河南省南阳市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学文试题
2022年河南省南阳市高考第一次模拟数学试卷及答案解析
2022年河南省南阳市高考第一次模拟理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜1}，集合B ＝{x |e x ＞3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |1＜x ≤ln 3}B ．{x |x ≤ln 3}C ．{x |1＜x ＜ln 3}D ．{x |x ＜ln 3}2．（5分）已知复数z 满足z +1z =1，则|z |＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．√223．（5分）已知函数f （x ）＝log 2|x ﹣a |的对称轴为直线x ＝2，则函数f （x +1）的对称轴为（ ） A ．直线x ＝0B ．直线x ＝1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝34．（5分）已知向量|a →|=√6，a →⋅b →=8，|a →+b →|＝5√2，则|b →|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√7D ．3√35．（5分）把函数f （x ）＝sin （2x −π4）的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的曲线向左平移a （a ＞0）个单位长度，得到函数y ＝cos x 的图像，则a 可以是（ ） A ．π8B ．π4C ．π2D ．34π6．（5分）已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．且a 1＝2021，S 9＝S 4，若a k +a 3＝0，则k 的值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．127．（5分）对于函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有极小值，无极大值 B ．函数f （x ）有极大值，无极小值 C ．函数f （x ）既有极大值又有极小值 D ．函数f （x ）既无极大值又无极小值8．（5分）已知命题p ：“∀x ＞0，x +a ﹣1≠0”，命题q ：“∃x ∈R ，e x ﹣ax ＝0”，若p ∧（￢q ）为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1，e ）B ．[0，1]C ．（﹣1，0）∪[e ，+∞）D ．[e ，+∞）9．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n +1＝S n +2a n +1，若4n ﹣1≥45（a n +2），则n 的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．（5分）已知0＜x ＜12，则1x +1+2x 1−2x的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．（5分）已知f （x ）＝sin x +2x，其中f ′（x ）为函数f （x ）的导数．则f （2021）+f （﹣2021）+f ′（2022）﹣f ′（﹣2022）＝（ ） A ．0B ．2C ．2021D ．202212．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +2在x ＝1处取得极小值0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＝f （x 2），且x 1≠x 2，则n ﹣m 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan(α+π4)=2，则cos2α= ． 14．（5分）已知函数f （x ）={lnx +2，0＜x ＜12−√x −1，x ≥1，设y ＝f （x ）﹣kx ﹣2有两个零点，则实数k ＝ ．15．（5分）定义[x ]表示不大于x 的最大整数（x ∈R ），例如[2.1]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，则使不等式2[x ]2﹣17[x ]+21＜0恒成立的x 的取值范围是 ．16．（5分）已知直线y ＝m 与函数f （x ）＝sin （ωx +π4）+32（ω＞0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A ，B ，C 满足2|AB |＝|BC |，则实数m ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设函数f （x ）＝﹣x 2+ax +b ，若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3）． （1）求f （﹣2x ）＜0的解集； （2）比较lna a与lnb b的大小．18．（12分）已知向量m →=（2，a ），n →=（sin （2x +π6），cos2x ），f （x ）=m →•n →，其中a ∈R ，函数f （x ）图象的一条对称轴方程为x =π3． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若α∈（0，π3），且f （α）=85，求sin2α值．19．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 、AE 分别为BC 边上的高和中线，AD ＝4，DE ＝3．（1）若∠BAC ＝90°，求AB 的长；（2）是否存在这样的△ABC ，使得射线AE 和AD 三等分∠BAC ？20．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x ﹣x 2﹣2ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝﹣1时，求f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）不存在极值点，求证：a ＜﹣1．21．（12分）已知数列{a n }是正项等差数列，a 1＝1，且a 1≠a 2，数列{b n }满足b n =a +√a（n ∈N +），数列{b n }前n 项和记为S n ，且S n +1+S n =14（1b n+1−2）（n ∈N +）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）若数列{c n }满足c n =1an+1⋅a n，其前n 项和记为T n ，试比较S n 与T n 的大小．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝x +m （m ∈R ）． （1）若f （x ）≤g （x ）恒成立，求实数m 的取值范围； （2）求证：当x ＞0时，e x +(2−e)x−1x≥lnx +1．2022年河南省南阳市高考第一次模拟理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜1}，集合B ＝{x |e x ＞3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |1＜x ≤ln 3}B ．{x |x ≤ln 3}C ．{x |1＜x ＜ln 3}D ．{x |x ＜ln 3}【解答】解：∵A ＝{x |log 2（x ﹣1）＜1}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |e x ＞3}＝{x |x ＞ln 3} 阴影部表示为A ∩∁R B ＝{x |1＜x ＜3}∩{x |x ≤ln 3}＝{x |1＜x ≤ln 3}． 故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足z +1z=1，则|z |＝（ ） A ．12B ．1C ．2D ．√22【解答】解：设复数z ＝a +bi ，a ，b ∈R ， ∵复数z 满足z +1z =1， ∴a +bi +1a+bi=1， ∴a +bi +a−bi (a+bi)(a−bi)=1，即a +bi +a−bia 2+b2=1， ∴{a +aa 2+b2=1b −ba 2+b2=0，解得a =12，b =√32或a =12，b =−√32，∴a 2+b 2＝1，∴|z|=√a 2+b 2=1． 故选：B ．3．（5分）已知函数f （x ）＝log 2|x ﹣a |的对称轴为直线x ＝2，则函数f （x +1）的对称轴为（ ） A ．直线x ＝0B ．直线x ＝1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝3【解答】解：∵函数f （x ）的图象向左平移1个单位可得到函数f （x +1）的图象，且函数f （x ）＝log 2|x ﹣a |的对称轴为直线x ＝2，∴函数f （x +1）的对称轴由直线x ＝2向左平移1个单位得到， 即函数f （x +1）的对称轴为x ＝1， 故选：B ．4．（5分）已知向量|a →|=√6，a →⋅b →=8，|a →+b →|＝5√2，则|b →|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√7D ．3√3【解答】解：因为|a →+b →|＝5√2， 所以a →2+2a →⋅b →+b →2=50，所以6+2×8+b →2=50，解得|b →|＝2√7． 故选：C ．5．（5分）把函数f （x ）＝sin （2x −π4）的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的曲线向左平移a （a ＞0）个单位长度，得到函数y ＝cos x 的图像，则a 可以是（ ） A ．π8B ．π4C ．π2D ．34π【解答】解：函数f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变得y ＝sin （x −π4），将该曲线向左平移a （a ＞0）个单位长度，得y ＝cos x 的图象， 可得sin （x +a −π4）＝cos x ，对A ，当a =π8时，sin （x +π8−π4）＝sin （x −π8）≠cos x ，故A 错误； 对B ，当a =π4时，sin （x +π4−π4）＝sin x ≠cos x ，故B 错误； 对C ，当a =π2时，sin （x +π2−π4）＝sin （x +π4）≠cos x ，故C 错误； 对D ，当a =3π4时，sin （x +3π4−π4）＝sin （x +π2）＝cos x ，故D 正确． 故选：D ．6．（5分）已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．且a 1＝2021，S 9＝S 4，若a k +a 3＝0，则k 的值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：由题意得，S9﹣S4＝0，即a5+a6+a7+a8+a9＝0，∵数列{a n}是等差数列，∴a5+a6+a7+a8+a9＝5a7＝0，∵a k+a3＝0＝2a7，∴k+3＝14，故k＝11；故选：C．7．（5分）对于函数f（x）＝x2﹣ax﹣lnx（a∈R），下列说法正确的是（）A．函数f（x）有极小值，无极大值B．函数f（x）有极大值，无极小值C．函数f（x）既有极大值又有极小值D．函数f（x）既无极大值又无极小值【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣ax﹣lnx，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）＝2x−1x−a，则有f″（x）＝2+12，易得f″（x）＞0，则f′（x）＝2x−1x−a在（0，+∞）上为增函数，且其值域为R，故f′（x）＝2x−1x−a存在唯一的零点，设其零点为t，在区间（0，t）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，区间（t，+∞）上，f′（x）＞0，f （x）为增函数，故函数f（x）有极小值，无极大值；故选：A．8．（5分）已知命题p：“∀x＞0，x+a﹣1≠0”，命题q：“∃x∈R，e x﹣ax＝0”，若p∧（￢q）为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[1，e）B．[0，1]C．（﹣1，0）∪[e，+∞）D．[e，+∞）【解答】解：因为p∧（￢q）为真命题，所以p和￢q均为真命题，因为命题q：“∃x∈R，e x﹣ax＝0”，所以￢q：∀x∈R，e x﹣ax≠0，若￢q为真命题，即e x＝ax无解，⇔y＝e x与y＝ax无交点，直线y＝ax斜率为a，过（0，0），而y＝e x，求导y′＝e x，当a＜0时，y＝ax与y＝e x恒有交点，当a＝0时，y＝0与y＝e x＞0无交点，符合题意，当a＞0时，设切点（x0，y0），则y0＝ax0＝e x0，切线斜率为e x0=a，所以ax0＝a，x0＝1，所以a＝e x0=e，所以0≤a＜e时，两个函数图象没有交点；当p为真时，“∀x＞0，x+a﹣1≠0”，即a≠1﹣x，因为x＞0，所以1﹣x＜1，所以a≥1，综上所述，1≤a ＜e ， 故选：A ．9．