第五讲较复杂行程问题讲解

合集下载

行程问题解题技巧

行程问题解题技巧走走停停的要点及解题技巧一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做1.画出速度和路程的图。

2.要学会读图。

3.每一个加速减速、匀速要分清楚，这有利于你的解题思路。

4.要注意每一个行程之间的联系。

二、学好行程问题的要诀行程问题可以说是难度最大的奥数专题。

类型多：行程分类细，变化多，工程抓住工作效率和比例关系，而行程每个类型重点不一，因此没有一个关键点可以抓题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学，动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度，需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础那么想要学好行程问题，需要掌握哪些要诀呢？要诀一：大部分题目有规律可依，要诀是"学透"基本公式要诀二：无规律的题目有"攻略"，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练运用，而这些方法和思想，都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。

例1.甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。

很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，最后考虑行进中被追上。

其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。

由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况。

甲就要比乙多休息3分钟，就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米，需要1040÷（100－80）＝52分钟，52分钟甲行了52×100＝5200米，刚好是在休息点追上的满足条件。

行5200米要休息5200÷200－1＝25分钟。

因此甲需要52＋25＝77分钟第一次追上乙。

最新小学五年级奥数课件：解较复杂的行程问题

2，小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛。出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟，准时到达了体育馆。问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？
3，老师和小英为班级剪五角星，教师每分钟剪10个，剪了几分钟后小英接着剪，小英每分钟剪6个，两人共用8分钟，共剪了60个。小英剪了多少个五角星？
公路上，汽车就少行：
60－20=40千米， 60里面有1.5个40，因此，汽车在整修路面的
公路上行驶了1.5小时，路长： 20×1.5=30千米。
1，一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米。汽车在高速公路上行驶了多少千米？
例2 、客、货两车同时从甲、
乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米。两车相遇后又以原速前进，
到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6 千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？
客货两车从出发到第二次相遇，一共行了三个全程。而第二次相遇时客车比货车多行了 21.6千米，说明两车已行了：
3，乙、慢两车同时从甲、乙两地相向而行，4小时相遇。已知快车每小时行65千米，慢车每小时行25千米。求慢车行完全程共用了多少小时？
例5 、甲、乙两地相距48千米，
其中一部分是上坡路，其余是
下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地后沿路返回，去时用了4 小时12分，返回时用了3小时48
分。已知自行车上坡时每小时行10千米，求自行车下坡时每小时行多少千米？
例3 、两地相距460千米，甲列

第五讲行程问题中的追及问题

第五讲行程问题中的追及问题（）要点：有两个人同时同方向行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的人在前，走得快的人过了一段时间就能追上他，这就产生了追及问题。

走得慢的人在走得快的人的前面的距离，就是走得快的人要追及的距离，被称为追及距离。

速度差×追及时间=追及距离追及距离÷速度差=追及时间追及距离÷追及时间=速度差这类问题的规律是：追赶者所用的时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。

例一:一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿同一行驶路线去追赶面包车，多长时间能赶上？分析：小轿车出发时，面包车已经行驶了30分钟。

这段路程就是小轿车要追及的距离，而小轿车和面包车的速度都知道，可以求出速度差，追及距离÷速度差=追及时间1、姐姐步行的速度是每分75米，妹妹步行的速度是每分65米。

在妹妹出发20分钟后，姐姐出发沿同一条路线去追赶妹妹。

问多长时间能追上？2、一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两人同时从甲地出发去乙地。

自行车每小时行18千米，摩托车每小时行45千米。

自行车先出发1.5小时，摩托车沿同一条路线去追赶自行车，追上自行车时，摩托车行了多少千米？3、甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地，甲车每小时行40千米，每小时行35千米。

途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。

两地间的路程是多少千米？4、红星小学组织学生步行去郊游，步行的速度是每分钟60米，队尾的老师以每分150米的速度赶到排头，然后立即返回共用了10分钟，求队伍的长度。

