用一次函数解决最值问题
专题：一次函数最值问题
专题：一次函数最值问题类型一：线段和例1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．（1）求点C的坐标；（2）求出△BCO的面积；（3）当P A+PC的值最小时，求此时点P的坐标．练习．已知，如图，直线y＝8﹣2x与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线y＝x+b与y轴交于点C，与x轴交于点D，如果两直线交于点P，且AC：CO＝3：5（AO＞CO）（1）求点A、B的坐标；（2）求四边形COBP的面积S；（3）在y轴上找一点M，使得BM+PM的值最小，求出点M的坐标和BM+PM的最小值；类型二：多条线段和例2．已知直线l1：y＝﹣x﹣1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA＝EC．（1）求直线l2的解析式；（2）若点P为x轴上任一点，是否存在点P，使△DEP的周长最小，若存在，求周长的最小值及点P的坐标；练习．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6，∠OMN ＝45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t（s），△POM的面积S．（1）当S＝△OMN时，请直接写出点P的坐标；（2）当t＝6+5时，直线x＝上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC 值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；练习2．已知直线l1：y＝x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时点P的坐标；练习3．如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．（1）求k和b的值；（2）如图1，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M 为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值；（3）如图2，将△AOD沿着直线AC平移得到△A′O′D′，A′D′与x轴交于点P，连接A′D、DP，当△DA′P是等腰三角形时，求此时P点坐标．例3．已知：在平面直角坐标系中，四边形OABC满足OA∥BC，OC∥AB，OA＝AB＝4，且∠OAB＝60°．（1）如图1．求直线AB的解析式；（2）如图2．将线段AB沿线段AC方向从点A向点C平移，记平移中的线段AB为A′B′，当△CA′B′为直角三角形时，在x轴上找一点P，使|PB′﹣PC|最大，请求出|PB′﹣PC|的最大值；练习．如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x ＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）（1）求点O到直线AB的距离；（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；例4．如图1，△ABC的三个顶点均在坐标轴上，且A、C的坐标分别为（﹣1，0）和（0，﹣3），点B在x轴正半轴上，△ABC的面积为，过点A的直线AD与y轴正半轴交于点D，∠DAB＝45°．（1）求直线AD和BC的解析式；（2）如图2，点E在直线x＝2上且在直线BC下方，当△BCE的面积为6时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AD上移动，求当四边形BEFG的周长最小时点F 的坐标；练习．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），与正比例函数y＝x的图象交于点C（4，c）（1）求k和b的值；（2）如图1，点P是y轴上一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求点P的坐标；（3）如图2，设动点D，E都在x轴上运动，且DE＝2，分别连接BD，CE，当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标并求出四边形周长的最小值．练习2．如图，平面直角坐标系中一平行四边形ABCO，点A的坐标（﹣2，4），点B的坐标（4，4），AC与BO交于点E，AB与y轴交于点G，直线EF交y轴于点F且G为线段FO的中点．（1）求出直线EF的解析式．（2）若点Q是点F关于点E的对称点，P点为线段AB上的一动点，过点P作PH⊥x 轴，垂足为H，连接FP，QH．问FP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由．练习3．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝3AO，过点A作BC的平行线l．（1）求直线BC的解析式；（2）作点A关于BC的对称点D，一动点P从C点出发按某一路径运动到直线l上的点M，再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N，再沿某一路径运动到D点，求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标；类型五：胡不归例5．已知直线l1：y＝﹣x+b与直线l2：y＝kx+3相交于y轴的B点，且分别交x轴于点A、C，已知OC＝OA．（1）如图1，求点C的坐标及k的值；（2）如图，若E为直线l1上一点，且E点的横坐标为．点P为y轴上一个动点，Q 为x轴上一个动点；求当|PC﹣PE|最大时，点P的坐标，并求出此时PQ+QA的最小值；练习．如图，已知直线l AC：y＝﹣x﹣2交x轴、y轴分别为A、C两点，直线BC⊥AC交x轴于点B．将△OBC关于BC边翻折，得到△O′BC，过点O′作直线O′E垂直x轴于点E．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）P是直线O′E上任意一点，①当|P A﹣PC|最大时，请求出P点的坐标；②在①的条件下，P、Q两点关于x轴对称，F是y轴上一点，求QF+FC的最小值．类型七：一定两动，线段和例6．在平面直角坐标系中，已知点A在函数y＝x的图象上，点B（4，0），且BA⊥OA，P（0，10）．（1）如图1，把△ABO沿直线y＝x方向平移，得到△CDE，连接PC、PE．当PC+PE 的值最小时，在x轴上存在Q点，在直线y＝x上存在点R使QR+DR的值最小，求出DQ+BQ的最小值，并求出此时点Q的坐标．练习．如图①，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OCDE的边OC在x轴的正半轴，D、E在第一象限，直线AB经过点D与x轴、y轴分别交于点A、B，已知点E的坐标为（，），OC＝且OA＝2OC．（1）求直线AB的解析式；（2）如图②在直线AB上有一点P，在x轴上有一点F，当EF+PF最小时，求点P的坐标及EF+PF的最小值。
初中数学一次函数的最值问题
初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。
但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。
图12、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。
图23、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。
图34、如果，那么既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。
（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。
解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当时，∴当x=40时，y的最小值为4400。
②当时，，此时y的值大于4400。
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。
（2）设取奶站建在距A楼xm处。
①当时，，解得（舍去）。
②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。
（3）设A楼取奶人数增加a（）人，①当时，，解得（舍去）。
②当时，，解得，当a增大时，x增大。
一次函数解决问题步骤总结
一次函数是一种线性函数，其一般形式为y=kx+b（其中k 和 b 为常数，x 为自变量，y 为因变量）。
解决一次函数问题的步骤如下：确定问题中的变量和常量：首先需要确定问题中涉及到哪些变量和常量。
1.建立函数关系式：根据已知条件，建立变量之间的函数关系式，
即一次函数的一般形式y=kx+b。
2.求解函数中的未知量：如果函数关系式中存在未知量，可以通过
已知条件求解未知量。
例如，如果已知函数的截距b，可以通过代入x=0 求解y 值。
3.分析函数的性质：根据函数关系式，可以分析函数的性质，如斜
率k、截距b、函数的单调性、奇偶性等。
4.解决问题：根据函数的性质和已知条件，解决问题。
例如，可以
通过函数的单调性判断函数的增减性，从而解决最值问题；可以通过函数的截距和斜率判断函数的图像与坐标轴的交点，从而解决几何问题。
5.检验答案：最后需要检验答案是否符合实际情况和已知条件。
需要注意的是，在解决一次函数问题时，需要注意函数的定义域和取值范围，以及函数的图像和性质。
同时，需要灵活运用数学方法和技巧，如代入法、消元法、配方法等，以便更好地解决问题。
初中数学知识点各个击破专项练习：一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”(解析版)
