河南省南阳市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学文试题

南阳市一中2019年秋期高三第一次月考
文数试题
一、单选题
1．在空间中，给出下列四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
2．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）
A ．1
B ．
43
C ．2
D ．4
3．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）
A ．φ
B ．{|42}x x -<≤
C ．{ |4<<3}x x -
D ．{|12}x x -<≤ 4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）
A ．6:1):4+
B ．64
C ．5:1):4+
D ．5:4
5．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．2
6．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所
成角的大小是（ ）
A ．
π6
B ．
π4 C ．π3 D ．π2
7．已知正方体1111
ABCD A B C D -中，2AB =，则点C 到平面11BDD B 的距离为（ ）
A ．1
B
C ．
D ．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,
E
F
G
H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中
点，则必有（ ）
A ．1BD GH ∥
B ．BD EF ∥
C ．平面EFGH ∥平面ABC
D D ．平面EFGH ∥平面11A BCD
9．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若,l l m α⊥∥，则m α⊥
B ．若,l l αβ∥∥，则αβ∥
C ．若,l ααβ⊥⊥，则l β∥
D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥
10．如图，正方形ABCD 的边长为 2，,E F 分别为,BC CD 的中点，
沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体
A OEF -，则四面体A OEF -的体积为（ ）
A ．
13
B C ．12
D 11．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个
几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8π
B ．7π
C ．8π+
D ．6π
12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段11B D 上，BA 的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B -的左（侧）视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图所示，111A B C ∆是水平放置的平面图形ABC ∆的直观图（斜二测画法），若112A B =，
11O C '=，则ABC ∆的面积是_______.
14．已知三棱锥S ABC -（如下图所示），SA ⊥平面ABC ，6AB =，8BC =，10AC SA ==，则此三棱锥的外接球的表面积为______．
（第14题图） （第15题图） （第16题图）
15．如上图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为
16．如上图，在四面体ABCD 中，3,3
4AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为
______ 三、解答题 17．集合3
{|
1,}2
A x x R x =<∈+，{|||2,}
B x x a x R =-<∈. （1）若2a =，求A B ；
（2）若R B C A =∅I ，求a 的取值范围.
18．在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD
上的点，且
1
2
CF CG BF DG ==．求证： （1）四边形EFGH 是梯形；
（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点．
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：
（1）
1AC ∥平面1B CD ； （2）平面1APC 平面1B CD ．
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，
AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.
（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.
21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面
ABCD ，
四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1
2
AB AD BC ==．
（Ⅰ）求证：//AD 平面BCEF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面CDE ；
（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点M ，使得//CE 平面
AMF ？若存在，求出
BM
DM
的值；若不存在，请说明理由.
22．如图，四边形ABCD 为矩形，ED ⊥平面ABCD ，AF ED ∥，4AB =，3BC =，
36DE AF ==.
（Ⅰ）求证：BF ∥平面CDE ；
（Ⅱ）点G 在线段ED 上，且2EG =，过B 、F 、G 三点的平面将多面体ABCDEF 分成两部分，设上、下两部分的体积分别为1V 、2V ，求12:V V .
南阳市一中2019年秋期高三第一次月考
文数答案
DBDA A DBDD A BB
12. B 在1Rt AA P ∆中：222
11AP AA A P =+ 当AP 最短时，1A P 最短即111A P B D ⊥
12,3AA AB BC ===在111A B D ∆中通过长度关系知道P 靠近B 1：左视图为B
13. 2 14. 200π 15. 16.
94
16.因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理
//EF AB ， //,//GF CD EH CD ，
所以四边形EFGH 为平行四边形，又34AD BD AC BC ====，，可证明AB CD ⊥ 所以四边形EFGH 为矩形.设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，
3,3(1)FG x HG x ==-
2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =⨯=-=--+ ，当1
2
x =时，有最大值94.
17. （1）由312x <+得102x
x -<+即(1)(2)0x x -+<，解得2x <-或1x >，所以{|2A x x =<-或1}x >；当2a =时，{|22,}B x x x R =-<∈
由22x -<得222x -<-<，即04x <<，所以{|04}B x x =<<， 所以{|2A B x x ⋃=<-或0}x >.
