2018年高中数学课下能力提升三排列与排列数公式苏教版选修2_3

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苏教版高中数学选修2-3排列2

排列教学目标1.进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题．教学重点，难点排列数公式的应用．教学过程一．问题情境1．复习回顾：（1）排列的定义；（2）排列数m n A 的意义；（3）阶乘的概念．2．练习：有四个互不相等且不等于1的正数,,,a b c d ，从中取出两个数，（1）求和；（2）求差；（3）求积；（4）求商；（5）分别作为对数的底数和真数，各有多少种不同的取法？在上述问题中，属于排列问题的是哪些？并写出所有符合条件的排列．二．学生活动思考：（1）用阶乘表示：11n n A ++；（2）11n n A ++与n n A 的关系．（11n n n n n n A A nA ++-=）三．数学运用1．例题：例1．求证：!()!m n n A n m =-．证明：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()321!()(1)321()!n n n n m n m n n m n m n m ---+-⋅⋅==---⋅⋅-．说明：（1）排列数公式还可以写成!()!m n n A n m =-；（2）为了使这个公式在m n =时能成立，我们规定0!1=．例2．求证：（1）11m m n n A nA --=(2)n m ≥≥；（2）11m m m n n n A mA A -++=．（1）证法1：11!(1)!(1)!()!()![(1)(1)]!m m n n n n n A n n nA n m n m n m ----==⋅=⋅=-----．证法2：11(1)!![(1)(1)]!()!m m n n n n nA n A n m n m ---=⋅==----．（2）证明：1!!()!(1)!m m n n n n A mA m n m n m -+=+--+ 1!(1)!(1)!(1)!(1)!m n n n m m n n A n m n m +-++⋅+===-+-+．例3．化简：12312!3!4!!n n -++++．解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!n n =-+-+-++-=-11!n -．说明：111!(1)!!n n n n -=--．例4．解方程：3221326xx x A A A +=+．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=，解得：5x =或23x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =．例5．解不等式：2996x x A A ->．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!x x >⋅--，也就是16(9)!(11)(10)(9)!x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>，解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈，所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式m n A =!()!n n m -，常用来证明或化简．四．回顾小结：排列数公式的两种形式及其应用．五．课外作业：。

苏教版高中数学选修(2-3)课件排列与排列数(1)

数学运用
练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各
一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．
AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC
练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所
有排列．解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个．
建构数学
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．注意： 1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．
2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志．
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n 步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N =
种m不1×同m的2×方…法×.mn
知识回顾
总结出两个原理的联系、区别：
(1)都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题;
(2)分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独
= Anm
重要结论：Anm
=
n! (n-m)!
,并规定:
0！＝ 1
常用阶乘变形:
(1)2 1!=2!,3 2!=3!
(n+1) n!=(n+1)!
(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2!=3! n!+n n!=(n+1)!
(3) 2 ! =1!,3! =2!
2
3
(4)2!-1!=1!,3!-2!=2 2!

苏教版高中数学选修(2-3)课件排列(三)

4 4

A /2
（12）全部排成一排，其中甲、乙、丙自 7 左向右顺序不变。
7 7
A7 / 6
注（1）利用正向思考法解带有限制的排列题目，既可以从元素出发分析，也可以从位置出发分析。（2）对于相邻、不相邻问题，相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用 “插空法”。
排列
第二课时
排列：一般地说，从 n 个不同元
素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 m 的排列数，用符号表示。 n
A
其中以0为排头的排列数为
.
A
2
9
∴ 所求的三位数的个数是
A A
3 10
10 9 8 9 8 648 . 9
2
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：
（l）直接计算法
排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”
信的次数是多少？ (2) 20位同学互通电话一次，那么通话的次数是多少？
(1) A 380
2 20
1 2 (2) A20 190 2
例3 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
从位置出发
解法一：对排列方法分步思考。

