(新)高中数学第三章空间向量与立体几何3_1_3两个向量的数量积学案新人教B版选修2-1
学案2：3.1.3两个向量的数量积
3.1.3两个向量的数量积学习目标1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题． 学习重点：空间向量的数量积运算． 学习难点：1.利用空间向量的数量积求夹角及距离．2.空间向量数量积的运算律． 学习过程 自学导引1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则_____________叫做a ，b 的数量积，记作___________. (2)数量积的运算律(3)名师点睛1．空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样， 即[0，π]；(2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角在(0，π2]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两异面直线的夹角余弦值一定为非负数． 2．平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同．3．空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决．(1)a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|，可用来求两个向量的夹角．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0，用于判断两个向量的垂直．(3)|a|2＝a·a ，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度． 注意：①数量积运算不满足消去律若a ，b ，c (b ≠0)为实数，则ab ＝bc ⇒a ＝c ；但对于向量就不正确，即a·b ＝b·c (b≠0)⇒/ a ＝c. ②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b )·c 不一定等于a·(b·c )．这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 例题解析例1 如图表示一个正方体，求下列各对向量的夹角：（1）AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A`C`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;（2） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与C`A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ `； （3） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与A`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;（4） AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与B`A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ `.例2 已知平面α⊥平面β（如图）， α ∩ β=l ，点A ，B 在α内，并且它们在l 上的正射影分别为A `，B `；点C ，D 在β内，并且它们在l 上的正射影分别为C `，D `，求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ · CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .例3 已知长方体ABCD -A `B `C `D `，AB =AA `，AD =4，E 为侧面AB `的中心，F 为A `D `的中心，计算下列数量积： BC ⃗⃗⃗⃗⃗ · ED`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BF ⃗⃗⃗⃗⃗ · AB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， EF⃗⃗⃗⃗⃗ · FC ⃗⃗⃗⃗⃗ `.拓展训练1、已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.2、如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.参考答案学习过程自学导引1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积(1) |a||b|cos 〈a ，b 〉a·b . (2)(3)例题解析 例题解析例1 解：（1）< AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， A`C`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= < AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=45°； （2）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， C`A`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 135°； （3）< AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， A`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= < AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=90°； （4）< AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， B`A`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >= 180°； 例2 证明：因为A `B `和C `D `分别为AB ，CD 在l 上的正射影，又因为α⊥β，所以AA `∥BB `，并且它们都与C `C ，CD ，DD `垂直；CC `∥DD `，并且它们都与AA `，AB ，BB `垂直. 因此， AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别和CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，D`D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积等于零； CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DD`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别和AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积等于零. 从而可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ · CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）· （ CC`⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D`D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ） = A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · C`D`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 例3 解：设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AA`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 |a |=|c |=2，a ·b =b ·c =c ·a =0； BC ⃗⃗⃗⃗⃗ · ED`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ·[(c -a )+b ]=|b |2=42=16； BF⃗⃗⃗⃗⃗ · AB`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a +b )·(a +c )=|c |2-|a |2=22-22=0， EF⃗⃗⃗⃗⃗ · FC ⃗⃗⃗⃗⃗ `=[(c -a )+ b ]·(b +a ) =(-a +b +c )·]·(b +a ) =-|a |2+|b |2=2. 拓展训练 1、解：连结ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ， 又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|. 又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12[12OA →＋12(OB →＋OC →)] ＝14(a ＋b ＋c )， BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a·c －a·b ＋b·c －b 2＋c 2－b·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .12121212121212142、证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos 120°＋12a 2cos 60°－12a 2cos 60°＝0， 所以MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B 版选修211．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．图31202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________．