（5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n +1＝S n +2a n +1，若4n ﹣1≥45（a n +2），则n 的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可知，S n +1＝S n +2a n +1，则a n +1＝2a n +1，即a n +1+1＝2（a n +1），所以数列{a n +1}是以a 1+1＝2为首项，以2为公比的等比数列， 因此a n +1=2n ，a n =2n −1，由4n ﹣1≥45（a n +2），即4n ﹣1≥45（2n ﹣1+2），整理得（2n ）2﹣45×2n ﹣46≥0，解得2n ≥46，所以n 的最小值为6， 故选：C ．10．（5分）已知0＜x ＜12，则1x +1+2x 1−2x的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：因为0＜x ＜12，所以1x+1+2x 1−2x =1x+2−(1−2x)1−2x=1x+112−x−1＝2（1x +112−x ）（x +12−x ）﹣1＝2（2+12−x x +x12−x）﹣1≥2（2+2）﹣1＝7，当且仅当12−x x=x12−x ，即x =14时取等号，此时1x+1+2x 1−2x的最小值是7．故选：C ．11．（5分）已知f （x ）＝sin x +22021x+1，其中f ′（x ）为函数f （x ）的导数．则f （2021）+f （﹣2021）+f ′（2022）﹣f ′（﹣2022）＝（ ） A ．0B ．2C ．2021D ．2022【解答】解：∵f （x ）＝sin x +22021x+1， ∴f （x ）+f （﹣x ）＝sin x +22021x +1+sin （﹣x ）+22021−x+1=2x +2⋅2021xx =2，则f （2021）+f （﹣2021）＝2； f ′（x ）＝cos x +−2(2021x+1)′(2021x+1)2=cosx −2⋅2021x⋅ln2021(2021x+1)2，∴f ′（﹣x ）＝cos x −2⋅2021−x⋅ln2021(2021−x+1)2=cosx −2⋅2021x⋅ln2021(2021x+1)2．则f ′（2022）﹣f ′（﹣2022）＝0．∴f （2021）+f （﹣2021）+f ′（2022）﹣f ′（﹣2022）＝2+0＝2． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +2在x ＝1处取得极小值0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＝f （x 2），且x 1≠x 2，则n ﹣m 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：f '（x ）＝3x 2+2ax +b ，因为函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +2在x ＝1处取得极小值0， 所以{f′(1)=0f(1)=0，即{3+2a +b =01+a +b +2=0，解得a ＝0，b ＝﹣3，所以f （x ）＝x 3﹣3x +2， 则f '（x ）＝3x 2﹣3， 令f '（x ）＝0，解得x ＝±1，当x ＜﹣1时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增， 当﹣1＜x ＜1时，f '（x ）＜0，则f （x ）单调递减， 当x ＞1时，f '（x ）＞0，则f （x ）单调递增，所以f （x ）的极大值为f （﹣1）＝4，极小值为f （1）＝0， 由f （x ）＝4，解得x ＝﹣1或x ＝2， 令f （x ）＝0，解得，x ＝1或x ＝﹣2，因为∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈[m ，n ]，使得f （x 1）＝f （x 2），且x 1≠x 2， 则n ﹣m 的最大值为2﹣（﹣2）＝4． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知tan(α+π4)=2，则cos2α=45．【解答】解：∵tan(α+π4)=2=1+tanα1−tanα，∴tan α=13，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=45， 故答案为 45．14．（5分）已知函数f （x ）={lnx +2，0＜x ＜12−√x −1，x ≥1，设y ＝f （x ）﹣kx ﹣2有两个零点，则实数k ＝ −12．【解答】解：由y ＝f （x ）﹣kx ﹣2有两个零点可得， y ＝f （x ）与y ＝kx +2的图象有2个交点， y ＝f （x ）的图象如图，y ＝kx +2表示的是过点（0，2）的直线，所以由y ＝f （x ）与y ＝kx +2的图象有2个交点可得k ＜0， 且y ＝2−√x −1（x ≥1）与y ＝kx +2的图象有一个交点， 由2−√1−x =kx +2可得k 2x 2﹣x +1＝0， 所以△＝1﹣4k 2＝0， 解得k =−12（正值舍去）， 故答案为：−12．15．（5分）定义[x ]表示不大于x 的最大整数（x ∈R ），例如[2.1]＝2，[﹣1.5]＝﹣2，则使不等式2[x ]2﹣17[x ]+21＜0恒成立的x 的取值范围是 [2，7） ． 【解答】解：不等式2[x ]2﹣17[x ]+21＜0可化为（2[x ]﹣3）（[x ]﹣7）＜0， 所以32＜[x ]＜7，因为[x ]表示不大于x 的最大整数， 所以2≤x ＜7，故满足条件的x 的取值范围为[2，7）． 故答案为：[2，7）．16．（5分）已知直线y ＝m 与函数f （x ）＝sin （ωx +π4）+32（ω＞0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A ，B ，C 满足2|AB |＝|BC |，则实数m ＝ 1或2 ．【解答】解：由题知，直线y ＝m 与函数f （x ）＝sin （ωx +π4）+32（ω＞0）的图象相交， 等价于直线y ＝m −32与函数y ＝sin （ωx +π4）的图象相交， 设A （x 1，m −32），B （x 2，m −32），C （x 3，m −32）， 所以|AC |=2πω， 又由2|AB |＝|BC |得，|AB |=13|AC |=2π3ω， 即x 2﹣x 1=2π3ω， 化简得ωx 2﹣ωx 1=2π3，① 由题知点A 和点B 的中点坐标为（x 1+x 22，m −32），当直线y ＝m −32与y ＝sin （ωx +π4）的交点在x 轴上方时， sin(ω⋅x 1+x 22+π4)=1， 即ω⋅x 1+x 22+π4=π2+2kπ，k ∈Z ， 化简得ωx 1+ωx 2=π2+4kπ，k ∈Z ，② 由①②联立得ωx 1+π4=π6+2kπ，k ∈Z ， 所以sin(ωx 1+π4)=sin(π6+2kπ)=12， 即m −32=12， 解得m ＝2；当直线y ＝m −32与y ＝sin （ωx +π4）的交点在x 轴下方时， sin(ω⋅x 1+x 22+π4)=−1， 即ω⋅x 1+x 22+π4=3π2+2kπ，k ∈Z ， 化简得ωx 1+ωx 2=5π2+4kπ，k ∈Z ，③ 由①③联立得ωx 1+π4=7π6+2kπ，k ∈Z ， 所以sin(ωx 1+π4)=sin(7π6+2kπ)=−12，即m −32=−12， 解得m ＝1， 所以m ＝1或﹣2， 故答案为：1或﹣2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设函数f （x ）＝﹣x 2+ax +b ，若不等式f （x ）＞0的解集为（﹣1，3）． （1）求f （﹣2x ）＜0的解集； （2）比较lna a与lnb b的大小．【解答】解：（1）由题意知，﹣1和3是方程﹣x 2+ax +b ＝0的两根， 所以{−1+3=a(−1)×3=−b ，所以a ＝2，b ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+2x +3，由f （﹣2x ）＜0知，﹣4x 2﹣4x +3＜0，即（2x +3）（2x ﹣1）＞0， 所以x ＜−32或x ＞12，故不等式的解集为（﹣∞，−32）∪（12，+∞）．（2）由（1）知，a ＝2，b ＝3， 所以lna a −lnb b =ln22−ln33=3ln2−2ln36=ln896＜0，所以lna a＜lnb b．18．（12分）已知向量m →=（2，a ），n →=（sin （2x +π6），cos2x ），f （x ）=m →•n →，其中a ∈R ，函数f （x ）图象的一条对称轴方程为x =π3． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若α∈（0，π3），且f （α）=85，求sin2α值．【解答】解：（1）f （x ）=m →•n →=2sin （2x +π6）+a cos2x ＝2sin2x cos π6+2cos2x sin π6+a cos2x =√3sin2x +（a +1）cos2x ，因为函数f （x ）图象的一条对称轴方程为x =π3， 所以f （0）＝f （2π3），即a +1=√3sin4π3+（a +1）cos4π3=−√3×√32+（a +1）•（−12）， 化简得a +1＝﹣1， 所以a ＝﹣2，所以f （x ）=√3sin2x ﹣cos2x ＝2sin （2x −π6）． （2）因为α∈（0，π3），所以2α−π6∈（−π6，π2），又f （α）＝2sin （2α−π6）=85，所以sin （2α−π6）=45＞0， 所以2α−π6∈（0，π2），所以cos （2α−π6）=35，故sin2α＝sin[（2α−π6）+π6]＝sin （2α−π6）cos π6+cos （2α−π6）sinπ6=45×√32+35×12=4√3+310． 19．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 、AE 分别为BC 边上的高和中线，AD ＝4，DE ＝3．（1）若∠BAC ＝90°，求AB 的长；（2）是否存在这样的△ABC ，使得射线AE 和AD 三等分∠BAC ？【解答】解：（1）∠BAC ＝90°，所以BC ＝2AE ＝10，BE ＝5， cos ∠AEB ＝﹣cos ∠AED =−35，在△AEB 中，AB 2＝BE 2+AE 2﹣2BE •AE •cos ∠AEB ， 所以AB ＝4√5．（2）假设存在这样的△ABC ，不妨设BE ＝x ，则BD ＝3+x ， 易得AB =√16+(3+x)2，AE ＝5，而sin ∠EAB ＝sin ∠EAD =35，sin ∠AEB ＝sin ∠AED =45， 在△AEB 中，BE sin∠EAB=AB sin∠AEB，即7x2﹣54x﹣225＝0，解得：x=757，即BE=757，而在△ADC中，DC＝DE＝3，所以EC＝6，故BE≠EC，因此，不存在这样的△ABC，使得射线AE和AD三等分∠BAC．20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x﹣x2﹣2ax+1，a∈R．（1）当a＝﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）不存在极值点，求证：a＜﹣1．【解答】（1）解：当a＝1时，函数f（x）＝（x﹣2）e x﹣x2﹣2x+1，则f'（x）＝（x﹣1）e x﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）（e x﹣2），令f'（x）＝0，解得x＝ln2，x＝1，当x＜ln2时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当1＜x＜ln2时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x＞1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，ln2）和（1，+∞），单调递减区间为（ln2，1）；（2）证明：函数f（x）＝（x﹣2）e x﹣x2﹣2ax+1，则f'（x）＝（x﹣1）e x﹣2x﹣2a，因为函数f（x）无极值点，故方程（x﹣1）e x﹣2x﹣2a＝0无实数根，令g（x）＝（x﹣1）e x﹣2x﹣2a，则g'（x）＝xe x﹣2，当x＜0时，恒有g'（x）＜0，当x≥0时，g'（x）单调递增，又g'（0）＝﹣2，g'（1）＝e﹣2＞0，故存在x0∈（0，1），使得g'（x0）＝0，即x0e x0=2，所以函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，故g（x）的最小值为g（x0），则g（x0）＞0，所以a＜1﹣（x0+1x0），又x0∈（0，1），故a＜﹣1．21．（12分）已知数列{a n}是正项等差数列，a1＝1，且a1≠a2，数列{b n}满足b n=1√a+√a n（n∈N+），数列{b n}前n项和记为S n，且S n+1+S n=14（1b n+1−2）（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{c n}满足c n=1a n+1⋅a n，其前n项和记为T n，试比较S n与T n的大小．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，∵b n=a+√a，∴b n=1d(√a n+1−√a n)，∴S n=1d[(√a n+1−√a n)+(√a n−√a n−1)+⋯(√a2−1)]=1d(√a n+1−1)，∵S n+1+S n=14(1b n+1−2)，∴1d(√a n+2+√a n+1−2)=14(√a n+2+√a n+1−2)，∵a1≠a2，可得d＝4，又a1＝1，∴a n＝4n﹣3．