高等数学A习题课(4)

由罗尔定理知 (a, b)，使 F ( ) 0 ，即 或
b 1 ln f ( ) [ f (b) f (a)] 0 a b ln f ( ) f (b) f (a). a
即 为原方程的一个实根.
又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.
b 1 且 F ( x) ln f ( x) [ f (b) f (a)] a x
证明 令
F ( x) ln
b f ( x) [ f (b) f (a)] ln x a
则F(x)也在[a, b]上连续、在(a, b)内可导，且
F (a) F (b) ln bf (a) ln af (b)
{(b x)[ ( x) (a)] (b x)[ ( x) (a)]}|x 0
或 {(b x)[ ( x) (a)]} |x 0, 可取 F(x) = (b-x)[(x) -(a)]，利用罗尔定理证明.
证明 令 F(x) = (b-x)[(x) -(a)]，则有F(x)在 [a, b]上连
b f (b) f (a ) x ln f ( x) 在(a, b)内至少有一个实根. a
4.求下列极限：
e x e x (1) lim x x x e e
(2) lim n(a 1), a 0
n
1 n
5.求下列极限：
sin 2 x x 2 cos2 x (1) lim x 0 x 2 sin 2 x
小值，且 fmin= f(1)=1+k
又 lim f ( x) lim ( x ln x k )
x 0 x 0 x
lim f ( x) lim ( x ln x k )
x
于是 (1)当1+k<0, 即k<-1时, 原方程有两个相异实根； (2)当1+k=0, 即k=-1时,原方程有唯一的实根； (3)当1+k>0, 即k>-1时,原方程无实根.
1 1 6 求其极值： 法线在y 轴上的截距为 b 4 x , 2x 3 令 b 0, 解得 x1=1, x2= -1(舍去), 10 b(1) 6 10 x 4 | x 1 20 0, 故b(1)极小值，亦即最小值， x 从而在点(1, 1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.
sin 2 x x 2 cos2 x e x sin x x(1 x) (1) lim (2) lim 2 2 x 0 x 0 x sin x x3 解 sin 2 x x 2 cos2 x (sin x x cos x)(sin x x cos x) (1) lim lim 2 2 x 0 x 0 x sin x x4 sin x sin x x cos x lim sin x cos x 2 lim cos x 3 x 0 x 0 x x x
当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？ 例9
b 6ax 2b 6a ( x ) y 解 3a b 令 y 0 得 x0 3a b b y 当 x 时， 0 ， 曲线在 ( , ] 上严格上凸； 3a 3a b b 0 ， y 当 x 时， 曲线在 [ , )上严格下凸； 3a 3a b 3 b 2 2b3 b y 当 x0 时， 0 a( ) b( ) 3a 3a 27a 2 3a b 2b3 ) 为曲线唯一的拐点. 于是点( , 2 3a 27a 3 9 2b3 b 3,即 a , b . 而要使(1,3)为拐点, 须 1, 2 2 2 27a 3a
例6
当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+) 上
(1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?
(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+)内的最
1令 解 记 f ( x) x ln x k , 有 f ( x) 1 0 x 1 x 1 f (1) 2 | x 1 0 ，故 x=1为极小值点，又 f(x) 在 x
续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知 (a, b)，使 F ( ) 0 ，即 ( ) ( ) (a) . b
例2
设 f (x) 在[a, b]上连续、在(a, b)内可导(a >0, b>0), 求证方程 f (b) f (a ) x ln b f ( x) a 在(a, b)内至少有一个实根.
下面的证法为什么错了？f (x)在[a, b]上满足拉格
朗日中值定理条件，故有
f (b) f (a) f ( ) (a b) ba
又令F(x)=lnx ，它在[a, b]上也满足拉格朗日中值定 理条件，故有 ln b ln a 1 F ( ) (a b) ba
1 ln[ x x0 lim
1 (1 x ) x
e
]
故 lim f ( x) e ,
x 0


1 2
又 lim f ( x) lim e
x 0


1 2
x 0

e ,

1 2
而 f (0) e ,

1 2
故 f (x) 在 x=0点连续.
求下列极限： 1 x x 例4 e e (1) lim x x (2) lim n(a n 1), a 0 n x e e e x e x 1 e 2 x 解 (1) lim x x lim 1 2 x x e e x 1 e 故该极限不存在. x x 2x e e e 1 lim x x lim 2 x 1 x e e x e 1 注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则. 1 1 1 x a ln a( 2 ) 1 a x 1 x ln a (2) 由 lim x(a x 1) lim lim x x x 1 1 2 1 x x 得lim n( a n 1) ln a
n
求下列极限：
例5
sin x x cos x cos x cos x x sin x sin x 1 而 lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 3 x x 3x 3 2 原极限 3 x2 x3 (1 x o( x 2 ))(x o( x3 )) x x 2 2 3! (2)原 限 lim 极 x 0 x3 x3 x3 x3 x x 2 o( x3 ) x x 2 o( x3 ) 1 3! 2 lim lim 3 3 3 x 0 x 0 3 x x
一、 二、 三、
内容总结 作业讲析 典型例题讲析
四、
练习题
内容总结
1、微分中值定理，L’Hospital法则
⊙理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式 ⊙了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算 ⊙熟练掌握L’Hospital法则
1 6 曲线 y x ( x 0) 上那一点处的法线在y轴上的 3
截距最小？ 解
1 6 设 y x 在(x, y)处的法线为 Y y k ( X x) 3 1 5 因 y 2 x , 故k 5 , 法线方程为 Y y 1 ( X x) 2x 2 x5 整理后为 Y y X 1 X 1 1 x 6 2 x5 2 x 4 2 x5 2 x 4 3
作业中问题的讲析
1.设函数(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明在(a, b)内至少存 在一点，使 ( ) (a)
( )
b
.
2.设 f (x) 在[a, b]上连续、在(a, b)内可导(a >0, b>0),求证方程
1 1 (1 x) x x [ ] , x 0 在x=0点的连续性. 3.讨论函数 f ( x) e 1 e 2, x0
例7
证明当 0 x

2
时，sinx + tanx > 2x

解
取 f ( x) sin x tan x 2 x, 0 x ,
2
f ( x) cos x sec2 x 2
f ( x) sin x 2 sec2 x tan x sin x(2 sec3 x 1) 0 0 x
分析 不可用介值定理证明 ( f (x)不一定连续) ；
考虑中值定理，为此方程变形为 b 1 ln f ( x) [ f (b) f (a)] 0 a x 则若取 b F ( x) ln f ( x) [ f (b) f (a)] ln x a 有 F (a) F (b) ln bf (a) ln af (b)

2
因此 f (x)在[0, ] 上严格单调增，故 f ( x) f (0) 0 从而 f (x) 在 [0, ] 上严格单调增，即 f ( x) f (0) 0 2

2

亦即 sinx + tanx -2x > 0 0 x
或 sinx + tanx > 2x

2
例8
9.当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？
典型例题讲析
设函数(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，证明 例1 在(a, b)内至少存在一点，使 ( ) ( ) (a) . b