第34讲 置换问题(生)
小学三年级奥数第34讲 简单推理(二)(含答案分析)
第34讲简单推理（二）一、专题简析：小文比小林高，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高，这也是一种推理。
与前面推理题不同的是，这种推理解答时不需要或很少用到计算，而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合理的结论。
做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明推理正确，否则再换个结论来验证。
二、精讲精练例1：红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一个是红的，一个是黄的，一个蓝的。
只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不载黄帽子，也不戴蓝帽子。
请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？练习一1、爸爸买回3双袜子，其中2双是花袜子，1双是红袜子，爸爸塞了一双花袜子给妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的1双藏在自己手中，让兄妹俩猜是什么颜色的，谁猜对就把袜子给谁。
你们说，谁肯定会猜对？2、黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一个是粉红的，一个是蓝的。
已知黄颖穿的不是花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不穿花衣服。
她们分别穿什么颜色的衣服？例2 ： 一个正方体有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色，你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每一种颜色对面各是什么颜色吗？黄红绿蓝黄白白红黑练 习 二1、有一个正方体，每个面上分别写着1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察，结果如下：526123431这个正方体每个数的对面是什么数？2、一个正方体，每个面上分别写有A 、B 、C 、D 、E 、F ，根据它三种不同的摆法，判断这个正方体每个字母的对面是什么？FEED BA C BA例3：已知某月中，星期二的天数比星期一的天数多，而星期三的天数比星期四的天数多。
那么这个月最后一天是星期几？练 习 三1、某年二月，星期日的天数最多，那么这个月最后一天是星期几？2、某月中，星期日的天数比星期六的天数多，而星期二的天数比星期三的天数多。
小学五年级奥数第34讲 置换问题(含答案分析)
第34讲置换问题一、专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
二、精讲精练例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
练习一1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？例2 用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？练习二1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。
例3一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？练习三1、王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？例4 5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
二年级数学奥数讲义+练习第34讲 推理计算(全国通用版,含答案)
第34讲推理计算奥数是给那些对奥数有兴趣的孩子搭建的一个舞台，正象我们给那些对英语、对绘画、对音乐、对体育等有兴趣的孩子搭建的舞台一样，让他们自由、快乐地享受童年、享受人生。
其一，奥数包涵了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等等二十几种思维方式，众所周知，思维能力是一个孩子的智力的核心，如果一个孩子在小学期间，思维能力得到了充分的锻炼，有什么比这更重要的呢？奥数能够快速有效、全面提高孩子智商的工具。
奥数学习对开拓思路有着重要作用。
奥数学习好的学生整个理科都会比较优秀，因为数学是理科的基础，物理化学都需要数学这个基础。
正因为这个原因，重点中学喜欢招奥数比较好的学生。
其二，奥数题基本上是比书上知识有所提高的内容，当孩子在做题当中遇到困难，想办法战胜它时，那种来自内心深处的喜悦比吃了十斤蜜枣还甜。
在学习、比赛中，有失败、有成功，让孩子从小就明白：不经历风雨怎能见彩虹的道理，一句话：奥数让孩子学会了面对挫折、战胜困难，学会了永不言败的精神，建立起良好的自信。
可以说既提高孩子的智商又能发展孩子的情商。
【专题简析】我们已经知道用移多补少的方法可使不相等变成相等，在分东西的题中，有很多把不相等的数量转化成相等数量的问题，这就需要我们分析两个数量之间的关系，再进行移多补少。
解决这类问题，首先要明确“移多补少”至相等时，移的部分是相差部分的一半，由相等移为不等，相差的部分是移的部分的两倍。
如果说移后，两个数量仍然不相等，要知道原来两个数量之间有什么关系，你会吗？【例题1】甲筐比乙筐多8个西瓜，甲筐给了乙筐6个西瓜后，哪筐西瓜多？多几个？思路导航：根据甲筐比乙筐多8个西瓜，由“移多补少”知甲给乙4个西瓜，两筐就同样多。
甲筐给了乙筐6个，相当于先给4个，又给2个，可知乙筐比甲筐多2×2＝4（个）。
解：8÷2＝4（个）（6－4）×2＝4（个）答：乙筐西瓜多，多4个。
置换问题——精选推荐
第五节置换问题置换问题又称“鸡兔问题”、“假设问题”，它的一般结构特点是：已知两类物品的单价、总数和总价，求这两类物品各是多少。
解题时从假定的条件进行分析，从而求出题目的未知数。
通过假定的某个条件或某种现象成立，则发生了与题目条件不同的矛盾和差异，从而找出差异原因，消除差异，使问题得到解决，这种解题思路称为假设。
解题方略先假设要求的两个未知量是同一种量，求出他们的总价与实际总价的差，再用另一类（乙类）物品去调换某一类（甲类）物品，调换的次数就是乙类物品的个数。
置换问题的基本数量关系式：（假定全部为高价物物品的总价-实际总价）÷两类物品单价之差=低价类物品（实际总价-假定全部为低价物物品的总价）÷两类物品单价之差=高价类物品物品总数-高价物品数=低价物品数物品总数-低价物品数=高价物品数通常所说的鸡兔问题就属于这类问题，它的数量关系是：（兔腿数×总数-总腿数）÷（兔腿数-鸡腿数）=鸡数（总腿数-鸡腿数×总数）÷（兔腿数-鸡腿数）=兔数例题解析：例1、现有一笼鸡和兔，数头共12个，数脚32只，问鸡兔各几只？解析：首先我们先来借助图示来分析理解：根据题意，先用“画出鸡兔的总只数12只。
再给每个身体画出两条腿。
数一数图中共有24条腿，比已知32条褪少32-24=8条腿，因为每只兔有4条腿，而图中画的都是两条腿的鸡，就要给每只鸡填上4-2=2条腿，填上两条腿的“鸡”就“变”成了兔。
剩余的8条腿可以给4只“鸡”“变”成兔，那么鸡就有12-4=8（只）。
在这里也可以全部画成成4条腿的兔，腿数会比实际腿数多，多几个腿数差，就在几只“兔”去掉几个腿数差，到腿数与题中腿数和相同，就可以求出鸡兔的只数。
虽然图示法比较直观，我们能很容易求出鸡兔的数量，题中但数量较多、较复杂时用这种方法就时比较麻烦。
我们可以用假设法来求这样问题。
从已知的12个头，可得鸡、兔共有12只，我们又知道每只鸡有2只脚，而每只兔有4只脚，假设笼中有12只鸡，那么应该有12×2=24（只）脚，而实际上笼中共有32只脚，少了32-24=8（只）脚，原因是我们的假设把笼中的兔子也算做了鸡，每只兔少算了4-2=2（只）脚，所以剩余的脚数包含有几个鸡兔腿数差，就有几只（2脚）鸡“变”为（4脚）兔，兔子应当有8÷2=4（只），从而实际上鸡只有12-4=8（只），列综合算式为：（32-12×2）÷（4-2）=4（只）…………兔子数12-4=8（只）…………鸡数答：笼中有兔4只，鸡8只。
小学六年级新思维拓展——置换问题-经典通用
——置换问题
知识广角
在古代,没有发明衡器及货币,人们需要什么 东西不是去市场上买,而是以物换物,这就是“置 换”的由来及早期应用。 “置换”是解决问题常用的一种思维方式。在有 些问题中,要求两个或两个以上未知量,解答时,可 以先分析这些未知量之间的相等关系,根据它们 之间的相等关系,用一种未知量来置换其他的未 知量,从而找到问题的答案。