【答案】 π 垂直 a ⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a|·|b|.【答案】a·a下列式子中正确的是( )A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算(1)如图3121，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )图3121A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对(2)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积： ①AB →·BA 1→＝________； ②AB →·BC 1→＝________.【自主解答】 (1)AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，PB →与BC →夹角为90°. (2)AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. (3)①AB →·BA 1→＝1×2cos 135° ＝－1；②AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→ ＝0.【答案】 (1)B (2)14a 2(3)①－1 ②01．求两向量数量积的解题思路 (1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a ·b ；(2)(a ＋2b )·(2a －3b )．【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×8×cos 150°＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－16 3. (2)(a ＋2b )·(2a －3b )＝2a 2＋a ·b －6b 2＝2|a |2＋|a ||b |cos 150°－6|b |2＝2×42－163－6×82＝－352－16 3.求两个空间向量的夹角如图3123，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小．图3123【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB →，AD →，AA →1表示向量BC →1与AC →？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？ 【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD →＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1， 又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °.1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，它们互补．2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.[再练一题]2.如图3124，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3124(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [探究共研型]利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值． 【提示】 AB →＝(1，－2,1)，∴|AB →|＝12＋－22＋12＝ 6.探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．图3125【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC 与CD ，AC 与AB 垂直吗？ (2)根据AB 与CD 成60°角可建立什么方程？能直接求出|BD →|吗？【自主解答】 由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5，解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5.1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |； (4)|a |即为所求距离．[再练一题]3.如图3126所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3126【解】 EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[构建·体系]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3【解析】 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 【答案】 B2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，∴OA →⊥BC →.∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.【导学号：15460065】【解析】 原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 【答案】 04.如图3127，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________，EF →与AC →所成的角为________．图3127【解析】 |AB →＋BC →|＝|AC →|＝2； EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3.故|BC →－EF →|＝ 3.又因为EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，故AC →·EF →＝12AC →·(AD →－AB →)＝12(AC →·AD →－AC →·AB →)＝0， 因为〈EF →，AC →〉∈[0°，180°]， 所以〈EF →，AC →〉＝90°. 【答案】 23 90°5.如图3128，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .图3128(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． 【解】 (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD → B ．DA →与PB → C.PD →与AB →D ．PA →与CD →【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3129，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3129A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．【答案】 C5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝_________________.【导学号：15460066】【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，a ＋λb ·λa －2b ≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3130，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3130【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝BB 1→－BA →·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3131，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3131【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.【答案】 B3．已知正三棱柱ABC DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________.【导学号：15460067】【解析】设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →， MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3132，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3132【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60° ＝23.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B 版选修21(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＋y 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．0【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝－z ，1＝z .所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.【答案】 D2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P ，A ，B ，C 四点共面．4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此pq ，q ⇒p .【答案】 B5．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO →1，AO →2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO →3，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB →＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2＋μ2＋v 2＝0. 