2018年高中数学课下能力提升(五)组合与组合数公式苏教版选修2-3

课下能力提升(五) 组合与组合数公式一、填空题1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．(1)从1，2，3，4中选出2个构成的集合；(2)由1，2，3组成两位数的不同方法；(3)由1，2，3组成无重复数字的两位数．2．已知C 2n ＝10，则n ＝________．3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．4．若C x 28＝C 3x －828，则x ＝________．5．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________．二、解答题6．列出从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合．7．计算：A 23＋A 24＋A 25＋…＋A 2100.8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？答案1．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．答案：(1)2．解析：C 2n ＝n （n －1）2×1＝10，解之得n ＝5.答案：52 3．解析：设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．答案：2或34．解析：∵C x 28＝C 3x －828，∴x ＝3x －8或x ＋(3x －8)＝28，即x ＝4或x ＝9.答案：4或95．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．解：从5个元素A ，B ，C ，D ，E 中取出2个元素的所有组合有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10个．7．解：原式＝C 23A 22＋C 24A 22＋C 25·A 22＋…＋C 2100·A 22＝(C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100)·A 22＝(C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22＝(C 35＋C 25＋…＋C 2100－C 33)·A 22…＝(C 3101－C 33)·A 22＝2C 3101－2＝333 298.8．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种选法． (2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有C 26种方法；第二类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同的选法．(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C 26种选法；再从4名女教师中任选2名，有C 24种选法；根据分步计数原理，所以共有C 26·C 24＝90种不同的选法．。

苏教版高中数学选修2-3§1.2 排列.docx

§1.2 排列课时目标1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数.4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．1．排列(1)定义：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)相同排列：若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，且元素的____________也相同．2．排列数(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．(2)排列数公式：A m n＝________________＝n！(n－m)！；特别地，A n n＝n·(n－1)·…·3·2·1＝n！(m，n ∈N*，且m≤n)，0！＝1.一、填空题1．下列问题属于排列问题的是________．(填序号)①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人参加某一项活动；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有______种．3．A、B、C三地之间有直达的火车，则需要准备的车票种数是________．4．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是________．5．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是________．6．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有__________种．7．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．二、解答题9．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．能力提升11．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________．12．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的方程又有多少个？1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．2．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．1．2 排列答案知识梳理1．(1)一定的顺序(2)元素排列顺序2．(1)所有排列的个数A m n(2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)作业设计1．①④2．360解析选派方案种数为6选4的排列数，即A 46＝360.3．64．1205．12解析分两步排课：体育有两种排法；其他科目有A 33种排法，∴共有2×A 33＝12(种)排课方案．6．72解析先排另外3人，有A 33种排法，甲、乙插空，有A 24种排法．∴不同的排法共有A 33·A 24＝6×12＝72(种)．7．1 800解析先排个位、百位、万位数字有A 35种，另两位有A 26种排法，∴共有A 35·A 26＝1 800(个)．8．960解析排5名志愿者有A 55种不同排法，由于2位老人相邻但不排在两端，所以在这5名志愿者的4个空档中插入2位老人(捆绑为1个元素)有A 14·A 22种排法．所以共有A 55·A 14·A 22＝960(种)不同的排法．9．解 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)方法一先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A 14种填法，其余四个位置四个数字共有A 44种，故共有A 14·A 44＝96(个)．方法二先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A 14种方法，其余四个数字全排有A 44种方法，故共有A 14·A 44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A 12种方法，其余全排有A 22种方法，故有2A 12·A 22＝8(种)方法．②不取0，则只能取3，从1或4中任取一个，再取2，然后进行全排列为2A 33＝12(种)方法，所以共有8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A 12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A 13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A 33，故共有A 12·A 13·A 33＝36(个)．10．解 (1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一个元素与其余5人全排列，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法，所以共有不同站法A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝960＋1 152＝2 112(种)．11．36解析如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A 23A 22＝24(种)；如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，排法有3×A 22A 22＝12(种)，故可组成符合要求的五位数的个数为24＋12＝36.12．解要确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，分2步完成：第1步：确定a ，只能从1,3,5,7中取一个，有A 14种取法；第2步：确定b ，c ，可从剩下的4个数字中任取2个，有A 24种取法．由分步计数原理，知可组成A 14·A 24＝48(个)不同的一元二次方程．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)要有实数根必须满足b 2－4ac ≥0，分2类：第1类：当c＝0时，a，b可以从1,3,5,7中任取2个数字，有A24种取法；第2类：当c≠0时，由b2－4ac≥0知，b只能取5或7，当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A22种取法；当b取7时，a，c可取1,3这两个数或1,5这两个数，有2A22种取法．因此c≠0时，有A22＋2A22(种)取法．由分类计数原理，有实数根的一元二次方程有A24＋A22＋2A22＝18(个)．。