5、一辆卡车以每小时30千米的速度从A地开往B地，出发1小时后，一辆轿车以每小时50千米的速度也从A地开往B地，比卡车早半小时到达B地，求A、B两地的路程。

6、兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路回家去取，行到离学校180米处与妹妹相遇，他们家离学校多远？7、小红每分钟走80米，小英每分钟走60米，两人在同一地点同时相背而行，走了3分钟后，小红掉头去追小英。

行程问题说题课件

详细描述
匀加速直线运动是加速度恒定的运动，其初速度、末速度、加速度、时间、路程之间的关系可以用公式表示为：末速度=初速度+加速度×时间。在解决匀加速直线运动问题时，需要明确各个物理量之间的关系，并利用这些关系进行计算。
总结词
速度逐渐减小，加速度恒定，初速度、末速度、加速度、时间、路程之间的关系是解决此类问题的关键。
在微积分中，行程问题可以用来求解函数的极值和最优解。
微积分
THANKS.
总结词
在环形运动问题中，物体通常在圆形轨道上做匀速圆周运动，需要利用圆周运动的公式（如线速度、角速度、周期等）来解决问题。解决这类问题需要理解圆周运动的规律，如线速度与角速度的关系、向心加速度等。
详细描述
总结词
火车行程问题涉及到火车在特定轨道上的运动，需要考虑火车的长度、速度和加速度等因素。
详细描述
解题思路
解决复杂行程问题的关键是建立准确的物理模型，通过分析物体的受力情况和运动状态，找出解决问题的关键点，并运用数学方法进行求解。
详细描述
复杂行程问题通常包括过桥问题、环形跑道问题、上下坡问题等，这些问题通常涉及到物体的加速度、变向运动以及多个物体的相互作用。
行程问题的实际应用
06
在物理中，行程问题可以用来描述物体的运动轨迹，如最速降线、摆线等。
行程问题说题课件
行程问题概述基础行程问题解析复杂行程问题解析行程问题解题技巧行程问题实例解析行程问题的实际应用
contents
目录
行程问题概述
01
总结词
行程问题是一种常见的数学问题，主要研究物体运动过程中所涉及的距离、速度和时间之间的关系。
详细描述
行程问题涉及的是物体在运动过程中所经历的距离、速度和时间之间的关系。这些关系通常可以用数学公式来表示，如距离=速度×时间。

学而思五年级春季第五讲行程问题

（2）一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达，但汽车行驶到路程的时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？提示：速度不变，当行驶路程的，时间也用了。则剩下的路程要在 15 分钟内走完，则后面的速度很容易求出。答案：250 米
（2）甲乙二人在相同的一段时间内行走，甲速为 10 米每秒，乙速为 12 米每秒，则甲速：乙速=
10:12=5:6；同样我们也可以得到甲乙二人在这段时间内所走的路程关系：甲：乙=5:6.
时间一定时，路程与速度成正比例
二、例题讲解
例 1、分析：第一问：速度提高之前与提高之后走的总路程是一样的，那么根据路程一定，速度与时间成
设甲的速度为 x 米/分钟。（x-50）×26=（x+50）×6
x=80
A,B 两地距离为：（80-50）×26=780（米）或者（80+50）×6=780（米）
第五讲行程问题 5.2
五年级春季班第五讲行程问题
曹威
法二：比例法。由图可知（绿线表示同时间内的相遇过程红线表示同时间内的追及过程）
A
4份
B
3份
4份
乙
红色表示相同时间内甲乙走的路程比为 5：4，但此时相遇点距 A,B 两点的距离比为 3：4，
则我们可以统一甲走的路程为 15 份，则 72 千米占 8 份，全程 35 份可求。
例 4、分析：
答案：315 千米
甲
4800
2400 乙
A
B
2880
10 分钟
由图可知速度改变前，相遇时甲走了 4800 米，乙走了 2400 米，则甲乙的速度比为 2：1，