一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y =4kx +5k +132k ≠0 ．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，求该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132的图象交x 轴，y 轴于A 、B 两点，点Q 是直线l 2：y =x +1上一点，若S △ABQ =6，求Q 点的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，直线l 2：y =x +1交AB 于点P ，C 点在x 轴负半轴上，且S △ABC =203，动点M 的坐标为a ,a ，求CM +MP 的最小值．【答案】(1)-54,132(2)3,4 或-1,0(3)1093【分析】(1)整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ，根据题意，得当4x +5=0，求解得函数图象必过定点-54,132 ；(2)确定解析式y =4kx +5k +132为y =-2x +4，点A 坐标为2,0 ，点B 坐标为0,4 ；设点Q 坐标为m ,m +1 ，分情况讨论：①当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ，列方程解得m =3，点Q 坐标为3,4 ；②当点Q 位于AB 左侧时，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，点N 的纵坐标为(m +1)，QN =-32(m -1)，于是S △ABQ =S △AQN +S △BQN =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，Q 坐标为-1,0 ；(3)联立得y =-2x +4y =x +1，得P 1,2 ，设C c ,0 ，由S △ABC =203，求得C 的坐标为-43,0 ，点M 在直线y =x 上，点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF ，作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =1093，所以CM +MD 的最小值为1093．【详解】(1)解：整理得y =4x +5 k +132k ≠0 ∵不论k 取何值时，上式都成立∴当4x +5=0，即x =-54时，y =132∴无论k 为何值，函数图象必过定点-54,132；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0 ；点B 坐标为0,4 ；∵点Q 在直线l 2：y =x +1上，∴设点Q 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点Q 位于AB 右侧时，根据题意得S △AOQ +S △BOQ =S △AOB +S △ABQ ．∴12×2m +1 +12×4m =12×2×4+6．解得m =3．点Q 坐标为3,4 ；②如图，当点Q 位于AB 左侧时，此时S △ABQ =6，过点Q 作QN ∥x 轴，交AB 于点N ，则点N 的纵坐标为(m +1)，由y =-2x +4，得m +1=-2x +4，x =-12(m -3)，∴QN =-12(m -3)-m =-32(m -1)．∴S △ABQ =12QN ∙y B -y A =12×-32(m -1) ×4=6，解得m =-1,m +1=0，∴Q 恰好位于x 轴上，此时Q 坐标为-1,0 ；综上所述：若S △ABQ =6，Q 点的坐标为3,4 或-1,0 ；(3)由(2)可得直线AB ：y =-2x +4，联立得y =-2x +4y =x +1 ，解得x =1y =2 ．∴P 1,2 ∵点C 在x 轴的负半轴，设C c ,0则AC =2-c ，∵OB =4，S △ABC =203∴122-c ×4=203解得c =-43∴点C 的坐标为-43,0∵动点M 的坐标为a ,a ．∴点M 在直线y =x 上．∴点C 关于直线y =x 对称的点F 的坐标为0,-43 ，连接MF ，PF ，则MF =MC ，CM +MP =FM +MP ≥PF则PF 为CM +MP 的最小值；作PG ⊥y 轴，垂足为G ，在Rt △PGF 中，PF =PG 2+FG 2=12+2+43 2=1093∴CM +MD 的最小值为1093．【点睛】本题考查一次函数，图象交点求解，轴对称；结合题设条件，作线段的等量转移，构造直角三角形求解线段是解题的关键．2已知一次函数y =4kx +5k +132(k ≠0)．(1)无论k 为何值，函数图象必过定点，则该定点的坐标；(2)如图1，当k =-12时，该直线交x 轴，y 轴于A ，B 两点，直线l 2:y =x +1交AB 于点P ，点T 是l 2上一点，若S △ABT =9，求T 点的坐标；(3)如图2，在第2问的条件下，已知D 点在该直线上，横坐标为1，C 点在x 轴负半轴，∠ABC =45°，点M 是x 轴上一动点，连接BM ，并将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，①求点C 的坐标；②CQ +QD 的最小值为．【答案】(1)-54，132(2)T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)-43，0 ，5653【分析】(1)将一次函数变形4kx -y =-5k -132，根据图像过定点，得到与k 值无关，求出k ，进而求出定点坐标；(2)求出直线解析式，设点T 坐标为m ,m +1 ；分点T 在AB 两侧分类讨论即可；(3)先根据题意，求出点D 坐标，根据将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，得到点Q 所在直线解析式，求出点C 对称点C ，连接C D ，求出C D 的长即可．【详解】(1)解：一次函数y =4kx +5k +132=k 4x +5 +132，∴4x +5=0时，y =132，解得：x =-54，y =132∴无论k 为何值，函数y =4kx +5k +132k ≠0 图像必过定点-54，132 ；(2)当k =-12时，一次函数y =4kx +5k +132为y =-2x +4，当x =0时，y =4；当y =0，时，-2x +4=0，x =2；∴点A 坐标为2,0；点B 坐标为0,4 ；∵点T 在直线l 2:y =x +1上，∴设点T 坐标为m ,m +1 ；①如图，当点T 位于AB 右侧时，连接OT ，根据题意得S △AOT +S △BOT =S △AOB +S △ABT∴12×2×m +1 +12×4m =12×2×4+9解得m =4，∴点T 坐标为4,5 ；②如图，当点T 位于AB 左侧时，根据题意得S △AOT +S △BOT +S △AOB =S △ABT∴12×2×-m -1 +12×4×-m +12×2×4=9解得m =-2，∴点T 坐标为-2,-1 ；综上所述：若S △ABT =9，T 点的坐标为4,5 或-2,-1 ；(3)如图，将△OAB 沿直线AB 翻折，得到△NAB ，将△OCB 沿直线BC 翻折，得到△HCB ，延长HC 、NA 交于点E ，则四边形BHEN 为正方形，∴BN =BH =HE =NE =OB =4，NA =OA =2，AE =NE -AN =2，设OC =n ，则HC =n ，CE =4-n ，在Rt △ACE 中，22+4-n 2=2+n 2，解得n =43，所以点C 坐标为-43，0 ，②解：∵D 点在直线上y =-2x +4上，横坐标为1，∴y =-2×1+4=2，所以点D 坐标为(1，2)；设动点M 的坐标为a ,0 ，如图所示，过点Q 作QH ⊥x 轴，∵将线段BM 绕点M 顺时针旋转90°得到MQ ，∴BM =QM ，∠BMQ =90°，∴∠OMB +∠QMH =90°又∠BOM =∠MHQ =90°，∴∠OMB +∠MBO =90°，∴∠QMH =∠MBO ，∴△QMH ≌△∠MBO ，∴QH =OM ，MH =OB =4∴Q a +4,a∴点Q 在直线y =x -4上运动，如图所示，设直线y =x -4与x 轴交于点K ，与y 轴交与点G ，则K 4,0，∴CK=43+4=163，作C K⊥x轴，且C K=CK=16 3，则△CC K是等腰直角三角形，KG⊥CC ，∴则C ，C关于y=x-4的对称，则C Q+QD=CQ+QD≥C D，此时如图所示，则C 4,16 3∵D1,2∴C D=4-12+163+22=5653故答案为：565 3．【点睛】本题考查了一次函数与面积问题，求一次函数点的坐标，根据点的特点确定函数解析式，将军饮马问题，半角模型等知识，综合性强，难度较大．解题的关键是要深刻理解函数的意义，能从复杂的图形中确定相应的解题模型．3如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【答案】(1)AB=25(2)y=-13x+2(3)存在，最小值是52【分析】(1)求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求解即可；(2)先证明△ACF≌△BAO，得出点C坐标，再根据待定系数法求解即可；(3)作点C关于AB的对称点M，连接MD交直线AB于点P，则此时PC+PD有最小值，即为MD的长，根据中点坐标公式分别求出点D、M的坐标，再根据两点距离公式求解．