（2）由（1）可得S n=14(√4n+1−1)，∵a n＝4n﹣3，∴c n=1a n+1⋅a n=1(4n+1)(4n−3)=14(14n−3−14n+1)，∴T n=14[(1−15)+(15−19)+⋯+(14n−3−14n+1)]=14(1−14n+1)，不妨记t=√4n+1，则t≥√5，S n−T n=14(t−1)−14(1−1t2)=(t−1)[(t−12)2−54]4t2，∵t≥√5，∴t﹣1＞0，∴(t−12)2−54≥(2√5−12)2−54=(2√5−1)2−54=16−4√54＞0，∴S n﹣T n＞0，∴S n＞T n．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x+m（m∈R）．（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）求证：当x ＞0时，e x +(2−e)x−1x≥lnx +1．【解答】（1）解：令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝lnx ﹣x ﹣m （x ＞0）， 则F '（x ）=1−xx， 当0＜x ＜1时，F '（x ）＞0，则F （x ）单调递增， 当x ＞1时，F '（x ）＜0，则F （x ）单调递减， 所以当x ＝1时，F （x ）取得最大值F （1）＝﹣1﹣m ， 因为f （x ）≤g （x ）恒成立，即F （x ）≤0恒成立， 则﹣1﹣m ≤0，解得m ≥﹣1， 故实数m 的取值范围为[﹣1，+∞）；（2）证明：由（1）可知，lnx ≤x ﹣1恒成立，即x ≥lnx +1， 所以要证e x +(2−e)x−1x≥lnx +1，只需证明e x ﹣（e ﹣2）x ﹣1≥x 2成立即可， 令h （x ）＝e x ﹣x 2﹣（e ﹣2）x ﹣1（x ＞0）， 则h '（x ）＝e x ﹣2x ﹣（e ﹣2）， 令m （x ）＝e x ﹣2x ﹣（e ﹣2）（x ＞0）， 则m '（x ）＝e x ﹣2，当0＜x ＜ln 2时，m '（x ）＜0，则m （x ）单调递减， 当x ＞ln 2时，m '（x ）＞0，则m （x ）单调递增， 又h '（0）＝3﹣e ＞0，h '（1）＝0， 因为0＜ln 2＜1，则h '（ln 2）＜0， 所以存在x 0∈（0，ln 2），使得h '（x 0）＝0，故当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＞0，则h （x ）单调递增， 当x ∈（x 0，1）时，h '（x ）＜0，则h （x ）单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＞0，则h （x ）单调递增， 又h （0）＝h （1）＝0， 所以h （x ）≥0， 因此，当x ＞0时，e x +(2−e)x−1x≥lnx +1．。
河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期10月月考数学(理)试题 Word版含解析
南阳市一中2019年高三年级第三次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.复数1ii+的虚部是（ ） A. i - B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】 试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.已知R 是实数集，22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x，则()R C M N =I （） A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2， D. []0,2【答案】D 【解析】 【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由21x<得：0x <或2x >，即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C 【解析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯，解得：12λ=本题正确选项：C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈（-4π，0）且sin2α=-2425，则sinα+cosα=（ ） A.15 B. -15C. -75D. 75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈（-4π，0），所以sin 0,cos 0αα<>，且sin cos 0αα+>，222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=，所以 1sin cos 5αα+=，选A.5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A ．6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则113||M M u u u u u u u r等于（）A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 （ ）A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[,22-D. [0,2【答案】A 【解析】考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题．解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6)（ω＞0）和g （x ）=3cos （2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-π6)，因为x∈[0，π2]所以2x-π6∈ [-π6，5π6]，所以3sin(2x-π6)∈[-32，3]；故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．8.在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且c =3C π=，则 ABC V 的面积是 ()n n或6【答案】D 【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴3b tan==∴1122ABC S bc ===n ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =．∴1113223ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=．综上可得ABC V 的面积是334 或 736． 故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9.若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=u u u r u u u ru u ur r ，则角（ ）A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】 试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r，且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 （ ） A.43B.52C.25D.34【答案】C【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为(1,)m k =r，由且O A u u u v 与OB uuu r 在直线l 上的射影长度相等，得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r，即143k k +=-+，解之得25k =或43k =-（舍），故选C ．考点：向量投影定义及运算．11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t a f x t ≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A. (]2-∞，B. [)2+∞，C. (]6-∞，D. [)6+∞，【答案】D 【解析】 【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时，[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时，[)21,2x +∈ ()()()112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-= [)2,0x ∴∈-时，()min116f x =-，即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+，[)1,2t ∈，则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时，()0g t '>，则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】 试题分析：因为2()32f x ax bx c=++，所以(0)(1)(32)(22)0,01c f f c a b c c a c a=++=-><<，又12312[0,).3333a c c x x a a a --====-∈考点：二次方程根与系数关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；③若ABC ∆为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为____________．【答案】③④ 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，可得()1sin 22f x x =，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过20m =可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确. 【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=，①错误 ②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <” 若20m =，可知22am bm =，则其逆命题为假命题，②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确④令20x ax -=，解得：10x =，2x a =当0a ≤时，20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立 当0a >时，()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件，④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，则tan()4πα+=___________．【答案】13【解析】 【分析】根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果：13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．【答案】,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到214a b a ⋅<r r r ，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得：()()2f x x a x a b '=++⋅rr r()f x Q 在R 上有极值 ()240aa b ∴∆=-⋅>r r r ，即214a b a⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r rr r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果：,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ．【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】 【详解】设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-， ∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数， ∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴()2()02sin 2f g πππ==， ∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<. ∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U .考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数2()1xe f x ax=+ （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
【全国百强校首发】河南省南阳市第一中学2020届高三下学期第一次月考(2月网上考试)数学(文)答案解析
所以 2ac sin B b2 2ac cos B
1 2
x
,
x
0
，函数 f x 的图像如图所示：
4
结合图像可知 f x 是 R 上的增函数
由 f 6 a2 f a ，得 6 a2 a 解得 2 a 3 ，
故选： C .