苏教版高中数学选修2-3排列3课件

2.排列数与排列数公式: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的排列数，用符号 An 表示.
1)选排列数：
A
m n
n! n(n 1)(n 2)...(n m 1) (n m)!
2)全排列数:
A
n n
n(n 1)(n 2) 3 2 1 n !
乙
例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，
三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念.
9)甲在乙的右边(不一定相邻)，有多少种不同的排法？
对称分析法：解决等可能性排列问题.
10)甲、乙、丙三人顺序固定，有多少种不同的排法？
11)甲、乙中间恰有两人，有多少种不同的排法？
练习：
1.7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有 A.720种 B.360种 C.1440种 D.120种 2.某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中恰有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，不同的结果有 A.720种 B.480种 C.24种 D.20种 3.由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是 5的倍数的共有 A.9个 B.21个 C.24个 D.42个 4.一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有种. 5.9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有种.
6.由数字0，1，2，3，4组成数字. （1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数? （2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？ 7.某产品的加工需要经过5道工序. （1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ 8.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中（1）三个偶数字连在一起的四位数有多少个？（2）十位数字比个位数字大的有多少个？（3）含有2和3并且2和3不相邻的四位数有多少个？

高中数学排列教案3 苏教版选修2-3

648 1.由数字1、、 2 3、、组成没有重复数字的五位数， 45
巩固练习：其中小于50000的偶数共有多少个？ 2. 书本第 17 页１，２，３课外作业：第 18 页习题 1.2 8 , 9 教学反思：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑” ，一个是“反过来剔” ．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
n n
n
！
例一：某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次,共进行多少场比赛?
例二 :①有 5 本不同的书,从中选出 3 本给 3 名同学,每人一本,共有多少种不同的选法? ②有 5 种不同的书,要买 3 本给 3 名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?
教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。
教学过程：学生探究过程：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。排列数从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m m 个元素的排列数，用符号表示。 n
例三某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面, 三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?

高二数学选修2-3排列知识点

高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念，在高二数学选修2-3中，我们将深入学习排列的相关概念和应用。

本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。

一、基本概念1. 排列的定义：排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。

2. 全排列：全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。

3. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列方式，即在排列的过程中，首尾相连形成一个环。

二、排列的计算方法1. 排列的计算公式：在计算排列的数量时，我们可以使用排列的计算公式，即n个不同元素的全排列数量为n!。

2. 有重复元素的排列：当排列中存在重复的元素时，计算排列的数量需要考虑重复元素的情况，我们可以使用排列计算公式的变形公式，即在n个元素中，有n1个元素相同，n2个元素相同，...，nk个元素相同，则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。

三、排列的应用1. 字母组合：排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。

例如，计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。

2. 座位安排：排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。

例如，如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。

3. 时间安排：排列还可以应用于时间安排问题。

例如，在参加一场比赛的选手中，如何安排他们的比赛顺序，使得每个选手都能与其他选手进行比赛。

4. 数字密码：排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。

例如，当设置数字密码时，我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。

综上所述，排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点，具有一定的理论基础和应用价值。

通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧，进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。

高中数学(排列)教案1 苏教版选修2-3 教案

丙
副班长乙丙甲丙甲乙
即共有6种不同的结果：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
事实上，这6种选法分别是从甲、乙、丙三个学生中选出两个学生，并按一定的顺序排成一列（班长排在第1位，副班长排在第2位）而得到的。
数学建模
一般地，从n个不同的元素中取出m（m﹤n）个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
下列问题是排列问题吗？
（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？
（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
教学难点
理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列.
掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列。
教学过程：
学生探究过程：
（1）高二（1）班准备从甲，乙，丙三名学生中选出两人分别担任班长和副班长，有多少种不同的结果？
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？
排列的定义中包含两个基本内容：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同.
例题讲解
例1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列。
课题
1.2排列

高中数学课下能力提升三排列与排列数公式苏教版选修2_3

课下能力提升(三) 排列与排列数公式一、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．3．已知A 2n ＝132，则n ＝________．4．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．5．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________．二、解答题6．计算：(1)2A 47－4A 56；(2)A 316－A 56A 35.7．解方程A 42x ＋1＝140A 3x .8．用1，2，3，4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．答案1．解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题．答案：①③2．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．答案：③3．解析：A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0，又因为n ∈N *，所以n ＝12.答案：124．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A 35＝5×4×3＝60种不同的排法．答案：605．解析：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5!开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3.答案：36．解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200.(2)原式＝16×15×14－6×5×4×3×25×4×3＝4×14－12＝44. 7．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，∴x ≥3. 根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0.解得x ＝3或x ＝534(因为x 为整数，故应舍去)．所以x ＝3.8．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．。

1.2 排列(第1课时)排列与排列数公式学案(苏教版高中数学选修2-3)

