小波课件1

参考教材：崔锦泰：《小波分析导论》 西安交通大学出版社程正兴：《小波分析算法与应用》 西安交通大学出版社参考网站：1./current/wavelet.html2./wavelets.htmlChapter1 Introduction §1 Historical Perspective一、 What are wavelets?函数)(x ψ的支集（Support set ）定义为：}0)(|{)}({sup ≠=x x x p ψψ,理想化的小波：].[)}({supb a x p ⊂ψ或者是衰减速度比较快。

A 、 Wavelets are building blocks for general functions.Fourier 级数：∑=kikxkecx f )( ,⎰∏-∏>==<20)(21,dxex f ef c ikxikxk .kc 表示整体化的信息。

-+小波级数：)()(x c x f λλλψ∑={}λψis the base.⎰⎰∞∞-∞∞-∏=>==<ωωψωψψλλλλd f dx x x f f c )(ˆ)(ˆ21)()(,λc 刻画函数)(x f 的局部性质。

B 、Wavelets have space frequency localization. λψ的支集],[}{supb a p ⊂λψ或者是衰减速度比较快.and λψ的Fourier )(ˆωψλ的支集],[)}(ˆ{supb a p ⊂ωψλ.C 、Wavelet has fast transform algorithms. 二、 Where do wavelets come from?1807年，Fourier 提出了Fourier 分析，一个函数能被分解成不同频率波的组合，{}Zk e ikx ∈-|构成一组基，但在空间或时间域上无任何局部性。

1910年，Harr 提出了Harr 小波，用局部性函数作基。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-∈=其他0]1,21[1]21,0[1)(x x x h若构造伸缩函数：)2(2)(2/,k x h x h jj j k -=[]jjjk k k h p --+=2)1(,2}{sup ，},|{,z j k h j k ∈构成)(2R L 的一组基。

任一[0,1]上的连续函数f （x ）均可表示为：)()(x h Cx f jkjk jk∑∑=⎰+∞∞-=.)()(dx x h x f Cjk jk1964年，Gabor 提出了Gabor 变换,窗口Fourier变换是一种窗口大小及形状均固定的时频局部化分析。

加窗Fourier 变换（短时Fourier 变换）⎰+∞∞--dxex f iwx)(→⎰+∞∞---=dxek x g x f k G iwx)()(),(ω)(x g窗口函数)(k x g -：)()(k x g x f -1981年，Stromberg 对Harr 系进行改进，证明了小波函数的存在性。

1984年Morlet —石油工程公司物理工程师，在分析地震波的局部时，发现传统的Fourier 变换难以达到要求，因此他引入小波概念于信号分析中对信号进行分解。

)()()(21x x x ψψψ+=；随后，理论物理学家Grossman 对Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩、平移系⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎭⎫⎝⎛--0,,|21a R b a a b x aψ展开的可行性进行了研究，并提出了逆小波变换。

1986年，Meyer —调和分析专家，创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数)(x ψ，对其进行二进制伸缩与平移⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=--Z k j k x x jj kj ,|)2(2)(2,ψψ构成)(2R L 规范正交基。

之后，Lemarie 和Battle 由分别独立的给出了具有指数衰减的小波函数。

1987年，Mallat and Meyer 提出了多尺度分析（MultiresolutionAnalysis ）,从而成功的统一了在此之前的Stromberg 、Meyer 、Lemarie 和Battle 提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法（Mallat 算法）应用于图像分解域重构.。

1988年，Daubechies 构造了具有有限紧支集的正交小波基。

2 Fourier 分析简介一、一些基本概念：1. 线性空间：设H 是一个非空集合，P 是一个数域，在其上定义了加法和数乘运算，若加法和数乘运算满足下述规则，则称H 为数域P 上的线行空间。

加法：1. ∈=+c b aHb a ∈∀,;2.ab b a +=+;3. )()(c b a c b a ++=++；4. ,0V ∈∃使得Ha ∈∀，有：a a =+0；5. 0,,=+∍∈∃∈∀b a V b V a ；数乘：1.H a H a R ∈∈∈αα则,,;2.a a=1;3.a kl la k )()(=; 数乘和加法： ka a l k +=+)(；2.kb ka b a k +=+)(; 例：{}Rx x x x Ri Tn n∈==|),(1T n n y x y x y x ),,(11++=+Tn x x x ),,(1ααα=2. 线性赋范空间：在线性空间中，如果按照0→-x x n（当∙∞→,n 为范数）来定义x x n→，那么便称其为线性赋范空间。