第五讲较复杂行程问题

第五讲较复杂行程问题知识要点：复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：路程、速度和时间。

只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。

它常用的基本数量关系式是：速度×时间=路程。

但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。

人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。

①从同一地点背向而行速度和×相遇时间=环形跑道的周长②从同一地点同向而行速度差×追及时间=环形跑道的周长例题：例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。

求甲追上乙需多少时间？思路提示：先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。

例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。

8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。

然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。

爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。

例3. 甲用40秒钟跑完跑道一圈。

乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。

问乙跑一圈要几秒钟？思路提示：甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。

例4. 甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A 地同时出发，分别跑到B 、C 、D 三地，然后立即往回跑，跑回A 地再分别跑到B 、C 、D ，再立刻跑回A 地，这样不停地来回跑，B 与A 相距101千米，C 与A 相距81千米，D 与A 相距163千米。

行程问题ppt课件

Part
06
行程问题述：通过画图的方式，将行程问题中的信息以图形的方式呈现出来，有助于直观地理解问题，找出关键信息，从而解决问题。
代数法
总结词：通用性强
详细描述：将行程问题中的未知数用代数式表示，通过设立方程或方程组来求解，这种方法通用性强，适用于各种行程问题。
02 03
详细描述
追及问题涉及到两个物体在同一方向上移动，一个物体追赶另一个物体直到它们相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
公式
距离 = 速度 × 时间
环形跑道问题
总结词
环形跑道问题主要研究在环形跑道上运动的物体之间的相对位置关系。
详细描述
在环形跑道问题中，物体在同一起点出发，沿着环形跑道运动，直到再次相遇。这类问题需要考虑物体的速度、时间和距离，以及它们之间的相对运动关系。
Part
02
基础行程问题解析
匀速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度保持不变。
详细描述
匀速直线运动是速度恒定的运动，即单位时间内通过的距离相等。在匀速直线运动中，速度、时间和距离之间的关系可以用公式表示为：速度 = 距离 / 时间。
匀加速直线运动
总结词
物体在直线运动中，速度逐渐增加。
详细描述
行程问题ppt课件
• 行程问题简介 • 基础行程问题解析 • 复杂行程问题解析 • 行程问题的数学模型 • 行程问题的实际应用 • 行程问题的解题技巧
目录
Part
01
行程问题简介
行程问题的定义
总结词
行程问题是指在一定条件下，寻找一条满足特定要求的旅行路线，通常需要考虑时间、距离、成本等因素。

复杂的奥数行程问题

比较复杂的行程问题多人行程例题多人行程这类问题主要涉及的人数为3 人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。

例1. 甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12 公里，比丙快15 公里，甲行3.5 小时到达西村后立刻返回。

在距西村30 公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？例2. 甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发到B 地去，甲、乙两车的速度分别为60 千米／时和48千米／时。

有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6 时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。

求丙车的速度。

例3、李华步行以每小时4 千米的速度从学校出发到20.4 千米外的冬令营报到。

0.5 小时后，营地老师闻讯前来迎接，每小时比李华多走1.2 千米，又经过了1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。

结果3 人同时在途中某地相遇。

问：张明每小时行驶多少千米？例4：有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40 米，乙每分钟走38 米，丙每分钟走36 米。

在途中，甲和乙相遇后3 分钟和丙相遇。

问：这个花圃的周长是多少米？例5、AB两地相距30 千米，甲乙丙三人同时从A到B，而且要求同时到达。

现在有两辆自行车，但不许带人，但可以将自行车放在中途某处，后来的人可以接着骑。

已知骑自行车的平均速度为每小时20 千米，甲步行的速度是每小时5 千米，乙和丙每小时4 千米，那么三人需要多少小时可以同时到达？例6、有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。