【答案】 07．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________.【导学号：15460063】【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8.【答案】 －8 三、解答题9．如图3118所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：图3118(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 【解】 由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝PA →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA →·DA →＝PA →·AB →＝PA →·BC →＝0， ∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0， ∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，∴PB →·DC →＝(PA →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°.10．正方体OABC O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 【解】 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.[能力提升]1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若α＋β＝1，则PA →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λBC →，故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →)，整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】 C2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )A ．在平面BAD 1内B ．在平面BA 1D 内C ．在平面BA 1D 1内D ．在平面AB 1C 1内【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝PA 1→＋6(PA 1→－PB →)－4(PD 1→－PA 1→)＝11PA 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C.【答案】 C3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：15460064】①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2，知a 与e 1，e 2共面．【答案】 ①②③4．如图3119所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN →与向量AD →，BC →是否共面．图3119【解】 由题图可得MN →＝MA →＋AD →＋DN →，① ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →，② 又MA →＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得 2MN →＝AD →＋BC →，即MN →＝12AD →＋12BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。
数学人教B版选修2-1导学案 第三章 3.1.3两个向量的数量积
§2.2.1两个向量的数量积 学习目标 1.明确空间中两个向量夹角的范围，及异面直线夹角的定义。
2.理解空间中两个向量的数量积的定义、性质及运算律，并能够利用空间向量数学习过程【任务一】阅读教材，明确相关知识点阅读教材P85-87内容，解决下面问题 1.空间中两个向量的夹角： 2.两条异面直线的夹角：3.空间中两个向量的数量积：4.空间中两个向量数量积的性质和运算律：【任务二】典型例题分析 阅读教材P87例1，完成下边例1.例1：在长方体''''D C B A ABCD -中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线，且互相垂直？（2）已知1,3'==AA AB ，求向量'BA 分别与''''',C B C D CC 和的夹角。
例1图 例2图阅读教材P87例3，完成下边例2.例2：已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，设c AA b AD a AB ===',,，求：（1）)(+⋅； （2）)(++⋅；（3）)()(c b b a +⋅+； （4c a ++【任务三】课堂达标练习1.对于向量c b a ,,和实数λ，下列为真命题的是（ ） A.若0=⋅b a ，则0=a 或0=b 。
B.若0=a λ，则0=λ或0=a 。
C.若22b a =，则b a =或b a -=。
D.若c a b a ⋅=⋅，则c b =。
2.若︒>=<==60,,4b a b a ，则b a -等于3.若向量b a ,满足1)(,1,2=+⋅==b a a b a ，则向量b a ,的夹角的大小为4.已知正方体''''D C B A ABCD -的棱长为1，设c AA b AD a AB ===',,，求：（1）''DB AC ⋅，><'',DB AC ；（2）AD BD ⋅'5.已知四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点G F E ,,分别是棱DC AD AB ,,的中点，求下列向量的数量积：（1）⋅ （2）⋅ （3） GF ⋅（4）⋅ （5）⋅ （5）⋅。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(
3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例1】 设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】 将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式． 【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二 空间向量的共线问题【例2】 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三 空间向量的共面问题【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。
中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算教学案无答案新人教
《3.1. 3 空间向量的数量积运算》知识梳理1）两个向量的夹角的定义2）两个向量的数量积3)空间向量的数量积性质对于非零向量,a b，有4)空间向量的数量积满足的运算律注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。
注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；注意：数量积不满足结合律)()c b ac b a⋅⋅≠⋅⋅（,.,,,a b OOA a OB b AOB a ba b==∠〈〉如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则角叫做向量与的夹角，记作：bababa⊥=〉〈互相垂直，并记作：与则称,2,如果π〉〈〉〈≤〉〈≤abbaba,＝,被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向,范围：π,,,cos,,,cos,OA a OA a aa b a b a b a ba ba b a b a b=〈〉⋅⋅=〈〉设则有向线段的长度叫做向量的长度或模记作：已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即aaababaeaaea⋅==⋅⇔⊥〉〈=⋅2)3)2,cos)1分配律）()(）3交换律）()2)()()1cabacbaabbababa⋅+⋅=+⋅⋅=⋅⋅=⋅λλ逆命题成立吗? 0OA ⋅=,即PA.l ⊥αP⋅O a75 A. B. C. D.CAC'=||85。
441.高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.1~04《空间向量的数量积》(2))
① （用于判定垂直问题）
② （用于求模运算问题）
③ （用于求角运算问题）
例题2讲练
1、已知 ， ，且 与 的夹角为 ， ， ，求当m为何值时
2、已知 ， ， ，则 。
巩固练习
1、已知 和 是两个单位向量，夹角为 ，则（ ） 等于（）
A.-8 B. C. D.8
2、已知 和 是两个单位向量，夹角为 ，则下面向量中与 垂直的是（）
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
（2）区间的概念及表示法
①设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合分别记做 ．
注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
（1）函数的概念
①设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到 的一个函数，记作 ．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课堂探究学案新人教B
