第1课时-集合的概念

第一章 集合与简易逻辑——第1课时：集合的概念

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集合的概念

一．课题：集合的概念

二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规

处理方法．

三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．集合、子集、空集的概念；

2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；

3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n

个，真子集有21n

-，非空子集有21n

-个，非空真子集有22n

-个． （二）主要方法：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：

例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，

{|1}G x x =≥，则

（ D ）

()A P F =

()B Q E = ()C E F =

()D Q G =

解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}

2222

,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．

解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．

（1）若0x y +=或0x y -=，则22

0x y -=，从而{}

22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性

矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．

当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，

由P Q =得22

0y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220

y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②

由①得1y =-，由②得1y =，

∴{01x y ==-或{

01

x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．

例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==

+∈， 1

{|,}42

k N x x k Z ==+∈，则 （ B ） ()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D M N φ=

解法一：通分；

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解法二：从

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4

开始，在数轴上表示． 例4．若集合{}2

|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．

解：（1）若A φ=，则2

40a ∆=-<，解得22a -<<；

（2）若1A ∈，则2

110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-

，此时5

{2,}2

A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．

例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==， （1）求证：A B ⊆；

（2）如果{1,3}A =-，求B ．

（四）巩固练习：

1．已知2

{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P

为1{0,2,}3

-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．

2．已知：2

()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-．

3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ．

4．设数集3{|}4

M x m x m =≤≤+，1

{|}3

N x n x n =-

≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是1

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．