数学---广东省深圳市宝安中学2016-2017学年高二下学期期中考试(理)

广东省深圳市宝安中学2016-2017学年高二下学期期中考试（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分.全卷共计150分.考试时间为120分钟. 注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上.2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上.3、考试结束，监考人员将答题纸收回.第Ⅰ卷 （本卷共计60 分） 一、选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．设i z +=1（i 是虚数单位），则=+z z2（ ） A ．i 22-B ．i 22+C ．i --3D ．i +32、设都是正数，则三个数（ ）Ａ．都大于2 Ｂ．至少有一个大于2 Ｃ．至少有一个不小于2 Ｄ．至少有一个不大于23、用数学归纳法证明1+a +a 2+…+a n+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是 （ ） A.1 B.1+a C.1+a +a 2D.1+a +a 2+a 34、函数在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D.5、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 6.设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件a b c ，，111a b c b c a+++，，x e x f x ln )(=))1(,1(f )1(2-=x e y 1-=ex y e x y -=)1(-=x e y7．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 －1≤x<0 cos x 0≤x≤π2 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B.1 C.2 D.128．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)9、由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )A ．ʃ40(x 2－4)d x B. |ʃ40(x 2－4)d x | C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x10、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差 数列,每一列成等比数列,则a+b+c 的值是( )A. 1B. 2C.3D.4 11、函数⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+-=ax x x x x x f 0,2301,1)1(log )(32的值域是[0，2]，则实数a 的范围是（ ）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[3，2] 12、已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=--+∈R ．至少存在一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x > 则a 的取值范围是（ ） A ．)11,(--∞e B ．)11,11(-+-e e C ．)11,0[+e D ．)11,(+-∞e 第Ⅱ卷 （本卷共计90分）二、填空题（每小题5分，共计20分） 13、已知复数 z 满足，则14、设曲线2x y =在点)4,2(处的切线与曲线xy 1=（0>x ）上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．(13)1i z i+=+||z =120.51abc15、已知t>0，若⎠⎛0tdx x 24-＝2332+π，则t ＝______. 16、类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：d a a n n =++1（N n n ∈≥,1+,d 为常数, 称为公和），已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 ____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为______________________． 三、解答题（共6小题，计70分）17、（本小题10分）若下列方程： 03442=+--a ax x ，22(1)0x a x a +-+=， 2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．18、（本小题12分）用数学归纳法证明不等式)(),11(2131211+∈-+>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++N n n n19、（本小题12分）已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---= （1）当1=a 时,求)(x f 的单调区间； （2）求证：当0=a 时，0)(≥x f20、（本小题12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围21、（本小题12分）已知函数f (x )＝2x＋a ln x －2(a >0).(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)若对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，试求实数a 的取值范围；(3)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R)，当a ＝1时，函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.22、已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1ex ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D B C A B C A C A二、填空题18、（本小题12分） 证明：显然，左端＞右端；所以n ＝1时，原不等式成立.②假设当n ＝k （k ∈N ）时不等式正确，即：1)2)(1(232+++-+=k k k k 01)2)(1(2)2(22>+++-+>k k k k①当时，左端，右端n ===+-=-112111221()()112131211++++>+-…k k ()那么当时n k =+11121311121111++++++>+-++…k k k k ()又211112111()(())k k k +-++-++-∴…112131112111++++++>++-k k k [()]即n ＝k ＋1时，不等式也成立由①、②可知，对任意n ∈N +，不等式都成立. 19、（本小题12分）解：（1）)(x f 在)2,0(上单调递减，在),2(∞+上单调递增 (2) 证明0)(min ≥x f ，即可. 20、（本小题12分）解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：x2(,)3-∞-23-2(,1)3- 1(1,)+∞'()f x +-+()f x ↑极大值 ↓极小值 ↑所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-； （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 21、（本小题12分）解：(1)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋ax ，∴f ′(1)＝－212＋a 1＝－1，解得a ＝1， ∴f (x )＝2x ＋ln x －2，f ′(x )＝x －2x 2，由f ′(x )>0得x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2).(2)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2(a >0)，由f ′(x )>0得x >2a ，由f ′(x )<0得0<x <2a ，∴f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，单调递减区间为(0，2a)，当x ＝2a 时，f (x )取极小值， 也就是最小值f (x )min ＝f (2a ).∵对∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，∴f (2a )>2(a －1)，即22a ＋a ln 2a －2>2(a －1)，∴a ln 2a >a ，ln 2a >1，0<a <2e，∴实数a 的取值范围为(0，2e).(3)当a ＝1时，g (x )＝2x ＋ln x ＋x －2－b (x >0)，g ′(x )＝x 2＋x －2x 2，由g ′(x )>0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1. ∴g (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)， 当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1). ∵函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (e －1)≥0，g (e)≥0，g (1)<0，解得1<b ≤2e＋e －1.∴b 的取值范围是(1，2e ＋e －1].22、（本小题12分）解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ，∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －te x＝－（x －t ）（x －1）e x.①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1e t <max{1，3－t e }．(*)由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。