Dijkstra算法
dijkstra算法
Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。
每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。
请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。
例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。
显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。
3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。
因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。
该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法
迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种最短路径算法，用于在图中找到从初始节点到目标节点的最短路径。
此算法广泛应用于路由及其他网络协议中。
迪杰斯科拉算法是基于贪心思想的一种算法，通过不断地扩展已找到的最短路径来逐步确定从初始节点到其他所有节点的最短路径。
该算法的基本思路是，首先将初始节点到自身的距离设为0，其他节点到初始节点的距离设置为无穷大。
然后，对于当前节点的所有邻居节点，计算通过当前节点到达邻居节点的距离，如果该距离比已知的最短路径更短，则更新该邻居节点的最短路径。
重复此过程，直到找到目标节点或者所有节点都被遍历过。
迪杰斯科拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中节点的数量。
这意味着当节点数量很大时，算法的运行时间将变得非常长。
为了提高算法的效率，可以使用堆优化的迪杰斯科拉算法（Dijkstra's algorithm with heap optimization），其时间复杂度为O(ElogV)，其中E表示图中边的数量。
在这种算法中，使用优先队列来存储待处理的节点，每次选择距离最小的节点进行扩展，从而减少重复计算和
不必要的遍历。
迪杰斯科拉算法是一种强大且常用的算法，可以用于许多应用程序中，例如路由、网络设计和电力网络优化等。
该算法的实用性和广泛应用
使其成为计算机科学的重要组成部分。
Dijkstra算法
最短路径—Dijkstra算法Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。
（单源最短路径）2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S 中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法介绍迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，⽤于计算⼀个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展(⼴度优先搜索思想)，直到扩展到终点为⽌。
基本思想通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。
S的作⽤是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，⽽U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。
然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加⼊到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。
... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加⼊到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。
之所以更新U中顶点的距离，是由于上⼀步中确定了k是求出最短路径的顶点，从⽽可以利⽤k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能⼤于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上⾯的理论可能⽐较难以理解，下⾯通过实例来对该算法进⾏说明。
迪杰斯特拉算法图解以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进⾏算法演⽰(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！第1步：将顶点D加⼊到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。
Dijstra算法
最短路径之Dijkstra算法标签：dijkstra数据结构图2014-06-09 16:37 7464人阅读评论(0) 收藏举报分类：数据结构（24）目录(?)[+]Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止（BFS、prime算法都有类似思想）。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
1、算法思想令G = （V，E）为一个带权有向网，把图中的顶点集合V分成两组：已求出最短路径的顶点集合S（初始时S中只有源节点，以后每求得一条最短路径，就将它对应的顶点加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中）；未确定最短路径的顶点集合V-S。
在加入过程中，总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到V-S中任何顶点的最短路径长度。