10.已知双曲线 C1
：
x2 m2 1
y2 4 2m
1 ，当双曲线 C1
ac sin A sin C
ac
sin
A
sin
2 3
A
，
5
则ac 4
3
sin
A
sin
2 3
A
4
3 sin A
3 2
cos
A
1 2
sin
A
4
3
3 2
sin
A
3 2
cos
A
12
3
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【详解】角 的终边在直线 y 3x 上 2k k Z 或 2k
3
3
2k 1 k Z k k Z ，故 p 是 q的充分必要条件，
C. 9 18
【答案】C 【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，
D. 6 20 3
河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期12月月考文科数学试卷及答案
南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z -=，则12z +的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．42．若{}2812A x y x x ==--，{}ln(3)2B x x =-≤，则A B ⋂=（）A ．[)2,4B ．(]3,6C ．)22,e ⎡⎣D ．(23,e ⎤⎦3．下列说法错误的是（）A ．若命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝：n ∀∈N ，22nn ≤B ．“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件C ．若命题“()()p q ⌝∨⌝”为真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个是真命题D ．“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题4．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．65．若正项数列{}n a 满足11a =，221160n n n n a a a a +++-=，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．41n -B ．1(41)3n-C ．21n -D ．1(21)3n-6．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A 66B 33C ．16D ．137．已知函数()sin f x x =，())2ln1g x x x =+，()H x 的解析式是由函数()f x 和()g x 的解析式组合而成，函数()H x 部分图象如下图所示，则()H x 解析式可能为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f xg x ⋅D ．()()f xg x 8．已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >9．已知圆M 过点()1,3A 、()1,1B -、()3,1C -，则圆M 在点A 处的切线方程为（）A ．34150x y +-=B ．3490x y -+=C ．43130x y +-=D ．4350x y -+=10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（）A ．12B ．24C ．22D ．3211．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．522]B ．[32452C ．[328，62]D ．[622]12．已知函数()e e cos 2x x f x x -=+-，若()()12f x f x >，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上为增函数C ．2212x x >D ．12e 1x x ->二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线过点()2,3，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍，则此直线的方程为__________．14．圆1C ：2223xy x ++=与圆2C ：2241x y y +-=的公共弦长为______．15．已知0a b >>，且21a b +=，则11a b b+-的最小值为______．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，23a =，且1(2)(1)1n n n a n a --=--（2n ≥，且n *∈N ）．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB 3BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．19．在三棱锥-P ABC 中，AC BC =，PA PB =，D 、E 分别是棱BC 、PB 的中点.(1)证明：AB PC ⊥；(2)线段AC 上是否存在点F ，使得//AE 平面PDF ?若存在，指出点F 的位置；若不存在，请说明理由．20．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：221x y +=，直线l 过点N ．(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：12k k +为定值．21．如图，四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=．(1)求证：BD ⊥平面PA C ．(2)求四棱锥P ABCD -的体积.22．已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =-+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()0xfx f x '-≥恒成立，求m 的取值范围．南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题参考答案：1．C2．B3．C4．C5．B 6．A 7．A 8．D9．A 10．B11．B12．C13．320x y -=或3110x y +-=1485515．423+16．9112π（选填详解附后）17．解：（1）当2n =时，11a =，由已知1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，则1(1)1(1)n n n a na n +-=-≥，两式相减得112(1)(1)(1)n n n n a n a n a -+-=-+-，即112n n n a a a -+=+，且212a a -=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）设数列14n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n S ，∵144112(21)(21)2121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111421335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-++⎝⎭ ．18解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA 72（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin sin150sin(30)αα=︒︒-，3α＝4sin α.所以tan α34即tan ∠PBA ＝3419解：（1）取AB 的中点H ，连接PH ，CH ，如图，因AC BC =，PA PB =，则CH AB ⊥，PH AB ⊥，而CH ⊂平面PHC ，PH ⊂平面PHC ，CH PH H ⋂=，于是得AB ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AB PC ⊥.（2）当AC 上的点F 满足2CFAF=时，//AE 平面PDF 连接CE 交PD 于G ，连接FG ，D 、E 分别是BC 、PB 的中点，则G 是△PBC 的重心，有2CG GE=，即有CG CFGE AF =，因此//FG AE ，而AE ⊄平面PFD ，FG ⊂平面PFD ，所以//AE 平面PFD ．20（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为()13y k x =-+，即30kx y k --+=，由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，2311k k -+=+，解得43k =，所以直线l 的方程为()4133y x =-+，即4350x y -+=，综上所述，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=；（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，得()()2222126680k x k k x k k --+++=-，则()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞，解得43k >，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，（1）所以()()12121212121331111k x k x y yk k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++，将（1）代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ，故12k k +为定值23-．21解：（1）∵PD PC ⊥，PB PC ⊥，PB =PD ，∴Rt △PDC ≌Rt △PBC ，∴BC =DC ，又PB ∩PD =P ，∴PC ⊥平面PBD ，∵BD ⊂平面PBD ，∴PC ⊥BD ，∵AB =AD ，BC =CD ，∴易知AC ⊥BD ，又∵AC ∩PC =C ，∴BD ⊥平面PAC ；（2）如图，设AC 交BD 于O ，则O 是BD 的中点，连接OP ．由(1)知，BC =CD ，又BD4cos 5DCB ∠=，∴在△BCD 中，由余弦定理得：2222cos BD BC DC BC DC DCB ∠=+-⋅⋅，即2242225BC BC =-⋅，解得BC =∴OC =OAOP ===2PC ===，∵PC ⊥平面PBD ，∴PC OP ⊥，∴11222PCO S OP PC =⋅⋅=由2326PAOPAO PCOS OA S S OC =⇒=⨯ ，∴263PAC PCO PAO S S S =+=+=，∴14223329P ABCD B PAC V V --==⨯⨯=．22解：（1）由题可得2(1)()(1)()(1)m x m x m x m x f x x m x x x -++--'=-++==，①当0m ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当01m <<时，(0,)x m ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,1)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当1m =时，,()0x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增；④当1m >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(1,)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（2）由()()0xf x f x '-≥恒成立，即2ln 02x m x -≥，2ln 2x m x ∴≥，当1x =时，2ln 2x m x ≥恒成立，当1x >时，22ln x m x ≥，当01x <<时，22ln x m x≤，令2()2ln x g x x=，则2(2ln 1)()2(ln )x x g x x -'=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减且()0g x <，所以0m ≥当1x >时，()0g x '=得x =1x ∴<<()0g x '<，()g x 单调递减，x >()0g x '>，()g x 单调递增；()e g x g ∴≥=，故em ≤综上，m 的取值范围为0e m ≤≤.附：选填答案：1．C 【详解】由(1i)i z -=得：i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z +-+====-+--+，则11i22z +=，所以1122z +=.故选：C 2．B【详解】若{{}{}2812026A x y x x x x x ==--≥=≤≤，(){}{}{}22ln 3203ln e33e B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤+，则{}|36=<≤ A B x x .故选：B.3．C 【详解】对于A ，由特称命题的否定可知：:p n ⌝∀∈N ，22nn ≤，A 正确；对于B ，当0a b <<时，ln ,ln a b 无意义，充分性不成立；当ln ln a b <时，0a b <<，必要性成立；则“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件，B 正确；对于C ，若,p q 均为假命题，则,p q ⌝⌝均为真命题，()()p q ∴⌝∨⌝为真命题，C 错误；对于D ，原命题的逆否命题为：若,a b 都小于2，则4a b +<，可知逆否命题为真命题，D 正确.故选：C.4．C 【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5．D 【详解】设等差数列的公差为d ，则11(1)122nn n na S n a dn n -+-==+，因为101221210S S -=-，所以11119()()222a d a d +-+=-，解得2d =-，所以20221202220212022202220202022202120222S a d ⨯=+=⨯-⨯=-，故选：D 6．A【详解】若,,,E F D G 分别是111,,,AC B C AB AC 的中点，连接,ED EF ，则11//,//ED BC EF AB ，∴直线1AB 与1BC 所成角即为DEF ∠或其补角，由111ABC A B C -底面边长和侧棱长都相等且1160BAA CAA ∠=∠=︒，易知：1DGC F 为平行四边形，若H 为BC 中点，连接,HF AH ，则AH BC ⊥且AH 是1AA 在面ABC 上的射影，∴1AA BC ⊥，而111////AA BB CC ，易知：11BCC B 为正方形，若111ABC A B C -棱长为2，则111122ED BC EF ====∴1DF GC ===，在△DEF 中，222cos 2ED EF DF DEF ED EF +-∠==⋅，∴直线1AB 与1BC 故选：A7．A 【详解】(),()f x g x 定义域都为R ，关于原点对称，而()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，)ln ln ()()g x g x x ⎛⎫-==-⎪-=，所以(),()f x g x 都是奇函数，故()()()()f x f xg x g x ⋅，都是偶函数,因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除CD ；当e x =时，sin e e)sin e ln 2e sin e 1ln 20-<-=--<，故排除选项B.故选：A8．