1.2 排列（第1课时）排列与排列数公式学案（苏教版高中数学选修2-3）1.2排排列列第第1课时课时排列与排列数公式排列与排列数公式学习目标1.了解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式及推导过程.3.能应用排列知识解决简单的实际问题.知识点一排列的概念从甲.乙.丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.思考1让你安排这项活动需要分几步答案分两步.第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学.思考2甲丙和丙甲是相同的排法吗答案不是.梳理一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点二排列数思考1从1,2,3,4这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数答案4312个.思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数答案43224个.思考3从n个不同的元素中取出m个mn元素排成一列，共有多少种不同排法答案nn1n2nm1种.梳理排列数及排列数公式排列数全排列定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列表示法AmnAnn公式乘积形式Amnnn1n2nm1Annnn1n2321阶乘形式AmnnnmAnnn性质A0n1；011.a，b，c与b，a，c是同一个排列.2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.类型一排列的概念例1判断下列问题是否为排列问题1北京.上海.天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格假设来回的票价相同；2选2个小组分别去植树和种菜；3选2个小组去种菜；4选10人组成一个学习小组；5选3个人分别担任班长.学习委员.生活委员；6某班40名学生在假期相互通信.考点排列的概念题点排列的判断解1中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.2植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.34不存在顺序问题，不属于排列问题.5中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.6A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中256是排列问题，134不是排列问题.反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题.1会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法若选出3个座位安排3位客人，又有多少种方法2从集合M1,2，，9中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2y2b21可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2y2b213平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线可确定多少条射线考点排列的概念题点排列的判断解1第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人是排列问题.2第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程x2a2y2b21表示焦点在x轴上的椭圆，则必有ab，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2y2b21中，不管ab还是ab，方程x2a2y2b21均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.3确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.类型二“树形图”解决排列问题例21从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个2写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.考点排列的概念题点列举所有排列解1由题意作“树形图”，如下.故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.2由题意作“树形图”，如下.故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.反思与感悟利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1适用范围“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.2策略在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.跟踪训练2写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.考点排列的概念题点列举所有排列解由题意作“树形图”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.类型三排列数公式及应用例31用排列数表示55n56n69nnN*且n55；2计算2A587A48A88A59；3求证Amn1AmnmAm1n.考点排列数公式题点利用排列数公式计算1解因为55n,56n，，69n中的最大数为69n，且共有69n55n115个元素，所以55n56n69nA1569n.2解2A587A48A88A5928765478765876543219876587658787652491.3证明方法一因为Amn1Amnn1n1mnnmnnmn1n1m1nnmmn1mmnn1mmAm1n，所以Amn1AmnmAm1n.方法二Amn1表示从n1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Amn个.含有a1的可这样进行排列先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m1个元素排在剩下的m1个位置上，有Am1n种排法.故Amn1mAm1nAmn，所以mAm1nAmn1Amn.反思与感悟排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.跟踪训练3已知3An184An29，则n________.考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案7解析由已知389n4911n，即4311n10n1，因为n9，解得n7.1.下列问题中属于排列问题的为________.填序号从10个人中选2人分别去种树和扫地；从10个人中选2人去扫地；从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.考点排列的概念题点排列的判断答案解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.2.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有________个.考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案12解析符合题意的结果有A244312个.3.已知A2x30，则x________.考点排列数公式题点解含排列数的方程或不等式答案6解析A2xxx130，解得x6或5舍去，x6.4.5A354A24________.考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案348解析原式5543443348.5.写出下列问题的所有排列1从编号_________为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正.副班长；2A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四.考点排列的概念题点列举所有排列解1从五名同学中选出两名同学任正.副班长，共有A2520种选法，形成的排列是12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.2因为A不排第一，排第一位的情况有3类可从B，C，D 中任选一人排，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.1.判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.2.关于排列数的两个公式1排列数的第一个公式Amnnn1n2nm1适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.2排列数的第二个公式Amnnnm用于与排列数有关的证明.解方程.解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，mN*，mn”的运用.。

1.2.1《排列与排列数公式》课件(苏教版选修2-3)