甲购物: 3A+5B+C=20 ① 乙购物: 4A+7B+C=25 ② ② - ①，得: A+2B=5 ③ ① - ③，得: 2A+3B+C=15 ④ ④ - ③，得: A+B+C=10(元) 答:丙购A、B、C各一件，应付10元。
问题解决
1、1只小猴重 4千克,是2 只小兔的重量,3 只 小兔的重量等于 6 只小猫的重量,那么一只小 猫重（ A ）。
汽车比大车多运12吨,每辆汽车运 4 吨。
问题解决
9、5千克荔枝和 6千克桂圆共值 96 元,已知1 千克荔枝与2千克桂圆的价钱相等,每千克荔
枝 12 元，每千克桂圆 6 元。
问题解决
10、学校买了4 个足球和6个排球共用去 390 元,每个足球比每个排球贵10 元,足球的单价
是 45 元,排球的单价是 35 元.
3、30只小鸡可以换2 只大鸡,16 只大鸡可以 换 2 只羊,9只羊可以换 3 头猪,15 头猪可以 换( D )小鸡。
A. 90只 B. 120只 C. 360只 D. 5400只
问题解决
4、学校买排球 6个、篮球 4 个共付出 192 元,买2个篮球的钱可买 3 个排球,篮球每个 ( B )。
问题解决
例1、光明小学的李老师去文具店买了同样的4 支钢笔和9支圆珠笔共付出 24 元,已知买 2 支 钢笔的钱可买3支圆珠笔,两种笔各多少钱一支?
5年级-小学奥数举一反三(下册)
小学奥数举一反三练习材料五年级下册二○一四年六月目录第21讲假设法解题 1第22讲作图法解题 5第23讲分解质因数 10第24讲分解质因数（二） 14第25讲最大公约数 17第26讲最小公倍数（一） 21第27讲最小公倍数（二） 25第28讲行程问题（一） 29第29讲行程问题（二） 34第30讲行程问题（三） 39第31讲行程问题（四） 44第32讲算式谜 49第33讲包含与排除（容斥原理） 53第34讲置换问题 58第35讲估值问题 62第36讲火车行程问题 66第37讲简单列举 70第38讲最大最小问题 74第39讲推理问题 79第40讲杂题 84第21讲假设法解题【专题简析】假设法是解应用题时常用的一种思维方法。
在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。
【例题1】有5元和10元的人民币共14张，共100元。
问5元币和10元币各多少张？思路与导航：假设这14张全是5元的，则总钱数只有5×14=70元，比实际少了100－70=30元。
为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是10元的。
拿一张5元的换一张10元的，就会多出5元，30元里包含有6个5元，所以，要换6次，即有6张是10元的，有14－6=8张是5元的。
练习一1，笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。
求笼中鸡、兔各有多少只？2，一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。
问2分和5分的各有多少枚？3，营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币，求换来这两种人民币各多少张？【例题2】有一元、二元、五元的人民币50张，总面值116元。
已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？思路与导航：（1）如果减少2张一元的，那么总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元的和二元的张数就同样多了；（2）假设这48张全是5元的，则总值为5×48=240元，比实际多出了240－114=126元，然后进行调整。
五年级奥数举一反三第34讲 置换问题含答案
第34讲置换问题一、专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
二、精讲精练例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
练习一1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？例2 用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？练习二1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。
例3一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？练习三1、王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？例4 5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
人教版三年级数学第九单元数学广角--替换问题教案
人教版三年级数学第九单元数学广角--替换问题教案第一篇：人教版三年级数学第九单元数学广角--替换问题教案9.2数学广角—替换问题教学目的：1、让学生通过观察、猜测、操作、验证等活动，初步体会等量代换的数学思想。
2、培养学生有序地、全面地思考问题的意识和合作学习的习惯。
教学重点：利用天平或跷跷板的原理，使学生在解决实际问题的过程中初步体会等量代换的思想，为以后学习简单的代数知识做准备。
教学难点：初步体会等量代换的数学思想解决一些简单的实际问题或数学问题。
教具、学具：卡片学具、课件。
教学过程一、情景引入。
（1）谈话说古代类人猿生活中交换物品的故事（2）师：看，今天水果园里正在进行“体重”大比拼呢？我们先来看看西瓜姐姐多重？（4千克）你是怎么知道的？师说明：当天平平衡时，左右两边的物体一样重，所以西瓜姐姐重4千克。
师：接下来进场的是苹果妹妹，我们假设每个苹果同样重。
看！天平又平衡了，这又说明什么？（引导学生说出：4个苹果重1千克。
）师：看到这样的情景，你想提什么数学问题？让学生自由提出问题，师生共同解答。
[设计意图]数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识经验出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动。
题型以学生的喜好为题材，激发学生学习兴趣。
二、新知探究（一）引导学生发现问题，合作探究解决方案。
师：这个问题提得真棒，几个苹果与1个西瓜同样重呢？（10个、12个、15个、16个……）师：小朋友不要急着猜，好好动动脑筋。
或者在小组内摆摆学具，通过合作解决这个问题。
[设计意图]留给学生充足的独立思考、小组合作及操作学具的时间，老师巡视，给予学生适当的启发与指导。
小组汇报：这时大部分的学生喊出：16个。
师：你们是怎么知道的？怎么想的？生1：因为：一个西瓜4千克（等于4个砝码），1千克（1个砝码）等于4个苹果，我们用替换的方法，把一个1千克（1个砝码）换成4个苹果。
第34讲 明清之际的进步思想
命题角度 明清文化高压政策的实质；明清文化高压政策对社会转型的影响。
全国卷5年考题统计
近五年全国卷没有命制该部分试题
1．命题点：清代的反传统思想
(2016·海南单科，9)清代有女诗人作诗曰：“人生德与才，兼备方为善。独至评闺材，持论恒相反。有德才可赅(兼有)，有才德反损……我意颇不然，此论殊褊浅。”这反映了在清代女性中( )
主要信息：
答案 从材料信息看，黄宗羲对清廷的态度发生了较大的变化，主要表现在：由武装反抗、著书批判，到不仕清廷；由托病力辞、派子替之，再到认可、赞誉清廷统治。之所以出现上述变化是因为：清廷统治日益巩固，民族矛盾相对缓和；康熙采取笼络汉族知识分子的政策；黄宗羲对清朝统治的认可。
1．李贽的工商观
“商贾亦何可鄙之有？挟数万之资，经风涛之险，受辱于官吏，忍诟于市易，辛勤万状，所挟者重，所得者末。”“夫商与士异术而同心，故善商者，处财货之场而修高明之行，是故虽利而不污。”——李贽
发现问题 宋儒强调“道”就是人们必须遵守的封建伦理纲常；明清进步思想家则强调“道”就在普通百姓的日常生活之中。
命题角度程朱理学的僵化；商品经济发展与冲击传统道德观念的关系；市民意识的初步觉醒。
考点二 明清之际儒家思想的历史地位
1．对明清之际儒家思想的认识
(1)积极影响
①反对君主专制，反映了君主专制制度走向衰落的历史趋势。
发现问题 黄宗羲对于民主政治的思考契合了时代的要求。
命题角度 黄宗羲思想的特点；古代民本思想的发展演变。
3．王夫之的“唯物史观”
“天地之德不易，而天地之化日新……日之有昼夜如人之有生死，世之有鼎革也。纪世者以一君为一世，一姓为一代足矣。”——王夫之
小学二年级奥数第34讲 推理计算(含答案)
第34讲推理计算【专题简析】我们已经知道用移多补少的方法可使不相等变成相等，在分东西的题中，有很多把不相等的数量转化成相等数量的问题，这就需要我们分析两个数量之间的关系，再进行移多补少。