2、算法描述（1）S为已经找到的从v出发的最短路径的终点集合，它的初始状态为空集，那么从v出发到图中其余各顶点（终点）vi（vi∈V-S）可能达到的最短路径长度的初值为：d[i] = arcs[LocateVex(G, v)][i]，vi∈V（2）选择vj，使得d[j] = Min{d[i]|vi属于V-S}，vj就是当前求得的一条从v出发的最短路径的终点。
令S=S∪{j}；（3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。
如果d[j] + arcs[j][k] < d[k]，则修改d[k]为：d[k] = d[j] + arcs[j][k]；（4）重复（2），知道所有顶点都包含在S中，此时得到v到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。
具体图例与算法执行步骤：（从A开始，到各节点的最短路径）具体执行步骤如下图所示：PS：图片右下角是原作者的博客地址。
3、算法具体实现[cpp]view plain copy[cpp]view plain copy下面是根据路径数组PathMatrix得到具体的路径序列：[cpp]view plain copy以上面的无向网为例，运行结果截图：dijkstra算法两个应用题：HDOJ 1874 畅通工程续，现有解法：/?p=1894HDOJ 2544 最短路，现有解法：/?p=1892参考：/zealot886/item/c8a499ee5795bcddeb34c950数据结构（C语言版）/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html 推荐几篇搜索算法相关的非常好的博文：一、A*搜索算法一（续）、A*，Dijkstra，BFS算法性能比较及A*算法的应用二、Dijkstra 算法初探（Dijkstra算法系列4篇文章）二（续）、彻底理解Dijkstra算法二（再续）、Dijkstra 算法+fibonacci堆的逐步c实现二（三续）、Dijkstra 算法+Heap堆的完整c实现源码。
dijkstra算法
Dijkstra算法是荷兰计算机科学家Dijkstra在1959年提出的，因此也称为Dijkstra算法。
它是从一个顶点到其他顶点的最短路径算法，解决了加权图中最短路径的问题。
Dijkstra算法的主要特征是它从起点开始使用贪婪算法策略。
每次，它遍历最近的顶点的相邻节点，直到起点延伸到终点，该节点才被访问。
算法思路
该算法是根据路径长度的递增顺序生成的
顶点集V分为两组
（1）S：一组计算的顶点（最初仅包含源点V0）
（2）V-s = t：一组不确定的顶点
T中的顶点以递增顺序添加到，以确保：
（1）从源点v0到S中其他顶点的长度不大于从v0到t的任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中的顶点：从v0到顶点的长度
t中的顶点：从v0到顶点的最短路径长度，仅包括s中的顶点作为中间顶点
基础：可以证明，t中从v0到VK的直接路径的权重是从v0到VK的直接路径的权重，或者是从v0到VK的路径权重之和，即通过S中的顶点。
（可以通过相反的证明方法证明）
寻找最短路径的步骤
算法步骤如下：
G = {V，E}
1.初始条件为s = {V0}，t = V-s = {其他顶点}，相应的顶点距离值以t为单位
如果存在<V0，VI>，则D（V0，VI）是<V0，VI> arc的权重如果没有<V0，VI>，则D（V0，VI）为∞
2.从t中选择一个具有与S中的顶点关联的边且权重最小的顶点W，并将其添加到s
3.修改t中其余顶点的距离值：如果将W添加为中间顶点，则缩短了从v0到VI的距离，然后修改了距离值
重复上述步骤2和3.直到s包含所有顶点，即w = VI。
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
迪杰斯特拉(dijkstra)算法
初 始 时
dist path
1 0 C1
2 4 C1,C2
3 8 C1,C3
4 maxint
5 maxint
6 maxint
第一次:选择m=2,则s=[c1,c2],计算比较dist[2]+GA[2,j]与dist[j]的大小(3<=j<=6)dist path源自1 02 43 7
4 8
5 10
6 maxint
求从C1到各顶点的最短路径
9 4 2
C3
C6
4 2 6
C5
C4
4 3
8
C2
4
C1
Procedure dijkstra(GA,dist,path,i); {表示求Vi到图G中其余顶点的最短路
径,GA为图G的邻接矩阵,dist和path为变量型参数,其中path的基类型为集合} begin for j:=1 to n do begin {初始化} if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=GA[i,j]; if dist[j]<maxint then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[ ]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=maxint; m:=i; for j:=1 to n do {求出第k个终点Vm} if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; {若条件成立,则把Vm加入到s中,否则 退出循环,因为剩余的终点,其最短路径长度均为maxint,无需再计算下去}
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
Dijkstra算法(狄克斯特拉算法)
