第一章 集合 习题课

第一章集合
习题课
课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()
A．{x|x>－1} B．{x|x<3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|1<x<3}
2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}
C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}
3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()
A．a A B．a∉A
C．{a}∉A D．{a}A
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)是()
A．∅B．{d}
C．{b，e} D．{a，c}
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B ∪C))．
一、选择题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()
A．2 B．3
C．4 D．5
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M P
C．P M D．M与P没有公共元素
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()
A．{a|3<a≤4} B．{a|3≤a≤4}
C．{a|3<a<4}
二、填空题
6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________. 9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13
≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，求集合M ∩N 的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符
号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于Venn 图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．
习题课
双基演练
1．C [∵A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <3}，
∴A ∩B ＝{x |－1<x <3}．]
2．A [画出数轴，将不等式－3<x ≤5，x <－5，x >5在数轴上表示出来，不难看出M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}．]
3．D
4．A [∵∁I M ＝{d ，e }，∁I N ＝{a ，c }，
∴(∁I M )∩(∁I N )＝{d ，e }∩{a ，c }＝∅.]
5．A ＝B
解析 4k －3＝4(k －1)＋1，k ∈Z ，可见A ＝B .
6．解 ∵A ＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B ∩C ＝{3}，
∴A ∪(B ∩C )＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B ∪C ＝{1,2,3,4,5,6}，
∴∁A (B ∪C )＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A ∩(∁A (B ∪C ))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．B [Q ＝{x |－2<x <2}，可知B 正确．]
2．B [集合P 内除了含有元素a 外，还必须含b ，c 中至少一个，
故P ＝{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }共3个．]
3．B [∵a ∈N *，∴x ＝a 2＋1＝2,5,10，….
∵b ∈N *，∴y ＝b 2－4b ＋5＝(b －2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴M P .]
4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]
5．B [根据题意可画出下图．
∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.
有⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.] 6．a ≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使A ∪B ＝R ，a ≤2.
7．1
解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；
当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；
当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；
当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；
综上可知，A 中只有一个孤立元素5.
8．4
解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ，
由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5，
∴a ＝－2，或a ＝4.
当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，
∴a ≠－2.
a ＝4经验证，符合题意．
9．{x |x <1或x ≥5}
解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}，
故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}
或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N )
＝{x |x <1或x ≥5}．
10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，
∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．
(2)∵C ＝{x |x >－a 2
}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2
<2，∴a >－4. 11.
解 由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A 的集合，B 表示答错B
的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A ，B ，C 全对的有50－32＝18人．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解 在数轴上表示出集合M 与N ，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34
＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}，长度为34－23＝112
；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}，长度为13－14＝112
.综上，M ∩N 的长度的最小值为112
.。