解决这类问题，首先要明确“移多补少”至相等时，移的部分是相差部分的一半，由相等移为不等，相差的部分是移的部分的两倍。
如果说移后，两个数量仍然不相等，要知道原来两个数量之间有什么关系，你会吗？【例题1】甲筐比乙筐多8个西瓜，甲筐给了乙筐6个西瓜后，哪筐西瓜多？多几个？思路导航：根据甲筐比乙筐多8个西瓜，由“移多补少”知甲给乙4个西瓜，两筐就同样多。
甲筐给了乙筐6个，相当于先给4个，又给2个，可知乙筐比甲筐多2×2＝4（个）。
解：8÷2＝4（个）（6－4）×2＝4（个）答：乙筐西瓜多，多4个。
练习11.小红比小兰多8张邮票，小红给小兰5张后，两人谁多？多几张？2.欢欢把自己的3枝铅笔送给飞飞，两个的铅笔枝数同样多，欢欢原来比飞飞多几枝铅笔？3.小明有两个书架，每一个书架比第二个书架多20本书，第二个书架给第一个书架10本书后，两个书架谁的书多？多几本？【例题2】姐姐和弟弟都有一些玻璃珠子，姐姐送给弟弟5颗后，姐姐还比弟弟多3颗，原来姐姐比弟弟多几颗珠子？思路导航：“姐姐送给弟弟5颗后”，如果两个人珠子同样多，那么姐姐比弟弟多5×2＝10（颗）珠子，而事实上“姐姐还比弟弟多3颗”，因此，原来姐姐比弟弟多10+3＝13（颗）解：5×2+3＝13（颗）答：原来姐姐比弟弟多13颗珠子。
练习21.甲筐和乙筐都有西红柿，甲筐给了乙筐6个后，甲筐还比乙筐多2个，原来甲筐比乙筐多几个西红柿？2.甲筐和乙筐都有黄瓜，甲筐给了乙筐4根后，甲筐比乙筐少2根，原来甲筐和乙筐哪个多？多几根？3.甲、乙两个停车场都停放着一些汽车，如果从甲停车场开8辆汽车到乙停车场，那么乙停车场就比甲停车场多停4辆汽车。
高考数学中的置换组合问题解决方法
高考数学中的置换组合问题解决方法高考数学中，置换组合问题是一个经典的题型。
这类题目考察的是置换和组合数学的相关概念与运算，需要学生理解和掌握置换群的概念、行列式的运算等高阶数学知识。
本文将分析一些典型的置换组合问题，并给出解决方法。
一、置换群的基本概念置换群是指同一个元素集合上的一些可能存在的变换所形成的群。
其中，每个变换都称为一个置换，所有置换构成的集合称为置换群，通常用S_n表示，其中n为元素集合的元素数量。
例如，如果元素集合为{1,2,3}，那么S_3就是由这三个元素的所有置换所构成的群。
置换群的基本性质是它是封闭的、可逆的和结合的。
封闭性指的是对于S_n中的任意两个置换，它们的复合操作仍然属于S_n 中；可逆性指的是对于S_n中的任意置换，它都有一个逆置换存在，使得它们的复合操作等于单位置换；结合性指的是对于S_n中的任意三个置换，在任意复合顺序下它们的结果都是相同的。
二、置换组合问题的解决方法在高考数学中，置换组合问题一般形式为：有n个不同的数，对它们进行若干次置换后，求出有多少个置换不改变这n个数的相对位置。
下面以一个典型的置换组合问题为例进行说明。
例1：有6个独立的物体放在数据线上，现要对它们进行随机的交换和移动操作，问有多少种操作方式，才能把数据线变为原始状态？解：首先，我们需要求解6个元素的置换群S_6中，有多少个置换能够将6个物体变回原始状态。
设A为将6个物体变回原始状态的置换集合，那么|A|表示置换集合A中元素的数量。
由于A中的每一个置换操作都是可逆的，只需要找到其中一个操作，后面的操作就可以根据该操作的逆置换进行计算。
换句话说，假设存在一个合法操作将这6个物体变为原始状态，那么我们可以考虑该操作能够带来些什么变化，进而推导出其他合法操作的数量。
对于该操作，我们假设其将第1个物体移动到了第k个位置，然后根据k和其他物体的位置确定该置换。
不难发现，由于6个物体原来的位置已经确定，第1个物体此时只能被移到5个特定的位置上，也就是第2个物体到第6个物体所在的位置。
四年级奥数之置换问题
四年级奥数之置换问题知识概要：置换问题又称鸡兔同笼问题,是我国古代的趣味数学问题.解题时采用先假定再置换的方法,所以叫做置换问题. 假定方法有多种：如让：“兔子立正！”兔子们则把两只前脚抬起，两只后脚着地；或者假如鸡的两只翅膀都变成了脚，那么鸡也有4只脚。
也可以采用画图、列表等等方法。
2、“鸡兔同笼，共有头100个，足316只，求鸡兔各有多少只？”3、小明花了4元钱买贺年卡和明信片，共14张，贺年卡每张3角5分，明信片每张2角5分。
问买了几张贺年卡，几张明信片？4、东湖路小学六年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣3分。
刘钢得了60分，问他做对了几道题？5、松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天松果14个，问晴天、雨天各几天？6、100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃一个，问大、小和尚各有多少人？7、30枚硬币，由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？8、有钢笔和铅笔共27盒，共计300支。
钢笔每盒10支，铅笔每盒12支，问两种笔各有几盒？9.工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶？10.班主任张老师带五年级（2）班50名同学去栽树，张老师一人栽5棵，男生一人栽3棵，女生一人栽2棵，总共栽树120棵.问有几名男生，几名女生？1 1.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克。
现有100千克油装了共60个瓶子。
问大、小油瓶各多少个？12.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道题得5分，不做得0分，做错倒扣2分，又知道他做错的题和没有做的题一样多.问小毛做对几道题？13、有大小卡车50辆，大卡车每辆运4吨，小卡车每辆运2吨，共运140吨化肥，问大小卡车各几辆？14.鸡兔同笼，共有足248只，兔比鸡少52只，鸡兔各有多少只？15.有2角、5角和1元人民币20张，共计12元.问3种票子各有多少张？作业：1、鸡兔同笼，共100个头，260只脚，那么鸡兔各有多少只？2、四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？3、一堆货物用中型卡车装载，要用36辆，如用大卡车装载，只需要27辆，已知大卡车比中型卡车每辆多装2吨，这堆货物有多少吨？。
归纳小升初数学置换问题知识点-2019年精选教育文档
归纳小升初数学置换问题知识点
临近考试时，请你放下背上的包袱，用平和积极的心态，坦然的迎接考试，迎接梦想的飞翔。
下面是为大家收集的小升初数学置换问题知识点，供大家参考。
题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。
其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。
例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?
分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100=2019(分)，比原来的总值多
2019-1880=120(分)。
而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20-10=10(分)，如此可以求出10分一张的有多少张。
列式：(2019-1880)÷(20-10) =120÷10 =12(张)→10分一张的张数
100-12=88(张)→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。
以上是查字典数学网为大家准备的小升初数学置换问题知
识点，希望对大家有所帮助。
置换问题
置换问题已知两类物品的总数和总价，以及这两类物品的单价，要求这两类物品各是多少问题，叫做置换问题。
著名的鸡兔问题就是一种置换问题。
解答这类问题的关键是“置换”，先假定全部是某一种物品，求出在此假定下两类物品总价与实际的相差数，然后用另一类物品去置换，置换的次数就是另一类物品的个数。
关系式是：（假设全部为一类物品的总价－实际总价）÷两类物品单价差=另一类物品数总物品数－另一类物品数=一类物品数1。
笼子里有鸡和兔共60只，共有168条腿。
问鸡和兔各多少只？2。
运输公司要装运一批货物共72吨，计划用14辆卡车一次运完。
已知大卡车每次可装运6吨，小卡车每次装运4吨，问大、小卡车各几辆？3。
某厂工会组织活动，购买歌剧票200张，甲种票每张15元，乙种票每张12元，一共付款2760元。
问两种票各购买多少张？4。
鸡、兔共100只，腿一共有286条。
问鸡、兔各几只？5。
大船能坐6人，小船能坐4人，某校188名师生，租36条船，座位一个不多一个不少，问大船、小船各有几条？6。