甲每分钟走40 米，乙每分钟走38 米，丙每分钟走36 米。

在途中，甲和乙相遇后3 分钟和丙相遇。

问：这个花圃的周长是多少米？二次相遇行程问题答题思路点拨：甲从A地出发，乙从B 地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B 地后返回，乙继续走到A 地后返回，第二次在D地相遇。

第5讲：行程问题(最新数学课件)

一列长100米的火车经过6700米长的南京长江大桥，每分钟行400米，需要多少分钟？
400米/分
行驶总路程是多少？
6700m
6700+100=6800（米）
6800÷400=17（分钟）答：需要17分钟。
一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒，这列火车每秒行多少米？
30秒
？米/分
相差时间：6－5＝1（小时）
答：货车必须在上午7点出发。
50km/h
A、B两地相距352千米。甲、乙两汽车从A、B两地对开。甲
车每小时行36千米，乙车每小时行44千米。乙车因事，在甲车
开出32千米后才出发。两车从各自出发起到相遇时，哪辆汽车
走的路程多？多多少千米？
共行驶路程
36km/h
32km
352km
甲乙两辆摩托车同时从东与西两地相向开出，甲每小时行 40千米，乙每小时行32千米，两车在距中点8千米处相遇，东西两地相距多少千米？
8km
32km/h
40km/h
甲车比乙车多走：甲车每小时比乙车多走：
相遇时间：
8×2＝16（千米） 40－32＝8（千米） 16÷8＝2（小时）
（40+32）×2=144（千米）答：东西两地相距144千米。
1.阿派每分钟行100米，欧拉每分钟行80米，两人分别同时从学校和青少年活动中心出发相向而行，并在离中点120米处相遇。学校和青少年活动中心相距多少米？
阿派比欧拉多走： 120×2＝240（米）阿派每小时比欧拉多走：100－80＝20（米）
相遇时间：240÷20＝12（分钟）
（100+80）×12=2160（米）答：学校和青少年活动中心相距2160米。

5_第5讲_行程问题一

第五讲行程问题一兴趣篇1、强强跑100米用10秒，旗鱼每小时能游120千米，请问：谁的速度更快？2、墨莫联系慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25000米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月（30天），他一共跑了多少千米？3、A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行使多少千米？实际上汽车行使了一半路程后发生了故障，在途中停留了一个小时，如果要按原计划的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应该行使多少千米？4、A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

如果甲每分钟走60千米，乙每分钟走100米，请问：（1）甲从A走到B需要多长时间？（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？5、在第四题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两人同时、同向出发，请问：乙出发后多久可以追上甲？6、甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地，2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地，问：什么时候两车在途中相遇？7、卡莉娅和墨莫分别从相距720米的两地出发同向而行，墨莫在前，卡莉娅在后，且墨莫比卡莉娅先出发2分钟，已知卡莉娅的速度是每分钟60米，墨莫的速度为每分钟50米，试问：当卡莉娅追上墨莫的时候，墨莫已经走了多少米？8、一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问：（1）2小时后两车相距多少千米？（2）经过多少小时后两车第一次相距50千米？9、一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米，问：（1）经过6小时后两车相距多少千米？（2）经过几个小时后两车第一次相距100千米？10、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3个小时，甲车到达B地，问：乙车还要过多久才能到达A地？拓展篇1、甲、乙两地相距450千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米，请问：（1）如果两车同时出发，几小时后相遇？（2）如果慢车比快车早出发3小时，当两车相遇时快车走了多远？2．、A、B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。

第五讲环形道路上的行程问题

第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707 在这段时间内乙走了72×2707＝277717 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时答方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时．例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。