两个向量数量积课堂探究探究一 求向量数量积求两个向量m ，n 数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m ，n 模及〈m ，n 〉大小，直接利用空间向量数量积定义来求，此种情况下要注意向量夹角正确性；二是选定一组基向量表示向量m ，n ，从而把m ，n 数量积通过运算转化为基向量之间数量积来求．【典型例题1】 长方体ABCD A ′B ′C ′D ′，AB ＝AA ′＝2，AD ＝4，E 为侧面AB ′中心，F 为A ′D ′中点，计算以下数量积：(1)AB →·AB ′→；(2)BC →·ED ′→；(3)EF →·FC ′→.解：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，那么由题意，得|a |＝|c |＝2，|b |＝4，|AB ′→|＝22，〈AB →，AB ′→〉＝45°，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，(1)AB →·AB ′→＝|AB →||AB ′→|cos 〈AB →，AB ′→〉＝2×22×22＝4；(2)BC →·ED ′→＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a＋b ＝|b|2＝16；(3)EF →·FC ′→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a＋12b ·＝－12|a|2＋14|b|2＝2. 探究二 求夹角和距离1．求两点间距离或某线段长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a ·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角问题，由于向量夹角取值范围为[0，π]，而异面直线所成角范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时它们相等，而当〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，它们互补．【典型例题2】 如图，空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 中点．(1)求MN 长；(2)求异面直线AN 与CM 所成角余弦值．思路分析：(1)求线段长，要利用向量平方求解，关键是找到表示MN →2基向量，只要模与夹角均可知，那么问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积逆用．解：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.(1)MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －q·p －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 长为22a . (2)设向量AN →与MC →夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－A M →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos 60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－14a 2＋12a 2－14a 2＝12a 2.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos〈AN →，MC →〉＝32a ·32a cos θ， ∴cos θ＝23，∴向量AN →与MC →夹角余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 夹角余弦值也为23.探究三 数量积性质应用1．对于空间两个非零向量a ，b ，由夹角公式得a ⊥b ⇔a ·b ＝0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中垂直问题．2．证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零． 【典型例题3】 空间四边形OABC 中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 中点，假设AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .思路分析：解答此题即要证PM ⊥QN ，只要证明PM →·QN →＝0，需将PM →，QN →用其他向量表示后再进展计算即可．证明：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，又P ，M 分别为OA ，BC 中点，∴PM →＝OM →－OP →＝12(b ＋c )－12a ＝12[(b －a )＋c ]．同理，QN →＝12(a ＋c )－12b ＝－12[(b －a )－c ]．∴PM →·QN →＝12[(b －a )＋c ]·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12[b －a－c ]＝－14(|b －a|2－|c|2)．又AB ＝OC ，即|b －a|＝|c|， ∴PM →·QN →＝0，∴PM →⊥QN →，即PM ⊥QN . 探究四 易错辨析易错点 将向量夹角与直线夹角混淆【典型例题4】 如图，空间四边形ABCD 中，每条边长度和两条对角线长度都等于1，M ，N 分别是AB ，AD 中点，计算MN →·DC →.错解：MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12cos 60°＝14. 错因分析：〈BD →，DC →〉＝120°，错解写成了〈BD →，DC →〉＝60°.无视了向量方向，混淆了向量夹角与直线夹角．正解：MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2-1(2021年
（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
3 空间向量的数量积运算学习目标1。
了解空间向量夹角的概念及表示方法。
2。
掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律。
3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点一空间向量的夹角思考〈a，b〉与<b，a〉相等吗？答案〈a，b〉与<b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角,根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a>相等．梳理(1）如图所示,已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．（2)a，b为非零向量，〈a，b>＝〈b，a>，a与b的夹角的范围是［0，π]，其中当〈a，b>＝0时，a与b方向相同；当<a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b>＝错误!时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b>＝0或π；若a⊥b,则〈a，b>＝错误!。
知识点二数量积的概念及运算律1．已知两个非零向量a,b，则|a|｜b｜cos〈a，b>叫做a,b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a｜|b|cos<a，b〉．2．空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1(
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3。
1.3 空间向量的数量积运算1。
掌握空间向量的夹角与长度的概念。
2。
掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点）3.能用向量的数量积解决立体几何问题。
（难点）[基础·初探］教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P90第1~3自然段内容，完成下列问题.1。
夹角的定义图3。
1。
14已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a,b 的夹角，记作<a，b〉.2。
夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π］。
特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量________，记作________.【答案】π垂直a⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)〈a，b>与（a，b）都表示直角坐标系下的点.（）（2）在△ABC中，〈错误!，错误!>＝∠B。
（）(3）在正方体ABCD。
A′B′C′D′中,错误!与错误!的夹角为45°.(）【答案】(1）×(2)×（3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P90第4自然段～“思考”以上部分内容，完成下列问题。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积2b21b高二21数学
点C，D在
求证：
内，并且它们在
上l 的正射影分别为C＇，D＇，
A• BCD A'B' •C'D'
B
A
提示 AB： •CD
l
A'
C' D'
B'
D
C
（AA 'A'B'B'B） •(CC 'C'D'D'D)
A'B' •C'D'
第十四页，共二十四页。
知识(zhī shi)迁移
1.已知正四面体ABCD的每条棱长都等于(děngyú)a,点E,F,G分 别是棱AB,AD,DC的中点，求下列向量的数量积：
AABB与 与AC''CA的''的夹夹角1角3有5呢0什？么关互系补？依据是什么？
45 0
相等
结论(jiélùn)：异面直线的夹角与它们上面两个向量的夹角有什么关系？
相等或互补
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合作学习二 两个向量(xiàngliàng)的数量积
2.已知平面α⊥平面β，
l,
l 点A,B在 内，并且它们(tā men)在 上的正射影分别为A＇，B＇;
No 字相乘等均成立。1.下图中异面直线AB与C＇A＇的夹角多大。2.已知平面α⊥平面β，。谢谢指导
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12/9/2021
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求 对 角 线 A C 的 长 度 。