Dijkstra 算法Dijkstra 算法（狄克斯特拉算法） 算法（狄克斯特拉算法）目录[隐藏]• • • • • o •1 2 3 4 5Dijkstra 算法概述 算法描述 虚拟码 时间复杂度 Dijkstra 算法案例分析 5.1 案例一:基于 Dijkstra 算法在物流配送中的应用[1] 6 参考文献[编辑]Dijkstra 算法概述Dijkstra 算法 算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于 1959 年提出的，因此 又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法， 解决的是有向图中最短 路径问题。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。
当所有边 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点， 权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理， 被改变，因而保证了算法的正确性。
不过根据这个原理，用 Dijkstra 求最短路的图不能有 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离 不会改变的性质。
不会改变的性质。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我 们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v)表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
dijkstra算法
dijkstra算法迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。
迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。
注意该算法要求图中不存在负权边。
算法思想按路径长度递增次序产生算法：把顶点集合V分成两组：（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T 中任何顶点的最短路径长度（2）每个顶点对应一个距离值S中顶点：从V0到此顶点的长度T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和。
（反证法可证）求最短路径步骤算法步骤如下：G={V,E}1. 初始时令S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止。
Dijkstra算法介绍
——其求解的基本过程是：
1，初始化：起源点设置为ds=0,ps为空，并 标记起源点s，记k=s，其它所有点设为未标记点 2，检验从所有已标记的点k到其直接连接的 未标记的点j的距离，并设置 dj=min[dj,dk+lkj]
其中，lkj为从点k到j的直接连接距离
3，选取下一个点：从所有未标记的节点中，
最短路径算法分析
——Dijkstra（戴克斯徒拉）算法：可以求出一 个起源点到其余各点的路径，无向图和有向图 都适用 ——Floyd （弗洛伊德）算法：能够一次性求 得所有顶点间的最短路径，无向图和有向图都 适用Dijkstra Nhomakorabea法基本思想
——Dijkstra(戴克斯徒拉)算法是Dijkstra E W 于1959年提出的一种按路径长度递增的次序产 生最短路径的算法，被认为是解决单源点间最 短路径问题比较经典而且有效的算法 ——其基本思想是：假设网络中的每个点都有 一对标号(dj,pj)，其中dj是从起源点s到点j的最 短路径的长度； pj则是从s到j的最短路径中j点 的前一点
选取dj中最小的一个i
di=min[dj,所有未标记的点j] 点i就是被选为最短路径中的一点，并设为已标 记的点 4，检查是否所有点都已标记，如果都标记，
则算法退出，否则重复步骤2，3
DIJKSTRA算法详细讲解
DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。
DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。
下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。
首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。
3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。
如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。
重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。
4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。
5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。
根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。
下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
将集合S设为空。
开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。
2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。
4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。
6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。
dijkstra算法介绍
dijkstra算法介绍
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权重的有向图或无向图中的单源最短路径问题。