第5讲行程问题一-完整版

第5讲行程问题一内容概述掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系。

掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程。

兴趣篇1．强强跑100米用10秒，旗鱼每小时能游120千米．请问：谁的速度更快？答案：旗鱼解析：强强跑100米用10秒，那么他的速度为100÷10=10(米／秒)=36（千米／时）．而旗鱼的速度是每小时游120千米，所以旗鱼的速度更快．2．墨莫练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25 000米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天)，他一共跑了多少千米？答案：100分钟；75千米解析：墨莫跑的速度为3000÷12=250米／分，跑25000米需要25000÷250=100分钟．每天跑10分钟，跑一个月，一共跑了250×10×30=75000米，即75千米．3． A、B两城相距24C千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？答案：40千米／时；60千米／时解析：如图，汽车原计划6小时行驶240千米，那么汽车原计划行驶速度为240÷6=40千米／时．后半段的路程为240÷2=120千米/小时。

前半段行驶的时间为6÷2=3小时：再加上停留的1小时，所以后半段行驶的时间为6-3-1=2小时．汽车在后半段的速度为120÷2=60千米／时．4． A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：(1)甲从A走到B需要多长时间？(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？答案：(1)80分钟(2)30分钟解析：(1)如图1：从A到B的路程是4800米，甲的速度是60米／分．那么甲从A走到B需要4800÷60=80分钟．(2)如图2，甲、乙出发时相距4800米，每过1分；钟，两人的距离就拉近60+ 100=160米．经过4800÷160一30分钟后，两人就相遇了．5．在第4题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发．请问：乙出发后多久可以追上甲？答案：120分钟解析：如图，甲、乙两人同时同向出发时，甲每分钟前进60米，而乙每分钟前进100米，这就意味着乙每分钟比甲多走100-60一40米，从而使得他们之间的距离拉近40米。

较复杂的行程问题

较复杂的行程问题1、甲骑摩托车每小时行36千米，乙步行每小时行4千米，丙步行每小时行3千米，他们同时从A地出发去B地。

为了同时尽快地到达目的地，甲用摩托车分别带乙、丙行驶了一段路程（一次只能带一人），这样，丙步行了8千米。

问：A、B两地间的距离是多少千米？2、（练习试题）一条环形电车线路，起点站也是终点站，每隔一段时间同时向相反方向发出一对电车，小华和小明同时从线路上同一个地点出发，以同样的速度沿着电车线路背向行走，每隔10分钟，他们都可以通过迎面开来的一辆电车，每隔15分钟又都有一辆电车从身后追上他们。

已经知道电车行完全程要24分钟，请问：小明和小华出发后几分钟会相遇？3、在一条公路上汽车从A城出发以不变的速度朝西边的B城开去。

这时B城有甲、乙、丙三人骑自行车同时出发，甲、乙的速度相同，丙的速度是甲的2倍，甲向东，乙、丙向西而行。

甲行了5千米恰好与汽车相遇，相遇以后汽车又用了15分钟追上了乙，再过15分钟追上了丙，求汽车的速度为每小时多少千米？A、B两城相距多少千米？4、从甲地到乙地是上坡路，小明上坡每分钟走60米，下坡每分钟走100米，小明去时比返回路上多用了8分钟，求两地路程时多少米？5、一条公路上，甲、乙两地相距750米，张明每小时走4千米，李强每小时走5千米，8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相对而行，2分钟后他们都调头反向而行，再过了4分钟，他们又调头反向而行，依次按照2、4、6、8...（连续是偶数）分钟调头而行，那么张明和李强相遇时是8点几分？6、有甲乙丙三辆汽车各自以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙。

问：甲出发后多少分钟追上乙？7、甲、乙两地是电车的始发站，每隔一定的时间两地同时各自发一辆电车，小张和小王分别骑车同时从甲、乙两地出发，相向而行，每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的电车，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。

第5讲环形路上的行程问题

第5讲环形路上的行程问题（一）例题1、如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。

两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。

如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（答案：5）米/分米/分250米/分200米/2、如图是一个图形中央花园，A、B是直径的两端。

小军在A点，小明在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。

问这个花园一周长多少米？（答案：240）3、如图，一个边长为100米的正方形跑道。

甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。

他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？（答案：600）乙4、如图所示是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连结B或者C。