【详解】(1)对于y=12x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则12x+2=0，解得x=-4，∴A-4,0,B0,2，∴AB=22+42=25；(2)作CF⊥x轴于点F，如图，则∠CFA=∠AOB=90°，∵等腰Rt △ABC ，∠BAC =90°，∴AC =AB ，∠ACF =90°-∠CAF =∠BAO ，∴△ACF ≌△BAO ，∴CF =OA =4,AF =BO =2，∴C -6,4 ，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，则-6m +n =4n =2 ，解得m =-13n =2 ，∴直线BC 的解析式为y =-13x +2；(3)∵D 是BC 中点，∴点D 的坐标是-3,3 ，作点C 关于AB 的对称点M ，连接MD 交直线AB 于点P ，则此时PC +PD有最小值，且PC +PD =PD +PM =MD ，即PC +PD 的最小值是MD 的长，∵∠CAB =90°，∴C 、A 、M 三点共线，且A 是CM 中点，设M p ,q ，则-6+p 2=-4,4+q 2=0，解得p =-2,q =-4，∴M -2,-4 ，∴MD =-2+3 2+-4-3 2=52，故PC +PD 存在最小值，是52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及两点间的距离公式等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识、明确求解的方法是解题关键．4已知一次函数y =kx +b (k ≠0)与x 轴交于点A (3,0)，且过点7,8 ，回答下列问题．(1)求该一次函数解析式；(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y =kx +b 我们只需要将y 向右移项就可以得到kx -y +b =0，将x 前的系数k 替代为未知数A ，将y 前的系数1替代为未知数B ，将常数项b 替代为未知数C ，即可得到方程Ax +By +C =0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A 一般为非负整数，且A 、B 不能同时为0)．一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：点P x 0,y 0 到直线Ax +By +C =0的距离d 公式是：d =Ax 0+By 0+CA 2+B 2如：求：点P 1,1 到直线y =-13x +32的距离．解：先将该解析式整理为一般方程：(I )移项-13x -y +32=0 (II )将A 化为非负整数即得一般式方程：2x +6y -9=0由点到直线的距离公式，得d =2×1+6×1-9 22+62=140=1020①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．已知(1)中的解析式代表的直线与直线2x-y+9=0平行，试求这两条直线间距离；②已知一动点P t2，t(t为未知实数)，记h为点P到直线3x-4y+7=0的距离(点P不在该直线上)，求h的最小值．【答案】(1)y=2x-6；(2)①35；②1715．【分析】(1)利用待定系数法即可求出该一次函数解析式；(2)根据平行线间距离处处相等可知，点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，再利用点到直线的距离公式，即可求出这两条直线间距离；(3)利用点到直线的距离公式，得到h=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7，利用二次函数的性质，求得最小值，进而即可求出h的最小值．【详解】(1)解：∵一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点7,8，则3k+b=07k+b=8，解得：k=2b=-6，∴该一次函数解析式为y=2x-6；(2)解：①∵一次函数解析式为y=2x-6，整理得：2x-y-6=0，∵点A(3,0)在直线y=2x-6，∴点A到直线2x-y+9=0的距离即为两条平行线间距离，将点A代入距离公式，得：d=2×3-0+922+-12=155=35，∴这两条直线间距离为35；②将点P t2，t代入距离公式，得：h=3t2-4t+732+-42=3t2-4t+75，令m=3t2-4t+7=3t-2 32+173，∴当t=23时，m有最小值为173>0，∴h的最小值为1735=1715．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，读懂题意，掌握点到直线的距离公式是解题关键．5如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=3x的图象交于点B，B 点的横坐标为1．(1)求一次函数y =kx +b 的解析式；(2)若点C 在y 轴上，且满足S △BOC =12S △AOB ，求点C 的坐标；(3)若点D 4,-2 ，点P 是y 轴上的一个动点，连接BD ，PB ，PD ，是否存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值？若存在，请直接写出△PBD 周长的最小值．【答案】(1)y =-x +4(2)C 0,6 或C 0,-6(3)存在，52+34【分析】(1)根据待定系数法求出一次函数解析式即可；(2)设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，再根据点B 的坐标，得出x B =1，y B =3，再根据三角形的面积公式，得出S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，再根据题意，列出方程，解出即可得出答案；(3)根据两点间的距离公式，得出BD =34，再根据三角形的周长，得出要使△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值，作点B 关于y 轴的对称点M ，则M 的坐标为-1,3 ，连接DM ，根据线段最短，得出DM 为PB +PD 的最小值，再根据两点间的距离公式，计算得出DM =52，再根据三角形的周长公式，计算即可．【详解】(1)解：∵点B 是y =3x 的图象上的点，横坐标为1，∴点B 坐标为1,3 ．∵OA =4，∴点A 坐标为4,0 ．将A ，B 两点坐标分别代入y =kx +b ，得0=4k +b 3=k +b ，解得k =-1b =4 ，∴一次函数的解析式为y =-x +4；(2)解：设点C 的坐标为0,t ，则OC =t ，∵B 1,3 ，∴x B =1，y B =3，∵OA =4，∴S △BOC =t ×12=t 2，S △AOB =4×32=6，∵S △BOC =12S △AOB ，∴t 2=12×6，∴t =6，∴t =6或t =-6，∴C 0,6 或C 0,-6 ；(3)解：存在点P ，使得△PBD 的周长有最小值，理由如下：∵B 1,3 ，D 4,-2 ，∴BD =1-4 2+3+2 2=34，∵△PBD 的周长=PB +PD +BD ，∴要求△PBD 周长的最小值，只需求PB +PD 的最小值．如图，作点B关于y轴的对称点M，则M的坐标为-1,3，连接DM，则PB+PD≥DM，即DM为PB+PD的最小值．∴DM=-1-42+3+22=50=52，∴△PBD周长的最小值为：PB+PD+BD=52+34．【点睛】本题考查了求一次函数解析式、坐标与图形、两点间的距离、点关于坐标轴的轴对称点、线段最短，解本题的关键在熟练掌握两点之间的距离公式．6在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴正半轴上的一个动点，设点C的横坐标为t．(1)求A、B两点的坐标；(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点，且与点A、B、C构成平行四边形ABCD．①若平行四边形ABCD是矩形，求t的值；②在点C运动的过程中，点D的纵坐标是否发生变化，若不变，求出点D的纵坐标；若变化，说明理由；③当t为何值时，BC+BD的值最小，请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值．【答案】(1)A(-4,0),B(0,3)(2)①94；②点D的纵坐标不变，是-3；③t=2时，BC+BD最小值为9【分析】(1)根据坐标轴上点的特点直接代值求解即可；(2)①矩形可知90°，证明相似三角形后直接通过边的关系列方程求解即可；②根据平行四边形的平移规律直接写出D点纵坐标即可；③求最短路径的题，与造桥选址类似，平移后三点共线即为最小值．【详解】(1)y=34x+3中，令x=0，则y=3令y=0，则x=-4∴A(-4,0),B(0,3)(2)①若平行四边形ABCD是矩形则BC⊥AB∵AO⊥BO∴△ABO∽△BCO∴OB OA =OC OB∵A(-4,0),B(0,3)∴OA=4,OB=3∴OC=t=94；②点D的纵坐标不变，∵A、B、C构成平行四边形ABCD．A(-4,0),B(0,3),C(t,0)∴A向上平移3个单位长度得到B，则C向下平移3个单位长度得到D∴D点纵坐标为-3.③将△BCD平移至△C BA∴C (-t,6)，D(t-4,-3)∴(BC+BD)min=DC =(-t-t+4)2+(6+3)2=(2t-4)2+81，当t=2时，(BC+BD)min=81=9【点睛】此题考查一次函数与相似三角形的综合题型，解题关键是找到相似的三角形，得到边长之间的数量关系，难点是判断此题为造桥选址的同类型题．7已知，一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P，分别与y轴相交于点A、B．其中t为常数，t≠2且t≠-1．(1)求线段AB的长；(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值？若是，求出△ABP的面积；若不是，请说明理由；(3)当t为何值时，△ABP的周长最小，并求出△ABP周长的最小值．【答案】(1)6(2)是，6(3)t =12，△ABP 周长最小值为213+6【分析】(1)分别令x =0，求出y 值，得到A 和B 的坐标，从而可得AB 的长；(2)求出点P 坐标，利用三角形面积公式求出△ABP 的面积即可；(3)画出图形，分析得出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小，作点A 关于直线x =-2对称的点A-4,4 ，连接A B ，找到此时点P 的位置，求出直线AB 的表达式，可得点P 坐标，可得t 值，再根据点的坐标求出周长的最小值．