所谓单源最短路径问题，就是从图中的一个固定顶点（称为源点）出发，找到到达图中其它顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是，利用一个距离数组或者优先队列来记录从源点到各个顶点的最短距离，并不断更新这个数组或队列直到找到源点到目标顶点的最短路径。
具体的算法流程如下：
1. 初始化：将源点的距离置为0，其余点的距离均设为无穷大。
2. 选择未标记节点中距离目前路径最短的节点X（第一次为源点），并将该节点标记为已访问。
3. 更新从X出发能到达的未标记节点的距离：若当前源点到节点Y的距离加上节点Y到节点Z的距离小于源点到节点Z的距离，则更新节点Z的距离。
4. 重复执行第2和第3步，直到所有节点都被标记或无法再标记为止。
5. 最后得到的距离数组中，每个元素表示源点到目标节点的最短距离。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中V为节点数，E为边数。
该算法
具有贪心的性质，每次选择当前距离最短的节点往前推进，因此可以得到最优解。
但算法的前提条件是图上不存在负权边，否则可能出现计算出错的情况。
dijkstra法知识点
Dijkstra算法知识点Dijkstra算法是一种用于求解图中最短路径问题的著名算法。
它是由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra于1956年提出的。
Dijkstra算法通过逐步迭代的方式，按照节点间的距离逐渐确定起点到终点的最短路径。
本文将逐步介绍Dijkstra算法的具体步骤。
步骤一：初始化Dijkstra算法首先需要对图进行初始化操作。
初始化包括设置起点和终点，将起点到各个节点的距离初始化为无穷大，将起点到自身的距离初始化为0。
步骤二：选择最近节点在每一次迭代中，Dijkstra算法选择未访问节点中距离起点最近的节点作为当前节点。
通过记录每个节点的距离值，可以选择距离起点最近的节点。
步骤三：更新距离值选择最近节点后，需要更新其相邻节点的距离值。
遍历当前节点的邻居节点，如果经过当前节点到达邻居节点的距离小于该邻居节点原有的距离值，则更新该距离值。
步骤四：标记节点在更新距离值后，将当前节点标记为已访问。
标记后的节点不再被考虑，因为它们的最短路径已经确定。
步骤五：重复迭代重复步骤二至步骤四，直到所有节点都被标记为已访问。
这样，最终得到的起点到终点的最短路径就被确定了。
步骤六：回溯最短路径最后一步是通过回溯来确定起点到终点的最短路径。
从终点开始，沿着记录的最短路径逆向回溯，直到回溯到起点为止，这样就得到了起点到终点的最短路径。
总结Dijkstra算法通过逐步迭代的方式，逐渐确定起点到终点的最短路径。
它的基本思想是从起点开始，按照距离逐渐确定最短路径，直到到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为图中节点的个数。
虽然Dijkstra算法的时间复杂度较高，但它是一种精确求解最短路径问题的有效算法。
以上就是Dijkstra算法的步骤和基本知识点。
掌握了这些知识，我们就能够使用Dijkstra算法解决最短路径问题。
希望本文对你理解Dijkstra算法有所帮助！。
dijkstra算法
dijkstra算法这个算法是通过为每个顶点v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。
初始时，原点s 的路径权重被赋为0 （d[s] = 0）。
若对于顶点s 存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于所有顶点的集合V 中的任意顶点v，若v 不为s 和上述m 之一，d[v] = ∞）。
当算法结束时，d[v] 中存储的便是从s 到v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。
边的拓展是Dijkstra 算法的基础操作：如果存在一条从u 到v 的边，那么从s 到v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从s 到v 的路径。
这条路径的长度是d[u] + w(u, v)。
如果这个值比目前已知的d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v] 中的值。
拓展边的操作一直运行到所有的d[v] 都代表从s 到v 的最短路径的长度值。
此算法的组织令d[u] 达到其最终值时，每条边（u, v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集合S 和Q。
集合S 保留所有已知最小d[v] 值的顶点v ，而集合Q 则保留其他所有顶点。
集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从Q 移动到S。
这个被选择的顶点是Q 中拥有最小的d[u] 值的顶点。
当一个顶点u 从Q 中转移到了S 中，算法对u 的每条外接边(u, v) 进行拓展。
下面的伪代码计算并保留图G中原点s到每一顶点v的最短距离d[v]，同时找出并保留v在此最短路径上的“前趋”，即沿此路径由s前往v，到达v之前所到达的顶点。
其中，函数Extract_Min(Q) 将顶点集合Q中有最小d[u]值的顶点u从Q中删除并返回u。
1 function Dijkstra(G, w, s)2 for each vertex v in V[G] // 初始化3 d[v] := infinity // 将各点的已知最短距离先设成无穷大4 previous[v] := undefined // 各点的已知最短路径上的前趋都未知5 d[s] := 0 // 因为出发点到出发点间不需移动任何距离，所以可以直接将s到s的最小距离设为06 S := empty set7 Q := set of all vertices8 while Q is not an empty set // Dijkstra算法主体9 u := Extract_Min(Q)10 S.append(u)11 for each edge outgoing from u as (u,v)12 if d[v] > d[u] + w(u,v) // 拓展边（u,v）。