有1分、2分、5分硬币共3.95元，正好100枚，已知1分、2分硬币数相等。
问5分硬币有几枚？7。
教师组织活动，买来100张票，甲种票每张10元，乙种票每张7元，一共用去910元。
问两种票各多少张？8。
一次数学竞赛共有20道题，做对一题得5分，做错一题扣3分。
小红得了68分，她做对几题？9。
一批货物，用小卡车装要45辆，改用大卡车装要36辆。
已知大卡车每辆比小卡车多装2吨，这批货物一共多少吨？10。
100人吃100张饼，大人每人吃3张饼，幼儿每3人吃1张饼。
问有几个大人？几个幼儿？11。
甲、乙两人进行射击比赛。
射中靶子得20分，没中靶子扣12分。
两人各打10枪，共得208分。
其中甲比乙少得64分。
甲、乙各打中几枪？12.鸡兔同笼，一共3个头，10条腿，鸡和兔各有多少只？13.鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，鸡和兔各有多少只？14.面值2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元和5元的人民币各有多少张？15.今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问：鸡、兔各多少只？16.鸡兔同笼，鸡比兔少40只，共有460条腿。
人教版B版高中数学选修3-4(B版)置换的乘法运算
5 4
66= （132）（45）
谢谢观赏
要点总结
具体来讲，就是对于一个k有： σ ·τ （k）=σ （τ （k））
即先计算τ （k）得到S中一个元素k1 然后在计算σ (k1）。 这样就完成了σ ·τ （k）的计算。
要点总结
接下来要介绍轮换。 如果一个n元置换σ 将1，…，n中某m个数x1，…， xm轮换， 即： σ （x1）=x2， σ （x2）=x3，…， σ （xm-1）=xm，其余的数不变 则称σ 是一个轮换。
要点总结
轮换有一个简单的表示方法： σ =（x1x2…xm） 运用置换的乘法，我们不难发现： σ =（x1x2…xm）=（x1x2）（x2x3）…（xm-1xm）
典型剖析
例： 给出置换σ 、τ 分别为：
12
2 1
33
求σ ·τ
13
2 2
31
典型剖析
解： 由置换乘法的运算法则，我们先计算右边的置换， 然 后再计算左边的置换。
13
2 1
3 2
4 5
5 4
66
将它写成轮换的乘积。
练习测评
解： 根据轮换的定义来分析： 6映射为6不变。 1映射为3，3映射为2，2映射为1。这是一个轮换。 4映射为5，5映射为4。这也是一个轮换。
练习测评
那么就有两个轮换（132）（45） 那么就有
13
2 1
3 2
4 5
练习测评
解： 根据置换乘法的定义来分析： τ 将1映射为1， σ 将1映射为3。 τ 将2映射为3， σ 将3映射为2。 τ 将3映射为2， σ 将2映射为1。
练习测评
那么置换σ ·τ 是：
13
2 2
31
第34讲 几何变换-图形的折叠(教师版)
第34讲几何变换－图形的折叠知识点睛：一、关于几何变换的一些认识：在寻求几何问题的解题途径时，几何变换法究竟能起什么样的作用呢？归纳起来，认为至少有以下四个方面：第一，从理论上讲，全等形与相似形是平面几何中研究的两个最基本、最重要的问题，所以几何变换的思想方法自然是解决其有关问题的重要手段．从形式上看，它是通过对问题的图形的某些部分施行变位、变形，以便化繁为简、化难为易，从而获得一种解题途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们用较高的观点来研究几何问题的解法，看清问题的实质．第二，在寻求几何问题的解题途径时，最困难的一步是添辅助线．但若运用几何变换的观点来进行分析，并注意到问题中图形的某些特征，则就不需要太多的技能技巧，也能迅速地想到应对图形的哪些部分实行变位、变形，从而添出必要的辅助线，是解题的途径显现出来．因此，掌握几何变换法，可以使我们在添辅助线时减少盲目性，增强目的性，进而掌握一些添辅助线的规律．第三，有些几何问题，由于涉及的元素分散或交错，因而难以发现题设和结论间的关系．但若能适当地运用几何变换法，将图形的某些部分变换到适当的新位置，则常可使分散的元素集中起来，或者把交错的元素适当分散，从而构造出我们所熟悉的基本图形，使问题变得容易解决．所以，掌握几何变换法，可以使我们领会一些处理较困难的几何问题的基本方法与技能．第四，比较线段与折线或者折线与折线间的长短是较麻烦的．但若能适当地采用几何变换法，将折线的一段或若干段逐次进行变换，则常可将折线化为直线段或另一便于比较的折线，从而发现解题的途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们学会一些处理几何问题的特殊的技能与技巧．二、轴对称的有关概念1．轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．4．等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．5．等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形．三、轴对称的主要性质1．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．2．线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3．(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x，－y)．(2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为P″(－x，y)．4．等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴．(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等．(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半．(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边．5．等边三角形的性质(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．(2)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴．(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合．四、轴对称的有关判定1．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．三个角都相等的三角形是等边三角形．4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．重、难点：根据题目的已知条件特征，快速、正确的添加辅助线是重点和难点．例题精讲：板块一：有关折叠的基础问题1．折叠后求度数【例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( ) A．60°B．75°C．90°D．95°【解析】C．【巩固】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( )A．50°B．55°C．60°D．65°【解析】A ．【巩固】(第19届希望杯数学邀请赛初二第2试试题)如图，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将它折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是( )93DCA BABCDEFA ．5cm ，10cmB ．5cm ，3cmC ．6cm ，10cmD ．5cm ，4cm【解析】实质上，四边形EBFD 是个菱形，在此基础上，连接对角线，充分利用勾股定理来求解．39-x xA BCDx EO F记DE ＝x ，则AE ＝9－x ，由折叠的对称性可知DE ＝BE ，即BE ＝x ． 在R t △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，即32＋(9－x )2 ＝x 2，得x ＝5．连接BD 交EF 于点O ，由折叠的特点知BD ⊥EF ，易知22310BD AB AD =+=，则31022BD BO =而BE ＝5，故2210EO BE BO =-，从而EF ＝2EO ＝10． 故选C ．【点评】(1)数形结合是非常重要的数学思想之一，它从“数”和“形”两个不同方面来揭示同一问题．勾股定理正是应用数形结合思想的一座“桥梁”．