【详解】(1)解：在y =(2-t )x +4中，令x =0，则y =4，在y =-(t +1)x -2中，令x =0，则y =-2，∴A 0,4 ，B 0,-2 ，∴AB =4--2 =6；(2)∵图像相交于点P ，∴令(2-t )x +4=-(t +1)x -2，解得：x =-2，代入y =(2-t )x +4中，y =-22-t +4=2t ，∴P -2,2t ，∴S △ABP =12×x P ×AB =12×-2 ×6=6；(3)如图，∵P -2,2t ，∴点P 在直线x =-2上，若要△ABP 的周长最小，而AB =6，∴当AP +BP 最小即可，作点A 关于直线x =-2对称的点A -4,4 ，连接A B ，与直线x =-2交于点P ，此时AP +BP ，设直线A B 的表达式为y =kx +b ，则4=-4k +b -2=b ，解得：k =-32b =-2，∴直线A B 的表达式为y =-32x -2，令x =-2，则y =1，即P -2,1 ，则2t =1，解得：t =12，此时AP =22+32=13，BP =22+32=13，∴△ABP 的周长最小值为PA +PB +AB =213+6．【点睛】本题考查了一次函数综合，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意(3)中分析出要△ABP 的周长最小，则要AP +BP 最小．8如图1，已知一次函数y =x +3与x 轴，y 轴分别交于B 点，A 点，x 正半轴上有一点C ，∠ACO =60°，以A ，B ，C 为顶点作平行四边形ABCD ．(1)求C点坐标．(2)如图2，将直线AB沿y轴翻折，翻折后的直线交CD于E点，在y轴上有一个动点P，x轴上有一动点Q，当DP+PQ+QE取得最小值时，求此时(DP+PQ+QE)2的值．(3)如图3，将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合，A的对应点为A ，O的对应点为O ，将△A O O绕点O顺时针旋转，旋转角为α0°≤α≤180°，在旋转过程中，直线AB与直线A O 、A O交于M，G两点，在旋转过程中，△A MG能否成为等腰三角形，若能，求出所满足条件的α，若不能，请说明理由．【答案】(1)3,0(2)48+93(3)当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形【分析】(1)先求得A0，3则OA=3，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OC的长，则可得到点C的坐标；(2)由关于y轴对称点的坐标特点可得到AE的解析式，然后依据相互平行的直线的一次项系数相同以及点C的坐标可求得CD的解析式，然后再求得点E的坐标，作点E关于x轴的对称点E′，D点关于y轴的对称点D′，连接E′D′分别交y轴和x轴与点P、Q，则D′E′的长为DP+PQ+QE的最小值，最后利用两点间的距离公式求解即可；(3)先根据题意画出图形(见答图：图2、图3、图4、图5)，然后依据等腰三角形的性质性质，三角形的外角和的性质、依据旋转角的定义求解即可．【详解】(1)解：把x=0代入直线AB的解析式得：y=3，∴A0，3，∴OA=3，∵在Rt△AOC中，∠ACO=60°，∴∠CAO=90°-60°=30°，∴AC=2OC，∵AC2-OC2=OA2，∴2OC2-OC2=32，解得：OC=3或-3(舍去)，∴点C的坐标为：3,0．(2)解：∵直线AE与直线AB关于y轴对称，∴AE的解析式为y=-x+3，设直线CD的解析式为y=kx+b k≠0，∵AB∥CD，∴k=1，∴直线CD的解析式为y=x+b，将点C的坐标代入得：3+b=0，解得：b=-3，∴直线CD的解析式为y=x-3，联立y=-x+3y=x-3 ，解得：x=3+32 y=3-32，∴点E的坐标为：3+32,3-32，作点E关于x轴的对称点E ，D点关于y轴的对称点D ，连接E D 分别交y轴和x轴与点P、Q，如图1所示：则D E 的长为DP+PQ+QE的最小值，∵E3+32,3-32，点E与点E 关于x轴对称，∴E 3+32,-3+32，把y=0代入y=x+3得：x=-3，∴点B的坐标为-3,0，∴BC=3+3，∵AD =AD=BC=3+3，∴D -3-3,3，∴DP+PQ+QE2=D E 2=3+32+3+32+3+3-322=48+93．(3)解：如图2所示：当GM=GA 时，∵GM=GA ，∴∠A MG=∠MA G=30°，∴∠BGO=60°，∵OB=OA，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∴∠BOG=180°-45°-60°=75°，∴∠BOO =75°-60°=15°，即α=15°；如图3所示：当A M=A G时，∵A M=A G，∴∠A MG=∠A GM又∵∠A MG+∠A GM=∠BA O=30°，∴∠MGA =15°，∴∠BOG=180°-∠OBG-∠BGO=120°，∵∠O OA =60°，∴∠BOO =60°，即α=60°；如图4所示：当MG=MA 时，∵MG=MA ，∴∠MGA =∠MA G=30°，∵∠MBO=45°，∴∠BOG=15°，∴∠BOA =165°，∴∠BOO =165°-60°=105°，即α=105°．如图5所示：当A G=A M时，∵A G=A M，∠GA M=30°，∴∠MGA =75°，∵∠GBO+∠BOG=∠MGA ，∴∠BOG=75°-45°=30°，∴∠A Ox=30°，∴∠O Ox=30°，∴∠BOO =150°，即α=150°；综上所述，当α为15°或60°或105°或150°时，△A MG为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理，轴对称图形的性质、关于坐标轴对称点的坐标特点、等腰三角形的性质，找出DP+PQ+QE取得最小值的条件是解答问题(2)的关键，根据题意画出符合题意的图形是解答问题(3)的关键．9(1)问题解决：如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点A、B、C的坐标分别为、、．(2)综合运用：①如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标(0，-6)，点B坐标(8，0)，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．②如图2，在⑵的条件中，若M为x轴上一动点，连接AM，把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM，ON+AN的最小值是．【答案】(1)A(-4，0)，B(0，1)，C(-5，4)(2)①D(0，2)或163,-263；②65【分析】(1)利用坐标轴上点的特点可得出A、B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，构造出△ADC≌△BOA，求出AD，CD，即可得出结论；(2)①过点D作DF⊥y轴于F，延长FD交BP于G，设点D(m，-2m+2)，求出AF，证明△AFD≌△DGP，根据DF+DG=DF+AF=8列式计算即可；②设M(t，0)过点N作NH⊥x轴交x轴于H，易证△AOM≌△MHN，可得ON+AN=t+62+t2+ t+62+t-62=S，故S可以看作点(t，t)到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t，t)在y=x上，如图，F(-6，0)，E(-6，6)，作F关于y=x的对称点为P，可知当E、D、P三点共线时，S取得最小值为EP，求出EP即可．【详解】(1)解：对于一次函数y=14x+1，令x=0，y=1，∴B (0，1)，令y =0，则14x +1=0，∴x =-4，∴A (-4，0)，∴OA =4，OB =1，即A (-4，0)，B (0，1)，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，∴∠ADC =∠BOA =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠CAD +∠BAO =90°，∴∠ACD =∠BAO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =AB ，在△ADC 和△BOA 中，∠ADC =∠BOA∠ACD =∠BAO AC =BA，∴△ADC ≌△BOA (AAS )，∴CD =OA =4，AD =OB =1，∴OD =OA +AD =5，∴C (-5，4)；故答案为：(-4，0)，(0，1)，(-5，4)；(2)解：①如图，过点D 作DF ⊥y 轴于F ，延长FD 交BP 于G ，∵点A 坐标(0，-6)，点B 坐标(8，0)，∴DF +DG =OB =8，∵点D 在直线y =-2x +2上，∴设点D (m ，-2m +2)，∴F (0，-2m +2)，OF =|2m -2|，AF =|2m -2-6|=|2m -8|，∵BP ⊥x 轴，B (8，0)，∴G (8，-2m +2)，同(1)的方法得，△AFD ≌△DGP (AAS )，∴AF =DG ，DF =PG ，∵DF +DG =DF +AF =8，∴m +|2m -8|=8，∴m =163或m =0，∴D (0，2)或163，-263；(3)设M (t ，0)，过点N 作NH ⊥x 轴交x 轴于H ，根据旋转的性质易证△AOM ≌△MHN ，∴OM =HN ，OA =HM ，∴N (t +6，t )，∴ON +AN =t +62+t 2+t +6 2+t -6 2=S ，故S 可以看作点(t ，t )到(-6，0)和(-6，6)两点距离之和，(t ，t )在y =x 上，如图，∵D (t ，t )是y =x 上的动点，F (-6，0)，E (-6，6)，∴S =DE +DF ，∵F 关于y =x 的对称点为P (0，-6)，DF =DP ，∴当E 、D 、P 三点共线时，S 取得最小值为EP =-6-0 2+6--6 2=180=65，即ON +AN 的最小值是65．故答案为：65．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，方程的思想，勾股定理等，构造全等三角形是解本题的关键．