叫做从n个不同元素中取不同元素的一个全
出m个元素的排列数.
排列．
问题探究
1．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素． 2．对甲乙两人来说，他们的排列与排列数有什么区别？提示：他们的排列是指排列的具体形式，甲乙、乙甲，共有2种形式，即排列数为2(排列的个数)．
例3 (本题满分 14 分)(1)计算2AA5888＋－7AA59 48； (2)解方程 3A3x＝2A2x＋1＋6A2x.
【思路点拨】 (1)用连乘积的形式计算，化简；(2)对式子变形，解方程计算．
【规范解答】 (1)2AA8858－＋A7A59 48 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××284＋－79＝1.6 分
1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素， __按__照__一__定__的__顺__序_____排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数与排列数公式
排列数
全排列
从n个不同元素中取出
n个不同
m(m≤n)个元素的 __元__素__全__部__取__出__的___ 定 ___所__有__排__列__的__个__数_____ 一个排列，叫做n个义
例2 将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．【思路点拨】先画出树形图，再结合图形写出所有的分法．【解】按分步乘法计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．

选修2-3第一章1-2-1排列第1课时排列与排列数公式

想一想：同一个排列中，由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同
一个元素．
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
2．排列数的定义所有不同排列从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________ 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， _______ 用符号 Am n 表示．
如2÷5≠5÷2，
∴(2)是排列问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二
列举法解决排列问题
【例2】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． [思路探索] 可画出符合条件的树形图，然后写出所有的排列．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】判断下列问题是否是排列问题： (1)从2，3，5，7中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从2，3，5，7中任取两数相除可得多少个不同的商？
解
关，
(1)由于两数相乘而得到的积与两数相乘时的顺序无
∴不是排列问题． (2)由于两数相除而得到的商与取出的两数中哪一数是除数，哪一数是被除数的顺序有关．
解
由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一
个，据此可分为三类．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，
CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定

苏教版高中数学选修2-3《排列(第1课时)》参考课件

本
课常用于求解．
时栏目开关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
跟踪训练 3 (1)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 10 个队参
加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少
场比赛？
(2)解不等式：Ax9>6Ax9－2.
本解 (1)任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于
课时
排第一，B 不排第四，共有多少种不同的排列方法？
栏目
解
(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示，共有 12 种
开机票．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1.2（一）
故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州
北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，
1．排列：一般地，从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素，按
本
照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
课时栏
元素的一个排列(arrangement)．
2．排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列
目开
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，
天津南京，共 12 种．
本课
(2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B、C、D 中
时栏
任选一人排)，而此时兼顾分析 B 的排法，列树图如图．
目
开
关
所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD， CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种．

苏教版高中数学选修(2-3)课件排列(一)

89，求n。
(4) 2 A75 A66 ? 6!5!
(5)3 Ax3

2
A2 x1

6 Ax2，求x。
例5 求证下列各式：
(1) Anm

n
Am1 n1
(2) Anm

Ank (n 1)! n! (n k 1) n!
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
排列数公式
从 n 个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
A 元素的排列数，用符号 m表示。 n
第1位第2位
n
n-1
根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同。
例写出从 a , b , c , d四个元素中任取三个元素的所有排列。
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd a cd a b d a b c
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
排列与
排列数公式
10.2 排列
问题1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
起点站北京上海广州
终点站上海广州北京广州北京上海
飞机票北京上海
北京上海
广州北京
上海广州
广州北京
广州上海
我们把上面问题中被取的对象叫做元素。于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取 2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。

选修2-3公式

选修2－3公式定理总结1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m 种不同的方法，在第二类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m+n 种不同的方法。

简记：不重不漏，分类则加；推广：N ＝m 1+m 2+···+m n 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m ·n 种不同的方法。

简记：步骤完整，分步则乘；推广：N ＝m 1·m 2·····m n 3、子集个数：2n ;真子集个数：2 n －1；非空子集个数：2 n －1；非空真子集个数：2 n －2. 4、排列：从 n 个不同元素中取m （m ≤n ）不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列数计算公式：)1)...(2)(1(+---=m n n n n A m n ； )!(!m n n A m n -=；特别地：!n A mn = ＝n(n-1) ···3·2·15、组合：从 n 个不同元素中取m （m ≤n ）不同元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

组合数计算公式：!)1)...(2)(1(m m n n n n A A C m mmn mn+---==;)!(!!m n m n C m n -=;特别地：1;10==nn n C C .6、组合数的两个性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11-=+=m n m n m n C C C 。

7、排列组合知识解题方法：优先法：特殊元素优先法、特殊位置优先法；间接法：（排除法）；捆绑法：（相邻问题）；插空法：（不相邻问题）十六字方针：分类相加，分步相乘。

