概率统计练习题

概率统计练习题第一章1.概率的性质、加法公式、乘法公式及其相互之间的性质和运算。

复习例题1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A ∪B)=0.8，那么P(B A )=______,P(B A ⋂)=______. 2)已知P(A)=0.5 ,P(B)=0.6 ,P(AB)=0.4求下列概率：(1)P(B A ) (2)P(A |B ) 3)设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___________.4)已知事件A ，B 相互独立，且P （A ）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ ） A ．P(A B)=P(A)+P(B) B ．P(A B)=1－P （A ）P （B ） C ．P(A B)=P(A)P(B)D ．P(A B)=15)设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．0)|(=B A PB ．P （B |A ）=0C ．P （AB ）=0D ．P （A ∪B ）=12.古典概型、全概率公式、贝叶斯公式的相关计算 1）将一颗骰子掷三次，求掷出的点数都不同的概率2）若1，2，3，4，5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为_______________.3）从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。

试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。

解 设A 表示事件“三位数是奇数”， B 表示事件“三位数为5的倍数”，C 表示事件“三位数为3的倍数”，D 表示事件“三位数小于350”。

基本事件总数为 35A V =Ω，(1)6.060363)(,3352424==⨯=⨯=A A A P A V A ； (2)2.060121)(,1352424==⨯=⨯=A A B P A V B ； (3)4.06024!34)(,!3435==⨯=⨯=A A P V C ； (4) 55.060332)(,235131324131324==⋅+⨯=⋅+⨯=A A A A D P A A A V D 4）甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。

解 设321,,A A A 分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B 表示事件“加工的零件是废品”。

则 03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A B P A B P A B P71)(,72)(,74)(321===A P A P A P 11403.004.004.004.07/)03.0102.0201.04(7/02.02)()()()(222=++=⨯+⨯+⨯⨯==B P A B P A P B A P所以 1171141)(1)(22=-=-=B A P B A P 。

5）以A ，B 分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知 P （A ）＝0.35，P （B ）＝0.30，并知条件概率为P （A B ）＝0.15，试求： （1）两个区同时发生停止供水事件的概率； （2）两个区至少有一个区发生停水事件的概率。

解（1） 由题设，所求概率为 045.015.03.0)()()(=⨯==B A P B P AB P ；（2） 所求概率为 605.0045.030.035.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P 。

第二章1.随机变量及其分布：了解一维，二维离散型随机变量，连续型随机变量的性质。

例如：非负性、完备性、二维随机变量的边际分布，边际密度及其与独立性的关系。

2.掌握一维随机变量函数的分布。

3.随机变量的数字特征（结合第三章随机向量的数字特征：会求期望、方差、协方差、相关系数、及其相互之间的关系。

在独立性条件下的相关结论。

）4.常用离散型，连续性随机变量的分布：要求熟记分布律和密度函数，各常用分布的期望，方差。

复习例题1）设离散型随机变量α＝ ，F （x ）为其分布函数，则F （1）=（ ）2）.设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布函数F （x,y ），其联合分布列为求：（1）α （2）F(1,1) (3)P{X+Y=0} (4)P{XY=0} （5）X+Y 的概率分布(6)E(X) E(Y) D(X) D(Y) E(XY) COV(XY) 相关系数ρ（7）若分布律中出现两个未知数，假设已知条件X 与Y 相互独立，如何求未知数。

3) 设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Z=X-Y ，则E （Z 2）= E(=+)12z4）设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则 E(X-3Y-4)= D （X-3Y-4）=5）设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数ρ＝6)设Y X ,为随机变量，且7)(=+Y X D ，4=DX ,1=DY ，则=),c o v (Y X __________。

7）设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，21），则=),cov(Y X 8).一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两个部件的长度ξ和η为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：试求解：因为 E ξ=9⨯0.3+10⨯0.5+11⨯0.2=9.9，E η=6⨯0.4+7⨯0.6=6.6， 故 E (ξ+η)=E ξ+E η=9.9+6.6=16.5；又ξ和η为两个相互独立的，因此有E (ξη)=E ξ·E η=9.9⨯6.6=65.34。