10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点M 的坐标为0,m ，其中0<m <32．(1)若点A (-32,0)，过点O 作OP ⊥AM ，连接BP 并延长与x 轴交于点C ，①求k 的值；②求证：BP PC =OM OC；(2)若点A -2,0 ，求2AM +BM 的最小值．【答案】(1)①1；②见解析(2)32+2【分析】(1)①将点A 的坐标代入y =kx +32可得出答案；②过点B 作BD ∥OP 交x 轴交于点D ，延长AM 交BD 于点N ，证明△OAM ≌△OBD (ASA )，得出OM =OD；证明BPPC =DOOC，则可得出结论；(2)取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，2AM+BM= 2AM+PM≥2AH，求出AH的长，则可得出答案．【详解】(1)①∵A-32,0在y=kx+32的图象上，∴(-32)k+32=0，∴k=1；②过点B作BD∥OP交x轴交于点D，延长AM交BD于点N，∵BD∥OP，OP⊥AM，∴AN⊥BD，∵∠AOB=∠BOD=90°，∴∠OAM+∠ADN=90°，∠OBD+∠ODB=90°，∴∠OAM=∠OBD，由题意，可知OA=OB=32，∠AOB=∠BOD=90°，∴△OAM≅△OBD ASA，∴OM=OD；∵BD∥OP，∴BP PC =DOOC，即BPPC=OMOC；(2)如图，取点E32,0，连接BE，过点A作AH⊥BE于H，过点M作PM⊥BE于P，在Rt△BOE中，OB=OE=32，∴∠OBE=45°，∴BE=2OB=6，在Rt△MPB中，∠MPB=90°，PM=BM sin∠PBM=BM sin45°=22BM，∴2AM+BM=2AM+22BM=2(AM+PM)≥2AH，(当且仅当A，M，P三点共线时取等号，此时，点P、H重合)，∵S△ABE=12AE⋅OB=12BE⋅AH，∴AH=AE⋅OBBE =(32+2)⋅326=3+2，∴2AM+BM的最小值=2(3+2)=32+2．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．11如图1，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．(1)则点A的坐标为，点B的坐标为；(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB=PE，求证：∠BPE=2∠OAB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA=PQ，∠APQ=2∠OAB．连接OQ．①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有；(都写出来)②试求线段OQ长的最小值．【答案】(1)(-3，0)；(0，4)(2)证明见解析(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为125【分析】(1)根据题意令x=0，y=0求一次函数与坐标轴的交点；(2)由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；(3)根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB(SAS)，推出∠AEP=∠QBP，再证明OA=OT，推出直线BT的解析式为为：y=43x+4，推出点Q在直线y=-43x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．【详解】(1)解：在y=43x+4中，令y=0，得0=43x+4，解得x=-3，∴A(-3，0)，在y=43x+4中，令x=0，得y=4，∴B(0，4)；故答案为：(-3，0)，(0，4)．(2)证明：如图2中，设∠ABO=α，则∠OAB=90°-α，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB=α，∴∠BPE=180°-∠PBE-∠PEB=180°-2α=2(90°-α)，∴∠BPE=2∠OAB．(3)解：①结论：∠QPO，∠BAQ理由：如图3中，∵∠APQ=∠BPE=2∠OAB，∵∠BPE=2∠OAB，∴∠APQ=∠BPE．∴∠APQ-∠APB=∠BPE-∠APB．∴∠QPO=∠EPA．又∵PE =PB ，AP =PQ∴∠PEB =∠PBE =∠PAQ =∠AQP ．∴∠BAQ =180°-∠EAQ =180°-∠APQ =∠EPA ．∴与∠EPA 相等的角有∠QPO ，∠BAQ ．故答案为：∠QPO ，∠BAQ ．②如图3中，连接BQ 交x 轴于T ．∵AP =PQ ，PE =PB ，∠APQ =∠BPE ，∴∠APE =∠QPB ，在△APE 和△QPB 中，PA =PQ∠APE =∠QPB PE =PB，∴△APE ≌△QPB (SAS )，∴∠AEP =∠QBP ，∵∠AEP =∠EBP ，∴∠ABO =∠QBP ，∵∠ABO +∠BAO =90°，∠OBT +∠OTB =90°，∴∠BAO =∠BTO ，∴BA =BT ，∵BO ⊥AT ，∴OA =OT ，∴直线BT 的解析式为为：y =43x +4，∴点Q 在直线y =-43x +4上运动，∵B (0，4)，T (3，0)．∴BT =5．当OQ ⊥BT 时，OQ 最小．∵S △BOT =12×3×4=12×5×OQ ．∴OQ =125．∴线段OQ 长的最小值为125．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．12如图一次函数y 1=k1x +3的图象与坐标轴相交于点A -2,0 和点B ，与反比例函数y 2=k 2x (x >0)的图象相交于点C 2,m ．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，连接CP 并延长，交x 轴正半轴于点D ，若PD :CP =1:2时，求△COP 的面积；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使PQ +CQ 的值最小，若存在请直接写出PQ +CQ 的最小值，若不存在请说明理由．【答案】(1)y 2=12x(x >0)；(2)S △OPC =16；(3)45．【分析】(1)根据一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得0=-2k 1+3，解方程求出k 1=32，根据点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，可得点C (2，6)，利用待定系数法求分别列函数解析式即可；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，先证△CED ∽△PFD ，得出CP =2PD ，求出PF =2，求出点P (6，2)，利用待定系数法CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，求出点D (8,0)，利用面积差求解即可；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，可得CQ =C ′Q ，根据两点距离公式PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，利用勾股定理求出最小值即可．【详解】解：(1)∵一次函数y 1=k 1x +3的图象过点A -2,0 ，代入解析式得：0=-2k 1+3解得：k 1=32，∴一次函数解析式为：y 1=32x +3，点C 在直线AB 上，m =32×2+3=6，∴点C (2，6)，∵点C 在反比例函数y 2=k 2x(x >0)图像上，∴k 2=xy =2×6=12，∴y 2=12x(x >0)；(2)过点C 作CE ⊥x 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，∴CE ∥PF ，∴∠ECD =∠FPD ，∠AED =∠PFD ,∴△CED ∽△PFD ，∴CE PF =CD PD，∵PD :CP =1:2，∴CP =2PD ，∴CD =CP +PD =2PD +PD =3PD ，∵EC =6，∴6PF =3PD PD=3，∴PF =2，∵点P 在y 2=12x (x >0)上，∴2=12x，解得x =6，∴点P (6，2)，设CP 解析式为：y 3=mx +n ，过C 、P 两点，代入坐标得：6m +n =22m +n =6 ，解得m =-1n =8 ，∴CP 解析式为：y 3=-x +8，当y 3=0时，x =8，∴点D (8，0)∴S △OPC =S △DOC -S △POD =12OD ⋅CE -12OD ⋅PF =12×8×6-12×8×2=16；(3)作点C 关于y 轴对称点C ′(-2，6)，连结C ′P ，∵CQ =C ′Q ，∴PQ +CQ =PQ +C Q ≥PC ，当C ′P 交y 轴于Q ，PQ +CQ 的值最小，∴PQ +CQ 最小=PC =6+2 2+(6-2)2=45．【点睛】本题考查待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题，掌握待定系数法求反比列函数解析式，三角形相似判定与性质，待定系数法求直线解析式，用割补法求三角形面积，轴对称，最短路径问题常作对称点，与对称点连线找交点解决问题．13【定义】斜率，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度．当直线l 的斜率存在时，对于一次函数y =kx +b (k ≠0)，k 即为该函数图象(直线)的斜率．