第四章第五节课时知能训练

课时知能训练
一、选择题
1．(2011·福建高考)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )
A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3∈S D.2i
S 【解析】 因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∉S ，2i
＝－2i ∉S . 【答案】 B
2．a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i
|＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
【解析】 |a ＋i i
|＝|1－a i|＝a 2＋1＝2， ∴a ＝±3.
又a ＞0，∴a ＝ 3.
【答案】 B
3．(2011·天津高考)设i 是虚数单位，复数1－3i 1－i
＝( ) A ．2＋i B ．2－i
C ．－1＋2i
D ．－1－2i
【解析】 1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝4－2i 2＝2－i. 【答案】 B
4．已知i 是虚数单位，若实数x ，y 满足(1＋i)(x ＋y i)＝(1－i)(2＋3i)，则点P (x ，y )所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 由条件，得(x －y )＋(x ＋y )i ＝5＋i ，
根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝5，x ＋y ＝1，
解之得x ＝3，y ＝－2.
∴点P (3，－2)，在第四象限．
【答案】 D
5．(2012·中山模拟)已知复数z 1＝cos 23°＋isin 23°和复数z 2＝cos
37°＋isin 37°，则z 1·z 2为( )
A.12＋32i
B.32＋12
i C.12－32i D.32－12
i 【解析】 z 1·z 2＝(cos 23°＋isin 23°)(cos 37°＋isin 37°)
＝(cos 23°cos 37°－sin 23°sin 37°)＋i(cos 23°sin 37°＋sin 23°cos 37°)
＝cos 60°＋isin 60°＝12＋32
i. 【答案】 A
二、填空题
6．(2011·江苏高考)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．
【解析】 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.
【答案】 1
7．在复平面内，复数2i 1－i
对应的点的坐标为________． 【解析】 ∵2i 1－i
＝2i (1＋i )2＝i ＋i 2＝－1＋i ， ∴复数2i 1－i
对应的点的坐标为(－1,1)． 【答案】 (－1,1)
8．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________.
【解析】 z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2
(1＋i )(1－i )
＝－i.∴z ＝i. 【答案】 i
三、解答题
9．计算(1)(1＋i 1－i )4＋2－i ；(2)(1＋2i )2
3－4i
. 【解】 (1)∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2
＝i ， ∴(1＋i 1－i
)4＝i 4＝1. 因此(1＋i 1－i
)4＋2－i ＝3－i ，
(2)原式＝1－4＋4i 3－4i ＝－3＋4i 3－4i ＝－(3－4i )3－4i
＝－1. 10．已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.
【解】 由(z 1－2)i ＝1＋i ，得
z 1＝1＋i i
＋2＝(1＋i)(－i)＋2＝3－i. ∵z 2的虚部为2.
∴可设z 2＝a ＋2i(a ∈R)．
则z 1·z 2＝(3－i)(a ＋2i)＝(3a ＋2)＋(6－a )i 为实数，
∴6－a ＝0，即a ＝6，因此z 2＝6＋2i.
11．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由题意得y ＝－2.
z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2＞0，8(a －2)＞0，解得2＜a ＜6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．。