3. 范数:R→∙如果满足： (1) 非负性：Hx x ∈∀≥,0，且00=⇔=x x ;(2) 其次性：x x αα=，H x R ∈∈∀,α； (3) 三角不等式;y x y x +≤+则称∙为H 上的范数。

例：(1)．对n 维欧氏空间，范数定义：2122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑niix x；∑=niix x1；|}{|max 1i ni x x≤≤∞=；(2)．{}上连续在],[)(|)(],[b a x f x f b a C =,)()())((x g x f x g f +=+ ],[,b a C g f ∈∀ ].[b a C g f ∈+;],[)())((b a C x f x f ∈=⋅αα2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰dx x f fba2L范数；{})(max x f fbx a ≤≤∞=，取最大模范数。

4. Banach 空间: 如果线性赋范空间是完备的，则称为Banach 空间。

完备：任何Cauchy 序列皆收敛到H 中的元素。

5. Hilbert 空间：具有内积的线性空间称为内积空间，完备的内积空间称为Hilbert 空间。

内积：CH H →⨯>∙∙<:,满足： (1)线性：HW v R w v W u W v u ∈∈><+><>=+<,,,,,,ααα(2)对称性：><>=<u v v u ,,；(3)非负性：;0,>≥<u u 00,=⇔>=<u u u ；由内积到范数21,>=<u u u例：(1) 在n R 中可定义：内积：∑==ni jiy xy x 1, ；由内积可导出范数:2112212,⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ni ix xx x;加权内积：()0,,1>=∑=i ni j i iww y x wyx ；(2) 在],[b a C 中可定义：内积：⎰=badxx g x f g f )()(,.6. ]2,0[,),(,2221∏L l R L R L ）（空间： {}上绝对可积函数的全体R R L =)(1；{}⎰+∞∞-∞<=dx x f f R L 22)(|)(可积；引入内积：⎰+∞∞-=dxx g x f g f )()(,，范数：212.ff f=，0,=⇔g f g f 正交于;{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∞<=∑∞=∞=2112|i ii i x x l,定义内积：∑∞==1,i iiy xg f ；{}⎰∏∞<∏=∏2022)(2)2,0(dx x f f L 周期且是，定义内积：dxx g x f gf ⎰∏∏∏=202)()(21,二、Fourier 分析1． Fourier 级数： 设)2,0(2∏∈L f，有：∑+∞-∞==k ikx k e C x f )( …………（1） ；{}+∞∞-ikxe 构成)2,0(2∏L的规范正交基。

用ikx e 对（1）式两边作内积：k j ikxijxjikxC eeCef =>=<∑+∞-∞=,,；故：⎰∏-∏>==<20)(21,dxe xf ef Cikxikxk；2． Fourier 变换： 设)(2R L f∈，f的 Fourier 变换定义为：xi xi ef f dx ex f Ff ωωωω,)(ˆ)())((===⎰∞+∞--记为，f的Fourier 逆变换：xi xi ef f d ex f f Fωωωωω-∞+∞--∏==∏=⎰,21)()(21))((1记为，)())((1x f x Ff F=-；性质：(1) Parseval ’s Identity:ωωωd g f gf g f )()(21ˆ,ˆ21,⎰∞+∞-∏=∏=;(2) 卷积：⎰+∞∞--=dtt x g t f x g f)()())(*(,则：gf gf ˆˆ*⋅=∧3. 离散Fourier 变换（DFT ）： 设 {}10-=N k k C ，{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑-=∏-=∏-10212)()(N n kn N j kN n knNjnk e n F C eCC DFT k F离散Fourier 变换存在快速算法，其时间复杂度为)log (N N O 。

类似地，对小波，也有小波级数、小波变换、离散小波变换。