D 【详解】因为()2πππ2cos cos 21cos 21sin 21442f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于A ，ππsin 1242f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππsin 1042f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B ，2ππ2T ==，故B 错误；对于C ，πsin π1122f ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭，即()f x 在π2x =处取不到最值，故()f x 不关于π2x =对称，故C 错误；对于D ，π2π2<<，π42π<<，则sin 20,sin 40><，所以()()()12sin 21sin 41sin 2sin 40f f -=+-+=->，即()()12f f >，故D 正确.故选：D.9．A 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得3100203100D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-+++=⎩，解得125D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以，圆M 的方程为22250x y x y ++--=，圆心为1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM 的斜率为3141312AM k -==+，因此，圆M 在点A 处的切线方程为()3314y x -=--，即34150x y +-=.故选：A.10．B 【详解】过O 作11A B 的平行线，交11B C 于E ，连结1B C ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，且11B C BC ⊥，1AB BC B=I 所以1B C ⊥平面11ABC D ，1//EF B C ，所以EF ⊥平面11ABC D ，可求得114EF B C =故选：B11．B 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 2==，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP当P 与M 或N 重合时，AP 2=．∴线段AP 长度的取值范围是]．故选：B ．12．C 【详解】因为()()()e e cos 2e e cos2x x x x f x x x f x ---=+--=+-=，所以()f x 为偶函数，故A 错误；()e e 2sin2x x f x x -+'=-，当π02x ≤<时，e e 0,2sin20x x x --≥≥，所以()0f x '≥，当π2x ≥时，ππ122e e e e e e 2,2sin22x x x ----≥->->≥-，所以()0f x ¢>，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为减函数，故B 错误；因为()()12f x f x >，所以()()12f x f x >，又因为()f x 在[0,)+∞上递增，所以12x x >，即2212x x >，故C 正确；显然120x x ->不一定成立，则12e 1x x ->不成立，故D 错误.故选：C13．320x y -=或3110x y +-=【详解】当此直线过原点时，直线在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都等于0，显然成立，所以直线斜率为32且过原点，所以直线解析式为32y x =，化简得；320x y -=，当直线不过原点时，由在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍可设直线方程为13x y a a +=，因为直线过()2,3，所以2313a a +=，解得113a =，化简得：3110.x y +-=故答案为：320x y -=或3110.x y +-=14．5解：圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即210x y +-=，因为2223x y x ++=变形为()2214x y ++=，即圆1C 的圆心为()1,0-，半径1r 为2，所以，圆心1C 到x ＋2y －1＝0的距离d ==所以，两圆的公共弦长为==故答案为：5．15．4+21a b +=得：()31a b b -+=，又0a b >>，则11113[()3]()444b a b a b b a b b a b b a b b -+=-++=++≥+=+---当且仅当3b a b a b b -+-，即3,36a b -==时取等号，所以当336a b ==时，则11a b b +-取得最小值4+.故答案为：4+16．9112π【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥S ABC -.如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，连接SO ，OC ，作OO '⊥平面ABC ，连接'CO ，延长'CO 交AB 于点H '，连接SH '，过O 作OH SH '⊥，垂足为H .由题可知，平面SAB ⊥平面ABC ，2AB AC BC SH '====，设OO h '=，则22233h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()22323h ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得34h =，则222391348h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该几何体外接球的表面积为9112π.故答案为：9112π。
2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年河南省南阳市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若数列{a n }4=且a 1＝1，a n ＞0则a n ＝（ ） A ．4n ﹣1 B ．4n ﹣3C ．（4n ﹣1）2D ．（4n ﹣3）2【答案】D【解析】，即得a n . 【详解】144na +==+24(1)43(43),n n n a n =-=-∴=- 故选：D 【点睛】本题考查等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．在等比数列{a n }中，a 1＋a n =34，a 2·a n −1=64，且前n 项和S n =62，则项数n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得a 2a n −1=a 1a n =64， 又a 1＋a n =34，解得a 1=2，a n =32或a 1=32，a n =2. 当a 1=2，a n =32时，S n =()111na q q--===62，解得q =2.又a n =a 1q n −1，所以2×2n −1=2n =32，解得n =5. 同理，当a 1=32，a n =2时，由S n =()111na q q--==3221qq--=62，解得q =.又a n =a 1q n −1=32×n −1=2，所以n −1==4，即n −1=4，n =5.综上，项数n 等于5，故选B ．3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6【答案】D【解析】解法一：由题知()()21112n n n S na d n n n n -=+=+-=，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 4．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．5．若数列}{n a 是等差数列，首项120162017201620170,0,0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A.4031B.4032C.4033D.4034 【答案】B【解析】试题分析：140322016201740324032()4032()22a a a a S ++==>，，因为数列{an}为递减数列，20162017201700a a a <⇒<14033403320174033()403302a a S a +==<，因此使前n项和Sn ＞0成立的最大自然数n 是4032，选B. 【考点】等差数列求和公式 【方法点睛】等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝（m －n ）d ⇔m na a m n--＝d （m≠n ），其几何意义是点（n ，a n ），（m ，a m ）所在直线的斜率等于等差数列的公差. ②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 S 2n ＝n （a 1＋a 2n ）＝…＝n （a n ＋a n ＋1）；S 2n －1＝（2n －1）a n .6．等差数列{a n }，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1+a 2+…+a 15，则m 的值为（ ） A ．106 B ．103C ．98D ．89【答案】A【解析】根据等差数列通项公式以及求和公式化简条件，解得结果.因为a m ＝a 1+a 2+…+a 15， 所以1111(1)1515140(1)1572a m d a d a m d d +-=+⨯⨯=∴-=⨯0106d m ≠∴=故选：A 【点睛】本题考查等差数列求和公式以及通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．若数列{2141n -}的前n 项和为T n ，则满足T n 100209＞的最小正整数n 是（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．9【答案】C【解析】先根据裂项相消法求T n ，再解不等式得最小正整数n. 【详解】21111()4122121n n n =---+1111111111(1)()()(1)232352212122121n nT n n n n ∴=-+-++-=-=-+++ 因为T n 100209＞，所以100100,12212099n n n n >∴>≥+ 故选：C 【点睛】本题考查裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.8．某厂去年产值是a 亿元，计划今后十年内年产值平均增长率是10%．则从今年起到第10年末的该厂总产值是（ ） A ．11（1.110﹣1）a 亿元 B ．10（1.110﹣1）a 亿元 C ．11（1.19﹣1）a 亿元 D ．10（1.19﹣1）a 亿元【答案】A【解析】先根据题意转化为求等比数列前10项的和，再根据等比数列求和公式得结果. 【详解】根据题意得从今年起到第10年末的该厂年产值依次构成等比数列，首项为(110%) 1.1a a +=，公比为110% 1.1+=，因此从今年起到第10年末的该厂总产值是10101.1(1 1.1)11(1.11)1 1.1a a -=--故选：A本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n +S m ＝S n ﹣m （n ＞m ），且a 1＝2，那么数列{S n }的前10项和T 10＝（ ） A ．8 B ．9C ．﹣70D ．55【答案】C【解析】先根据递推关系得数列{S n }成等差数列，再根据等差数列求和公式得结果. 【详解】令1m =，得1111+2(2)n n n n S S S S S S n --=∴-=-=-≥ 所以数列{S n }成等差数列，首项为2，公差为2-， 因此数列{S n }的前10项和T 10＝1102109(2)702⨯+⨯⨯⨯-=-， 故选：C 【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．等比数列{a n }是递增数列，其前n 项的积为T n （n ∈N ），若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝（ ） A ．2 B ．±2C ．4D ．±4【答案】A【解析】先根据定义化简条件，再根据等比数列性质求结果. 【详解】因为T 13＝4T 9，所以210111213101311128158154()4a a a a a a a a a a a a ===∴=因为等比数列{a n }是递增数列，所以8152a a =， 故选：A 【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.11．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是723n n S n T n +=+，则57a b 等于（ ） A ．214B ．6512C ．278D ．6516【答案】D【解析】先根据等差数列求和公式将和的比转化为项的比，再根据等差数列性质确定通项公式，最后代入得结果.121212112121()22212()2n n n n n n n n n a a S a an T b b b b -----+===-+ 所以21217(21)214521322n n n n a S n n b T n n ---+-===-++ 因为{a n }，{b n }为等差数列，所以(145),(22),n n a kn b k nk =-=+为不为零的常数， 即5714556527216a b ⨯-==⨯+ 故选：D 【点睛】本题考查等差数列求和公式性质以及等差数列通项公式特征，考查综合分析求解能力，属中档题. 12．已知数列满足：，.若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时；当时，，因此，选D.【考点】等比数列定义，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件二、填空题【答案】64【解析】根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ＝1，451a a q ==8，两式相除得q 3＝8，∴385a a q ==8×8＝64．故答案为：64 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．等差数列{a n }的公差为﹣2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 20＝_____． 【答案】﹣30【解析】根据等比数列性质列方程，解得a 1，再根据等差数列通项公式求结果. 【详解】∵等差数列{a n }的公差为﹣2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则由 21(4)a -=a 1•（a 1﹣6），解得a 1＝8．∴a 20＝a 1+19d ＝8﹣38＝﹣30， 故答案为：﹣30 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 【答案】－1n. 【解析】试题分析：因为11n n n a S S ++=，所以111n n n n n a S S S S +++=-=，所以111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n n S S +-=-，又11a =-，即11111S a ==-，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差都为1-的等差数列，所以()()1111n n n S =----=-，所以1n S n=-． 【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到111-=-， 11=-，确定数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项和公差都为1-的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题． 16．在等比数列{a n }中,a n >0,且a 1·a 2…a 7·a 8=16,则a 4+a 5的最小值为 . 【答案】【解析】在等比数列中,由a 1·a 2…a 7·a 8=16, 得(a 4a 5)4=16,所以a 4a 5=2,又a n >0, 所以a 4+a 5,当且仅当a 4=a 5时,取等号,所以a 4+a 5的最小值为.三、解答题17．