9）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=202,cos )(ππx x x A x f 试求：(1)系数A ； (2) )(x F (3) X 落在区间(0，4π)内的概率 10）设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎩⎨⎧<<-其它,021),24(2x x x K 则K=11）设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）= P （X<1,Y<1）=12) 9.设二维随机变量(ξ，η)在区域G 上服从均匀分布，其中 {}，）（x y x x y x G <≤≤≤=2,10|,试求(ξ，η)的联合概率密度及ξ和η的边际概率密度。

解：从图(图略)易知G 的面积6/1)(102=-=⎰dx x x A ，因此(1)联合分布函数为⎩⎨⎧∈=.,0),(,6),(其它Gy x y x f(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰.,0,10),(66)(22其它x x x dy x f x x ξ(3)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰.,0,10),(66)(其它y y y dx y f y y η13).设(ξ，η)的联合概率密度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞<<∞-∞+<∞-++=y x y x ky x f )1)(1(),(22， (1)求待定系数k ；(2)求关于ξ和关于η的边际概率密度； (3)判定ξ，η的独立性 。

解：(1)因为 1)1)(1(),(22=++=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-dxdy y x k dxdy y x f ，故有 1)1(1)1(122=++⎰⎰∞+∞-∞+∞-dy y dx x k ；因此21π=k 。

(2) )1(1)1)(1(1),()(22222x dy y x dr y x f x f +=++==⎰⎰∞+∞-∞+∞-ππξ， 类似地，可求得 )1(1)(22y y f +=πη(3)因为 )()(),(y f x f y x f ηξ⋅=，故ξ与η相互独立。

14）二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它010,10,y x cxy y x f试求：(1) 确定常数c （2）求关于X 与Y 的边缘概率密度 (3) 求E （X ） E(XY)15）证明：当k =E ξ时，E (ξ-k )2的值最小，且最小值为D ξ。

第三章掌握契贝雪夫不等式和中心极限定理。

复习例题1）. 设随机变量ξ的方差为2.5。

利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。

解：由契贝雪夫不等式：2}|{|εξεξξD E P ≤≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故044.05.75.2}5.7|{|2=≤≥-ξξE P 。

2）. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为12。

设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m n与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。

试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？解：欲使99.0}01.0|{|≥<-p n m P ，即99.0}//01.0//|{|≥<-n pq n pq p nmP ， 亦即，则t ~N (0，1)且有,99.001.0≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<pq n t P 由58.201.0995.0)58.2(≥⇒=Φpq n ， 以p =q =1/2代入可得 n =16641。

3）. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≥--=≥n n n n P p np np p np np P P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)1(}2{ξξξ99.0004975.0005.021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。

亦可参考本章节书中例题及书后P117,41题，46题 第四章抽样分布：掌握三大分布及其统计量的构造，熟知临界值的定义及其查找熟练掌握单个正态总体和两个正态总体所涉及的统计量（共8个）复习例题1） 设随机变量),,(~21n n F F 则~1F2) 设总体X ～N(μ，2σ)，X 1，X 2，X 3，X 4是来自X 的样本，X 是样本均值，S 2是样本方差，则X ～______，22)X (4σμ-～________，Cov(2X 1，X 3)=________，E(S 2)=________，E ［(X 1-X 2)2］=______.3)设总体X 服从正态分布N （0，0.25），X 1，X 2，…，X 7为来自该总体的一个样∑=71227i i)(~Xaχ，则应取常数a ＝_______________.4)设总体X~N （μ,σ2）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且241241)(,41σ∑∑==-=i ii i x xx x 则服从自由度为____________的2χ分布.5)总体)4,0(~N X ，621,,,X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本,则统计量∑==61241i i X Z 服从自由度为_____的_____分布。