解： A C A B A D A A
| AC |2 (AB AD AA)2 | AB|2 | AD|2 | AA |2 2(AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修2_1
3.1.3 两个向量的数量积1．空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝90°，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b . 思考：等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是多少？ [提示] 120° 2．两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b .(2)数量积的运算律3．两个向量的数量积的性质1．下列命题中正确的是( ) A ．(a·b )2＝a 2·b 2B ．|a·b |≤|a||b |C ．(a·b )·c ＝a·(b·c )D ．若a ⊥(b －c )，则a·b ＝a·c ＝0B [对于A 项，左边＝|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，右边＝|a |2|b |2， ∴左边≤右边，故A 错误．对于C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．在D 中，a·(b －c )＝0，∴a·b －a·c ＝0，∴a·b ＝a·c ，但a·b 与a·c 不一定等于零，故D 错误．对于B 项，∵a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，－1≤cos〈a ，b 〉≤1， ∴|a·b |≤|a||b |，故B 正确．]2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2 B [∵|a －2b ＋3c |2＝(a －2b ＋3c )·(a －2b ＋3c ) ＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.]3．已知|a |＝3，|b |＝2，a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝________. 120° [∵cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－33×2＝－12. ∴〈a ，b 〉＝120°.]下列向量的数量积：(1)OA →·OB →； (2)EF →·CB →；(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉＝|OA →||OB →|cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点， 所以EF 綊12AC ，于是EF →·CB →＝|EF →||CB →|cos 〈EF →，CB →〉 ＝12|CA →|·|CB →|cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14. (3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →·OA →＋OB →2－2OB →·OC →＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.(1)要牢记公式a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉.(2)在求两个向量夹角时，要注意向量的方向，如〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°易错写成60°.为避免出错，应结合图形进行计算.1．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. [解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝(AA 1→－AB →＋12AD →)·(AB →＋AA 1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉． 2．空间向量数量积的性质有什么作用？[提示] (1)向量模的应用：式子|a |＝a·a 可以解决有关空间长度问题．(2)向量夹角的应用：空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得．(3)数量积的应用：两非零向量a ，b ，若a·b ＝0，则两向量对应的直线相互垂直． 【例2】 (1)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．(2)如图所示，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC 1和BD 1的长．[思路探究] (1)先求BA 1→·AC →，再由夹角公式求cos 〈BA 1→，AC →〉，并由此确定BA 1→与AC →所成角的余弦值．(2)用向量AC 1→和BD 1→用已知向量AB →、AD →、AA 1→表示出来，再用数量积的定义运算． [解] (1)∵BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， ∴BA 1→·AC →＝－BA →2＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.∴cos〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. (2)∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴|AC 1→|2＝AC 1→·AC 1→＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.∴|AC 1→|＝6，即对角线AC 1的长为 6.同理，|BD 1→|2＝BD 1→·BD 1→＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AD →＋AA 1→－AB →)＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2(AD →·AA 1→－AB →·AA 1→－AD →·AB →)＝1＋1＋1＋2(cos 60°－cos 60°－cos 60°)＝2.∴|BD 1→|＝2，即对角线BD 1的长为 2.1．(改变结论)若把本例(1)中的结论“求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值”改为“求向量BA 1→与AC →夹角的余弦值”结果如何？[解] 由本例(1)解析可知BA 1→与AC →夹角的余弦值是－66.2 .(改变条件、改变结论)本例(2)中，若E 为CC 1的中点，求AE 的长． [解] AE →＝AB →＋AD →＋12AA 1→，∴|AE →|2＝AE →·AE →＝(AB →＋AD →＋12AA 1→)·(AB →＋AD →＋12AA 1→)＝|AB →|2＋|AD →|2＋14|AA 1→|2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→＝1＋1＋14＋2cos 60°＋cos 60°＋cos 60°＝414， ∴|AE →|＝172.(1)利用数量积求异面直线所成角(或余弦值)的方法：(2)求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离．【例3】 如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC . [思路探究] 证明OA →·BC →＝0.[证明] 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ， 所以∠AOC ＝∠AOB . 又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos∠AOC －|OA →|·|OB →|cos∠AOB ＝0，所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC .(1)证明线线垂直的方法,证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.2．已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . [证明] ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0. ∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →＋BD →·AC →－|AB →|2－AB →·BD →＝AB →·AC →－|AB →|2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .1．思考辨析(1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a·b )c ＝a (b·c )． ( ) (3)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. ( )[提示] (1)× 互补．(2)× (a·b )·c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，但c 与a 不一定共线． (3)√2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →C [2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D 错，2FG →·AC→＝AC →2＝a 2，故C 正确．]3．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ，b 的夹角为π3，则a·b ＝________.1 [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1×2×12＝1.]4．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，则 (1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________. (1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°. (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°. (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°.]。