Dijkstra算法
Dijkstra算法SPF算法是OSPF路由协议的基础。
SPF算法有时也被称为Dijkstra算法，这是因为最短路径优先算法SPF是Dijkstra发明的。
SPF算法将每一个路由器作为根（ROOT）来计算其到每一个目的地路由器的距离，每一个路由器根据一个统一的数据库会计算出路由域的拓扑结构图，该结构图类似于一棵树，在SPF 算法中，被称为最短路径树。
在OSPF路由协议中，最短路径树的树干长度，即OSPF路由器至每一个目的地路由器的距离，称为OSPF的Cost，其算法为：Cost =100106() WebB M在这里，链路带宽以bps来表示。
也就是说，OSPF的Cost 与链路的带宽成反比，带宽越高，Cost越小，表示OSPF到目的地的距离越近。
举例来说，FDDI 或快速以太网的Cost为1，2M串行链路的Cost为48，10M以太网的Cost为10等。
Dijkstra算法是路由表计算的依据，通过Dijkstra算法可以得到有关网络结点的最短路径树，然后由最短路径优先树得到路由表。
4.4.1 Dijkstra算法具体描述1、初始化集合E，使之只包含源结点S，并初始化集合R，使之包含所有其它结点。
初始化路径列O，使其包含一段从S起始的路径。
这些路径的长度值等于相应链路的量度值，并以递增顺序排列列表O。
2、若列表O为空，或者O中第1个路径长度为无穷大，则将R中所有剩余结点标注为不可达，并终止算法。
3、首先寻找列表O中的最短路径P，从O中删除P。
设V为P的最终结点。
若V已在集合E中，继续执行步骤2。
否则，P为通往V的最短路径。
将V从R移至E。
4、建立一个与P相连并从V开始的所有链路构成的侯选路径集合。
这些路径的长度是P的长度加上与P相连的长度。
将这些新的链路插入有序表O中，并放置在其长度所对应的等级上，继续执行步骤2。
4.4.2 Dijkstra算法举例下面我们以路由器A为例，来说明最短路径树的建立过程：1、路由器A找到了路由器B、C，将它们列入候选列表{B：1；C：2}。
迪克拉斯算法
迪克拉斯算法1. 算法思想Dijkstra算法的基本思想是通过已知距离最短的顶点来逐步确定到其他顶点的最短路径。
具体来说，算法维护一个集合S，初始时S中只包含源顶点，并且对所有顶点v，记录从源顶点到v的最短路径长度。
然后每次从S中选取一个距离最短的顶点u，并将该顶点加入S中，更新所有与u相邻的顶点v的最短路径长度。
2. 算法步骤Dijkstra算法的具体步骤如下：1）初始化：设置源顶点的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2）逐步确定最短路径：重复以下步骤，直到所有顶点都被添加到集合S中。
a) 从未加入S集合的顶点中选取距离最短的顶点u。
b) 将u加入S集合。
c) 更新以u为起点的所有顶点v的最短路径长度，如果路径长度更短，则更新v的距离。
3）输出最短路径：当所有顶点都被添加到集合S中后，输出从源顶点到每个顶点的最短路径。
3. 示例为了更好地理解Dijkstra算法的运行过程，我们通过一个示例来演示算法的执行步骤。
假设有以下有向带权图G，其中顶点集合为{A, B, C, D, E, F, G}，边集合为{(A, B, 10), (A, C, 15), (B, D, 12), (C, F, 5), (D, E, 10), (E, F, 5), (F, G, 15)}，源顶点为A。
首先，初始化源顶点A的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
然后依次选取距离最短的顶点，逐步确定最短路径。
第一步：选取源顶点A，添加到集合S中，更新与A相邻的顶点B和C的距离。
此时距离最短的顶点是B。
第二步：选取顶点B，添加到集合S中，更新与B相邻的顶点D的距离。
此时距离最短的顶点是C。
第三步：选取顶点C，添加到集合S中，更新与C相邻的顶点F的距离。
此时距离最短的顶点是D。
第四步：选取顶点D，添加到集合S中，更新与D相邻的顶点E的距离。
此时距离最短的顶点是F。
第五步：选取顶点F，添加到集合S中，更新与F相邻的顶点G的距离。
此时距离最短的顶点是E。
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算法介绍
Dijkstra 算法是由荷兰计算机科学家艾兹格· 迪科斯彻发现的。
算法解决的是有向图中最 短路径问题。
举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。
Dijkstra 算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
Dijkstra 算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及 G 中的一个来源顶点 S。
我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。
每一个图中的边， 都是两个顶点所形成的有序元素对。
(u,v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连。
我们以 E 所有边的集合， 而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞]定义。
因此，w(u,v)就是从顶点 u 到顶点 v 的非负花费值(cost)。
边的花费可以 想像成两个顶点之间的距离。
任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。
已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低花费路径(i.e. 最短路径)。
这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。
算法描述
这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从 s 到 v 的最短路径来工作的。