（2）由2x a -<得22x a -<-<，即22a x a -<<+，{|22}B x a x a =-<<+， 由（1）得{|2A x x =<-或1}x >，所以{}|21R C A x x =-≤≤， 若R B C A =∅I ，则22a +≤-或21a -≥，即4a ≤-或3a ≥ 18.证明：（1）连结BD ，∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，
∴∥EH BD ，且1
2EH BD =，又∵
13
CF CG CB CD ==，
∴∥FG BD ，且1
3
FG BD =，因此∥EH FG 且EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．
（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EF HG K =，∵K EF ∈，
EF ⊂平面ABC ，∴K ∈平面ABC ，同理K ∈平面ACD ，又
平面ABC
平面ACD AC =，
∴K AC ∈，故EF 和GH 的交点在直线AC 上．所以AC ，
EF ，GH 三条直线相交于同一点．
19.证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ， ∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点， 又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD
AC ，
又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD ； （2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，
∴1AD B P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四
边形，
∴1AP
DB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面
1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．
又1AC ∥平面1B CD ，1
AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ，∴平
面1
APC 平面1B CD ．
20.证明（1）连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，
90ABC ADC ∠=∠=，AC AC =，所以Rt ABC Rt ADC ≅，
AB AD =. 又AO 为BAD ∠的平分线，所以AO BD ⊥，且O 为BD
中点.又因为E 为PD 的中点，所以OE PB .
因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB 平面AEC .
（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，所以2AD =，CD =. 由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥.在Rt PAD △中，2PA =，2AD =，
所以PD =AE ED ==
Rt CDE △中可得EC =
2
2
2
AC AE EC =+，所以AE CE ⊥.所以1
2
AEC S ∆=
=1
22
ACD S ∆=⨯⨯=.
设点D 到平面AEC 的距离为h ，则111
3
32AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=
⋅，解得7h ==
21.（Ⅰ）因为四边形ADEF 为正方形，所以//AD EF ，由于EF ⊂平面BCEF ，
AD ⊄平面BCEF ，所以//AD 平面BCEF .
（Ⅱ）因为四边形ADEF 为正方形，所以DE AD ⊥.平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF
平面ABCD AD =，所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥.
取BC 中点N ，连接DN .由//BN AD ，BN AD =，90BAD ∠=︒，可得四边形ABND 为正方形.所以DN AB =.所以1
2
DN BC =
.所以BD CD ⊥. 因为CD
DE D =，所以BD ⊥平面CDE .
（Ⅲ）存在，当M 为BD 的中点时，//CE 平面AMF ， 此时
1BM
DM
=. 证明如下： 连接AN 交BD 于点M ，由于四边形ABND 为正方形，所以M 是BD 的中点，同时也是AN 的中点.因为
,//NC AD NC AD =，又四边形ADEF 为正方形，
所以,//NC FE NC FE =，连接NF ，所以四边形NCEF 为平行四边形.
所以//CE NF .又因为NF ⊂平面AMF ，CE ⊄平面AMF ，所以//CE 平面AMF . 22.（Ⅰ）证法1：四边形ABCD 为矩形，所以AB CD ∥，∵AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平
面CDE ，∴AB ∥平面CDE ；又AF ED ∥，∵AF ⊄平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，∴AF
平面CDE ；因为AF AB A ⋂=，AB Ì平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面
CDE ，又BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面CDE .
证法2：如图，在ED 上取点N ，使2DN =，连接NC 、NF ，
∵AF DN ，四边形ADNF 为平行四边形，所以AD FN ，又四边形ABCD 为矩形，AD BC ∥，所以FN BC ，所以四边形BCNF 为平行四边形，
所以BF NC ，∵BF ⊄平面CDE ，NC ⊂平面CDE ，
所以BF ∥平面CDE .
（Ⅱ）过G 作MG BF ∥交EC 于点M ，连接BG ，BM ，GF ，BD ，则 设M 到ED 的距离为h ，由证法2知，GM NC ，EGM ENC ∆∆，
则
4EG h EN =，即244
h
=，∴2h =， ∴1E BFGM B EFG B EMG V V V V ---==+1111
23422363232
=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 又ABCDEF B ADEF B CDE V V V --=+()264116433283232
+⨯⨯=
⨯⨯+⨯⨯=. ∴2128622ABCDEF V V V =-=-=， ∴12:6:223:11V V ==.
故过B 、F 、G 三点的平面将多面体ABCDEF 分成的上、下两部分的体积为3:11.。