2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积学案人教B版选修2_1
3．1.3 两个向量的数量积1.了解空间向量的夹角、两条异面直线所成的角的概念．2.理解两个向量数量积的概念． 3．掌握数量积的运算及应用．1．两个向量的夹角2．异面直线3．两个向量的数量积(或内积)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )(2)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．( )(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( )(4)若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是( )A ．AB →与A ′C ′→B ．AB →与C ′A ′→ C ．AB →与A ′D ′→D ．AB →与B ′A ′→答案：A3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，且a·b ＝2，a 与b 的夹角为π3，则|b |＝________．答案：44．已知|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝________． 答案：2π3向量的数量积的概念与性质下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给出理由． (1)a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)p 2·q 2＝(p ·q )2； (3)|p ＋q ||p －q |＝|p 2－q 2|；(4)若a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均不为0，则它们垂直． 【解】 (1)此命题不正确． 因为a ·b ＝0有两种情况：①当a ，b 均不为零向量时，则a 与b 垂直， 此时a ·b ＝0；②当a 与b 至少有一个为0向量时，a ·b ＝0也成立，故由a ·b ＝0，推不出a ＝0或b ＝0. (2)此命题不正确． 因为p 2·q 2＝|p |2|q |2，而(p ·q )2＝(|p ||q |cos 〈p ，q 〉)2＝|p |2|q |2cos 2〈p ，q 〉，所以当且仅当p ∥q 时，p 2·q 2＝(p ·q )2. (3)此命题不正确．因为|p 2－q 2|＝|(p ＋q )·(p －q )| ＝|p ＋q ||p －q ||cos 〈p ＋q ，p －q 〉|， 当且仅当(p ＋q )∥(p －q )时， |p 2－q 2|＝|p ＋q ||p －q |. (4)正确．因为a ·[(a ·b )·c －(a ·c )·b ] ＝a ·(a ·b )·c －a ·(a ·c )·b ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·b )(a ·c )＝0， 因为两向量均为非零向量，故a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 垂直．关于向量数量积的概念题，弄清其实质是关键，两个向量的数量积是一个数量，它等于两向量模与其夹角余弦值的乘积，两向量数量积有正也有负也可为0.当两向量垂直时其数量积为零．下列结论中，正确的是( )A ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )B ．若a ·b ＝|a ||b |，则a 、b 共线C ．非零向量a 、b 、c ，若a ·c ＝b ·c ，则a ＝bD ．若|a |2＝|b |2，则a ＝b解析：选B ．A 中内积不满足结合律，C 中数量积不满足消去律，D 只能得到|a |＝|b |，故选B ．空间向量数量积的运算已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→.解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AA 1→－AB →)＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(c －a )＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.(1)空间向量运算的两种方法①利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．1.已知|a |＝3，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则(3a －2b )·(a ＋2b )＝________．解析：(3a －2b )·(a ＋2b ) ＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2＝3×9＋4×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4×16 ＝27－24－64 ＝－61. 答案：－612.如图，已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →； (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：在正四面体OABC 中， |OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. (1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.数量积的应用如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 的夹角的余弦值．【解】 因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，所以OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.(1)由公式a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉可得cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解．(2)利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a||b |，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ， 则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c . 所以A 1O →·BD →＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0. 所以A 1O →⊥BD →，所以A 1O ⊥BD . 同理可证：A 1O →⊥OG →， 所以A 1O ⊥OG . 又因为OG ∩BD ＝O ， 且A 1O ⊄平面BDG ， 所以A 1O ⊥平面GBD .1．对向量数量积的理解(1)a·b 是数量而不是向量，a·b 的正负由cos 〈a ，b 〉确定．(2)a·b 是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b ，而不能写成ab .(3)a·b 的几何意义为：a·b 等于a 的模|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos 〈a ，b 〉的乘积，也等于向量b 的模|b |与a 在b 方向上的投影|a |cos 〈a ，b 〉的乘积．(4)零向量与任何向量的数量积都为0，即0·a ＝0. 2．向量夹角与异面直线的关系若两个向量a ，b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ.(1)不同之处：向量夹角的范围是：0≤〈a ，b 〉≤π，异面直线夹角θ的范围是：0＜θ≤π2.(2)联系：当两向量的夹角为锐角时，θ＝〈a ，b 〉；当两向量的夹角为π2时⇔异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，则θ＝π－〈a ，b 〉．求空间图形中两个向量的夹角，要注意分析图形，把一个向量的起点平移到与另一个向量的起点重合，转化为求平面角的大小，但一定要注意向量的方向．如〈AB →，A ′C ′→〉与〈AB →，C ′A ′→〉两个夹角是互补的．1．已知向量a ，b 是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．若l ⊥α，则c ⊥a ，c ·a ＝0，c ⊥b ，c ·b ＝0，反之，若a ∥b ，且c ⊥a ，c ⊥b ，并不能证明l ⊥α.2．设空间有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B ．因为(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，所以|AB →|＝|AC →|.所以△ABC 是等腰三角形．3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________．解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 答案：－24．已知|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角大小为________． 解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0， 所以a ·b ＝12a 2＝12|a |2＝2.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝22，所以〈a ，b 〉＝π4.