各种面积(或体积)公式、比例线段的性质、平面直角坐标系等也是联系数和形的一条条“纽带”．(2)方程思想，是数学中最重要的数学思想．它是在解题中通过已知量和未知量的联系，找出它们的等量关系，以方程的形式表达出来，再根据方程的具体解法求出未知量，以达到解决问题的目的的一种思想．运用方程思想能够揭示事物间的矛盾性和对立统一性，也能展现物质世界的普遍联系，这是人的思想素质的组成部分，是了解和认识世界的法宝．在实际中，方程思想在解决问题中被广泛采用．【巩固】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图(1)所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝__度．【解析】36°．【巩固】(09湖北荆门)如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，50A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB '∠=( ) A ．40︒ B ．30︒ C ．20︒ D ．10︒AA'B CD【解析】D ．2．折叠后求面积【例2】如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝10，AD ＝6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【解析】C ．【巩固】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A ．2 B ．4 C ．8 D ．10【解析】B ．【巩固】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm ．操作：(1)将AB向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；(2)将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c ．则△GFC 的面积是( )A 图(2)图(1)A ．1cm2B ．2cm2C ．3cm2D ．4cm2【解析】B ．【巩固】如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，4BC =，沿对角线BD 折叠(使ABD ∆和EBD ∆落在同一平面内)，求ABD ∆和EBD ∆重叠部分的面积．B DCAEM【解析】∵ABCD 为矩形∴ADB CBD ∠=∠∵CBD EBD ∠=∠∴ADB EBD ∠=∠ ∴BM DM =∵BE BC AD ==∴AM EM =，4AM BM += ∵AB AM ⊥∴222AB AM BM +=∴22273(4)8AM AM AM +=-⇒=∴11775(4)322816BMD S DM AB ∆=⋅⋅=⨯-⨯=．3．折叠后求长度【例3】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是( )A．15-B．10-C．5D．20-【解析】D ．【巩固】如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8AB =，10BC =，求EC 的长．E A A ABB B CC C GD D DFF F 图a图b图cBDCA EF【解析】由题意可知，AD AF =，DE EF =．∵8AB =，10BC =，AB BF ⊥∴6BF = ∴4CF =∵CE CF ⊥，DE EF =∴222DE CE CF =+∴222(8)43CE CE CE -=+⇒=【巩固】(09浙江义乌)如图，在矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，点P 在线段AB 上运动，设AP x =，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E 、F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原． (1)当0x =，折痕EF 的长为__________；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为________； (2)求出当2x =时四边形DEPF 的周长；温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！A BC D EFPOOP F ED CBA【解析】(1)3(2)当2x =时，如图1，连接DE 、PF ∵EF 为折痕，∴DE PE = 令PE 为m ，则2AE m =-在Rt ADE ∆中，222AD AE DE +=∴()2212m m +-=，解得54m =，此时四边形周长为5454⨯=．【巩固】(09河北)如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为________cm ．【解析】3． 4．折叠后得图形【例4】将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( ) A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形【解析】D ．【巩固】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是()A ．B ．C ．D ．【解析】D ．【巩固】小强拿了张正方形的纸如图(1)，沿虚线对折一次如图(2)，再对折一次得图(3)，然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角，再打开后的形状应是( )【解析】D ．【巩固】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )【解析】C ．【巩固】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是()ABCD图3图1【解析】C ．【巩固】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN (图甲)，再把B 点叠在折痕MN 上的n B 处．得到n Rt AB E ∆(图乙)，再延长n EB 交AD 于F ，所得到的EAF ∆是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形【解析】B ．【巩固】如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD ＝B C ．将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】D ．5．折叠后得结论【例5】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影．请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°．”【解析】180．【巩固】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．12A ∠=∠+∠ B ．212A ∠=∠+∠ C ．3212A ∠=∠+∠ D ．32(12)A ∠=∠+∠21DECBA【解析】B ．【巩固】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝acm ，宽BC ＝bcm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于( )．AB．CD．【解析】A ． 【巩固】(09福建省莆田市)如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．若AE a =、AB b =、BF c =，请写出a 、b 、c 之问的一个等量关系_________．ABCDEFA'B'【解析】222c a b =+． 6．折叠和剪切的应用【例6】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G (如图)．(1)如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM ＝3∶4∶5；(2)如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由．ABCDEF MG【解析】(1)先求出DE ＝38AD ，12DM AD =，58EM AD =后证之．(2)注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的位置无关．