初始 时，源点 s 的路径长度值被赋为 0（d[s]=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷 大， 即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径 （对于 V 中所有顶点 v 除 s 外 d[v]= ∞） 。
当算法结束时，d[v]中储存的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷 大。
Dijstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 u 的 最短路径可以通过将边(u,v)添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径。
这条路径的长度是 d[u]+w(u,v)。
如果这个值比目前已知的 d[v]的值要小， 我们可以用新值来替代当前 d[v] 中的值。
拓展边的操作一直执行到所有的 d[v]都代表从 s 到 v 最短路径的花费。
这个算法 经过组织因而当 d[u]达到它最终的值的时候没条边(u,v)都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集 S 和 Q。
集合 S 保留了我们已知的所有 d[v]的值已经是最短路径的值 顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。
集合 S 初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。
这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u]值的顶点。
当一个顶点 u 从 Q 中 转移到了 S 中，算法对每条外接边(u,v)进行拓展。
伪码
在下面的算法中,u:=Extract_Min(Q)在在顶点集 Q 中搜索有最小的 d[u]值的顶点 u。
这 个顶点被从集合 Q 中删除并返回给用户。
1 function Dijkstra(G, w, s) 2 for each vertex v in V[G] 3 d[v] := infinity 4 previous[v] := undefined 5 d[s] := 0 6 S := empty set 7 Q := set of all vertices 8 while Q is not an empty set 9 u := Extract_Min(Q) 10 S := S union {u} 11 for each edge (u,v) outgoing from u 12 if d[v] > d[u] + w(u,v) 13 d[v] := d[u] + w(u,v) 14 previous[v] := u
// 初始化
// Dijstra 算法主体
// 拓展边(u,v)
如果我们只对在 s 和 t 之间寻找一条最短路径的话，我们可以在第 9 行添加条件如果满足 u=t 的话终止程序。
现在我们可以通过迭代来回溯出 s 到 t 的最短路径
1 S := empty sequence 2 u := t 3 while defined u 4 insert u to the beginning of S 5 u := previous[u]
现在序列 S 就是从 s 到 t 的最短路径的顶点集.
时间复杂度
我们可以用大 O 符号将 Dijkstra 算法的运行时间表示为边数 m 和顶点数 n 的函数。
Dijkstra 算法最简单的实现方法是用一个链表或者数组来存储所有顶点的集合 Q,所以搜索 Q 中最小元素的运算(Extract-Min(Q))只需要线性搜索 Q 中的所有元素。
这样的话算法的 运行时间是 O(n2)。
对于边数少于 n2 稀疏图来说，我们可以用邻接表来更有效的实现 Dijkstra 算法。
同时需要 将一个二叉堆或者斐波纳契堆用作优先队列来寻找最小的顶点(Extract-Min)。
当用到二叉 堆的时候，算法所需的时间为 O((m+n)log n)，斐波纳契堆能稍微提高一些性能，让算法 运行时间达到 O(m + n log n)。
相关问题和算法
在 Dijkstra 算法的基础上作一些改动，可以扩展其功能。
例如，有时希望在求得最短路径 的基础上再列出一些次短的路径。
为此，可先在原图上计算出最短路径，然后从图中删去该 路径中的某一条边，在余下的子图中重新计算最短路径。
对于原最短路径中的每一条边，均 可求得一条删去该边后子图的最短路径，这些路径经排序后即为原图的一系列次短路径。
OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra 算法在网络路由 中的一个具体实现。
与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法可用于具有负花费边的图，只要图中不存在总 花费为负值且从源点 s 可达的环路（如果有这样的环路，则最短路径不存在，因为沿环路 循环多次即可无限制的降低总花费）。
与最短路径问题有关的一个问题是旅行商问题(traveling salesman problem)，它要求找 出通过所有顶点恰好一次且最终回到源点的最短路径。
该问题是 NP 难的；换言之，与最短 路径问题不同，旅行商问题不太可能具有多项式时间算法。
如果有已知信息可用来估计某一点到目标点的距离，则可改用 A*算法，以减小最短路径的 搜索范围。
参考
E. W. Dijkstra: A note on two problems in connexion with graphs. In: Numerische Mathematik. 1 (1959), S. 269–271 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0262032937. Section 24.3: Dijkstra's algorithm, pp.595–601.
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