答案：π4[A 基础达标]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，所以(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， 所以2k －12＝0，所以k ＝6.2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2 D ．34a 2 解析：选C ．AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD → ＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a ×a ×12＋a ×a ×12)＝14a 2. 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A ．PC →与BD →B ．DA →与PB →C ．PD →与AB →D ．PA →与CD →解析：选A ．可用排除法．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，PA →·CD →＝0，排除D ． 又因为AD ⊥AB ，所以AD ⊥PB ， 所以DA →·PB →＝0，同理PD →·AB →＝0，排除B ，C ，故选A ．4．如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C ．因为PC →＝PA →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.5．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B ．因为DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0， 所以|AB →|＝|AC →|， 即△ABC 是等腰三角形．6．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________． 解析：原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 答案：07．如图，已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．如图，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则AB 1→＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝(BB 1→－BA →)·(BC →＋12BB 1→)22×5＝0－2＋2－022×5＝0，所以〈AB 1→，BM →〉＝90°.答案：90°9．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：(1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5， 所以|a ＋b ＋c |＝5，所以|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53， 即MN ＝53. 10．直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．解：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)证明：易知CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .22所以CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)易知AC ′→＝－a ＋c ，所以|AC ′→|＝2|a |，又CE →＝b ＋12c ， 所以|CE →|＝52|a |， 所以AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， 所以cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知空间四边形ABCD 中，∠ACD ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝2，CD ＝1，则AB 与CD 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C ．根据已知∠ACD ＝∠BDC ＝90°，得AC →·CD →＝DB →·CD →＝0，所以AB →·CD →＝(AC→＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋|CD →|2＋DB →·CD →＝|CD →|2＝1，所以cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12，所以AB 与CD 所成的角为60°.12．在三棱锥O ABC 中，OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∠BOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝2，若E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，则EF ＝________．解析：因为EF →＝OF →－OE →＝12(OB →＋OC →)－12OA →， 所以|EF →|2＝14(OB →＋OC →－OA →)2 ＝14(OB →2＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)． 又由已知得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，OA →⊥OB →，OA →⊥OC →，OB →·OC →＝2×2×12＝2，4所以|EF →|＝2，即EF ＝2.答案：213．如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .(1)求证：CC 1⊥BD ；(2)当CD CC 1的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c .由题意得|a |＝|b |，BD →＝CD →－CB →＝a －b .CD →，CB →，CC 1→两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ＝0， 所以CC 1⊥BD .(2)要使A 1C ⊥平面C 1BD ，只需A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1.由CA 1→·C 1D →＝(CA →＋AA 1→)·(CD →－CC 1→)＝(a ＋b ＋c )·(a －c )＝a 2－a·c ＋a·b －b·c ＋c·a －c 2＝|a |2－|c |2＋|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ＝(|a |－|c |)·(|a |＋|c |＋|b |cos θ)＝0，得当|c |＝|a |时，A 1C ⊥DC 1.而由(1)知CC 1⊥BD ，又显然BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以A 1C ⊥BD . 综上可得，当CD CC 1＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 14．(选做题)如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长． 解：(1)证明：AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋BC →.因为BB 1⊥平面ABC ，所以BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0.又△ABC 为正三角形，所以〈AB →，BC →〉＝π－〈BA →，BC →〉＝π－π3＝2π3. 因为AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BB 1→＋BC →)＝AB →·BB 1→＋AB →·BC →＋BB 1→2＋BB 1→·BC → ＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝－1＋1＝0， 所以AB 1⊥BC 1.(2)结合第一问知AB 1→·BC 1→＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＋BB 1→2＝BB 1→2－1. 又|AB 1→|＝ (AB ―→＋BB 1―→)2＝ 2＋BB 1→2＝|BC 1→|. 所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝BB 1→2－12＋BB 1→2＝12， 所以|BB 1→|＝2，即侧棱长为2.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 向量的数量积教案 新人教B版选修2-1-新人教B版
(或距离)
例 4 如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．确的评价，总结。
4．
总结提升1．空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝
|a||b|cos〈a，b〉并结合运算
律进行计算．
(2)利用图形：计算两个数量的
数量积，可先将各向量移到同一
顶点，利用图形寻找夹角，再代
入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量
积的步骤
(1)首先将各向量分解成模和夹
角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积
展开，转化为模和夹角的向量的
数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，
b〉求解．
1、提问:本节
课学习目标是
否达成？
2、归纳总结
解题方法
1、抽签小组展示
讨论的结果。
2、总结方法
培养学生
归纳总结
习惯，强
化知识及
方法
3
分
钟。