当直线过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)时，斜率k =y 2-y 1x 2-x 1，特别的，若两条直线l 1⊥l 2，则它们的斜率之积k 1•k 2=-1，反过来，若两条直线的斜率之积k 1•k 2=-1，则直线l 1⊥l 2【运用】请根据以上材料解答下列问题：(1)已知平面直角坐标系中，点A (1，3)、B (m ，-5)、C (3，n )在斜率为2的同一条直线上，求m 、n 的值；(2)在(1)的条件下，点P 为y 轴上一个动点，当∠APC 为直角时，求点P 的坐标；(3)在平面直角坐标系中另有两点D (3，2)、E (-1，-6)，连接DA 并延长至点G ，使DA =AG ，连接GE 交直线AB 于点F ，M 为线段FA 上的一个动点，求DM +55MF 的最小值．【答案】(1)-3；7；(2)(0，4)或(0，6)；(3)4【分析】(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入求出b =1，得到函数解析式，再将点B 、C 分别代入求出m 、n 的值；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，根据K PA •K PC =-1，得到y -30-1⋅y -70-3=-1，求解即可；(3)连接DE ，证得AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，求出AD 、DE 、DG ，利用勾股定理求出EG ，及sin ∠GFA 的值，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值，由DH •GE =DG •DE 得到DH =4．【详解】解：(1)设直线的解析式为y =2x +b ，将A (1，3)代入得b =1，∴直线的解析式为y =2x +1，将B (m ，-5)、C (3，n )两点分别代入解析式，得m =-3，n =7；(2)设点P (0，y )，当∠APC 为直角时，有K PA •K PC =-1，由(1)知，A (1，3)、C (3，7)，∴y -30-1⋅y -70-3=-1，解得y =4或y =6，∴点P 的坐标为(0，4)或(0，6)．(3)如图，连接DE ，由题意知，K AB =2，K DE =2-(-6)3-(-1)=2,K DA =3-21-3=-12，∵K AB =K DE ，K AB ⋅K DA =2×-12=-1，∴AB ∥DE ，AB ⊥DA ，DE ⊥DA ，∴AD =(1-3)2+(3-2)2=5,DE =45,DG =2AD =25，∴EG =DG 2+DE 2=10，∴sin ∠GFA =sin ∠GED =2510=55，过M 作MN ⊥GF 于N ，则MN =55MF ，∴DM +55MF =DM +MN ，过点D 作DH ⊥GE 于H ，则DH 即为最小值．由DH •GE =DG •DE ，得DH =4，即DM+55MF的最小值为4．【点睛】此题考查胡不归问题的综合知识，正确理解题意中斜率的计算公式，勾股定理，最小值问题是解题的关键．14如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(23,4)，一次函数y= -33x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30°，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．(1)求b的值；(2)连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；(3)求OM+12MF的最小值．【答案】(1)b=3；(2)M233,73；(3)92【分析】(1)利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可求解；(2)首先求出四边形OAED的面积，再根据条件求出△ODM的面积，即可解决问题；(3)过点M作MN⊥x轴交于点N，则OM+12MF=OM+MN，即可转化为求OM+MN的最小值，作点O关于一次函数的对称点O ，过点O 作x轴的垂线交x轴于点N ，交一次函数于点M，即OM+MN的最小值为O N ，算出长度即可．【详解】(1)在y=-33x+b中，令x=0，则y=b，∴点D的坐标为(0,b)，∵OD=BE，B(23,4)，∴E(23,4-b)，把E(23,4-b)代入y=-33x+b中得：4-b=-33×23+b，解得：b=3；(2)由(1)得一次函数为y=-33x+3，D(0,3)，E(23,1)，∴OD=3，AE=1，OA=23，∴S四边形OADE =12(OD+AE)⋅OA=12×(3+1)×23=43，∵ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ΔODM的面积与四边形OADE的面积之比为1:4，∴S△ODM=14S四边形OADE=3，设点M 的横坐标为a ，则12×3a =3，解得：a =233，把x =233代入y =-33x +3中得：y =73，∴M 233,73；(3)如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30°，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ，且OO '与直线DF 交于Q 点，过点O 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，∴OM =O M ，∴OM +12MF =OM +MN =O M +MN ，当O 、M 、N 在同一直线时O M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O M +MN 的最小值为O N ，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ON =90°-30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×32=332，∴OO =2OQ =33，在Rt △ON O 中．O N =OO sin60°=33×32=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．15如图1，一次函数y =34x -6的图象与坐标轴交于点A ，B ，BC 平分∠OBA 交x 轴与点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求CD 所在直线的解析式；(3)如图2，点E 是线段OB 上的一点，点F 是线段BC 上的一点，求EF +OF 的最小值．。
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
【数学中考一轮复习】 一次函数的最值应用(含答案)
专项训练一次函数的最值应用一、一次函数最值问题的基本模型1.如果n≤x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值，当x＝m时，y有最大值.当x＝n时，y有最大值，当x＝m时，y有最小值.2.如果x≥n，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝n时，y有最小值；当x＝n时，y有最大值.3.如果x≤m，那么y＝kx＋b有最大或最小值.当x＝m时，y有最大值；当x＝n时，y有最小值.4.如果n＜x＜m，x取值不定，那么y＝kx＋b既没有最大值也没有最小值.但是，如果x 取特殊值（如x取整数值），可参照前述三条求最值.二、一次函数最值应用的步骤1.审题，求一次函数的解析式；3.根据题意确定自变量的取值范围；4.结合增减性和自变量的取值范围确定函数的最值.类型一实际应用中直接求最值1.为迎接国庆节的到来，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍各种奖品的单价如下表所示如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.（1）求与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）请你计算一下，如果购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2.某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的原料至多为1000吨，其他原料充足.求该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题:（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.4.我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如表所示:购买苹果数x（千克）不超过50千克的部分超过50千克的部分每千克价格（元）10 8（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？5.某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？类型二方案设计中的最值6.煤炭是陕西省的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划.某煤矿现有1000吨要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如表（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送一千米所需的费用）:（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费.7.某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回.经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.8.年初，武汉暴发新冠疫情，“一方有难，八方支援”，某地为助力武汉抗疫，紧急募集到一批物资运往武汉的A，B两县，用载重量为16吨的大货车8辆和载重量10吨的小货车10辆恰好一次性运完这批物资.