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4＝2，S 6＝18． （1）求a n ；（2）设T n ＝|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求T n ．【答案】（1）a n ＝10﹣2n ；（2）()()22959406n n nn T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩ 【解析】（1）先根据条件列关于公差与首项的方程组，解得结果代入等差数列通项公式即可，（2）根据绝对值定义分类求解，当n ≤5时，T n ＝S n ，根据等差数列前n 项和公式求解，当n ≥6时，转化为2S 5-S n ，再根据等差数列前n 项和公式化简求值. 【详解】（1）设首项为a 1，公差为d 的等差数列，由于a 4＝2，S 6＝18．所以1132656182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得182a d =⎧⎨=-⎩，所以a n ＝8﹣2（n ﹣1）＝10﹣2n ， （2）由于a n ＝10﹣2n ， 所以当n ＝5时，a 5＝0， 当n ≤5时，|a n |＝a n ，所以T ＝|a |+|a |+…+|a |＝a +a +..+a ═()8102n n +-9n ﹣n 2，当n ≥6时，T n ＝|a 1|+|a 2|+…+|a n | ＝a 1+a 2+…+a 5﹣a 6﹣a 7﹣a 8﹣…﹣a n ＝2（a 1+a 2+…+a 5）﹣（a 1+a 2+…+a n ）＝40﹣（9n ﹣n 2） ＝n 2﹣9n +40，故()()22959406n n n n T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩．【点睛】本题考查等差数列通项公式与和项公式以及含绝对值数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．已知数列，是该数列的前项和，.（1）求数列的通项公式； （2）设，已为，证明. 【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）根据数列的项与和的关系，求得的通项公式； （2）利用（1）求得，利用裂项相消法求和.【详解】 （1）易知当时，由，时也成立，得（2）由可得因为，所以【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列的项与和的关系求通项，利用裂项相消法求和，属于简单题目.19．已知递增等比数列{a n }，a 3a 4＝32，a 1+a 6＝33， （1）求{a n }的通项公式（2）设b n ＝n •a n +1，且{b n }前n 项和为T n ，求T n【答案】（1）12n n a -=；（2）()1212n n T n +=+-⋅列通项公式即可，（2）根据错位相减法求和. 【详解】（1）设数列的公比为q ，由于等比数列单调递增，所以16a a <， 因为a 3a 4＝32，a 1+a 6＝33，所以16163233a a a a =⎧⎨+=⎩，解得a 1＝1，a 6＝32，所以15632a a q ==∴q ＝2． 故12n n a -=． （2）由于12n n a -=，所以b n ＝n •a n +1＝n •2n， 则212222n n T n =⋅+⋅++⋅①， 223112222n n T n +=⋅+⋅++⋅②，①﹣②得()1221221n n nT n +--=-⋅-．故()1212n n T n +=+-⋅【点睛】本题考查等比数列性质与通项公式以及错位相减法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）111432nn n T ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）由112221n n n n n S S a a a ---==-++可以得出1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，（Ⅱ）由（Ⅰ）可推导出1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用分组求和法就能求出数列{}1n a -的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）2n n S a n =-+，当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列。
2020届河南省南阳市第一中学高三上学期期终考前模拟数学(文)试题
第 1 页 共 20 页 2020届河南省南阳市第一中学高三上学期期终考前模拟数学（文）试题
一、单选题 1．已知集合|23Axxx或，BN，则RBCAI（ ）
A．{}1,0,1,2- B．1 C．1,0 D．0,1,2 【答案】D 根据补集定义先求得RCA,再根据交集运算即可求解. 解： 集合|2Axx或3x 所以|23RCAxx 因为BN 则0,1,2RBCA 故选:D 点评： 本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题. 2．设121izii，则||z（） A．0 B．1 C．5 D．3 【答案】B 先将z分母实数化，然后直接求其模． 解： 11122=2=211121iiiiziiiiiiiz（）（）（）（）
点评： 本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题． 3．已知123a，2log3b，3log2c，则,,abc的大小关系为（ ） A．abc B．acb C．bac D．cba 【答案】A 第 2 页 共 20 页
利用对数的性质比较,bc的大小，利用“1”比较a与,bc的大小关系. 解： 1231a，2log31b，3log21c，
又2233log3log2=log3log2，所以abc. 故选：A. 点评： 本题考查指数、对数的大小比较.一般利用指数函数、对数函数的单调性和01，等中间值解决问题. 4．已知a,b为非零向量，则“•0abrr”是“a与b夹角为锐角”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 根据向量数量积的定义式可知，若0abrr，则ar与br夹角为锐角或零角，若ar与br夹角为锐角，则一定有0abrr，所以“0abrr”是“ar与br夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）
河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题 理(含解析)
河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.复数1ii+的虚部是（ ） A. i - B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】 试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.已知R 是实数集，22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x，则()R C M N =I （） A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2， D. []0,2【答案】D 【解析】 【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由21x<得：0x <或2x >，即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C【解析】 【分析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯，解得：12λ=本题正确选项：C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈（-4π，0）且sin2α=-2425，则sinα+cosα=（ ） A.15 B. -15C. -75D. 75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈（-4π，0），所以sin 0,cos 0αα<>，且sin cos 0αα+>，222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=，所以 1sin cos 5αα+=，选A.5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A ．6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则113||M M u u u u u u u r等于（）A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 （ ）A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[2-D. [0,2【答案】A 【解析】考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题．解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6)（ω＞0）和g （x ）=3cos （2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-π6)，因为x∈[0，π2]所以2x-π6∈ [-π6，5π6]，所以3sin(2x-π6)∈[-32，3]；故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．8.在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且c =3C π=，则 ABC V 的面积是 ()n nA.4B.6C.3D.4或6【答案】D 【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴33b tanπ==．∴1122ABC S bc ===n ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =．∴1133132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=． 综上可得ABC V 的面积是334 或 736． 故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9.若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=u u u r u u u r u u ur r ，则角（ ）A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】 试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，且O A u u u v 与OB uuur 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为 （ ）A.43B.52C.25D.34【答案】C 【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为(1,)m k =r ，由且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等，得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r，即143k k +=-+，解之得25k =或43k =-（舍），故选C ．考点：向量投影定义及运算．11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t a f x t ≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A. (]2-∞，B. [)2+∞，C. (]6-∞，D. [)6+∞，【答案】D 【解析】 【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时，[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时，[)21,2x +∈ ()()()112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-= [)2,0x ∴∈-时，()min116f x =-，即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+，[)1,2t ∈，则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时，()0g t '>，则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是（ ）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】 试题分析：因为2()32f x ax bx c=++，所以(0)(1)(32)(22)0,01c f f c a b c c a c a=++=-><<，又12312[0,).33333a c c x x a a a a --====-∈考点：二次方程根与系数关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；③若ABC ∆为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为____________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，可得()1sin 22f x x =，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过20m =可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确. 【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=，①错误 ②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <” 若20m =，可知22am bm =，则其逆命题为假命题，②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确④令20x ax -=，解得：10x =，2x a =当0a ≤时，20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立 当0a >时，()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件，④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，则tan()4πα+=___________．【答案】13【解析】 【分析】根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果：13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．【答案】,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到214a b a ⋅<r r r ，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得：()()2f x x a x a b '=++⋅r r r ()f x Q 在R 上有极值 ()240aa b ∴∆=-⋅>r r r ，即214a b a⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r r r r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果：,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为 ．【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】【详解】设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数， ∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴()2()02sin 2f g πππ==， ∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U . 考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数2()1xe f x ax=+ （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
