不等式及其应用排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：(i)对于两个有序数组则其中与是1，2，n的任意两个排列，当且仅当或时式中等号成立.(i)设,而是的一个排列,则当且仅当或时式中等号成立.(i)设有组非负数,每组个数,它们满足:,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以为最大.(iv)设则当且仅当,且时取等号.②平均值不等式：设是n个正实数，则有当且仅当时取等号.幂平均值不等式:设，，，则当且仅当时取等号.加权幂平均值不等式设，，，，则当且仅当时取等号.2 / 2③柯西不等式：当且仅当时取等号.推论 1设，则.推论 2设，则.例 1．（第17届IMO试题）已知为任意实数,且，又是的任意一个排列，试证：.证明∵,故原不等式等价于,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排序不等式知其成立.例 2(美国第3届中学生数学竞赛题)设﹑﹑是正实数,求证:证明:不防设则据排序不等式有 :以上两式相加,再两边同加,整理得:即故例 3.,求证:。
证明左边=3 / 3.注:本题也可以由,再处理.例 4．已知为正实数，且，证明.证法 1原不等式等价于由柯西不等式，可得.证法 2.由柯西不等式，可得,,,为此只需证明.显然.证法 3令,,等价于.4 / 4例5.设, 为的三个内角,求证:.证明记,则,,同理,,三式相加得,故.而由柯西不等式得,.即.例 6．（《中等数学》2003.4）已知，求证：(1)在原作者提供的解答中，采用分类讨论的方法证明了（1）式.证明很繁.文[1]借助柯西不等式和不等式给出了一种简证.今采用柯西不等式给出一种别证.证明由柯西不等式知,,即(2)= .5 / 5题1(前苏联第22届数学竞赛试题)设都是正数,并且,求的最小值.题2（2001年第一届中国西部数学奥林匹克）设都是正数，并且,求的最小值.题3（2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题）已知均为正数.(1)求证.(2)若,求的最小值.例 7．已知，则有。
排序、均值、柯西不等式
设
且
，求
最小值.
相关题 1.(2003年西部奥林匹克题)设
且
,求证:
.
8
9 /9
.
相关题 2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第 7套模拟题)已知
且
，证明
.
为正实数，
注意到
，为此只需证明 ，令
，则问题转化为：
已知
为正实数，且
，证明
.
，令
，则
， .
9
为正实数，且
，证明
.
证法 1原不等式等价于 由柯西不等式，可得
.
证法 2 .
由பைடு நூலகம்西不等式，可得
为此只需证明 证法 3令
, ,
, 等价于
,
.显然. ,
.
3
例 5.设
,
为
证明 记 则
三式相加得
,同理 , ,
故
.
而由柯西不等式得,
4 /4
的三个内角,求证: .
,
, ,
.
即
.
例 6．（《中等数学》2003.4）已知
1 /1
排序、均值、柯西不等式及其应用
排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回
顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：
(i)对于两个有序数组
则
其中
与
是 1， 2， n的 任 意 两 个 排 列 ， 当 且 仅 当
或
.
证明 ∵
,故原不等式等价于
,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排序
不等式知其成立. 例 2(美国第 3届中学生数学竞赛题)设
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.2排序不等式讲义新人教B版选修4_5
2.2 排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序和；称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序和；称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序和．教材整理2 定理(排序原理，又称为排序不等式)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n ，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N[解析] 由排序不等式，知M ≥N . [答案] B(1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. [精彩点拨] 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． [自主解答] (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，∴1c>0，从而1bc ≥1ca.同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c，∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<a 1≤a 2≤…≤a n ，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .[证明] ∵0<a 1≤a 2≤…≤a n ， ∴a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n . 因此a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：2c ＋2a ＋2b ≤bc ＋ca ＋ab.[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．[自主解答] 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3，0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论．2．本例的条件不变，试证明：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b≥a ＋b ＋c .[证明] 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a ，则a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b(乱序和)≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c(反序和)，同理，b 2·1c ＋c 2·1a ＋a 2·1b(乱序和)≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c(反序和)．两式相加再除以2，可得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.【例3】 设a ，b ，c 为任意正数，求b ＋c ＋c ＋a ＋a ＋b的最小值． [精彩点拨] 由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，注意到bb ＋c ＋cb ＋c＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上两式相加，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即ab ＋c ＋bc ＋a＋ca ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，ab ＋c＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．[解] 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ＝x ＋y ＋z . 又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.1．排序不等式的本质含义是什么？[提示] 排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列．2．排序原理的思想是什么？[提示] 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．【例4】 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨] 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．[自主解答] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列， 由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)， 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？[解] 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．1．