运往A，B两县的运费标准如表:（1）如果安排到A，B两县的货车都是9辆，设前往A县的大货车为x辆，前往A，B两县的总运费为y元，求出y与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，若运往A县的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.9.在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上的消毒液和防护口罩热销.某药店推出两种优惠方案，方案①:购买1瓶消毒液，赠送1个口罩，方案②:消毒液和口罩一律按9折优惠.消毒液每瓶定价40元，口罩每个定价5元小明需买4瓶消毒液和若干个口罩（不少于4个），设购买口罩x 个，用优惠方案①购买费用为y 1元，用优惠方案②购买费用为y 2元. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式； （2）什么情况下选择方案②更优惠？（3）若要买4瓶消毒液和12个口罩，请你设计怎样购买最便宜.参考答案1.解:（1）w ＝ 12x ＋10(2x-10)＋5［50-x-(2x-10)]＝ 17x ＋200.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯≤--->--->->)102(105.1)]102(50[50)]102(50[01020x x x x x x x ，得10≤x ＜20.∴自变量的取值范围是10≤x ＜20，且x 为整数；（2）w ＝17x ＋200，∵k ＝17＞0，∴w 随x 的增大而增大，减小而减小. ∵1≤0x ＜20，当x ＝10时，有w 最小值，最小值为w ＝17×10＋200＝370. 2.解: （1） y ＝0.3x ＋0.4（2500-x ）＝-0.1x ＋1000， 因此y 与x 之间的函数表达式为:y ＝-0.1x ＋1 000；⎧≤-+1000)2500(5.025.0x x又∵k ＝-0.1＜0，∴y 随x 的减小而增大. ∴当x ＝1000时， y 最大，此时2500-x ＝1500， 因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.3，解:（1）设y 甲＝k 1x ，根据题意得:5k 1＝100，解得:k 1＝20.∴у甲＝20x. 设y 乙＝k 2x ＋100，根据题意得:20k 2＋100＝300，解:k 2＝10. ∴y 乙＝ 10x ＋100；（2）①y 甲＜y 乙，即20x ＜10x-100，解得:x ＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y 甲＝y 乙，即20x ＝10x-100，解得:x ＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y 甲＞y 乙，即 20x ＞10x ＋100，解得:x ＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.4，解:（1）由表格可得，40×10＝400（元）， 答:小刚购买苹果40千克，应付400元； （2）由题意可得，当0≤x ≤50时， y 与x 的关系式是y ＝10x ，当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝10×50—8（x-50）＝8x ＋100， 即当x ＞50时，y 与x 的关系式是y ＝8x ＋100；（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为:8×80-100＝740（元），分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为:40×10×2＝800（元），800—740＝60（元），答:小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40 千克）所付的费用少60元.5.解:（1）依题意得:y ＝4x ＋3（50-x ） ＝x ＋150；（2）依题意得:⎩⎨⎧≤-+≤-+，②，①17)50(4.03.019)50(2.05.0x x x x解不等式①得:x ≤30，解不等式②得:x ≥28， ∴不等式组的解集为28≤x ≤30.∵y ＝x ＋150， y 是随2的增大而增大，且28≤x ≤30，∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y 最小，y 最小＝28＋150＝1786，解:（1）若运往A 厂x 吨，则运往B 厂为（1000-x ）吨. 依题意得:y ＝200×0.45x ＋150×a ×（1000-x ）＝90x-150ax ＋ 150000a ＝（90-150a ）x ＋ 150000a ，依题意得⎩⎨⎧≤-≤8001000600x x ，解得200≤x ≤600.故函数关系式为y ＝（90-150a ）x ＋150000a ， （200≤x ≤600） ； （2）当0＜a ＜0.6时，90-150a ＞0，∴当x ＝200时，y 最小＝（90-150a ）×200＋150000a ＝120000a ＋18000. 此时，1000-x ＝1000-200＝800.当a ＞0.6时，90-150a ＜0，又因为运往A 厂总吨数不超过600吨， ∴当x ＝600时，y 最小＝（90-150a ）×600＋150000a ＝60000a ＋54000. 此时，1000-x ＝1000-600＝400.当a ＝0.6时，y ＝90000,答:当0＜a ＜0.6时，运往A 厂200吨， B 厂800吨时，总运费最低，最低运费（120000a ＋18000）元.当a ＞0.6时，运往A 厂600吨，B 厂400吨时，总运费最低，最低运费（60000a ＋54000）元.当a ＝0.6时，运费90000元.7.解:（1）由题意可得，y ＝400x ＋320（8-x ）＝80x ＋2560. 即y 与x 的函数关系式为y ＝80x ＋2560；（2）由题意可得，45x ＋35（8-x ）≥340，解得，x ≥6， ∵y ＝80x ＋2560，∴k ＝80，y 随x 的增大而增大. ∴当x ＝6时， y 取得最小值，此时y ＝3040，8-x ＝2.答:最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元.8.解:（1）设前往A 县的大货车为z 辆，则前往A 县的小货车为（9-x ）辆；前往B 县的大货车为（8-x ）辆，前往B 县的小货车为（1＋x ）辆，根据题意得：y ＝1080x ＋750（9-x ）＋120（8-x ）＋950（1＋x ）＝80x ＋17300 （0≤x ≤8）； （2）由题意得，16x ＋10（9-x ）≥120，解得x ≥5. 又∵0≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数.∵y ＝80x ＋17300，且80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝80×5＋17300＝17700.货车前往B县.最少运费为17700元.9.解:（1）由题意得:y1＝40×4＋5（x-4）＝5x＋140；y2＝40×0.9×4＋5×0.9x＝4.5x＋144；（2）当y1＞y2时，5x＋140＞4.5x＋144，解得x＞8，答:当x＞8时，选择方案②更优惠；（3）方案①:y1＝5×12＋140＝220（元）；方案②:y2＝4.5×12＋144＝198（元）；方案③:先按方案①买4瓶消毒液，送4个口罩，剩下8个口罩按方案②购买，总价为:40×4＋5×0.9×8＝196（元），∵200＞198＞196，∴方案③最省钱.答:购买4瓶消毒液和12个口罩用方案③最优惠.。
方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题
方法专题15 利用一次函数解决实际生活中的最值问题1.某学校为积极响应政府“三城同创”的号召,绿化校园,计划购买A,B两种树苗,共21棵,已知A种树苗每棵90元,B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵,购买两种树苗所需费用为y元.(1)y与x的函数解析式为y= (其中0≤x≤21);(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.2.某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题,带领大家致富.经过调查研究,他们决定利用当地盛产的甲.乙两种原料开发A,B两种商品.为了科学决策,他们试生产A,B两种商品共100千克.已知现有甲种原料293千克,乙种原料314千克,生产1千克A商品,1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示.设生产A种商品x千克,生产A,B两种商品共100千克的总成本为y元,解答下列问题: (1)求y与x的函数解析式,并求出x的取值范围;(2)当x= 时,总成本y最小.2.为了落实党的“精准扶贫”政策,A,B两城决定向C,D两乡运送肥料以支持农村生产,已知A,B两城共有肥料500吨,其中A城肥料比B城少100吨,从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨.现C 乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨.(1)A城和B城各有多少吨肥料?(2)设从A城运往C乡肥料x吨,总运费为y元，求总运费的最少值;(3)由于更换车型,使A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,这时怎样调运才能使总运费最少?答案：1(1)y=20x+1470 (2) A11,B10费用1690元 2 (1) 24≤x≤86 (2) 863 (1) A,200 B,300 (2)10040 (3)A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<6)元,.y=(20-a)x十25(200- . x)+15(240- x)十24(60+x)=(4-a)x十10040.当0<a<4时,4-a>0,..当x=0时,运费最少是10 040元;当a=4时,运费是10040元;当4<a<6时,4-a<0, .x=200时,运费最少. .当0<a<4时,A城化肥全部运往D乡,B城运往C乡240吨,运往D乡60吨,运费最少;当a=4时,不管A城化肥运往D 乡多少吨,运费都是10 040元;当4<a<6时,A城化肥全部运往C乡,B城运往C乡40吨,运往D乡260吨,运费最少.。