【巩固】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征：每次对折后，所得的长方形和原长方形相似，问这些报纸的长和宽的比值是多少?1．【例7】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中M 为AD 的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形．(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内．(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米，且a 、b 恰好是关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．【解析】(1)如图(2)由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE ∴BC ＝2AB ，即2b a =由题意知,2a a 是方程2(1)10x m x m --++=的两根 ∴2121a a m a a m +=-⎧⎨⋅=+⎩消去a ，得221370m m --=解得7m =或12m =-经检验：由于当12m =-，3202a a +=-<，知12m =-不符合题意，舍去．7m =符合题意． ∴18S ab m ==+=矩形答：原矩形纸片的面积为8cm 2．【例8】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ．问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由．(不计切割损耗)BACBAMC E M图3图4EEBACB AMCDM图3图4图1图2【解析】可以切割出66个小正方形．方法1：(1)我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10．05cm 的圆内，如图中矩形ABC D ． ∵AB ＝1，BC ＝10∴对角线2AC ＝100＋1＝101＜205.10(2)我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形．GFH E D C B A∵新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 的长为9，高为3，对角线9098139222=+=+=EG ＜205.10．但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：109910031022=+=+＞205.10(3)同理：8925645822=+=+＜205.1010625815922=+=+＞205.10∴可以在矩形EFGH 的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层． (4)再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个．∵9849497722=+=+＜205.1011349647822=+=+＞205.10(5)在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个．∵9781169422=+=+＜205.1010681259522=+=+＞205.10现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0．5cm 的空间，因为矩形ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了． ∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66(个) 方法2：学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一． 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： (1)上下再加一层，每层8个，现在共有6层． (2)在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层． (3)最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层． 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66(个)【例9】在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二)，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？【解析】(方案一)4151254622AEHS S S=-=⨯-⨯⨯⨯矩形菱形230(cm )=(方案二)设BE ＝x ，则CE ＝12－xAE ∴=由AECF 是菱形，则AE 2＝CE 2 2225(12)x x ∴+=-11924x ∴= 2ABE S S S -矩形菱形=111912525224=⨯-⨯⨯⨯35.21(m)≈比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大．【例10】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去．(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法)． (2)(3)【解析】（1）如图所示O(方案一)ADEFBC(方案二)（2）（3）不能．令3n＋1＝33，解得n不是整数．【例11】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由(写出证明及计算过程)．【解析】剪法是：当AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝3或3时，四边形A1B1C1D1为正方形，且S＝59．在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵AA1＝BB1＝CC1＝DD1，∴A1B＝B1C＝C1D＝D1A．∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1．∴D1A1＝A1B1＝B1C1＝C1D1，∴∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠CB1C1＝∠DC1D1．∴∠AA1D＋∠BA1B1＝90°，即∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1为正方形．设AA1＝x，则AD1＝1－x．∵正方形A1B1C1D1的面积＝59，∴S△AA1D1＝19即12x(1－x)＝19，整理得9x2－9x＋2＝0．解得x1＝13，x2＝23．当AA1＝13时，AD1＝23，当AA1＝23时，AD1＝13．∴当AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝13或23时，四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积的59．板块二：与折叠(轴对称)有关的证明题【例12】已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，∠B 的平分线交AC 于点D ．求证：AB ＋AD ＝B C ．【解析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，构造“角的平分线的定理的基本图形”．由定理得到DA ＝DF ，再证DF ＝FC ，由△ABD ≌△FBD 得出AB ＝BF ，于是AB ＋AD ＝BF ＋FC ＝B C ．【巩固】如图，在直角ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，作CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，则BD 与CE 的大小关系是__________．EDCB A【解析】 【巩固】如图所示，在ABC ∆中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+DEB CAF ACB ED【解析】提示：在BC 上截取BF ＝BA ，证△CDE ≌△CDF ．【变式】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．