2017届高考数学大一轮总复习9.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理理

解析 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝ y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点。
答案 B
【规律方法】 应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时 可能又用到分类加法计数原理。 (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图 或列出表格，使问题形象化、直观化。
(2)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时
要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )
A．8种
B．9种
C．10种
D．11种
【解析】 (2)设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为 a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不 同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原 理共有3＋3＋3＝9(种)。
R 热点命题 深度剖析
考点一 分类加法计数原理
【例1】 (1)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有
实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14
B．13
C．12
D．10
【解析】 ①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根， ∴(a，b)的取法有4个。 ②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1。 a＝－1时，b的取值有4个， a＝1时，b的取值有3个， a＝2时，b的取值有2个。 ∴(a，b)的取法有9个。 综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个。 【答案】 B
利用两个计数原理，求解有关实际问题，是高考考查两个计数原理的 一个重要考向，常与涂色问题、组数问题、排队问题、种植问题等交汇考 查，一般以选择题、填空题的形式出现。
角度一：涂色问题 1．如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不 同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则 共有___2_6_0___种不同的涂色方法。
【答案】 A
【规律方法】 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意 (1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序。 (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成了，才算完 成这个事件。 (3)对完成各步的方法数要准确确定。
(2)某体育彩票规定，从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2
元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21
至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的
号买全，至少要花( )
A．3 360元
B．6 720元
C．4 320元
D．8 640元
解析 从01至10中选3个连续的号共有8种选法：从11至20中选2个 连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选 一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6＝4 320(种) 选法，至少需花4 320×2＝8 640(元)。
S 思想方法 感悟提升
⊙1个区别——两个计数原理的区别 它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独 立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有 关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。 ⊙3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算 完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归 纳出解题方法； (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状 图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律； (3)复杂问题一般是先分类再分步。
答案 C
角度三：与集合有关的问题
3 ． (2016· 银 川 模 拟 ) 集 合 P ＝ {x,1} ， Q ＝ {y,1,2} ， 其 中 x ，
y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q。若满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为
一个点的坐标，则这样的点的个数是( )
A．9
B．14
C．15
D．21
B．6种
C．7种
D．9种
解析 分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次 有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)。
答案 C
(2)若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序数对(x，y)共有____1_5___个。 解析 当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个； 当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个； 当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个； 当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个； 当x＝5时，y可取的值为1，共1个； 由 分 类 加 法 计 数 原 理 ， 不 同 的 数 对 (x ， y) 共 有 5 ＋ 4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 15(个)。
解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方 法，可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色， 此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法，所以共有5×4×4＋ 5×4×3×3＝260种涂色方法。
角度二：与几何有关的问题
2．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
第九章 计数原理、概率、随机变量 及其分布
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类 加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
考点二 分步乘法计数原理
【例2】 (1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层
的走法有( )
A．10种
B．25种
C．52种
D．24种
【解析】 共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四 层2种，四层到五层2种，一共有24种。
【答案】 D
(2)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相
答案 A
2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋
bi，其中虚数有( )
A．30个
B．42个
C．36个
D．35个
解析 ∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分 步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数。
答案 C
3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个
60°的共有( )
A．24对
B．30对
C．48对
D．60对
解析 解法一(直接法)：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的 面对角线都与它成60°，共8对；同样A1C1对应的也有8对，下底面也有 16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对。所以全部共有48 对。
解法二(间接法)：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行 或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48对。
新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．504
B．210
C．336
D．120
解析 分三步：先插一个新节目，有7种方法；再插第二个新节 目，有8种方法；最后插第三个节目，有9种方法。故共有7×8×9＝504 种不同的插法。
答案 A
4．(2016·黄山模拟)一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中 选取男、女队员各一名组成混合双打，共有____2_0___种不同的选法。
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独 的步骤都能完成这件事。( × )
解析 错误。在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件 事。
[练一练]
1．某班班干部有5名男生、4名女生，从9人中选1人参加某项活动，则
不同选法的种数为( )
A．9
B．5
C．4
D．72
解析 分两类：一类从男生中选1人，有5种方法；另一类是从女生 中选1人，共有4种方法。因此，共有5＋4＝9种不同的选法。
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二
类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件 事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种方法(也称加法原理)。
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做
第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事情共有
解析 先选男队员，有有5×4＝20(种)不同的选法。
5．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数 的不同取法的种数是____6____。
解析 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取 出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方 法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种取法。
同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
【解析】 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种 不同排法。再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排 法，第二列第二、三行的字母只有1种排法。因此共有A·2·1＝12(种)不 同的排列方法。
N＝
m1×m2×…×mn
种方法(也称乘法原理)。
基础自测
[判一判] (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。( × ) 解析 错误。在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同 的。 (2) 在 分 类 加 法 计 数 原 理 中 ， 每 类 方 案 中 的 方 法 都 能 直 接 完 成 这 件 事。( √ ) 解析 正确。根据分类加法计数原理的概念可知，分类加法计数原理 中每类方案中的方法都能直接完成这件事。 (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不 相同的。( √ ) 解析 正确。根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确。