小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米。

开始时，A连结C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连结。

若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了几分钟？（答案：2.1）B5、甲乙两人在一条圆形跑道上同时同向出发，绕圆形跑道跑步。

已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。

当甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米；当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。

求跑道长。

（答案：150或550）6、如图，三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。

甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发。

甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字循环运动，已知甲乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。

问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少米？（答案：300）（二）练习1、甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100处。

小学思维数学复杂的行程问题-带详解

÷30 10 5= ( 行程综合问题教学目标1. 运用各种方法解决行程内综合问题。

2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。

知识精讲行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。

而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。

它们大致可以分为两类：一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合题目。

例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。

二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。

本讲内容主要就是针对这种综合性题目。

虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受“偏爱”的。

所以很重要。

模块一、行程内综合【例 1】邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下坡路。

他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答【解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。

①邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l 0(小时)③ 邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。

法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的。

【答案】5 时【例 2】小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是上山速度的1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答【解析】上山用了 3 小时 50 分，即 60 ⨯ 3 + 50 = 230 (分)，由 230 （ + ） 30，得到上山休息了 5 次，走了 230 - 10⨯ 5= 180 分 ) ．因为下山的速度是上山的 1.5 倍，所以下山走了 180 ÷1.5 = 120 (分)．由120 ÷30 =4 知，下山途中休息了 3 次，所以下山共用120 + 5 ⨯ 3 = 135 (分) = 2 小时 15 分．【答案】 2 小时 15 分【例 3】已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？【考点】环形跑道与猎狗追兔【难度】5 星【题型】解答【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9: 25 ，猫与兔的速度之比为 25: 49 ．米，兔跑米．狗追上猫一圈需 300 ÷ - 1⎪ = 单位时间，兔追上猫一圈需 300 ÷ - 1⎪ = 单位时间．猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍．与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即 ⎡ 675 625 ⎤ ⎡⎣675,625 ] (4,2 )⎢ 4 2 ⎥⎦ 此时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了 8437.5 ⨯ 25 = 23437.5 米，兔跑了 8437.5 ⨯ = 16537.5 米．⎝ 35 21 25 ⎭ [35,21,25 ] 3 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 7 ，, , ⎪ =即设猫的速度为 15 ÷ = 225 ，那么狗的速度为 ÷ = 625 ，则兔的速度为÷ = 441 ．而 ⎢ , ⎣ 4 18 ⎥⎦ (4,18) 2 = ⨯ 225 = 8437.5 米，狗跑了⨯ 625 = 23437.5 米，兔跑了 ⨯ 441 = 16537.5 米．路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 7 米/秒【答案】 7 米/秒设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑25 499 25⎛ 25 ⎫ 675 ⎝ 9 ⎭ 4⎛ 49 ⎫ 625 ⎝ 25 ⎭ 2675 6254 2675 6254 2⎣, = = 16875 = 8437.5 ． 2上式表明，经过 8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．499 25方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同．所以猫、狗、兔的速度比为 15 : 25 : 21，它们的最大公约数为35 21 25⎛ 15 25 21 ⎫ (15,25,21 )1 =1 25 135 3 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 7 21 3 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 721 125 3 ⨯ 5 ⨯ 5 ⨯ 7于是狗每跑 300 ÷ (625 - 225) = 34 单位时追上猫；兔每跑 300 ÷ (441 - 225) = 2518 单位时追上猫．⎡ 3 25 ⎤ [3,25 ] 75 75 = ，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇． 2猫跑了75275 752 2【答案】16537.5 米【例 4】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