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3.1.3 两个向量的数量积学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一 两个向量的数量积思考1 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA →与BC →的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．思考2 等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是多少？梳理 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a ·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝________交换律 a ·b ＝________分配律(a ＋b )·c ＝________知识点二 两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围：〈a ，b 〉∈________.特别地：当〈a ，b 〉＝________时，a ⊥b . 知识点三 两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或|a|＝a·a③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________④|a·b|≤|a|·|b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1 空间向量数量积的基本运算例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．反思与感悟(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )A.7B.10C.13 D．4命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练2 已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)(OA →＋OB → )·(CA →＋CB →)；(2)|OA →＋OB →＋OC →|.类型二 利用数量积求夹角或模 命题角度1 利用数量积求夹角例3 已知BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角．反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3 已知：PO 、PA 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PA 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA . 求证：l ⊥PA .命题角度2 利用数量积求模(或距离)例4 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．跟踪训练4 如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例5 如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC ，求证：OA ⊥BC .反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a ，b ，c 有关的向量m ，n 垂直的方法先用向量a ，b ，c 表示向量m ，n ，再判断向量m ，n 的数量积是否为0.跟踪训练5 已知向量a ，b 满足：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．1．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |等于( ) A ．14 B.14 C ．4 D ．22．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列向量的数量积一定不为0的是( ) A.AD 1→·B 1C → B.BD 1→·AC → C.AB →·AD 1→D.BD 1→·BC →3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．已知a ，b 为两个非零空间向量，若|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.5．已知正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．提醒：完成作业 第三章 3.1.3答案精析问题导学 知识点一思考1 ∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|· cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算． 思考2 120°.梳理 (2)λ(a ·b ) b ·a a ·c ＋b ·c 知识点二(1)∠AOB (2)[0，π] π2知识点三a ·b ＝0 |a |·|b | －|a |·|b | |a |2 a ·b|a ||b |题型探究例1 (1)解 ①此命题不正确． ∵p 2·q 2＝|p |2·|q |2，而(p ·q )2＝(|p |·|q |·cos〈p ，q 〉)2＝|p |2·|q |2·cos 2〈p ，q 〉， ∴当且仅当p ∥q 时，p 2·q 2＝(p ·q )2. ②此命题不正确．∵|p 2－q 2|＝|(p ＋q )·(p －q )|＝|p ＋q |·|p －q |·|cos〈p ＋q ，p －q 〉|， ∴当且仅当(p ＋q )∥(p －q )时， |p 2－q 2|＝|p ＋q |·|p －q |.③此命题正确．∵a ·[(a ·b )·c －(a ·c )·b ]＝a ·(a ·b )·c －a ·(a ·c )·b ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·b )(a ·c )＝0，且a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均为非零向量， ∴a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 垂直． (2)解 ①∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6.②∵(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2，∴(3a －2b )·(a ＋2b )＝3×9＋4×3×4×(－12)－4×16＝27－24－64＝－61.跟踪训练1 C例2 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0. (3)EF →·FC 1→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.跟踪训练 2 解 (1)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－ 2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(2)|OA →＋OB →＋OC →| ＝OA ，→＋OB ，→＋OC→2＝12＋12＋12＋21×1×cos 60°×3＝ 6.例3 解 如图所示．∵BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →，∴BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →) ＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. ∵AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴AB →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0，BB 1→·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2.∴BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|cos 〈BA 1→，AC →〉， ∴cos〈BA 1→，AC →〉＝－a22a ·2a ＝－12.又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0°，180°]， ∴〈BA 1→，AC →〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴异面直线BA 1与AC 所成的角为60°.跟踪训练3 证明 如图，取直线l 的方向向量a ，同时取向量PO →，OA →.因为l ⊥OA ， 所以a ·OA →＝0.因为PO ⊥α，且l ⊂α，所以l ⊥PO ，因此a ·PO →＝0.又因为a ·PA →＝a ·(PO →＋OA →) ＝a ·PO →＋a ·OA →＝0， 所以l ⊥PA .例4 解 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)． 因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC 1→2＝|AC 1→|2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23， 即AC 1＝23.跟踪训练4 解 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →， ∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD →＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·co s 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2. 例5 证明 因为OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ，所以△OAC ≌△OAB ，所以∠AOC ＝∠AOB . 又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos∠AOC －|OA →|· |OB →|cos∠AOB ＝0， 所以OA →⊥BC →，即OA ⊥BC . 跟踪训练5 45° 当堂训练1．B 2.D 3.B 4.3π45. 2。