DCB A【解析】【巩固】如图，在ABC ∆中，3AB AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，求证：AD DE =．BDECA FGCDEB【解析】延长AC 、BE ，交于点F ，作EG ∥BC ．则有AB ＝AF ，点C 、G 是AF 的三等分点，又EG ∥BC ，故AD ＝DE ．【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MCDFBAAB CDFME【解析】【例13】在四边形ABCD 中，对角线AC BAD AB ∠平分，＞AD ，下列结论中正确的是( )．A ．AB AD -＞CB CD - B ．AB AD -＝CB CD -C ．AB AD -＜CB CD - D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定BADC【解析】因为AC BAD ∠平分，以AC 为对称轴作△ACD 的对称图形△ACE ，则AB AD -＝AB AE -＞.CB CE CB CD -=-故选A ． 【巩固】如图在△ABC 中，∠BAC ＝100°，∠ACB ＝20°，CE 是∠ACB 的平分线，D 是BC 上一点，若∠DAC ＝20°，求∠CED 的度数．CB【解析】作点A 关于CE 的对称点M ，证△BEM ∽△BDA 再通过比例线段得出ED ∥AC ，从而∠CED ＝10°．CB【例14】A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB ＝2千米，BC ＝3千米，在B 村庄的正北方向有一个D 村，测得45,ADC ∠=︒今将△ADC 区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？A CFGE【解析】分别以DA 、DC 为对称轴，作Rt △ADB 和Rt △BDC 的对称图形Rt △ADE 和Rt △FDC ，延长EA 和FC交于G ，则四边形DEGF 是以DB 为边长的正方形．设,23,5,DB x Rt AGC AG x CG x AC =∆=-=-=在中，，由勾股定理得6,x =因此15,ADC S ∆= 所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米．【例15】如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD ＝BE ，求证：DC ＝DE ．DE CBFDCB【解析】补全正三角形，证全等，等量代换【例16】如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE 、CF 相交于点O ，AG ⊥BE 于G ，AH ⊥CF 于H ．(1)求证：GH ∥BC ；(2)若AB ＝9cm ，AC ＝14cm ，BC ＝18cm ，求GH 的长．OGHF EBCA NMOGHF EBCA【解析】若延长AG ，设延长线交BC 于M ．由角平分线的对称性可以证明△ABG ≌△MBG ，从而G 是AM 的中点；同样，延长AH 交BC 于N ，H 是AN 的中点，从而GH 就是△AMN 的中位线，所以GH ∥BC ，进而，利用△ABC 的三边长可求出GH 的长度．(1)证明：分别延长AG ，AH 交BC 于M ，N ，在△ABM 中，由已知，BG 平分∠ABM ，BG ⊥AM ，所以△ABG ≌△MBG (ASA )．从而，G 是AM 的中点．同理可证：△ACH ≌△NCH (ASA )，从而，H 是AN 的中点．所以GH 是△AMN 的中位线，从而，HG ∥MN ，即HG ∥B C ．(2)解：由(1)知，△ABG ≌△MBG 及△ACH ≌△NCH ， 所以AB ＝BM ＝9cm ，AC ＝CN ＝14cm ． 又BC ＝18cm ，所以BN ＝BC －CN ＝18－14＝4(cm )，MC ＝BC －BM ＝18－9＝9(cm )． 从而MN ＝18－4－9＝5(cm )，所以GH ＝12MN ＝52cm ．【点评】(1)等腰三角形“三线合一”是平面几何中一条重要定理．底边上的中线、高线和顶角角平分线合而为一，视觉上，这条线使图形呈现出完美的对称性；地位上，这条线使得被分开图形的左右两边具有绝对的“平等”．(2)若将条件“∠B ，∠C 的平分线”改为“∠B (或∠C )及∠C (或∠B )的外角平分线”，或改为“∠B 、∠C 的外角平分线”(如图所示)，其余条件不变，则结论GH ∥BC 依然成立．GHEBCAD GHEBC A【例17】阅读下列材料：问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且∠AMD ＝90°，试判断AB CD +与AD 之间的大小关系．小明同学的思路是：作点B 关于AM 的轴对称点E ，连接AE 、ME 、DE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参照小明解题的思路，解决下列问题：BMAMBA图1 图2 图3(1)试判断图1中AB CD +与AD 之间的大小关系；(2)如图2，将∠AMD 度数改为120°，原问题中的其他条件不变，证明：12AB BC CD AD ++≥；(3)如图3，若∠AMD ＝135°，AB ＝1，BC ＝CD ＝2，求AD 的最大值．【巩固】(武汉市选拔赛试题)如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ，M 是AD 中点，CE ⊥AB 于E ，求证：∠DME ＝3∠AEM ．ME DCBA 321NM E DCBA【解析】欲证明∠DME ＝3∠AEM ，最好设法把∠AME 扩大三倍或把∠DME 三等分．取EC 中点N ，连结MN 、MC ，于是有AB ∥MN ∥DC ，又CE ⊥AB ，那么∠1＝∠AEM ＝∠2，只要再证得∠2＝∠3即可． 证明：取EC 中点N ，连结MN 、MC ． ∵M 是AD 中点，N 是EC 中点， ∴MN 是梯形AECD 的中位线． ∴AB ∥MN ∥DC ， ∵CE ⊥AB ，∴MN ⊥EC ∴∠1＝∠AEM ＝∠2，∵BC ＝2AB ,AD ＝BC ,DC ＝AB ,MD ＝12 AD ，∴MD ＝DC∴∠3＝∠DCM．∵MN∥DC，∴∠2＝∠DCM，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠AEM，∴∠DME＝3∠AEM．【点评】如果把本题的条件“BC＝2AB”和结论“∠DME＝3∠AEM”交换，其他条件不变，命题是否还成立呢？板块三：与折叠(轴对称)有关的几何作图题【例18】如图，P、Q为ABC∆边上的两个定点，在BC边上，求作一点M，使PQM∆的周长最短．【解析】【巩固】已知：如图，牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到草地吃草，再到河边饮水，然后，回到营地M处，请你设计出最短的放牧路线．河M草地【解析】【例19】如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．【解析】【巩固】在平面直角坐标系中，点P(2，3)、Q(3，2)请在X轴和Y轴上分别找到M点到N点，使四边形PQMN 的周长最小(1)作出M点和N点．(2)求出M点和N点的坐标．【解析】作业：【习题】如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 点是BC 中点，DE 平分∠AD C ．求证：AE 平分∠DA B ．EA【解析】【习题】EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点是P 点，点F ，C 在AN 上，点B ，E 在AM 上． (1)如果∠G ＝47°，那么∠P 的度数大小你能知道吗？ (2)点A ，P ，G 的位置关系如何？证明你的结论．AMB E【解析】【习题】如图，ΔABE ≌ΔADC ≌ΔABC ，若∠1︰∠2︰∠3＝13︰3︰2，则∠α＝________°．α321P EDCBA【解析】【习题】沿矩形ABCD 的对角线BD 翻折△ABD 得△A /BD ，A /D 交BC 于F ，如图所示，△BDF 是何种三角形？请说明理由．A'F CDBA【解析】【习题】★★★如图，已知△ABC 中∠C ＝90°，∠CAD ＝30°，AC ＝BC ＝AD ，求证：CD ＝B D ．ACBDEDBCAEDBCAACB E DFEDBCA【解析】方法1：作∠ACB 和∠BAC 的平分线，交于点E ．证△ACE ≌△ADE ，倒角知∠CDE ＝30°，∠EDA ＝45°．证∠EBA ＝∠EAB ＝30°，知∠ADB ＝135°，故点E 、D 、B 共线，所以∠DBC ＝∠DCB ＝15°，所以CD ＝BD ．方法2：将△ACD 沿AD 翻折，连结BE 、CE ．