苏教版高中数学选修2-3排列、组合、二项式定理

排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

2017-2018学年高二数学苏教版选修2-3教学案：1.2 第一课时排列与排列数公式

_1.2排__列第一课时　排列与排列数公式排列的定义1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动．问题1：甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2：有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午；甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动，需要几步？提示：分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗？提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种．问题8：试写出它们的排列．提示：ab，ac，ba，bc，ca，cb.排列的定义一般地，从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.排列数与排列数公式已知数字1,2,3,4,5,6.问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个没有重复数字的两位数？提示：有6×5＝30(个)．问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素排成一列，有多少种不同的排法？提示：有n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(个)．排列数全排列定义从n 不同元素中取出m 个(m ≤n )元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列表示法A mn A n乘积形式A ＝n (n －1)·(n －2)…(n mn －m ＋1)A ＝n (n －1)(n －2)·…·3·2·1n 公式阶乘形式A ＝mn n ！(n －m )！A ＝n ！n 性质A ＝1；0！＝10n 备注n ，m ∈N *，且m ≤n1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n 个元素中取出m 个元素后，在安排m 个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．[对应学生用书P8]排列的概念[例1]　下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中抽2名学生开会；(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(3)以圆上的10个点为端点作弦；(4)10个车站，站与站间的车票．[思路点拨]　利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与“顺序”有关．[精解详析]　(1)2名学生开会没有顺序，不是排列问题．(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通]　判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；(2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；(4)10个车站间站与站的票价．解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题．(4)两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题.用列举法解排列问题[例2]　A，B，C，D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能站法．[思路点拨]　解决本题可通过树形图法，画出依题意的形状，便可写出不同的站法．[精解详析]　如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC ，DCAB，共12种．[一点通]　“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．3．A，B，C三个同学站成一排照相留念，写出所有排列．解：由题意作树形图如图所示：故所有的排列为：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.4．A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如图：位置编号换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA.有关排列数的计算[例3]　计算：(1)；(2).2A58＋7A48A88－A59A m －1n －1·An －m A n －1[思路点拨]　利用公式A ＝化简变形．mn n ！(n －m )！[精解详析]　(1)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝＝1.8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)(2)原式＝·(n －m )！·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！1(n －1)！＝·(n －m )！·＝1.(n －1)！(n －m )！1(n －1)！[一点通]　应用排列数公式应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性，如：n ！＝n (n －1)！；n ·n ！＝(n ＋1)！－n ！；＝n －1n ！－等．1(n －1)！1n ！5．如果A ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________.mn 解析：∵15×14×13×12×11×10＝A ，615∴n ＝15，m ＝6.答案：15　66.＝________.A 812A 811解析：原式＝＝＝3.12×11×10×……×6×511×10×…×5×4124答案：37．解下列方程：(1)3A ＝2A ＋6A ；3x 2x ＋12x (2)5A ＝6A .x 4x －15解：(1)由3A ＝2A ＋6A ，3x 2x ＋12x 得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝(舍去)，∴x ＝5.23(2)由5A ＝6A ，得＝x 4x －155×4！(4－x )！6×5！(6－x )！化简得x 2－11x ＋24＝0，解得x 1＝3，x 2＝8，∵x ≤4，且x －1≤5，∴原方程式的解为x ＝3.1．排列数公式的特点(1)第一个因数是n ；(2)每个因数都比它前面的因数少1；(3)最后一个因数是n －m ＋1；(4)一共有m 个连续的自然数相乘．2．应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式A ＝n (n －1)…(n －m ＋1)适用于具体计算以及解当m 较小时mn的含有排列数的方程和不等式．(2)排列数的第二个公式A ＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等mn n ！(n －m )！式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m ≤n 且n ∈N *，m ∈N *”的运用．[对应课时跟踪训练(三)]　一、填空题1．下列问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次电话；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题．答案：①③2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．答案：③3．已知A ＝132，则n ＝________.2n 解析：A ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0，2n 又因为n ∈N *，所以n ＝12.答案：124．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A ＝5×4×3＝60种不同的排法．35答案：605．记S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字是________．解析：1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5！开始到99！，个位数字均为0，所以S 的个位数字为3.答案：3二、解答题6．计算：(1)2A －4A ；4756(2).A 316－A56A35解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200.(2)原式＝＝4×14－12＝44.16×15×14－6×5×4×3×25×4×37．解方程A ＝140A .42x ＋13x 解：由题意得Error!∴x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0.解得x ＝3或x ＝5(因为x 为整数，故应舍去)．34所以x ＝3.8．用1,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{a n }．(1)写出这个数列的前11项；(2)求这个数列共有多少项．解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．。