设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 由题意，不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，∴a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3，当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立． [答案] A2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q[解析] 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2>0. 由排序不等式得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . ∴P ≥Q . [答案] B3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定[解析] 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A ＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝a ＋b ＋c2＝P .[答案] C4．若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28. [答案] 32 285．已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.[证明] ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 5≥b 5≥c 5， 1c ≥1b ≥1a＞0，∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.。
三个重要不等式及应用
i 1
n
1 xi 1 xi
i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用
目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯 西不等式及其应用 重点：三个不等式的应用 难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式 设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明 不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序 逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证 ： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n
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第二讲 均值、柯西、排序不等式及其应用
【说明】：
1.在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；
2.交大（“华约”）试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
【知识导入】：
1.两个重要的不等式（二元均值不等式）：
①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
②
),(2
*R b a ab b
a ∈≥+，当且仅当
b a =时等号成立。
2.最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：
①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。
注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
【知识拓展】
1.均值不等式：设123,,,n a a a a 是n
个正实数，记n Q =12n n a a a A n +++= ，
n G =，12111
n n
n H a a a =
+++ ，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是
12n a a a === 。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2.柯西不等式：
柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当
bc ad =时，等号成立。
柯西不等式的一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则
222112
2
22
12
2
22
1)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当0=i b
),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。
3.柯西不等式的几个推论：
（1）当121n b b b === 时，柯西不等式即为22221212()()n n n a a a a a a ++≥++ ，若i a R +
∈（1,2,i n = ）
12n
a a a n
+++≥
，此即上面提到的平方平均≥算术平均。
（2）当1i i b a =
（1,2,i n = ）时，有2222
1222212111()()n n
a a a n a a a ++++≥ 。
（3）当,i i a
b R +∈（1,2,i n = ），则(
)2121212
n n n a a a b b b b b b ⎛⎫
+++++≥
⎪⎝⎭ 。
4.排序不等式（又称排序定理）：
给定两组实数12n a a a ，，，；12n b b b ，，，．如果12n a a a ≤≤≤ ；12n b b b ≤≤≤ ．那么 1211n n n a b a b a b -+ ++≤1212n i i n i a b a b a b + ++≤1122n n a b a b a b + ++ （反序和） （乱序和） （同序和）
其中12n i i i ，，，是12n ，
，，的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式
1
j
n
j i j a b
=∑在同序和反序时分别取得最大值和最小值．
【典例精讲】
例1.证明柯西不等式
例2.证明：对任意实数a >1,b >1， 有
81
12
2≥-+-a b b a .
例3.设0a b ＞＞，那么2
1
()
a b a b +-的最小值是_____
例4. a b 、为正的常数，10<<x ，x
b x a x f -+=1)(，求)(x f 的最小值.
例5. （2011复旦千分考）设n 是一个正整数，则函数1
n
x nx +在正实半轴上的最小值是（ ）。
（A ）1n n - （B ）21n n ++ （C ）1n n + （D ）1
n
n +
例6. （2002交大）若,a b
满足关系：1=，则2
2
a b += 。
例7. （2009南大）P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,d d d ，S 为ABC ∆的
面积。
求证：2
123()2a b c a b c d d d S
++++≥
（这里,,a b c 分别表示,,BC CA AB 的长）。
例8. （2010浙大）有小于1的正数12,,n x x x ，且1231n x x x x ++++= 。
求证：
333
1122111
4n n x x x x x x +++>--- 。
例9. 设ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，其周长为1. 求证：≥++C B A 111)(3C
c B b A a ++.
【真题训练】
1.（2009复旦）设,,0x y z >满足12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
2.（2009复旦）设实数,,0a b c ≠，,,bc ca ab
a b c
成等差数列，则下列一定成立的是（ ） （A ）||||b ac ≤ （B ）2
||b ac ≥ （C ）222a b c ≤≤ （D ）||||||2
a c
b +≤
3.（2007复旦）当a 和b 取遍所有实数时，函数22(,)(53|cos |)(2|sin |)f a b a b a b =+-+-所能取到的最小值为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4.（2007复旦）给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式2211n a a a ++≤的所有等差数列123,,,a a a 和
式
21
1
n i
i n a
+=+∑的最大值为（ ）。
（A
1)n + （B
n （C
1)n + （D
n 5.（2005交大）方程2
2
1
02x px p
--=的两根12,x x
满足44122x x +≤，则p = （p R ∈）
6.（2003交大）已知,x y R +
∈，21x y +=，则22
x y
+的最小值是 。
7.（2002交大）若,,0x y z >且222
1x y z ++=，则222111x y z
++的最小值为 。
8.（2001交大）x R +
∈，求6
6
63
3311()2
()11x x x x f x x x x x ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭的最小值。
9.（2009清华）已知,,0x y z >，,,a b c 是,,x y z 的一个排列。
求证3a b c
x y z
++≥。
10.（2004复旦）比较24log 25与25log 26的大小。