方法3：作CE ⊥AD ，作DF ⊥BC ，证△CDE ≌△CDF ，则有CF ＝CE ＝12AC ＝12BC ，所以DF 是BC 的中垂线，所以CD ＝BD ．【习题】△ABC 为等腰三角形，AB =AC ,∠BAC =80°，D 在△ABC 内，且∠DBC =10°，∠DCB =30°，求∠BAD 的度数．CDBADCBAFE【解析】过点A 作BC 垂线，作∠ABD 平分线，连接DE ．证△ABE ≌△DBE （ASA ），从而△ABD 是等腰三角形，根据∠ABD =40°，求得∠BAD =70°．【习题】(2006北京课改)如图(1)所示，OP 是MON 的平行线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图(2)，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系．(2)如图(3)，在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而(1)中的其他条件均不变，请问，你在(1)中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（1）PNMO（2）FED CBA（3）FEDCBA【解析】【习题】如图，已知AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 经过点E ，交AD 于D ，交BC 于C ．求证：AD ＋BC ＝A B ．CAB【解析】方法不唯一．【习题】如图：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE ＝∠B ＋∠EC D ．ABDECCE DFBA【解析】延长CE ．【习题】如图，在等腰直角△ABC 的斜边上取两点M 、N ，使∠MCN ＝45°，设AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，试判断以x 、m 、n 为边长的三角形的形状．NM BCA【解析】将△ACM 与△BCN 向内翻折，构造直角三角形．另解：将△ACM 绕点C 逆时针旋转90°，构造直角三角形．【习题】已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=︒，证明：12AB BC CD AD ++≥．AB CDM【解析】【习题】设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD +≥． M DCB A【解析】【习题】怎样用一张长方形纸片折出一个等边三角形？说明理由．【解析】①(以短边为三角形的边长)对折长方形纸片ABCD ，折痕为MN ，如图，打开后，再折起一个角，使点B落在折痕MN 上，记作点P ，折痕是AE ．则PAB ∆一定为等边三角形；②将矩形ABCD 纸片对折，折痕为MN ，再把点B 叠在折痕上，得到Rt △ABE ，沿着EB 线折叠，能得到等边△EAF ．M N【习题】把一张矩形纸片对折，使顶点B 和D 重合，折痕为EF ，则重合部分是什么图形，说明理由． 【解析】如图：FECDBA【习题】(2008北京)已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形)，点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；(2)实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围．【解析】【习题】直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的解析式为_______．图2图1【解析】【习题】如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (－2，0)，O (0，0)，B (0，4)．把△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得到△CO D ． (1)求C 、D 两点的坐标；(2)求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点E 、F (点E 在点F 的上方)，且EF ＝1，使四边形ACEF 的周长最小，求出E 、F 两点的坐标．EFCAB【解析】以y 轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线2C ．(1)(2)(2)在图1中，将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请直接(不需要写过程)写出矩形的周长；(3)(3)如图2，若抛物线1C 的顶点为M ，点P 为线段BM 上一动点(不与点M 、B 重合)，PN ⊥x 轴于N ，请求出PC ＋PN 的最小值．C【解析】【习题】如图，等腰直角三角形中，AB ＝BC ，点D 是AC 上的点，且AD ＝1，CD ＝2，P 点是直线BC 上的一动点，连结AP 、PD ，求AP ＋PD 的最小值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
置换问题
知识点：
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：
1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；
2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
练习1：
1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？
3、用两种汽车运货，如果2辆大汽车的载重正好等于3辆小汽车的载重，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。
求每辆大汽车比每辆小汽车多装几吨货？
例2、用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？
练习2：
1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？
2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。
3、师徒二人加工一批零件，师傅加工10小时，徒弟加工4小时，二人共加工了198个零件。
如果师傅4小时的工作量与徒弟5小时的工作量相等，那么，他们二人平均每小时各加工多少个零件？
例3、一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？
练习3：
1、王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？
2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？
3、买2条床单和3条毛巾共用210元，买同样的3条床单和2条毛巾共用280元。
买一条床单用多少钱？买一条毛巾用多少钱？
例4、5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
这两种玩具的单价各是多少元？
练习4：
1、2支钢笔的价钱和3支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱。
两种笔的单价各是多少元？
2、师徒二人加工同样多的零件，师傅用了3小时，徒弟用了5小时。
已知师傅每小时比徒弟多做6个零件。
二人各做了多少个零件？
3、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时用了4小时。
已知这辆汽车去时比返回时每小时快12千米，甲、乙两地相距多少千米？
例5、一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。
那么，全做上衣能做多少件？
练习5：
1、一个笼子能容纳18只同样在的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔了和15只同样大的鸡。
如果这个笼子用了装兔子，一共能容纳多少只这样的兔子？
2、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的儿能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？
3、一辆卡车正好装满了12箱苹果和25箱桔子，搬下3箱苹果后，空下的地方正好能放5箱桔子。
这辆卡车如果全部装桔子要比全部装苹果多装几箱？
课后作业。