中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1．（2022·河南汝阳·九年级期末）为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【专题训练】一、解答题1．（2022·山东青岛·模拟预测）“菊润初经雨，橙香独占秋”，如图，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰维生素C．某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况，购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝，其中购买“脐橙”用了420元，购买“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元．(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元？(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克，且再次购买的费用不超过600元，且每种橙子进价保持不变．若“血橙”的销售单价为24元，“脐橙”的销售单价为14元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大？最大利润是多少？2．（2022·山东莱芜·九年级期末）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小冬第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？（注：利润率=（利润÷成本）×100%）．4．（2021·山东青岛·一模）某学校为进一步做好疫情防控工作，计划购进A，B两种口罩．已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包，每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元，而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍．(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元．(2)如果购进A，B两种口罩共5500包，最多购进3500包A种口罩，为了使总费用最低，应购进A种口罩和B种口罩各多少包？总费用最低是多少元？5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）小李在某网店选中A、B两款玩偶，确定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个？(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶60个．设小李购进A款玩偶m个，售完两款玩偶共获得利润W元，问应如何设计进货方案才能获得最大利润？并求W的最大值．6．（2021·山东北区·一模）六一前夕，某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋，已知每个A品牌笔袋的进价，比每个B品牌笔袋的进价多2元；若用3000元购进A品牌笔袋的数量，与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同．(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元；(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个，且其中B品牌笔袋的数量不超过400个，求该商场共有几种进货方式；(3)若每个A品牌笔袋售价16元，每个B品牌笔袋售价12元，在第（1）（2）问的前提下，不计其他因素，将所采购的A、B两种笔袋全部售出，求该商场可以获得的最大利润为多少元．7．（2022·四川简阳·八年级期末）某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．8．（2022·山东城阳·八年级期末）七月份河南暴雨，鸿星尔克因捐款5000万爆红网络，为表达对品牌的支持，国人掀起购物潮．我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件，若上衣按每件获利50元卖，裤子按每件获利80元卖，则售完这些库存共可获利92000元．(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件？。
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用一次函数解决最值问题
①某学校计划购买排球、篮球，已知购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用为180 元；3 个排球与 2 个篮球的总费用为420 元．
（1）求购买 1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？
（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60 个，并且篮球的数量不超过排球数量的2 倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？
②某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B 两种树苗，共21 棵，已知 A 种树苗每棵90 元，B 种树苗每棵70 元．设购买A 种树苗x 棵，购买两种树苗所需费用为y 元．
（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x≤21；
（2）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用
③某年5 月，我国南方某省A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D 获知A、B 两市分别急需救灾物资200 吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资240 吨，D 市有救灾物资260 吨，现将这些救灾物资全部调往A、B 两市．已知从 C 市运往A、B 两市的费用分别为每吨20 元和25 元，从 D 市运往往A、B 两市的费用别为每吨15
元和30 元，设从 D 市运往 B 市的救灾物资为x 吨．
（1）请填写下表
（2）设C、D 两市的总运费为w 元，求w 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）经过抢修，从 D 市到 B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D 两市的总运费的最小值不小于10320 元，求m 的取值范围．
④某商店销售A 型和 B 型两种电脑，其中 A 型电脑每台的利润为400 元，
B 型电脑每台的利润为500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这100 台电脑的销售总利润为y 元．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100 台电脑销售总利润最大的进货方案。
⑤“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B 两种型号的净水器，每台 A 型净水器比每台B 型净水器进价多200 元，用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进B 型净水器的数量相等．
（1）求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B 两种型号的净水器共50 台进行试销，其中 A 型净水器为x 台，购买资金不超过9.8 万元．试销时 A 型净水器每台售价2500 元，B型净水器每台售价2180 元，槐荫公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W 的最大值
⑥某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15 元，王老师从该网店购买了 2 筒甲种羽毛球和 3 筒乙种羽毛球，共花费255 元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780 元购进甲、乙两种羽毛球共200 筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50 元，乙种羽毛球每筒的进价为40 元．
①若设购进甲种羽毛球m 筒，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球
进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m 为何值时所获利润最大？最大利润是多少？。