【原创】(新高考)2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷 数学(A卷)-学生版
（新高考）2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}A x x x =-->，2{430}B x x x =-+<，则A B =（ ）A ．{1x x <-或1}x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{12}x x <<2．设复数i z x y =+（其中x ，y 为实数），若x ，y 满足22(2)4x y +-=，则2i z -=（ ） A ．42i -B ．22i -C ．2D ．43．可知155a -=，41log 5b =，141log 5c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（510.6182-≈称为黄金分割比例），已知一位美女身高160cm ，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长度约103.8cm ，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ）（结果保留一位小数）A ．8.1cmB ．8.0cmC ．7.9cmD ．7.8cm5．函数cos 2()||xf x x =的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．6．回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5445等，在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为（ ） A ．25B ．13C ．29D ．4157．已知非零向量a ，b 满足||3||=a b 且(3)()+⊥-a b a b ，则a 与b 夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π2D ．08．已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，714S =，68a =，则（ ） A ．310n a n =- B ．24n a n =-C ．2319n S n n =-D ．231344n S n n =-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线21:(23)320l m x y --+=和直线2:350l mx y --=平行，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．23D ．3210．已知4，n ，9成递增等比数列，则在(4)nx x-的展开式中，下列说法正确的是（ ） 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．二项式系数之和为64B ．各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项是第4项D ．展开式中第5项为常数项11．若椭圆221169x y +=上的一点P 到椭圆焦点的距离之积为a ，当a 取得最大值时，点P 的坐标可能为（ ） A ．(4,0)-B ．(4,0)C ．(0,3)D ．(0,3)-12．已知函数2222()4()()x x f x x x m m e e--+=-+-+有唯一零点，则m 的值可能为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线2()1x f x xe x =+-在0x =处的切线方程为 ． 14．已知π1sin()48α+=，则πcos()4α-= ，3πsin()4α+= ． 15．兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜3局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以3:2获胜的概率为 ．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）若数列{}n a 满足1231111231n n a a a na n ++++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①2nn n a a b =，②11n n n b a a +=，③(1)nn n b a =-⋅． （从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题）18．（12分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知()(sin sin )c a A C -+ (sin )b B A =-．（1）求角C 的大小； （2）求222cos cos 5A B +=且b a >，求sin 2A ．19．（12分）如图，在直三棱柱AED BFC -中，底面AED 是直角三角形，且EA AD ⊥，3AB AE AD ===，其中M ，N 分别是AF ，BC 上的点且13FM CN FA CB ==． （1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求二面角A CF B --的正弦值．20．（12分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元． （1）设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．21．（12分）过点(1,0)E 的直线l 与抛物线22y x =交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点． （1）若直线l 的斜率为3，求||||AF BF +的值； （2）若12AE EB =，求||AB ．22．（12分）已知函数222()(12)ln f x x a x a x =+--，当1a <<（1）()f x 有唯一极值点； （2）()f x 有2个零点．（新高考）2020-2021学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题意可知，{1A x x =<-或2}x >，{13}B x x =<<， 则{23}AB x x =<<，故选B ．2．【答案】C【解析】∵i z x y =+，∴2i (2)i z x y -=+-，∴2i 2z -===，故选C ． 3．【答案】C 【解析】∵1050551-<<=，41log 05b =<，14441log log 5log 415c ==>=， ∴c a b >>，故选C ． 4．【答案】B【解析】设该美女穿的高跟鞋为cm x ，则103.810.6181602x =+≈，解得8.0x ≈，故选B ． 5．【答案】C【解析】∵易知函数cos 2()||xf x x =为偶函数，排除A ，B 选项； ∵πcosπ2()0π44f ==，当π(0,)4x ∈时，cos20x >，即()0f x >，排除D ． 6．【答案】B【解析】列出所有小于200的三位回文数如下：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个，从中任取两个数共有210C 45=种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于5有26C 15=种情况，故所求概率为151453P ==，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵(3)()+⊥-a b a b ，则(3)()0+⋅-=a b a b ，得22||23||0+⋅-=a a b b ，223||||2-⋅=b a a b ，设a 与b 夹角为θ，则223||||cos 02||||θ-==⋅b a a b ，即夹角为π2． 8．【答案】A【解析】由题意得117211458a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得173a d =-⎧⎨=⎩，故231722310n n S n na n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】AD【解析】∵直线21:(23)320l m x y --+=和直线2:350l mx y --=平行，直线1l 的斜率为21233m k -=，直线2l 的斜率为23m k =，则12k k =，即22333m m-=，解得1m =-或32． 10．【答案】ACD【解析】由4，n ，9成递增等比数列可得6n =， 故6(4x -的二项式系数之和为64，A 正确；令1x =，66(4264x==，则6(4x -的各项系数之和为64，B 错误； 6(4x 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C 正确；6(4x的展开式中展开式中第5项4246C(4)(151616x=⨯⨯为常数项，D正确，故答案选ACD．11．【答案】CD【解析】记椭圆221169x y+=的两个焦点分别为1F，2F，故12||||8PF PF+=，可得21212||||||||()162PF PFPF PF+≤=，当且仅当12||||4PF PF==时取等号，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，a取得最大值，此时点P的坐标为点(0,3)或(0,3)-．12．【答案】BC【解析】∵22222222()4()()(2)4()()x x x xf x x x m m e e x m m e e--+--+=-+-+=--+-+，令2t x=-，则22()4()()t tg t t m m e e-=-+-+，定义域为R，22()()4()()()t tg t t m m e e g t--=--+-+=，故函数()g t为偶函数，所以函数()f x的图象关于2x=对称，要使得函数()f x有唯一零点，则(2)0f=，即2482()0m m-+-=，解得1m=-或2，故答案选BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】10x y--=【解析】()2x xf x e x e x'=+⋅+，(0)1f=-，根据导数的几何意义可知曲线在点(0,1)-处的切线斜率为(0)1k f'==，∴切线方程为1y x+=，即10x y--=．14．【答案】18，【解析】∵π1sin()48α+=，则ππππ1cos()cos[()]sin()42448ααα-=-+=+=，3ππππsin()sin()cos()4244ααα+=++=+，根据22ππsin()cos()144αα+++=，得πcos()48α+=±．15．【答案】316【解析】因为利用比赛规则，那么甲以3:2获胜表示甲在前4局中胜2局，最后一局甲赢，则利用独立重复实验的概率公式可知22241113C()()22216P=⨯⨯⨯=．16．【答案】2【解析】由题意得FA b=，3FB b=，OA a=，由题得tan tanbBOF AOFa∠=∠=，∴24tan tan21()b bb a aBOA BOFbaa+∠==∠=-，整理得222a b=，即2222()a c a=-，∴2232a c=，232e=，即2e=．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）1na n=+；（2）见解析．【解析】（1）1231111231nna a a na n++++=+，当2n≥时，1231111123(1)nna a a n a n-++++=-，两式相减得1111(1)nn nna n n n n-=-=++，∴1na n=+，当1n=时，12a=满足，1na n=+，∴数列{}na的通项公式为1na n=+．（2）选条件① ∵1122n n n a n a n b ++==，∴234123412222n n n T ++=++++，∴34521234122222n n n T ++=++++， 两式相减得123412211(1)121111118212222222212n n n n n n n T -+++-++=++++-=+-- 1223113342242n n n n n +++++=--=-， ∴13322n n n T ++=-． 选条件②： ∵11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++， ∴1111111111233445122224n n T n n n n =-+-+-++-=-=++++． 选条件③：∵(1)nn n b a =-，∴当n 为奇数时，132345(1)11222n n n T n n -=-+-+--+=⨯--=--； 当n 为偶数时，234(1)122n n nT n =-+-+++=⨯=，∴3222n n n T n n ⎧--⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数．18．【答案】（1）π4C =；（2）614+． 【解析】（1）由正弦定理得()()(2)c a a c b b a -+=-，故2222c a ab b -=-+，即2222a b c ab +-=，∴2222cos 2a b c C ab +-==， ∵(0,π)C ∈，∴π4C =． （2）∵π4C =，∴3π222B A =-， ∴221cos 21cos 2cos cos 22A BA B +++=+112π2(cos 2cos 2)11(cos 2sin 2)1sin(2)22245A B A A A =++=+-=--=， ∴π32sin(2)45A -=， ∵b a >，∴B A >，即3π4A A ->，得3π8A <， 又∵ABC △为锐角三角形，∴π3ππ442A <-<，∴ππ42A <<．∴π3π48A <<， 则πππ2442A <-<，∴π7cos(2)45A -=， ∴ππππππsin 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 444444A A A A =-+=-⋅+-⋅ 3227261452210+=⨯+⨯=． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）证明：如下图，分别在FC ，EF 上取点P ，Q ，13CP FQ CF FE ==， 连接NP ，PQ 及MQ ，∵13FM CN FA CB ==，∴13MF FQ MQ AE FA FE ==⇒∥及13MQ AE =，13CN CP NP BF CB CF ==⇒∥且13NP BF =，∴MQ NP ∥，MQ NP =，∴四边形MNPQ 为平行四边形，∴MN QP ∥， 又∵MN ⊄平面CDEF ，QP ⊂平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF ．（2）如下图所示，以A 为坐标原点，AE 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，AB 方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(3,0,3)F ，(0,3,3)C ，(0,0,3)B ，∴(3,0,3)AF =，(0,3,3)AC =，由题易知平面BCF 的法向量为1(0,0,1)=n ， 设平面ACF 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2203303300AF x z y z AC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩n n ，取1x =，则2(1,1,1)=-n ，∵1212123cos ,3⋅===-⋅n n n n n n ，则二面角A CF B --的正弦值为63．