小学奥数五年级讲义第五讲行程问题

第五讲行程问题一、教学目标1、学习复杂平均速度的求法；2、理解行程问题中的比列；3、学习发车间隔问题二、知识体系行程中的比例多次相遇、多人相遇环形跑道问题发车间隔（四升五暑假）流水行船（四升五暑假）火车过桥（四年级春季）平均速度（四年级秋季）简单的相遇追及问题（三、四年级）三、知识要点1、相遇问题：路程和＝速度和×相遇时间；追及问题：追及距离＝速度差×追及时间2、平均速度的基本关系式为：平均速度＝总路程÷总时间；总时间＝总路程÷平均速度；总路程＝平均速度×总时间3、发车间隔问题（把握三个点）①相邻两辆车的距离＝汽车速度×发车间隔时间②每隔一个固定时间就有一辆车和人相遇：相邻两辆车的距离＝（人的速度＋汽车速度）×固定时间③每隔一个固定时间就有一辆车追上人相邻两辆车的距离＝（汽车速度－人的速度）×固定时间例题详解【例1】申老师在黄浦江上练习划龙舟，从A点出发，到200千米外的B点去，前80千米的平均速度为40千米/时，要想使全程的平均速度为50千米/时，剩下的路程应以什么速度行驶？【例2】小彭老师要跑24公里，他先以平均每小时8千米的速度跑完这段距离的三分之二，而后加大速度，问：能否在跑完剩下路程时，使全程的平均速度提高到12千米/小时？【例3】彭老师为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。

假设彭老师在平路上每小时行4千米，上山每小时3千米，下山每小时6千米。

求每天彭老师锻炼要走多少米？【例4】喜羊羊和灰太狼之间距离，灰太狼要跑568步。

如果灰太狼跑9步的时间喜羊羊跑7步，灰太狼跑5步的距离等于喜羊羊4步的距离。

那么它们同时相向而行，相遇时灰太狼跑了多少步？喜羊羊跑了多少步？【例5】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走60米，丙每分钟走70米。

甲、乙两人从A地，丙一人从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟又遇到甲，A、B两地相距多少米？【例6】真真放学后，沿着某条公共汽车路线以不变速度步行回家。

六年级下册复杂行程应用

六年级下册复杂行程应用在六年级下册的数学学习中，复杂行程问题可是一个不小的挑战呢。

不过别担心，让我们一起来好好探索一下。

行程问题，简单来说，就是研究物体运动过程中速度、时间和路程之间关系的问题。

复杂行程问题呢，就是在这个基础上增加了更多的条件和变化。

比如说，有这样一道题：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度是每小时 5 千米，乙的速度是每小时 4 千米。

经过 3 小时后，两人相遇。

问 A、B 两地的距离是多少？这道题相对来说还比较简单，我们可以根据“路程＝速度×时间”来计算。

甲走的路程是 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程是 4×3 ＝ 12 千米，两人一共走的路程就是 A、B 两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ 27 千米。

但复杂一点的行程问题可能就没这么容易啦。

比如：甲、乙两人同时从 A 地出发前往 B 地，甲的速度是每小时 6 千米，乙的速度是每小时 4 千米。

甲到达 B 地后立即返回，在距离 B 地 8 千米的地方与乙相遇。

问 A、B 两地的距离是多少？这道题就需要我们好好思考一下了。

我们可以先算出甲、乙两人的速度差，6 4 ＝ 2 千米/小时。

甲比乙多走的路程是 8×2 ＝ 16 千米。

而甲每小时比乙多走 2 千米，所以他们行走的时间就是 16÷2 ＝ 8 小时。

在这 8 小时里，甲走的路程是 6×8 ＝ 48 千米，而这个路程比 A、B 两地的距离多 8 千米，所以 A、B 两地的距离就是 48 8 ＝ 40 千米。

再来看这道题：一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行60 千米，9 小时可以到达。

如果每小时行 50 千米，多长时间可以到达？我们先根据已知条件算出甲地到乙地的距离，60×9 ＝ 540 千米。

然后再用距离除以新的速度 50 千米/小时，540÷50 ＝ 108 小时。

还有这样的问题：甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，经过 5小时相遇。