不等式与排序不等式PPT课件
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一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时, 等号成立.
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )
25 1 2 1 2 2 5.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ a b
值是 ______ 11
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 y1 y2 yn
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
补充例题:
2
y)
2
a x
2
b y
2
( x y )min ( a
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
2
2
2
2
定 理3 (二 维 形 式 的三 角 不 等 ) 式 设x1 , y1 , x2 , y 2 R,
2 2 那 么 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 2 2 2 证明 : ( x1 y1 x2 y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 y1 x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 x2 y1 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2( x1 x2 y1 y2 ) x2 y2 2 2 2 x1 2 x1 x2 x2 y1 2 y1 y2 y 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a b c d ac bd ( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设 , 是两个向量, 则 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
( x1 y1 ) 2 ( x 2 y2 ) 2 ( x n yn ) 2
a b 例1 已知x, y, a, b R , 且 1, 求x y的最小值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
x y ( x) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( a 当且仅当 x b )2 b y y b )2 a x ,即 x y a 时取等号. b
例1 已知a, b为实数 , 证明 (a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a 3 b3 )2
1 1 例2 设a , b R , a b 1, 求证 4 a b
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
复习:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时, 等号成立.
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )
25 1 2 1 2 2 5.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ a b
值是 ______ 11
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 y1 y2 yn
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
补充例题:
2
y)
2
a x
2
b y
2
( x y )min ( a
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
2
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定 理3 (二 维 形 式 的三 角 不 等 ) 式 设x1 , y1 , x2 , y 2 R,
2 2 那 么 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 2 2 2 证明 : ( x1 y1 x2 y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 y1 x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 x2 y1 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2( x1 x2 y1 y2 ) x2 y2 2 2 2 x1 2 x1 x2 x2 y1 2 y1 y2 y 2 2
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二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a b c d ac bd ( 2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
2 2 2 2
定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设 , 是两个向量, 则 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
( x1 y1 ) 2 ( x 2 y2 ) 2 ( x n yn ) 2
a b 例1 已知x, y, a, b R , 且 1, 求x y的最小值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
x y ( x) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ( a 当且仅当 x b )2 b y y b )2 a x ,即 x y a 时取等号. b
例1 已知a, b为实数 , 证明 (a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a 3 b3 )2
1 1 例2 设a , b R , a b 1, 求证 4 a b
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
复习:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.