20．【答案】（1）分布列见解析；（2）人工检验，详见解析． 【解析】（1）X 的可能取值为15，36，55(15)0.90.10.590490.000010.5905P X ==+=+=，(36)10.59050.4095P X ==-=，则X 的分布列为（2）由（1）知，()150.5905360.409523.5995E X =⨯+⨯=，∴1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为()100023.599523599.5E X =⨯=元．∵1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为212100024000⨯⨯=元， 且2400023599.5>，∴应该选择人工检验． 21．【答案】（1）299；（2）352．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，（1）由题意可知直线l 的方程为33y x =-，由2233y x y x ⎧=⎨=-⎩，消去y ，得292090x x -+=，12209x x +=，∴122029||||199AF BF x x p +=++=+=． （2）由12AE EB =，可知212y y =-①， 设直线l 的方程为y kx k =-，由22y x y kx k⎧=⎨=-⎩，消去x ，得2220ky y k --=，2480Δk =+>恒成立， 122y y k+=②，122y y =-③， 由①②③解得1212y y =⎧⎨=-⎩或1212y y =-⎧⎨=⎩，∴122||||1y y k +==，得2114k =，∴135||1184AB =++= 22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222222(12)()2(12)a x a x a f x x a x x +--'=+--==2(21)()x x a x+-，当2(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单减；当2(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单增，∴()f x 有唯一极值点．（2）由（1）知()f x 在2(0,)a 单减，在2(,)a +∞单增，∴()f x 在2x a =时取得极小值为2222()(1ln )f a a a a =--， ∵1a e <<21a e <<，2ln 0a >，∴2()0f a <，又∵222221112112()(1)0a f a a e e e e e e-=++=++->， 根据零点存在性定理，函数()f x 在2(0,)a 上有且只有一个零点． ∵ln x x >，222()(12)ln f x x a x a x =+--222(12)x a x a x >+--222(13)(13)x a x x x a =+-=+-，∵1a <<22231210a a a --=->，2231a a ->，∴231x a >-时，()0f x >，根据零点存在性定理，函数()f x 在2(,)a +∞上有且只有一个零点， ∴()f x 有2个零点．。
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南阳市一中2019年秋期高三第一次月考文数试题一、单选题1．在空间中，给出下列四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）A ．1B ．43C ．2D ．43．设全集U =R ，集合{|14}M x x =-<<，{}2|log (2)1N x x =-<，则()U M C N ⋂=（ ）A ．φB ．{|42}x x -<≤C ．{ |4<<3}x x -D ．{|12}x x -<≤ 4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）A ．6:1):4+B ．64C ．5:1):4+D ．5:45．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．26．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ）A ．π6B ．π4 C ．π3 D ．π27．已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，则点C 到平面11BDD B 的距离为（ ）A ．1BC ．D ．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（ ）A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD9．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若,l l m α⊥∥，则m α⊥B ．若,l l αβ∥∥，则αβ∥C ．若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥10．如图，正方形ABCD 的边长为 2，,E F 分别为,BC CD 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体A OEF -，则四面体A OEF -的体积为（ ）A ．13B C ．12D 11．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8πB ．7πC ．8π+D ．6π12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段11B D 上，BA 的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B -的左（侧）视图为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图所示，111A B C ∆是水平放置的平面图形ABC ∆的直观图（斜二测画法），若112A B =，11O C '=，则ABC ∆的面积是_______.14．已知三棱锥S ABC -（如下图所示），SA ⊥平面ABC ，6AB =，8BC =，10AC SA ==，则此三棱锥的外接球的表面积为______．（第14题图） （第15题图） （第16题图）15．如上图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为16．如上图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为______ 三、解答题 17．集合3{|1,}2A x x R x =<∈+，{|||2,}B x x a x R =-<∈. （1）若2a =，求A B ；（2）若R B C A =∅I ，求a 的取值范围.18．在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD上的点，且12CF CG BF DG ==．求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ； （2）平面1APC 平面1B CD ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60BAC CAD ︒∠=∠=，AB BC ⊥，AD DC ⊥，点E 为PD 的中点，2PA =，4AC =.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）求点D 到平面AEC 的距离.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，12AB AD BC ==．（Ⅰ）求证：//AD 平面BCEF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点M ，使得//CE 平面AMF ？若存在，求出BMDM的值；若不存在，请说明理由.22．如图，四边形ABCD 为矩形，ED ⊥平面ABCD ，AF ED ∥，4AB =，3BC =，36DE AF ==.（Ⅰ）求证：BF ∥平面CDE ；（Ⅱ）点G 在线段ED 上，且2EG =，过B 、F 、G 三点的平面将多面体ABCDEF 分成两部分，设上、下两部分的体积分别为1V 、2V ，求12:V V .南阳市一中2019年秋期高三第一次月考文数答案DBDA A DBDD A BB12. B 在1Rt AA P ∆中：22211AP AA A P =+ 当AP 最短时，1A P 最短即111A P B D ⊥12,3AA AB BC ===在111A B D ∆中通过长度关系知道P 靠近B 1：左视图为B13. 2 14. 200π 15. 16.9416.因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理//EF AB ， //,//GF CD EH CD ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又34AD BD AC BC ====，，可证明AB CD ⊥ 所以四边形EFGH 为矩形.设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，3,3(1)FG x HG x ==-2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =⨯=-=--+ ，当12x =时，有最大值94.17. （1）由312x <+得102xx -<+即(1)(2)0x x -+<，解得2x <-或1x >，所以{|2A x x =<-或1}x >；当2a =时，{|22,}B x x x R =-<∈由22x -<得222x -<-<，即04x <<，所以{|04}B x x =<<， 所以{|2A B x x ⋃=<-或0}x >.（2）由2x a -<得22x a -<-<，即22a x a -<<+，{|22}B x a x a =-<<+， 由（1）得{|2A x x =<-或1}x >，所以{}|21R C A x x =-≤≤， 若R B C A =∅I ，则22a +≤-或21a -≥，即4a ≤-或3a ≥ 18.证明：（1）连结BD ，∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴∥EH BD ，且12EH BD =，又∵13CF CG CB CD ==，∴∥FG BD ，且13FG BD =，因此∥EH FG 且EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EF HG K =，∵K EF ∈，EF ⊂平面ABC ，∴K ∈平面ABC ，同理K ∈平面ACD ，又平面ABC平面ACD AC =，∴K AC ∈，故EF 和GH 的交点在直线AC 上．所以AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点．19.证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ， ∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点， 又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1ODAC ，又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD ； （2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1AD B P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形，∴1APDB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ，∴平面1APC 平面1B CD ．20.证明（1）连接BD 交AC 于O 点，因为60BAC CAD ︒∠=∠=，90ABC ADC ∠=∠=，AC AC =，所以Rt ABC Rt ADC ≅，AB AD =. 又AO 为BAD ∠的平分线，所以AO BD ⊥，且O 为BD中点.又因为E 为PD 的中点，所以OE PB .因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB 平面AEC .（2）解：在1C 中，4AC =，60CAD ︒∠=，所以2AD =，CD =. 由PA ⊥平面ABCD ，得PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAD ，从而CD PD ⊥.在Rt PAD △中，2PA =，2AD =，所以PD =AE ED ==Rt CDE △中可得EC =222AC AE EC =+，所以AE CE ⊥.所以12AEC S ∆==122ACD S ∆=⨯⨯=.设点D 到平面AEC 的距离为h ，则111332AEC ACD S h S PA ∆∆⋅=⋅，解得7h ==21.（Ⅰ）因为四边形ADEF 为正方形，所以//AD EF ，由于EF ⊂平面BCEF ，AD ⊄平面BCEF ，所以//AD 平面BCEF .（Ⅱ）因为四边形ADEF 为正方形，所以DE AD ⊥.平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF平面ABCD AD =，所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥.取BC 中点N ，连接DN .由//BN AD ，BN AD =，90BAD ∠=︒，可得四边形ABND 为正方形.所以DN AB =.所以12DN BC =.所以BD CD ⊥. 因为CDDE D =，所以BD ⊥平面CDE .（Ⅲ）存在，当M 为BD 的中点时，//CE 平面AMF ， 此时1BMDM=. 证明如下： 连接AN 交BD 于点M ，由于四边形ABND 为正方形，所以M 是BD 的中点，同时也是AN 的中点.因为,//NC AD NC AD =，又四边形ADEF 为正方形，所以,//NC FE NC FE =，连接NF ，所以四边形NCEF 为平行四边形.所以//CE NF .又因为NF ⊂平面AMF ，CE ⊄平面AMF ，所以//CE 平面AMF . 22.（Ⅰ）证法1：四边形ABCD 为矩形，所以AB CD ∥，∵AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ；又AF ED ∥，∵AF ⊄平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，∴AF平面CDE ；因为AF AB A ⋂=，AB Ì平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面CDE ，又BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面CDE .证法2：如图，在ED 上取点N ，使2DN =，连接NC 、NF ，∵AF DN ，四边形ADNF 为平行四边形，所以AD FN ，又四边形ABCD 为矩形，AD BC ∥，所以FN BC ，所以四边形BCNF 为平行四边形，所以BF NC ，∵BF ⊄平面CDE ，NC ⊂平面CDE ，所以BF ∥平面CDE .（Ⅱ）过G 作MG BF ∥交EC 于点M ，连接BG ，BM ，GF ，BD ，则 设M 到ED 的距离为h ，由证法2知，GM NC ，EGM ENC ∆∆，则4EG h EN =，即244h=，∴2h =， ∴1E BFGM B EFG B EMG V V V V ---==+111123422363232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 又ABCDEF B ADEF B CDE V V V --=+()264116433283232+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=. ∴2128622ABCDEF V V V =-=-=， ∴12:6:223:11V V ==.故过B 、F 、G 三点的平面将多面体ABCDEF 分成的上、下两部分的体积为3:11.。